2020年数学中考圆压轴题专项训练,历年中考圆真题及答案
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》1．如图，在等边△ABC中，已知AB＝8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN＝3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C 圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．（1）填空：∠DCE＝60 度，CN＝ 5 cm，AM＝4cm．（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠ACD＝∠BCE，∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠BCD+∠CAD＝∠ACB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝60°；∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，∴BC＝AB＝8cm，CM＝BC＝×8＝4cm，在Rt△CMN中，CN＝＝＝5cm；在Rt△ACM中，AM＝＝＝4cm；（2）过点C作CF⊥PQ于F，∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，∴CF＝BC＝×8＝4cm，连接CP，则PC＝CN＝5cm，在Rt△PCF中，PF＝＝＝3cm，由垂径定理得，PQ＝2PF＝2×3＝6cm；（3）①如图，点D在MA的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBQ＝∠CAM＝30°，与（2）同理可求PQ＝6cm，②如图，点D在AM的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，与（2）同理可求PQ＝6cm，综上所述，PQ的长度不变都是6cm．故答案为：（1）60，5，4；（3）6，6．2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC 与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝CG•CA；（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．解：（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠OEB＝∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE＝90°，∴∠OEB+∠EBF＝90°，∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OF⊥BD，∴＝，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DCG∽△ACD，∴＝，∴CD2＝AC•CG；（3）∵OA＝OB，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠CDB＝∠CAO，∴∠ACO＝∠CDB，而∠CFD＝∠GFC，∴△CDF∽△GCF，∴＝，又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，∴△DCG∽△ABG，∴＝，∴＝，∵r＝，BG＝，∴AB＝2r＝5，∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝＝．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△ABC的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．5．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD 于G，连接BG，求BG的最小值．（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan∠A＝，∴tan∠CBD＝tan∠A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝9 ．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．8．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为4﹣2；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．9．已知：AB为⊙O的直径，，D为AC上一动点（不与A、C重合）．（1）如图1，若BD平分∠CBA，连接OC交BD于点E．①求证：CE＝CD；②若OE＝1，求AD的长；（2）如图2，若BD绕点D顺时针旋转90°得DF，连接AF．求证：AF为⊙O的切线．（1）①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵，∴∠CBA＝∠BAC＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠CED＝∠CBD+∠BCE，∠CDE＝∠ABD+∠BAC，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD；②解：如图1，取BD中点G，连接OG，∵O为AB的中点，∴AD＝2OG，OG∥AD，∴∠OGE＝∠CDE，∵∠OEG＝∠CED，∠CED＝∠CDE，∴OG＝OE＝1，∴AD＝2OG＝2；（2）证明：如图2，在BC上截取BP＝AD，连接DP，∵∠CBA＝∠BAC＝45°，∴BC＝AC，∴CP＝CD，∴∠CPD＝45°，∴∠BPD＝135°．，由旋转性质得，∠BDF＝90°，BD＝FD，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∵∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠ADF，∴△DFA≌△BDP（SAS），∴∠FAD＝∠DBO＝135°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．10．若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧的长度和线段AC扫过的扇形面积；（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∴AC＝6，∵边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，∴∠CAC′＝60°，∴的长度＝＝2π，线段AC扫过的扇形面积＝＝12π；（Ⅱ）解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′＝AB′＝6，在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，∴BC′＝6﹣6，∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，∴△BC′E是等腰直角三角形，∴C′E＝BC′＝12﹣6，∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；（Ⅲ）如图3，连接DB，AC相交于点O，则O是DB的中点，∵F为线段BC′的中点，∴FO＝AB′＝3，∴F在以O为圆心，3为半径的圆上运动，∵DO＝3，∴DF最大值为3+3，DF的最小值为3﹣3，∴DF长的取值范围为3﹣3≤DF≤3+3．11．如图所示，A是线段BF延长线上的点，矩形BCDF的外接圆⊙O过AC的中点E．（1）求证：BD＝AF；（2）若BC＝4，DC＝3，求tan∠BAC的值；（3）若AD是⊙O的切线，求的值．解：（1）在矩形BCDF中，BD＝FC，BF＝DC，∠FDC＝90°，∴FC为圆O的直径，∴∠FEC＝∠FDC＝90°，即FE⊥AC，∵E是AC的中点，∴AF＝FC，∴BD＝AF；（2）在Rt△BCD中，BC＝4，DC＝3，根据勾股定理得：BD＝＝＝5＝AF，BF＝DC＝3，∴AB＝AF+BF＝5+3＝8，∴在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；（3）∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AD是⊙O的切线，∴∠ADB＝90°＝∠BCD，∵∠ABD＝∠BDC，∴△ABD∽△BDC，设DC＝BF＝a，AF＝FC＝c，∵＝，∴a2+ac﹣c2＝0，解得：a＝c，（负值舍去），∴＝．