大一微积分下册经典题目与解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y y y x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数x yz arcsin =的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim 00+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ;（2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y zx z ; （3）设zyx u =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23yx z∂∂∂ 5.)11(yx ez +-=，试化简y z y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

（1） X 和Y 当前的价格弹性是多少？（2） 假定Y 降价后，使QY 增加到300个单位，同时导致X 的销量Qx 下降到75个单位，试问X 公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式：)/12121212Py Py Py Py Qx Qx Qx Qx Erx +-+-=2.假设市场由A 、B 两个人组成，他们对商品X 的需求函数分别为： Px I K D Px I K D B B B A A A /;/)(Pr =+= （1）商品X 的市场需求函数；（2）计算对商品X 的市场需求价格弹性；若Y 是另外一种商品，Pr 是其价格，求商品X 对Y 的需求交叉弹性3.求下列函数的全微分（1）ts ts u -+=（2）设z y xz y x f 1)(),,(=，求)1,1,1(df（3）)1ln(22y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=∆=∆==y x y x 的全增量z ∆和全微分dz4.计算33)97.1()02.1(+的近似值习题8-4多元复合函数的求导法则1.填空题（1）设v u z ln 2=而y x v y x u 23,-==，则____________________,=∂∂=∂∂yz x z （2）设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则_________=dtdz（3）设1)(2+-=a z y e u ax ,而xz x a y cos ,sin ==，则________=dxdu（4）设)arctan(xy z =,而xe y =，则________=dxdz（5）设),(22xye y xf u -=，则___________________,=∂∂=∂∂yux u （6）),,(xyz xy x f u =，则________=∂∂xu（1）∑∞=12n nn2.设f y x yf xy f xz ),()(1++=具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂23.设f y xx f z ),,(=具有二阶连续偏导数，求22xz ∂∂4.设f xy x xf z ),,2(2=，具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2.5.设f ey x f z yx ),,cos ,(sin +=，具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂7.设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：22222z z a t x∂∂=∂∂ 习题8-5隐函数的求导公式1.填空题：（1）设arctany x=，则________=dx dy（2）设022=-++xyz z y x ，则______________,=∂∂=∂∂yzx z（3）设y z z x ln =，则___________________,=∂∂=∂∂yz x z （4）设zx y z =，则_________________,=∂∂=∂∂yz x z 2.设xyz e z=，求yx z∂∂∂23.设333a xyz z =-，求yx z∂∂∂24.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求yzx z ∂∂+∂∂ 5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=203222222z y x y x z ，求dx dz dx dy , 6.设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数，求dxdy 7.设由方程0),(=++x zy y z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数，证明： xy z yz y x z x -=∂∂+∂∂ 8.设),(),,(),,(y x z x z y y z y x x ===，都是由方程0),,(=z y x F 所确定的有连续偏导数的函数，证明：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x习题8-6多元函数的极值及其应用1.填空题：（1）gy x xy y x z +-+-=4222z 驻点为_____________ （2）22)(4),(y x y x y x f ---=的极_____值为_______________ （3）)2(),(22y y x e y x f x++=的极______值为_________________ （4）xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值为____________________（5）22),(y x x y x f u --==在{}1,22≤+=y x y x D 上的最大值为______________，最小值为______________2.从斜边长为L 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：姓名：学号：3.旋转抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离微积分练习册[第八章]多元函数微分学4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为)0(,)24(,)3(>>----βααββαy y x x y x ，求使产鱼总量最大的放养数班级：姓名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为βα212x x Q =，其中βα,为正常数，且1=+βα，假设两种要素的价格分别为1p 和2p ，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册[第九章]二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1.填空题（1）当函数),(y x f 在闭区域D 上_________时，则其在D 上的二重积分必定存在 （2）二重积分⎰⎰Dd y x f δ),(的几何意义是_____________________________________（3）若),(y x f 在有界闭区域D 上可积，且21D D D ⊃⊃，当0),(≥y x f 时，则⎰⎰⎰⎰21),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ；当0),(≤y x f 时，则⎰⎰⎰⎰21),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ（4）δδ______________)sin(22⎰⎰+Dd y x ，其中δ是圆域2224≤+y x 的面积，πδ16=（注：填比较大小符号）2.比较下列积分的大小： (1)⎰⎰+=Dd y x I δ21)(与⎰⎰+=Dd y x I δ32)(其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线1=+y x 所围成(2)1ln()DI x y d δ=+⎰⎰与22ln()DI x y d δ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰，其中 {}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D3.估计下列积分的值 （1）(1)DI xy x y d δ=++⎰⎰，其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D（2）22(49)DI x y d δ=++⎰⎰，其中{}4),(22≤+=y x y x D 4．求二重积分221x y δ+≤⎰⎰5.利用二重积分定义证明(,)(,)DDkf x y d k f x y d δδ=⎰⎰⎰⎰（其中为k 常数）习题9-2利用直角坐标计算二重积分1.