第十章 含耦合电感的电路
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10章 含有耦合电感的电路
jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
第十章(含耦合电感的电路)习题解答
第十章（含耦合电感的电路）习题解答一、选择题1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。
Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H解：由图示电路可得 121 d d 2d d )63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+tit i d从以上两式中消去ti d d 2得t iu d d 811=，由此可见8=eq L H2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。
Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。
根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有A )cos(29)cos(18 1t t i ω=ω=再由理想变压器原副边电流的关系ni i121= (注意此处电流2i 的参考方向)得A )cos(612t ni i ω==因此，该题应选B 。
3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。
Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0；Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ；Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关；Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。
解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。
因此，此题选C 。
4．图10—4所示电路中，=i Z B 。
A ．Ω2j ； Ｂ．Ωj1； Ｃ．Ωj3； Ｄ．Ωj8解：将图10—4去耦后的等效电路如图10—4（a ），由图10—4（a ）得j1 j6j6j6j6j2Ω=+⨯+-=i Z因此，该题选Ｂ。
5．在图10—5所示电路中，=i Z D 。
电路分析基础第五版第10章
二、互感消去法(等效去耦法)
消去互感，变为无互感的电路计算，从而简化 电路的计算。
1、受控源替代去耦法
jM
I1
I2
+ +
U1
jL1
jL2
U2
I1
+
jL1
U1
jM I 2
I2
+
jL2
U
2
jM I 1
U1 jL1 I1 jMI2
U2 jL2 I2 jMI1
d2i dt
i 2 u 2
2
相量形式：
1
i1
U1 jL1 I1 jMI2
u1
U2 jL2 I2 jMI1
注意：
i 2 u 2
2
•互感元件的自感恒为正；
•互感元件的互感有正有负，与线圈的具体绕法及 两线圈的相互位置有关。
当每个电感元件中的自感磁链与互感磁链是互相 加强时(自感磁链与互感磁链同向)，互感为正； 反之为负。（说法不同，正确理解）
+
U
L反L1L22M
等效电感不能为负值，
因此：L反0, M12(L1L2)
3、并联耦合电感的去耦等效
(1)同侧并联：同名端分别相联。
I
+
jM
U
jL1
jL2
I +
U
j L同
L同
L1L2 M2 L1 L2 2M
因为 L同 0 所以 L1L2M20
电路第十章含有耦合电感的电路
则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
第10章 含有耦合电感的电路
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2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
首页
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
返回
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
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重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
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10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
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U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
第十章含耦合电感的电路
若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
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变压器的结构
理想变压器
理想变压器
从实际变压器抽象出的反映其主要特征的模型 忽略线圈电阻等次要因素，用简单的模型描述原、 副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
理想变压器
理想变压器元件模型
理想变压器是一个二端口元件 理想变压器的变比（匝比）：原边与副边的电压（有效值或峰值） 比值 n，是理想变压器的唯一参数。 理想变压器的（工作）特性方程 注意同名端 变比与原、副边线圈匝数关系： n n1 : n2
n2 Z L
(a)
(b)
对于变比为
n :1
的理想变压器原边等效阻抗为副边阻抗的 n 倍。
2
理想变压器