12．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°．（1）证明：连接OD，∵DN为⊙O的切线，∴∠ODM＝∠ABC＝90°，在Rt△BOM与Rt△DOM中，，∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，∵∠C＝，∴∠BOM＝∠C，∴OM∥AC，∵BO＝OC，∴BM＝AM，∴AM＝DM；（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN＝，∴tan∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∴∠C＝30°，∵BC＝2OC＝2，∴AB＝BC＝，∴△ABC的面积为AB•BC＝×2＝；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°，理由：∵四边形COMD为平行四边形，∴DN∥BC，∴∠DON＝∠NDO＝90°，∴∠C＝DON＝45°，故答案为：，45°．13．如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A 作⊙O 切CP 于点P ，设BP ＝x ．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时⊙O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当x ＝4时，如图2，⊙O 与AC 交于点Q ，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧长度的大小；（3）当⊙O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．解：（1）如图1，AP 经过圆心O ，∵CP 与⊙O 相切于P ，∴∠APC ＝90°，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠DAB ∴＝tan ∠PBC ＝tan ∠DAB ＝，设CP ＝4k ，BP ＝3k ，由CP 2+BP 2＝BC 2，得（4k ）2+（3k ）2＝152，解得k 1＝﹣3（舍去），k 2＝3，∴x ＝BP ＝3×3＝9，故当x ＝9时，圆心O 落在AP 上；∵AP 是⊙O 的直径，∴∠AEP ＝90°，∴PE ⊥AD ，∵▱ABCD ，∴BC ∥AD∴PE ⊥BC（2）如图2，过点C 作CG ⊥AP 于G ，∵▱ABCD ，∴BC∥AD，∴∠CBG＝∠DAB∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，∴AG＝AB+BG＝3+9＝12∴tan∠CAP＝＝＝1，∴∠CAP＝45°；连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，在Rt△CPG中，＝＝13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°∴∠OPH＝∠PCG∴△OPH∽△PCG∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，∴OP＝∴劣弧长度＝＝，∵＜2π＜7∴弦AP的长度＞劣弧长度．（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∵∠DAB＝∠CBP，∴∠CPM＝∠CBP∴CB＝CP，∵CM⊥AB∴BP＝2BM＝2×9＝18，∴x≥1814．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：如图1，∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠PAO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠PAO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠PAO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OPA＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵PA⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD 的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB 的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．（1）求证：△AMB为等腰直角三角形：（2）求证：OE＝OF；（3）连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．解（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵M是弧AB的中点，∴＝，∴MA＝MB，∴△AMB为等腰直角三角形．（2）连接OM，由（1）得：∠ABM＝∠BAM＝45°，∠OMA＝∠OMB＝45°，∴，∴∠MOE+∠BOE＝90°，∵∠COD＝90°，∴∠MOE+∠MOF＝90°，∴∠BOE＝∠MOF，在△OBE和△OMF中，，△OBE≌△OMF（ASA），∴OE＝OF（3）解：△EFM的周长有最小值．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴，∵△OBE≌△OMF，∴BE＝MF，∴△EFM的周长＝EF+MF+ME＝EF+BE+ME＝EF+MB＝当OE⊥BM时，OE最小，此时，∴△EFM的周长的最小值为．。
2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题及答案
2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题及答案一、圆的综合1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（29）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题1、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．2、如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC为⊙O的切线．（2）若sinA=，BC=6，求⊙O的半径．3、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．4、如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．5、如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，O是△AB C内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC。
连接DF、EG。
(1) 求证：AB=AC(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.8、如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．9、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长．10、如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB 为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．11、在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．12、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F 两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．13、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．14、如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．15、如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．17、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．18、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．