立体图形体积
上海奥数精讲 第9讲讲义 立体图形的体积(教师)
教具准备1、课件:PPT、“引入”部分、”例4“和“例5”flash动画。
２、积木、橡皮泥。
教学难点不规则立体图形的体积计算教学重点熟练掌握长方体、正方体体积的计算，进一步掌握一些不规则立体图形体积的计算技巧。
教学目标通过对简单立体图形体积计算的学习，总结一些相关题型的解题方法，提高学生的观察能力、想象能力和推理能力。
第14讲立体图形的体积1、等底等高的两个三角形面积相等2、两个三角形高相等，面积之比等于它们的底之比；底相等，面积之比等于高之比3、夹在一组平行线之间的等底三角形面积6、两个平行四边形高相等，面积之比等于它们的底之比；底相等，面积之比等于高之比内容1、 体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、 立体图形体积计算公式长方形体积=长×宽×高正方体体积=边长×边长×边长 3、求不规则立体图形的体积，通常可以通过割、补的方法使之转化为规则图形以便于计算。
环节一：教学目标：激发学生对立体图形的体积产生浓厚的学习兴趣。
引入米老鼠师生共同审题；动画演示，激发兴趣。
环节二：教学目标：锻炼学生运用公式解决问题的能力。
例1【讲解过程】例2【讲解过程】环节三：教学目标：通过用割补法求立方图形体积，进一步熟悉空间概念。
20例３不规则立体图形的体积例４例5 学生自己读题，教师帮助理解题意。
师提问此题的解题关键是什么小组讨论，怎么把不规则图形变成规则图形。
教学目标：理解容积概念，进一步熟悉体积计算方法。
20动画演示，让学生直观感受容积。
１、师生共同读题，初步理解题意。
环节四：例6环节六：教学目标：整理全课思路，巩固收获、全课你学到了什么？、你能背出多少立体图形的体积公式？巩固目标：数量应用立体图形体积公式，锻炼掌握一般解题技巧。
【练习1】一条长2米的长方体木料，两端的横截面是正方形，从中间截成两段后，所有棱长之和增加了80厘米，求原来长方体木料的体积是多少立方米？ 80÷2÷4=10（厘米） 2米=200方法总结体现之处1趣味性体现之处板书设计示的人。
常用立体图形体积公式
常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。
立体图形的面积与体积计算
立体图形的面积与体积计算立体图形是我们生活中常见的物体，无论是日常生活中的物品，还是建筑、工程中的结构，都离不开立体图形的存在。
而了解立体图形的面积与体积计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解物体的特性，还可以应用于实际问题的解决中。
本文将从不同的立体图形出发，探讨其面积与体积的计算方法。
一、立方体的面积与体积计算立方体是最简单的立体图形之一，它的六个面都是正方形。
计算立方体的面积和体积非常简单，只需要知道它的边长即可。
立方体的面积等于六个面的面积之和，即6倍的边长的平方。
而立方体的体积等于边长的立方。
二、长方体的面积与体积计算长方体是另一种常见的立体图形，它的六个面中有两个相等的长方形。
计算长方体的面积和体积同样简单，只需要知道它的长、宽和高即可。
长方体的面积等于底面积加上四个侧面的面积之和，即2倍的长乘以宽加上2倍的长乘以高加上2倍的宽乘以高。
而长方体的体积等于底面积乘以高。
三、圆柱体的面积与体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体图形，它的侧面是一个矩形。
计算圆柱体的面积和体积需要知道它的底面半径和高。
圆柱体的底面积等于圆的面积，即π倍的半径的平方。
而圆柱体的侧面积等于矩形的面积，即底面周长乘以高。
圆柱体的面积等于底面积加上侧面积，即π倍的半径的平方加上底面周长乘以高。
而圆柱体的体积等于底面积乘以高。
四、球体的面积与体积计算球体是一个所有点到球心的距离都相等的立体图形。
计算球体的面积和体积需要知道它的半径。
球体的表面积等于4倍的π乘以半径的平方。
而球体的体积等于4/3倍的π乘以半径的立方。
五、金字塔的面积与体积计算金字塔是一个底面为多边形的立体图形，它的侧面是一个三角形。
计算金字塔的面积和体积需要知道它的底面积和高。
金字塔的侧面积可以通过底面积和高计算得出，即底面积乘以底面周长的一半。
而金字塔的面积等于底面积加上侧面积，即底面积加上底面周长乘以高的一半。
金字塔的体积等于底面积乘以高的一半。
通过以上几个常见立体图形的面积与体积计算方法，我们可以看到它们都有一定的规律可循。
立体几何中的体积与面积计算方法总结
立体几何中的体积与面积计算方法总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的物体的形状、大小以及相互关系。
在立体几何中，体积和面积是两个常见且重要的概念。