若副边负载为电阻R，则原边等效电阻为： 若副边负载为电感L，则原边等效电感为：
R1eq n 2 R
L1eq n 2 L
若副边负载为电容C，则原边等效电阻为：
C1eq
C 2 n
注：利用变压器的阻抗变换功能，可以实现阻抗匹配功能， 以便实现信号功率的有效传输。
1 M ( L1 L2 ) 2
10-2-2 耦合电感元件的并联
耦合电感元件的并联
I
j M
*
*
j L2
U
I
*
U
j L1
I1
(a)
j L1
I1
(b)
j M
j L2
I2
I2
*
同名端相连
非同名端相连
同名端相连
U j L1I1 jMI 2 U j MI1 j L2 I 2
耦合电感元件的串联
M
+
j M
－
i
* u1 L1
－
+
+
L2 u2 *
+
I
+
U1
U
－ －
* j L1
－
j L2
U2
+
u
－
*
顺接
(a)
(b)
M
+
j M
i
* u1 L1
－
+
* － L2 u2
+
+
I
+
U1
U
－ －
* j L1
j L2
*
－
U2
+
u
－
反接
(a)
(b)
正向串联（顺接）：两个互耦电感元件的非同名端相 连。
i1 L1
u1
－
N1
*
*
i2 N2 L2
+
u2
－
10-1 耦合电感元件
二端口耦合电感元件的参数
自感（系数）和互感（系数）：单位为-亨利（H）
L1 L2
11 (t )
i1 (t )
M12 M 21
12 (t )
i2 (t )
22 (t )
i2 (t )
21 (t )
U j L1 I jM I j L2 I jM I j ( L1 L2 2M ) I
等效电感：
Leq L1 L2 2M
反向串联（反接）：两个互耦电感元件的同名端相连。
U j L1 I jM I j L2 I jM I j ( L1 L2 2M ) I 等效电感： Leq L1 L2 2M 0
理想变压器的阻抗变换功能
原边等效阻抗
根据理想变压器工作特性，列出方程
U1 nU 2 nI 2 Z L 1 I1 I 2 n
I1
+
Z1eq
U1 nI 2 Z L n2 Z L 1 I1 I2 n
I1
+
n :1
I2
*
*
+
Zi
U1
－
U2
－
ZL
Zi
U1
－
2
等效电感：
L1L2 M Leq L1 L2 2M
非同名端相连
U j L1I1 jMI 2 U jMI1 j L2 I 2
j ( L2 M ) I1 2 ( L L M 2 ) U 1 2 I j ( L1 M ) U 2 2 2 ( L L M ) 1 2
10-1 耦合电感元件
二端口耦合电感元件 是通过磁场联系相互约束的两电感元件的集合 二端口耦合电感元件的磁通链
1 (t ) 11 (t ) 12 (t ) 2 (t ) 22 (t ) 21 (t )
M
+
11 (t ) 22 (t ) 自感磁通链： 互感磁通链： 12 (t ) 21 (t )
2
1 U 2 U1 10U1 33.3V n
例题
已知信号源电动势6V，内阻100欧，扬声器的 电阻8欧。
计算直接把扬声器接在信号源上时的输出功率。 若用匝比为n = 3的变压器耦合，输出功率是多少？ 若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r
R
(a)
r
E
i1 (t )
i1 L1
M12 M 21 M
M
耦合系数
M K 1 L1L2
+
u1
－
N1
*
*
i2 N2 L2
+
u2
－
同名端
10-1 耦合电感元件
二端口耦合电感元件的感应电压
取决于同名端和参考方向的关系
1 (t ) L1i1 (t ) M i2 (t ) 2 (t ) M i1 (t ) L2i2 (t )
内容提要
耦合电感元件 含有耦合电感元件的正弦电路分析 理想变压器
• 对于耦合电感元件，重点掌握之间磁路耦合对感应电压的影响，注意 同名端、参考方向的作用。 • 对于理想变压器重点掌握其原副边电压、电流变比关系、阻抗变换功 能、能量传递功能。 • 在电路分析方法上，前面所学的相量分析法仍然适用。
R2
US
－
U1
－
Ri 2
(a)
(b)
回路分析法
I1 R1 U1 U S I 2 R2 U 2
U1 nU 2 I 2 nI1
U2 33.3V
阻抗变换法
50 Ri 2 n R2 0.5 100 Ri 2 0.5 U1 U S 100 3.33V R1 Ri 2 1 0.5
n1 n n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
V1 2400 n 20 V2 120
n1 n 50 20 50 1000 匝
E
(b)
R
直接连接
E 6 P I R R 8 25mW Rr 8 100
2
2
2
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
N1 300 ' R R 8 72Ω 100 N2
1 * U I nU 2 I 2 U 2 I 2 n
* 1 1 *
u1i1 u2i2 0
* U1I1* U 2 I 2 0
理想变压器不再是动态元件，它既不储能也不耗能，只是将原边能量 向副边传递，传递过程中，按变比调整电压和电流。
理想变压器
U L1L2 M 2 j L L 2 M 1 2
j ( L1 L2 2M ) I I1 I 2 U 2 2 ( L1L2 M )
2 L L M 1 2 等效电感： L eq L1 L2 2M
L1L2 M 2 0
理想变压器
同名端方向变化后理想变压器的特性方程
u1 nu2 1 i1 i2 n
U1 nU 2 1 I1 I 2 n
n :1
+
i1
u1
－
N1
* *
i2 N2
+
u2
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： M k 1 L1、L2很大 L1L2
M L1L2
例题
已知电路及参数如图，试列出该电路的网孔电流方程组
1 1 R1 j L1 jC ) I1 jC j M I 2 U S I
1
1 1 R j L ) I j M 2 2 I1 R2 I1 2 jC jC
u1 (t ) nu2 (t ) 1 i1 (t ) i2 (t ) n
U1 nU 2 1 I1 I 2 n
理想变压器
理想变压器等效受控源模型
+
i1 u1
1 i2 n
i2
*
* +
+