参考答案：1、【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．2、【解答】（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是，∴∠A=∠E，又∵∠E+∠C=90°，∴∠A+∠C=90°，在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AB为直径，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵sinA=，BC=6，∴=，即=，解得AC=10，由勾股定理得，AB===8，∵AB为直径，∴⊙O的半径是×8=4．3、【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∵PC2=PE•PO，∴PC：PO=PE：PC，而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE∽△OPC，∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3，即⊙O的半径为3．4、【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴DE2=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴=，即=，∴PD=4．5、【解答】解：（1）连接OC．∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2，∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠ACO=90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；（2）由题意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，在直角△BCD中，BC===2．又AC=BC，∴AC=2．作CE⊥AB于点E．在直角△BEC中，∠B=30°，∴CE=BC=，=AB•CE=×6×=3．∴S△ABC6、【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．7、解析：（1）证明：∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴AD＝AE．∴∠ADE＝∠AED．∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．（2）解：如图，连接AO，交DE 于点M，延长AO 交BC 于点N，连接OE、DG．设⊙O 的半径为r．∵四边形DFGE 是矩形，[来源:学科网]∴∠DFG＝90°．∴DG 是⊙O 的直径．∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC．又OD＝OE，∴AN 平分∠BAC．又AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝12BC＝6．在Rt△ABN 中，AN＝＝8．∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°．又∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN．．∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°．又∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN．∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为60 17·8、【解答】证明：（1）∵过⊙O上的两点A、B分别作切线，∴∠CAO=∠DBO=90°，在△ACO和△BDO中∵，∴△ACO≌△BDO（ASA）；（2）∵△ACO≌△BDO，∴CO=DO，∵OM⊥CD，∴MC=DM，EM=MF，∴CE=DF．9、【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC，∴四边形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等边三角形，∴∠AOD=∠COD=60°，∴∠FOB=60°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中，∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=．∵∠E=30°，∴EF=2BF=2．10、【解答】（1）证明：∵AE=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠CBE，∴∠CBE=∠BAC，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC==10，∴，解得：AD=6.4，∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．11、【解答】（1）证明：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，连接EF，∵BF为圆的直径，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．12、【解答】解；（1）连接OD，∴∠AOB=90°，∵CD∥OB，∴∠OCD=90°，在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=，∴OD=2CO，设OC=x，∴x2+（）2=（2x）2，∴x=1，∴OD=2，[来源:Z|xx|]∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠CDO==，∴∠CDO=30°，∵FD∥OB，∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S圆=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE=×+﹣=+．13、【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PA C，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，∴4a2=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．14、【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵B C2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．15、【解答】解：（1）如图，连接OM，∵直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD=90°，∴∠BME+∠OMB=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°．∴∠AMO+∠OMB=90°，∴∠BME=∠AMO，∵OA=OM，∴∠MAB=∠AMO，∴∠BME=∠MAB；（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，∵BE⊥CD，∴∠BEM=∠AMB=90°，∴△BME∽△BAM，∴，[来源:学科网]∴BM2=BE•AB；（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，∵sin∠BAM=，∴sin∠BME=，在Rt△BEM中，BE=，∴sin∠BME==，∴BM=6，在Rt△ABM中，sin∠BAM=，∴sin∠BAM==，∴AB=BM=10，根据勾股定理得，AM=8．16、【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为人，在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，根据勾股定理得：AB==12，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC=90°，∵∠B=∠B，∴△BOE∽△BCA，∴=，即=，解得：r=；（2）∵=，∠F=2∠B，∴∠AOE=2∠F=4∠B，∵∠AOE=∠OEB+∠B，∴∠B=30°，∠F=60°，∵EF⊥AD，∴∠EMB=∠CAB=90°，∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB=90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，∵BC为圆O的切线，∴CA=CE，∴平行四边形ACEF为菱形．[来源:学|科|网]17、【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD===4，∴S△OCD===8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．18、【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ODA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠CAB．（2）①DF=DH，理由如下：∵FH平分∠AFE，∴∠AFH=∠EFH，又∠DFG=∠EAD=∠HAF，∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，即∠DFH=∠DHF，∴DF=DH．②设HG=x，则DH=DF=1+x，∵OH⊥AD，∴AD=2DH=2（1+x），∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，∴，∴x=1，∵DF=2，AD=4，∵AF为直径，∴∠ADF=90°，∴AF=∴⊙O的半径为．。