本文将总结一些常见的体积和面积计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、体积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等，可以直接通过公式计算其体积。
例如，长方体的体积公式为V = l × w × h，其中l、w、h分别表示长方体的长度、宽度和高度。
2. 分割求和法：对于一些复杂的几何体，可以通过将其分割成若干个简单的几何体，然后计算每个简单几何体的体积，最后将它们求和得到整个几何体的体积。
这种方法常用于计算不规则体的体积，如棱柱、棱锥等。
3. 旋转体积法：对于一些具有旋转对称性的几何体，可以通过旋转这个几何体得到一个旋转体，然后计算旋转体的体积，并乘以旋转角度的比例系数得到原几何体的体积。
这种方法常用于计算圆锥、圆台等几何体的体积。
二、面积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何形状，如矩形、正方形、圆形等，可以直接通过公式计算其面积。
例如，矩形的面积公式为A = l × w，其中l和w分别表示矩形的长度和宽度。
2. 分割求和法：对于一些复杂的几何形状，可以通过将其分割成若干个简单的几何形状，然后计算每个简单形状的面积，最后将它们求和得到整个几何形状的面积。
这种方法常用于计算不规则图形的面积，如多边形、曲线图形等。
3. 面积积分法：对于一些无法通过简单的公式计算的几何形状，可以利用面积积分的方法进行计算。
面积积分是将几何形状分割成无穷小的面元，然后对每个面元的面积进行积分得到整个几何形状的面积。
这种方法常用于计算曲面的面积。
三、应用举例1. 体积计算应用：在建筑工程中，需要计算房间的体积，以确定所需的建材数量。
在制造业中，需要计算产品的体积，以确定运输和储存的空间需求。
立体图形的体积
立体图形的体积什么是立体图形的体积？为什么我们需要计算立体图形的体积呢？立体图形的体积是指立体图形所占据的空间的大小，可以用于计算物体的容积、液体的体量等。
准确计算立体图形的体积对于建筑设计、制造产品和解决实际问题等方面都具有重要意义。
在数学中，计算立体图形的体积可以根据不同的立体图形使用不同的公式。
下面将介绍一些常见的立体图形及其体积计算方法。
1. 立方体的体积计算：立方体是一种所有边长相等的六个面全都是正方形的立体图形。
计算立方体的体积非常简单，只需要将边长相乘即可。
假设立方体的边长为a，则其体积V等于a * a * a，即V = a³。
2. 长方体的体积计算：长方体是一种拥有六个面，其中相对的两个面是相等的长方形的立体图形。
计算长方体的体积也很简单，只需要将长、宽、高相乘即可。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其体积V等于a * b * c。
3. 圆柱体的体积计算：圆柱体是一种由两个相等的平行圆面与一个侧面围成的立体图形。
计算圆柱体的体积需要知道底面半径r和高h。
圆柱体的体积V等于底面积πr²乘以高h，即V = πr²h。
4. 圆锥体的体积计算：圆锥体是一种由一个圆锥面和一个底面圆围成的立体图形。
计算圆锥体的体积也需要知道底面半径r和高h。
圆锥体的体积V等于底面积πr²乘以高h再除以3，即V = (πr²h) / 3。
5. 球体的体积计算：球体是一种所有点到球心距离都相等的立体图形。
计算球体的体积需要知道半径r。
球体的体积V等于4/3乘以πr³，即V = (4/3)πr³。
除了上述列举的立体图形外，还有很多其他形状的立体图形可以通过特定的公式来计算体积，如圆环、棱柱、棱锥等。
不同的立体图形都有相应的体积公式，掌握这些公式能帮助我们准确计算立体图形的体积。
总结起来，立体图形的体积计算是根据不同的形状使用相应的公式来求解。
立体图形的体积计算
圆柱体的体积计算 可以通过底面积乘 以高来实现，也可 以通过积分来求解。
圆柱体的体积计算在 日常生活和工程中有 着广泛的应用，如计 算圆柱形物体的容积 、液体容量等。
圆柱体的体积计算是 立体几何中一个重要 的知识点，对于理解 三维空间和立体图形 的性质具有重要意义 。
圆锥体的体积公式：V=1/3πr²h 圆锥体的体积计算方法：先求出底面积和高，再代入公式计算 圆锥体的体积计算实例：以实际题目为例，演示如何计算圆锥体的体积 圆锥体的体积计算注意事项：强调计算过程中需要注意的事项，如单位统一等
立体图形的体积计算
汇报人：XX
目录
立体图形的种类
立体图形体积计算 的基本公式
立体图形体积计算 的应用
立体图形体积计算 的注意事项
立体图形体积计算 的练习题
立体图形的种类
长方体的体积公式：V=a×b×c，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。