填空题 （1）323(3)______________Dxx y y d δ++=⎰⎰其中10,10 ≤≤≤≤y x D ：(2)cos()___________Dx x y d δ+=⎰⎰其中D ：顶点分别为),(),0,(),0,0(πππ（的三角形闭区域(3)将二重积分(,)Df x y d δ⎰⎰，其中D 是由x 轴及上半圆周)0(222≥=+y r y x所围成的闭区域，化为先y后x 的积分，应为__________________________________ （4）将二重积分(,)Df x y d δ⎰⎰，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=x xy 所围成的闭区域，化为先x 后y 的积分，应为_________________________________（5）将二次积分dy y x f dx x x x ⎰⎰--222 21 ),( 改换积分次序，应为______________________（6）将二次积分dy y x f dx x⎰⎰sin 2x sin- 0),( π改换积分次序，应用______________________（7）将二次积分22121 2-lny1(1) (,)(,)ey dy f x y dx f x y dx --+⎰⎰⎰⎰改换积分次序，应为______________________ （8）将二次积分dx y x f dy dx y x f dy yy⎰⎰⎰⎰-+3 13 0201),(),( ，改换积分次序，应为_____________________2.计算下列二重积分： (1)22xy Dxye d δ+⎰⎰,其中{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),((2)22()Dxy d δ+⎰⎰,其中D 是由直线x y y ==,2，及x y 2=所围成的闭区域.(3)⎰⎰-Ddxdy x y 2,其中20,11≤≤≤≤-y x D ：3.计算二次积分11yxdy e dx ⎰4.交换积分次序，证明：⎰⎰⎰--=ax a m adx x f e x a dx x f 0)(0yx)-m(a )()()(e dy5.求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.习题9-3利用极坐标计算二重积分1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 ①⎰⎰≤+=+xy x dxdy xyy x f 22222_________________)arctan ,(;②{}⎰⎰=>≤+≤=+Dy x dxdy ex y y x y x D ____________,,41),(2222（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分①222 0 0()____________,(0)adx f x y dy a+=⎰②11________________;dx f dy =⎰⎰③2(arctan )________________;xydx f dy x=⎰⎰④21(,)________________.x dx f x y dy =⎰⎰2.计算下列二重积分 (1)22ln(1)Dx y d δ++⎰⎰,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域. (2)⎰⎰+Ddxdy y x 221,其中D 是由曲线2x y =与直线x y =所围成的闭区域.(3)Dδ,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的闭区域(4)(2)222Dx y d δ+-⎰⎰,其中(2)3:22≤+y x D .3.计算二重积分2()Dy x d δ-⎰⎰，其中D 由不等式0,,222≥≤++≤y R y x x R y 确定（注意选用适当的坐标）4.计算以xoy 面上的圆周22(0)x y ax a +=>围成的区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程习题10-1微分方程的基本概念1.填空题（1）方程0ln 3)(42=+'-''x y y y x 称为__________阶微分方程（2）设),,,(21n c c c x y y =是方程y y x y 2+''-'''的通解，则任意常数的个数n=____________ （3）设曲线)(x y y =上任一点),(y x 的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程____________（4）设曲线)(x y y =上任一点),(y x 的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a ，则曲线所满足的微分方程________________（5）某人以本金0p 元进行一项投资，投资的年利率为γ，若以连续复利计，t 年后资金的总额为___________)(=t p（6）方程 0xy x ydx =+⎰可化为形如_______________微分方程2.已知ktce Q =满足微分方程0.03dQQ dt=-，问C 和K 的取值应如何？ 3.、若可导函数)(x f 满足方程 0()2()1(1)xf x tf t dt =+⎰，将（1）式两边求导，得)2()(2)( x xf x f ='易知c ce x f x ()(2=为任意常数）是（2）的通解，从而2()x f x ce =为（1）的解，对吗？ 4.证明：x x c x c y ln 21+=是微分方程02=+'-''y y x y x 的通解.习题10-2一阶微分方程(一)1.求下列微分方程的通解：（1）2211x y y --=' (2)230y xe y y +'+=(3)0sec )2(tan 32=-+ydy e ydx e x x2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）4,sin cos cos sin 0π===x y xdx y xdy y（2）1,0110==+-+=x y dy xy dx y x3镭的衰变速度与它的现存量R 成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量0R 的一半，试求镭的量R 与时间t 的函数关系微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程习题10-2一阶微分方程（二）1.填空题（1）设y *是)()(x Q y x p dx dy=+的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解为___________ （2）x e x x y 1-=*是方程x xe y y x =+'的一个特解，则其通解为+-=*x e xx y 1___________（3）微分方程0ln 2=-+'x y y y x 作变换____________可化为一阶线性微分方程 （4）0)()(=-+'+y x y y x 的通解为______________（5）(12)2(1)0x x y yxe dx e dy y++-=的通解为______________ 2.求下列微分方程的通解： (1)232++=+'x x y y x(2)0)2(22=+'--y y y xy x3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：cos 2cot 5,4x x dyy x e y dxπ=+==-4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：（1）2)(y x dxdy+= (2))ln (ln y x y y y x +=+'5.已知一曲线过原点，且它在点),(y x 处切线的斜率等于y x +2，求该曲线的方程6.设)(x f 可微且满足关系式[] 02()1()1xf t dt f x -=-⎰,求)(x f习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用1.已知某商品的需求价格弹性为)1(ln +-=P P EPEQ，且当P=1时，需求量Q=1 (1)求商品对价格的需求函数（2）当+∞→P 时，需求量是否趋于稳定？2.已知某商品的需求量Q 对价格P 的弹性23P η=，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数 3.已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：bp S P aQ ==,2其中0,0a b >>为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足[]()() (dpk Q p S p k dt=-为正常数） 假设当0=t 时，价格为1，试求：(1) 需求量等于供给量的均衡价格e P (2) 价格函数()p t (3) )(lim t p t +∞→4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为N 101，在任意时刻t 已掌握新技术人数为)(t x ，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k求)(t x5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。