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(含答案)
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴S△AED ＝S△AOD，∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝4，∵BC＝3，∴AC＝＝＝．3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．（1）证明：连接OE ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，又∵∠DAE ＝∠OAE ，∴∠OEA ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ，∴∠ADC ＝∠OEC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，故∠OEC ＝90°．∴OE ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；理由：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，又∵AF＝FG，∴F为BG的中点∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直径BC＝．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；②若BE＝BQ＝3，求BP的长；（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，∴BE＝AE＝EQ，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠QEB＝2∠EBP，∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，∴∠QPB＝2∠AQP，故答案为：∠QPB＝2∠AQP；②∵BE＝BQ，∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，∴∠BPQ＝∠BQE，∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，∴，∴，∴BP＝（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，∵AP＝3，AB＝6，∴BP＝3，∴PQ＝＝＝，∵OE⊥PQ，∴QE＝PE＝，∵cos∠PQB＝＝，∴＝∴OQ＝5，∴⊙O的半径为5；②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵BC是⊙O切线，∴OQ⊥BC，且AB⊥BC，∴OQ∥AB，∴∠OQP＝∠BPQ，∴cos∠OQP＝cos∠BPQ，∴，∴∴OQ＝；如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵AB是⊙O切线，∴OP⊥AB，且AB⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPQ＝∠PQB，∴cos∠OPQ＝cos∠PQB，∴∴，∴OP＝5；如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H 点，∴OM⊥AD，且BC∥AD，∴OF⊥BC，∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°，∴四边形AHOM，OHBF是矩形，∴OM＝AH，OH＝BF，∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2，∴OQ＝5﹣若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H 点，同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2，∴OQ＝35﹣6．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）求证：∠A＝∠CBD．（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O 相切，并说明理由．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD；（2）BM＝．理由如下：如图，连接OD，DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝8，OA＝5，∵∠A＝∠CBD，∵Rt△CBD∽Rt△BAD，∴＝，即＝，解得BC＝取BC的中点M，连接DM、OD，如图，∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，∴DM＝BM，∵∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∴DM为⊙O的切线，此时BM＝BC＝．8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．阴影11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形C FEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10 ，最小值为 6 ．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为 4 ；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AD＝DC＝4，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝＝8，∴⊙O的半径为4．15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN＝MN＝，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1＝，∴x＝，∴O′H＝＝＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．。
2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)