体积计算中需要注意的要点：长、宽、高的尺寸单位需要统一，计算时按照顺序进行乘法运 算。
一个圆柱体的体积是 314立方厘米，它的底 面积是314平方厘米， 它的高是多少厘米？
一个圆锥体的体积是 12.56立方厘米，它的 底面积是12.56平方厘 米，它的高是多少厘米？
计算正方体的体积：边长为6cm，求体积。 计算长方体的体积：长为8cm，宽为4cm，高为3cm，求体积。 计算圆柱体的体积：底面半径为4cm，高为5cm，求体积。 计算圆锥体的体积：底面半径为6cm，高为8cm，求体积。
立体图形体积的教案
立体图形体积的教案1.1 教案背景本教案旨在通过教学使学生掌握立体图形的体积计算方法，培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
1.2 教学意义通过学习立体图形的体积，学生能够更好地理解三维空间的概念，提高解决实际问题的能力。
1.3 教学方法采用讲解法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、知识点讲解2.1 立体图形的定义立体图形是三维空间中的图形，它有长度、宽度和高度三个维度。
2.2 体积的概念体积是指立体图形所占空间的大小，通常用立方单位（如立方米、立方分米等）来表示。
2.3 立体图形体积的计算方法常用的立体图形体积计算方法有：正方体体积公式、长方体体积公式、圆柱体体积公式、圆锥体体积公式等。
三、教学内容3.1 教学案例以正方体、长方体、圆柱体和圆锥体为例，讲解它们的体积计算方法。
3.2 实践操作学生分组进行实践操作，利用立体图形体积计算公式，计算给定立体图形的体积。
3.3 解决问题学生分组讨论，解决实际问题，如计算一个物体放入容器中是否能够溢出等。
四、教学目标4.1 知识与技能学生能够掌握正方体、长方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，并能够应用于实际问题中。
4.2 过程与方法通过实践操作，培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
4.3 情感态度与价值观培养学生对数学学科的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
五、教学难点与重点5.1 教学难点立体图形体积的计算方法，特别是圆锥体体积的计算方法。
5.2 教学重点正方体、长方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，以及体积计算公式的应用。
六、教具与学具准备6.1 教具准备实体正方体、长方体、圆柱体和圆锥体模型直尺、剪刀、胶水等手工制作工具投影仪或白板6.2 学具准备正方体、长方体、圆柱体和圆锥体卡片或模板6.3 教学资源相关立体图形体积计算的电子教案和课件立体图形体积计算的相关视频资料七、教学过程7.1 导入新课通过展示实体模型，引导学生观察和描述立体图形的特点提问学生关于立体图形的体积的定义和计算方法的问题7.2 知识点讲解使用PPT或板书，讲解正方体、长方体、圆柱体和圆锥体的体积计算公式引导学生通过实际操作，验证体积计算公式的正确性7.3 实践操作学生分组进行实践操作，利用立体图形体积计算公式，计算给定立体图形的体积学生展示自己的成果，并讲解计算过程7.4 解决问题学生分组讨论，解决实际问题，如计算一个物体放入容器中是否能够溢出等学生展示解决问题的过程和答案八、板书设计8.1 正方体体积计算公式边长 × 边长 × 边长8.2 长方体体积计算公式长度 × 宽度 × 高度8.3 圆柱体体积计算公式底面半径 × 底面半径 × 高8.4 圆锥体体积计算公式底面半径 × 底面半径 × 高 ÷ 3九、作业设计9.1 巩固练习学生完成课后练习题，包括正方体、长方体、圆柱体和圆锥体的体积计算题目学生通过计算器验证答案的正确性9.2 拓展思考学生思考并回答如何计算更复杂的立体图形的体积学生探讨如何将体积计算方法应用于实际生活中的问题9.3 创新实践学生设计一个立体图形，并计算其体积学生展示自己的设计成果，并讲解计算过程十、课后反思及拓展延伸10.1 课后反思教师和学生一起回顾本节课的学习内容，总结立体图形体积计算的方法和应用教师和学生一起讨论教学过程中的优点和不足，提出改进措施10.2 拓展延伸学生通过阅读相关书籍、查找网络资源，深入了解立体图形的体积计算的原理和应用学生参加相关数学竞赛或活动，提高自己的数学水平和解决问题的能力以上是立体图形体积的教案，希望对您有所帮助。
以正方体为例,理解立体图形的体积——体积计算教案
以正方体为例，理解立体图形的体积——体积计算教案一、教学目标1. 学习了解什么是正方体及其性质；2. 学习理解什么是体积以及如何计算正方体的体积；3. 培养学生的立体空间想象力和计算能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：正方体及其性质，体积的计算方法；2. 教学难点：计算公式的理解和运用。