2020中考数学 压轴专题 圆的综合（含答案）1. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第1题图（1）证明：如解图，连接OB ，第1题解图⊙PB 是⊙O 的切线，⊙⊙PBO ＝90°，⊙OA ＝OB ，BA ⊙PO 于点D ，⊙AD ＝BD ，⊙点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，⊙⊙APO ＝⊙BPO ，⊙⊙ADP ＝⊙BDP ＝90°，⊙⊙APD ⊙⊙BPD ，⊙AP ＝BP ，在⊙P AO 和⊙PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ⊙APO ＝⊙BPO OP ＝OP，⊙⊙P AO ⊙⊙PBO （SAS ），⊙⊙P AO ＝⊙PBO ＝90°，⊙OA 为⊙O 的半径，⊙直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：⊙⊙P AO ＝⊙PDA ＝90°，⊙⊙OAD ＋⊙AOD ＝90°，⊙OP A ＋⊙AOP ＝90°，⊙⊙OAD ＝⊙OP A ，⊙⊙OAD ⊙⊙OP A ，⊙OA OP ＝OD OA，即OA 2＝OD ·OP ， 又⊙EF ＝2OA ，⊙EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：⊙OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，⊙OD ＝12BC ＝3， 设AD ＝x ，⊙tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12， ⊙DF ＝2x ，⊙OA ＝OF ＝2x －3，在Rt⊙AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，⊙OA ＝2x －3＝5，⊙AC 为⊙O 的直径，⊙AC ＝2OA ＝10.2. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊙AC ，垂足为点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD ，第2题解图 G⊙OB ＝OD ，⊙⊙ODB ＝⊙B ，又⊙AB ＝AC ，⊙⊙C ＝⊙B ，⊙⊙ODB ＝⊙C ，⊙OD ⊙AC ，⊙DF ⊙AC ，⊙⊙DFC ＝90°，⊙⊙ODF ＝⊙DFC ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊙AC ，垂足为G ，⊙AG ＝12AE ＝2. ⊙cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25， ⊙OA ＝5，⊙OG ＝OA 2－AG 2＝21，⊙⊙ODF ＝⊙DFG ＝⊙OGF ＝90°，⊙四边形OGFD 为矩形，⊙DF ＝OG ＝21.3. 如图，在⊙O 中，直径CD ⊙弦AB 于点E ，AM ⊙BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角，⊙⊙BAD ＝⊙BCD ，⊙AE ⊙CD ，AM ⊙BC ，⊙⊙AEN ＝⊙AMC ＝90°，⊙⊙ANE ＝⊙CNM ，⊙⊙BAM ＝⊙BCD ，⊙⊙BAM ＝⊙BAD ，在⊙ANE 与⊙ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧⊙BAM ＝⊙BAD AE ＝AE⊙AEN ＝⊙AED， ⊙⊙ANE ⊙⊙ADE (ASA)，⊙AN ＝AD ；(2)解：⊙AB ＝42，AE ⊙CD ,⊙AE ＝12AB ＝22，又⊙ON＝1，⊙设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，第3题解图⊙⊙AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，⊙(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，⊙AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：⊙1＝⊙F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图⊙BD是⊙O的直径，⊙⊙DEB＝90°.⊙E是AB的中点，⊙DA＝DB，⊙⊙1＝⊙B.⊙⊙1＝⊙F；(2)解：⊙⊙1＝⊙F，⊙AE＝EF＝25，⊙AB＝2AE＝4 5.在Rt⊙ABC中，AC＝AB·sin B＝4，⊙BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt⊙ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，⊙CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求⊙P及⊙AEB的度数.第5题图（1）证明：⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙CB ⊙AE ，⊙AD ⊙AE ，⊙⊙DAO ＝90°，又⊙直线DP 和⊙O 相切于点C ，⊙DC ⊙OC ，⊙⊙DCO ＝90°，⊙在Rt⊙DAO 和Rt⊙DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧DO ＝DO AO ＝CO ， ⊙Rt⊙DAO ⊙Rt⊙DCO (HL)，⊙DA ＝DC ；(2)解：⊙CB ⊙AE ，AE 是⊙O 的直径，⊙CF ＝FB ＝12BC ， 又⊙四边形ABCD 是平行四边形，⊙AD ＝BC ，⊙CF ＝12AD ， 又⊙CF ⊙DA ，⊙⊙PCF ⊙⊙PDA ，⊙PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由(1)知DA ＝DC ，⊙DA ＝12PD ， ⊙在Rt⊙DAP 中，⊙P ＝30°.⊙⊙F AB ＝⊙P ＝30°，又⊙⊙ABE ＝90°，⊙⊙AEB ＝90°－30°＝60°.6. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：⊙ABD ＝⊙ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图 ⊙DE 为⊙O 的切线， ⊙OD ⊙DE ，⊙⊙ADO ＋⊙ADE ＝90°. ⊙AB 为⊙O 的直径， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙⊙ADO ＋⊙ODB ＝90°. ⊙⊙ADE ＝⊙ODB ， ⊙OB ＝OD ， ⊙⊙OBD ＝⊙ODB ， ⊙⊙ABD ＝⊙ADE ;(2)解：⊙AB ＝AC ＝2×256＝253，⊙ADB ＝⊙ADC ＝90°，⊙⊙ABC ＝⊙C ，BD ＝CD . ⊙O 为AB 的中点， ⊙OD 为⊙ABC 的中位线，⊙OD ⊙AC ， ⊙OD ⊙DE ， ⊙AC ⊙DE ， 在Rt⊙ACD 中， CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ⊙⊙C ＝⊙C ，⊙DEC ＝⊙ADC ＝90°， ⊙⊙DEC ⊙⊙ADC ， ⊙CE DC ＝DC AC ，即CE 5＝5253， ⊙CE ＝3.7. 如图，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，D 是边AB 上的一点，且⊙A ＝2⊙DCB ，点E 是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．第7题图(1)证明：如解图⊙，连接OD ，第7题解图⊙则⊙DOB＝2⊙DCB，又⊙⊙A＝2⊙DCB，⊙⊙A＝⊙DOB，又⊙⊙A＋⊙B＝90°，⊙⊙DOB＋⊙B＝90°，⊙⊙BDO＝90°，即OD⊙AB，又⊙OD是⊙O的半径，⊙AB是⊙O的切线．（2）解：如解图⊙，过点O作OM⊙CD于点M，连接DE，第7题解图⊙⊙OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，⊙BDO ＝90°，⊙⊙B ＝30°， ⊙⊙DOB ＝60°， ⊙⊙DCB ＝30°， ⊙OC ＝2OM ＝2， ⊙OD ＝2，⊙BD ＝OD tan60°＝2 3.8. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos⊙CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OB，第8题解图⊙OA＝OB，⊙⊙OAB＝⊙OBA，⊙OP⊙AB，⊙AC＝BC，⊙OP是AB的垂直平分线，⊙P A ＝PB ， ⊙⊙P AB ＝⊙PBA ， ⊙⊙P AO ＝⊙PBO . ⊙PB 为⊙O 的切线， ⊙⊙OBP ＝90°， ⊙⊙P AO ＝90°， ⊙OA 为⊙O 的半径， ⊙P A 是⊙O 的切线； (2)解：⊙cos⊙CAO ＝45，⊙设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ⊙sin⊙CAO ＝35，tan⊙COA ＝43，⊙CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ⊙tan⊙POA ＝tan⊙COA ＝AP AO ＝43，⊙AP 10＝43，解得AP ＝403，⊙P A ＝PB ， ⊙PB ＝P A ＝403.9. 