三、教学内容1. 正方体的概念及性质立体图形是指三维空间内具有一定形状的物体，其中最基本的一种为正方体。
正方体是一种六个面都相等的立方体，具有以下特点：(1)六个面都是正方形，且相邻两个面之间互相平行；(2)八个顶点的坐标相同，坐标分别为$(\pm a, \pm a, \pma)$；(3)其两对相对面平行且相等，其中每一对相对的面都呈现出相似的图案。
2. 体积的计算方法体积，是指三维图形所占的空间大小，常用单位为立方米。
正方体的体积计算公式为：V=a\times a\times a=a^3其中，a为正方体的边长。
3. 实例讲解以一边长为3cm的正方体为例，其体积为：V=3\times 3\times 3=27(cm^3)四、教学过程1. 导入（1）教师简单介绍本节课将学习的内容，并让学生回顾前面学习的各种图形的面积计算方法，如矩形、三角形等。
（2）引入正方体的概念，引导学生对正方体的内涵进行深入理解。
2. 体验（1）学生们进行实物观察，先分别比较不同尺寸的正方体边长等其他区别，进而加深理解对正方体的特征与性质。
（2）学生根据所观察到的正方体的边长，计算它们的体积。
3. 讲解（1）讲解体积的概念并引入正方体的体积计算公式。
（2）尝试用公式进行计算，并进行错误订正。
4. 训练（1）结合实例和计算公式进行训练，加强正方体体积计算的练习技能。
（2）巩固练习，循序渐进，加快速度，让学生举一反三，独立解决各种难度的题目。
5. 练习（1）教师出题，学生学以致用进行练习。
（2）分小组进行研究交流，促进互相学习。
（3）学生自己编制出可以上课讲解的题目和答案，进行小组讲解并检验，促进分组合作，培养能力。
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二、合学 展学 小组活动（二）
要求： 想一想，在小组内说一说圆柱、
圆锥的体积公式的推导过程，并完 成学习单上的活动（二）。
知识梳理
圆柱体积的推导
底面积
高 高
长方体的体积=底面积 × 高
圆柱的体积 = 底面积 × 高
V=Sh
知识梳理
圆锥体积的推导
圆锥的体积等于与它 等底等高圆柱体积的 三分之一。
答：这个石块的体
40cm
积是3200立方厘米。 40cm
2cm
40cm
40cm
2.一根圆柱形木材长20分米, 截 成2个相等的小圆柱体， 表面积 增加了18平方分米， 每段小圆 柱体积是多少？
延学
3、粮场有一堆圆锥形的粮堆，底面周长
约为18.84米，高约2米。如果每立方米
的小麦约重700千克，这堆小麦约重多少
圆锥的体积=1 × 圆柱的体积 ＝ 1 × 底面积×高
33Ⅴ圆锥来自=13Ⅴ圆柱
=1
3
sh
h
a
b
a aa
hh
ss
V= abh V=
a3
V= sh
V=
1
3
sh
V = sh
正方体、长方体和圆柱有什 么相似的地方呢？
二、合学 展学
（三）想一想 ，填一填。
1.什么是物体的容积？ 容器所能容纳物体的体积
叫做物体的容积。 2. 计量容积一般用（ 体积）单位， 计量液体的体积常用的容积单位 （ 升 ）和（毫升 ）。
千克？
R：18.84 3.14 2=62=3（米）
V锥=
1 3
×3.14×32×2=18.84（立方米）
重：18.84 ×700=13188（千克）
答：这堆小麦约重13188千克.
拓展延伸
一个圆柱体被截去5厘米后，剩下的 的圆柱高是10厘米，并且圆柱的表面积减 少了62.8平方厘米，原来圆柱的体积是多 少立方厘米？
延学
（一）判一判（对的打√，错的打×）
1）圆锥的体积是圆柱的
1 3
。（
X）
2）一个正方体的棱长是6分米，它的表面积 和体积相等。 （ X ）
3）把一个圆柱体沿中间截成两个小圆柱体 后，它的表面积和体积都是原来的1/2。 (X )
延学
（二）求下列图形的体积（只列式不计算）
V长=4 ×2× 3
V正=6 × 6 × 6
一、自学
1. 32立方米＝（32000 ）立方分米 1.2立方分米＝（ 1200 ）立方厘米 8立方分米=（ 8 ）升 4.6升=（ 4600 ）毫升
2.什么是物体的体积？
立体图形体积的整理和复习
封开县江口镇中心小学
二合、学合展学学展学 小组活动（一） 要求：
想一想，在小组内说一说长方 体、正方体的体积公式的推导过程， 并完成学习单上的活动（一）。
V柱=3.14× 32×7
V锥= 1 ×3.14 ×(6 22）×8
3
延学 (三）实践应用
1.一个正方体水箱，棱长是40厘米。如果将一个石块
浸入水中，水面上升2厘米。这个石块的体积是多少？
不规则图形 转化 规则图形 上升的水的体积就是不规则石块的体积。
40×40×2
= 1600 × 2 = 3200（立方厘米）