如图，在⊙ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，⊙ACD ＝⊙ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan⊙ABC ＝23，tan⊙AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙⊙BDC ＝90°， ⊙⊙ABC ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACD ＝⊙ABC ， ⊙⊙ACD ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACB ＝90°， 即BC ⊙CA ，又⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt⊙AEC 中，tan⊙AEC ＝53，⊙AC EC ＝53，EC ＝35AC . 在Rt⊙ABC 中，tan⊙ABC ＝23，⊙AC BC ＝23，BC ＝32AC . ⊙BC －EC ＝BE ＝6，⊙32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ⊙BC ＝32×203＝10，即⊙O 的直径为10.10. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F . (1)求证：DE ⊙AC ；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD ，AD ，第10题解图⊙DE 与⊙O 相切于点D ， ⊙OD ⊙DE .⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ADB =90°， ⊙AB =AC ， ⊙D 为BC 中点， 又⊙O 为AB 中点， ⊙OD ⊙AC ，⊙DE ⊙AC ； (2)解：⊙AB =10， ⊙OB =OD =5. 由(1)知OD ⊙AC ， ⊙⊙ODF ⊙⊙AEF ，⊙ABBF OB BF AF OF AE OD ++==，设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310，⊙BF =310. 11. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点C ，过点C作CD ⊙AF 于点D ，延长AB 、DC 交于点E ，连接BC 、CF . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AD ＝6，DE ＝8，求BE 的长； (3)求证：AF ＋2DF ＝AB .第11题图（1）证明：如解图，连接OC .第11题解图⊙AC 平分⊙BAD ,⊙⊙OAC =⊙CAD ，又⊙OAC =⊙OCA ,⊙⊙OCA =⊙CAD ，⊙CO ⊙AD .又CD ⊙AD ，⊙CD ⊙OC ，又⊙OC 是⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙ADE 中，⊙AD =6，DE =8，根据勾股定理得：AE =10，⊙CO ⊙AD ，⊙⊙EOC ⊙⊙EAD ,⊙ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ，⊙OE =10-r . ⊙61010r r -=， ⊙r =415，⊙BE =10-2r =25； （3）证明：如解图，过点C 作CG ⊙AB 于点G .⊙⊙OAC =⊙CAD ，AD ⊙CD ，⊙CG =CD ，在Rt⊙AGC 和Rt⊙ADC 中，⊙CG =CD ，AC =AC ，⊙Rt⊙AGC ⊙Rt⊙ADC （HL ），⊙AG =AD .又⊙⊙BAC =⊙CAD ，⊙BC =CF ，在Rt⊙CGB 和Rt⊙CDF 中，⊙BC =FC ，CG =CD ，⊙Rt⊙CGB ⊙Rt⊙CDF （HL ），⊙GB =DF .⊙AG +GB =AB ，⊙AD +DF =AB ，即AF +2DF =AB .12. 如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若⊙BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第12题图（1）解：如解图，连接OD ，第12题解图⊙⊙BCD ＝36°，⊙⊙BOD ＝2⊙BCD ＝2×36°＝72°，⊙BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，⊙OB ＝5，⊙l BD ︵＝72π×5180＝2π； (2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：⊙BC 是⊙O 的直径，⊙⊙ADC ＝180°－⊙BDC ＝90°，又⊙点E 是线段AC 中点，⊙DE ＝12AC ＝EC ， 在⊙DOE 与⊙COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，⊙⊙DOE ⊙⊙COE (SSS)．⊙⊙ACB ＝90°，⊙⊙ODE ＝⊙OCE ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，⊙DOE ⊙⊙COE ，⊙OE 是线段CD 的垂直平分线，⊙点F 是线段CD 中点，⊙点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ⊙⊙BAC ＝⊙CAD ，⊙ADC ＝⊙ACB ，⊙⊙ACD ⊙⊙ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，⊙(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，⊙2CE 2＝AB ·EF .13. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是»AE 上的一点，且⊙BDE ＝⊙CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分⊙ABE ，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第13题图(1)证明：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙AEB ＝90°，⊙⊙EAB ＋⊙EBA ＝90°，⊙⊙BDE ＝⊙EAB ，⊙BDE ＝⊙CBE ， ⊙⊙EAB ＝⊙CBE ，⊙⊙ABE ＋⊙CBE ＝90°，⊙CB ⊙AB ，⊙AB 是⊙O 的直径，⊙BC 是⊙O 的切线；(2)解：⊙BD 平分⊙ABE ， ⊙⊙ABD ＝⊙DBE ，如解图，连接DO ，第13题解图⊙OD ＝OB ，⊙⊙ODB ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙ODB ，⊙OD ⊙BE ，⊙PD PE ＝PO PB， ⊙P A ＝AO ，⊙P A ＝AO ＝OB ，⊙PO PB ＝23， ⊙PD PE ＝23， ⊙PD PD ＋DE ＝23， ⊙DE ＝2， ⊙PD ＝4.。
2020中考数学 圆的压轴题练习(含答案)
2020中考数学 圆的压轴题练习（含答案）1. 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD AB ⊥于点D ，延长DO 交O e 于点P ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．（1）若60POC ∠=︒，12AC =，求劣弧PC 的长；（结果保留)π（2）求证：OD OE =；（3）求证：PF 是O e 的切线．【解答】（1）解：12AC =Q ，6CO ∴=，∴¶6062180PC ππ==g g ； 答：劣弧PC 的长为：2π．（2）证明：PE AC ⊥Q ，OD AB ⊥，90PEA ∠=︒，90ADO ∠=︒在ADO ∆和PEO ∆中，ADO PEO AOD POE OA OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()POE AOD AAS ∴∆≅∆，OD EO ∴=；（3）证明：法一：如图，连接AP ，PC ，OA OP =Q ，OAP OPA ∴∠=∠，由（2）得OD EO =，ODE OED ∴∠=∠，又AOP EOD ∠=∠Q ，OPA ODE ∴∠=∠，//AP DF ∴，AC Q 是直径，90APC ∴∠=︒，90PQE ∴∠=︒PC EF ∴⊥，又//DP BF Q ，ODE EFC ∴∠=∠，OED CEF ∠=∠Q ，CEF EFC ∴∠=∠，CE CF ∴=，PC ∴为EF 的中垂线，EPQ QPF ∴∠=∠，CEP CAP ∆∆Q ∽EPQ EAP ∴∠=∠，QPF EAP ∴∠=∠，QPF OPA ∴∠=∠，90OPA OPC ∠+∠=︒Q ，90QPF OPC ∴∠+∠=︒，OP PF ∴⊥，PF ∴是O e 的切线．法二：设O e 的半径为r ．OD AB ⊥Q ，90ABC ∠=︒，//OD BF ∴，ODE CFE ∴∆∆∽又OD OE =Q ，12FC EC r OE r OD r BC ∴==-=-=- 12BF BC FC r BC ∴=+=+ 12PD r OD r BC =+=+Q PD BF ∴=又//PD BF Q ，且90DBF ∠=︒，∴四边形DBFP 是矩形90OPF ∴∠=︒OP PF ∴⊥，PF ∴是O e 的切线．方法3、AC Q 为直径，90ABC ∴∠=︒又90ADO ∠=︒Q ，//PD BF ∴PCF OPC ∴∠=∠OP OC =Q ，OCP OPC ∴∠=∠OCP PCF ∴∠=∠，即ECP FCP ∠=∠//PD BF Q ，ODE EFC ∴∠=∠OD OE =Q ，ODE OED ∴∠=∠又OED FEC ∠=∠Q ，FEC EFC ∴∠=∠EC FC ∴=在PEC ∆与PFC ∆中PC PC ECP FCP EC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PEC PFC SAS ∴∆≅∆90PFC PEC ∴∠=∠=︒∴四边形PDBF 为矩形90DPF ∠=︒，即PF 为圆的切线．2. O e 是ABC ∆的外接圆，AB 是直径， 过¶BC的中点P 作O e 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG 、CP 、PB ．（1） 如图 1 ，若D 是线段OP 的中点， 求BAC ∠的度数；（2） 如图 2 ，在DG 上取一点K ，使DK DP =，连接CK ，求证： 四边形AGKC 是平行四边形；（3） 如图 3 ，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH AB ⊥．【解答】（1） 解：Q 点P 为¶BC的中点，AB 为O e 直径， BP PC ∴=，PG BC ⊥，CD BD =，90ODB ∴∠=︒，D Q 为OP 的中点，1122OD OP OB ∴==， 1cos 2OD BOD OB ∴∠==， 60BOD ∴∠=︒，AB Q 为O e 直径，90ACB ∴∠=︒，ACB ODB ∴∠=∠，//AC PG ∴，60BAC BOD ∴∠=∠=︒；（2） 证明： 由 （1） 知，CD BD =，在PDB ∆和CDK ∆中，CD BD BDP CDKDP DK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()PDB CDK SAS ∴∆≅∆，CK BP ∴=，OPB CKD ∠=∠，AOG BOP ∠=∠Q ，AG BP ∴=，AG CK ∴=，OP OB =Q ，OPB OBP ∴∠=∠，又G OBP ∠=∠Q ，//AG CK ∴，∴四边形AGCK 是平行四边形；（3） 证明：CE PE =Q ，CD BD =，//DE PB ∴，即//DH PBG OPB ∠=∠Q ，//PB AG ∴，//DH AG ∴，OAG OHD ∴∠=∠，OA OG =Q ，OAG G ∴∠=∠，ODH OHD ∴∠=∠，OD OH ∴=，在OBD ∆和HOP ∆中，OD OHBOD HOPOB OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBD HOP SAS ∴∆≅∆，90OHP ODB ∴∠=∠=︒，PH AB ∴⊥．3. 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，过点B 作O e 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作O e 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F ．（1） 求证：ACF DAE ∆∆∽；（2） 若AOC S ∆=DE 的长； （3） 连接EF ，求证：EF 是O e 的切线 ．【解答】（1） 证明：BC Q 是O e 的直径，90BAC ∴∠=︒，30ABC ∠=︒Q ，60ACB ∴∠=︒OA OC =Q ，60AOC ∴∠=︒，AF Q 是O e 的切线，90OAF ∴∠=︒，30AFC ∴∠=︒，DE Q 是O e 的切线，90DBC ∴∠=︒，30D AFC ∴∠=∠=︒120DAE ACF ∴∠=∠=︒，ACF DAE ∴∆∆∽；（2）3060ACO AFC CAF CAF ∠=∠+∠=︒+∠=︒Q ，30CAF ∴∠=︒，CAF AFC ∴∠=∠，AC CF ∴=OC CF ∴=，AOC S ∆=Q ，ACF S ∆∴=30ABC AFC ∠=∠=︒Q ，AB AF ∴=，12AB BD =Q ， 12AF BD ∴=， 30BAE BEA ∴∠=∠=︒，AB BE AF ∴==， ∴13AF DE =， ACF DAE ∆∆Q ∽， ∴21()9ACF DAE S AF S DE ∆∆==，DAE S ∆∴=过A 作AH DE ⊥于H ，AH DH DE ∴==，21122ADE S DE AH DE ∆∴===g ，DE ∴=（3）120EOF AOB ∠=∠=︒Q ，在AOF ∆与BOE ∆中，OBE OAF OEB AFO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOF BEO ∴∆≅∆，OE OF ∴=，1(180)302OFG EOF ∴∠=︒-∠=︒， AFO GFO ∴∠=∠，过O 作OG EF ⊥于G ，90OAF OGF ∴∠=∠=︒，在AOF ∆与OGF ∆中，OAF OGF AFO GFO OF OF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOF GOF ∴∆≅∆，OG OA ∴=，EF ∴是O e 的切线 ．4. 如图，AB 是O e 的直径，AB =E 为线段OB 上一点 （不 与O ，B 重合） ，作CE OB ⊥，交O e 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF PC ⊥于点F ，连接CB ．（1） 求证：CB 是ECP ∠的平分线；（2） 求证：CF CE =；（3） 当34CF CP =时， 求劣弧¶BC 的长度 （结 果保留)π【解答】（1） 证明：OC OB =Q ，OCB OBC ∴∠=∠，PF Q 是O e 的切线，CE AB ⊥，90OCP CEB ∴∠=∠=︒，90PCB OCB ∴∠+∠=︒，90BCE OBC ∠+∠=︒，BCE BCP ∴∠=∠，BC ∴平分PCE ∠．（2） 证明： 连接AC ．AB Q 是直径，90ACB ∴∠=︒，90BCP ACF ∴∠+∠=︒，90ACE BCE ∠+∠=︒，BCP BCE ∠=∠Q ，ACF ACE ∴∠=∠，90F AEC ∠=∠=︒Q ，AC AC =，ACF ACE ∴∆≅∆，CF CE ∴=．解法二： 证明： 连接AC ．OA OC =QBAC ACO ∴∠=∠，CD Q 平行AF ，FAC ACD ∴∠=∠，FAC CAO ∴∠=∠，CF AF ⊥Q ，CE AB ⊥，CF CE ∴=．（3） 解： 作BM PF ⊥于M ． 则CE CM CF ==，设3CE CM CF a ===，4PC a =，PM a =， 90MCB P ∠+∠=︒Q ，90P PBM ∠+∠=︒，MCB PBM ∴∠=∠，CD Q 是直径，BM PC ⊥，90CMB BMP ∴∠=∠=︒，BMC PMB ∴∆∆∽， ∴BM CM PM BM=， 223BM CM PM a ∴==g ，BM ∴=，tan BM BCM CM ∴∠== 30BCM ∴∠=︒，60OCB OBC BOC ∴∠=∠=∠=︒，∴¶BC 的长==．5. 如图， 四边形ABCD 中，AB AD CD ==，以AB 为直径的O e 经过点C ，连接AC 、OD交于点E ．（1） 证明：//OD BC ；（2） 若tan 2ABC ∠=，证明：DA 与O e 相切；（3） 在 （2） 条件下， 连接BD 交O e 于点F ，连接EF ，若1BC =，求EF 的长 ．【解答】解： （1） 连接OC ，在OAD ∆和OCD ∆中，Q OA OC AD CD OD OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()OAD OCD SSS ∴∆≅∆，ADO CDO ∴∠=∠，又AD CD =，DE AC ∴⊥，AB Q 为O e 的直径，90ACB ∴∠=︒，90ACB ∴∠=︒，即BC AC ⊥，//OD BC ∴；（2）tan 2AC ABC BC∠==Q ，∴设BC a =、则2AC a =，AD AB ∴===， //OE BC Q ，且AO BO =，1122OE BC a ∴==，12AE CE AC a ===，在AED ∆中，2DE a ==，在AOD ∆中，2222225)4AO AD a +=+=，2222125()(2)24OD OE DE a a a =+=+=，222AO AD OD ∴+=，90OAD ∴∠=︒，则DA 与O e 相切；（3） 连接AF ，AB Q 是O e 的直径，90AFD BAD ∴∠=∠=︒，ADF BDA ∠=∠Q ，AFD BAD ∴∆∆∽， ∴DF AD AD BD =，即2DF BD AD =g ①，又90AED OAD ∠=∠=︒Q ，ADE ODA ∠=∠， AED OAD ∴∆∆∽， ∴AD DEOD AD =，即2OD DE AD =g ②，由①②可得DF BD OD DE =g g ，即DFDEOD BD =，又EDF BDO ∠=∠Q ，EDF BDO ∴∆∆∽，1BC =Q ，AB AD ∴==52OD=、2ED=、BD=OB=∴EF DEOB BD==，解得：EF=．。
2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222(33)(43)r r-+=，∴r=2536，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HCEM OE=，∴33432536EM=，∴EM=2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．4．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC 2=AG •AB =12，∴AC =23．5．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .（1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .∴BD CD BO EO= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，∴CF =FB .∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=6．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．7．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．（1）当23时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222.【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．试题解析：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．证明：如图，作以AB为直径的⊙O；∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O为AB的中点，连接DO，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x ．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．8．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC 于点E，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长（2）如图2，连结CD，若CE=3，△ACD的面积为10，求tan∠BCD（3）如图3，在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D 是△CPF的内心①请你画出△CPF，说明画图过程并求∠CDF的度数②设PC=a，PF=b，PD=c，若（2）（2c）=8，求△CPF的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ． 【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=2．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=C 2，∴NF=b c 2-，CK=a c 2-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2，化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴2==， 即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．9．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴ 222-；⑵ 见解析；⑶ y =2x【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ； （3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC ⊥AB∴△DOC 为等腰直角三角形，∵OC=2，∴2∴2，∴AC=AO-OC=2.⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.∵OP⊥AB,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD，∵△DOC为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO，∴DC=DF，∴Rt△DAC≌Rt△DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=1PE2∴PE=2AC（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD==∴AB=2OD=∵AB是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE≌△DBA∴GE=AB=∵PE=2AC∴PE=2)x--∴GP=GE－PE=-)x即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,过点B作☉O 的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是☉O的切线;(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）过O作OM⊥EF于M,根据SAS证明△OAF≌△OBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分∠BEF，从而得到结论;（2）存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.【详解】(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,∴△OAF≌△OBE,∴OE=OF,∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEM=∠OFM=30°,∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,又∠OBE=∠OME=90°,∴OM=OB,∴EF为☉O的切线.(2)存在.∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ACB=60°,∴∠ABC=30°,又∵∠ACB=60°,OA=OC,∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,∵AF为☉O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠CAF=∠AFC=30°,∴∠ABC=∠AFC,∴AB=AF.当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,∴∠OAF=∠OPF=90°,又∵OA=OP,OF为公共边,∴△OAF≌△OPF,∴AF=PF,∠BFE=∠AFC=30°.又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,∴BP=FP,∴AB=AF=FP=BP,∴四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．11．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．12．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）5 2【解析】试题分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE =∠OCA ，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB ∽△AEC ，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°∵CE ⊥DF ，∴∠CEA =90°，∴∠ACE +∠CAE =∠ACE +∠OCA =90°，∴∠CAE =∠OCA∵OC ＝OA ，∴∠OCA =∠OAC .∴∠CAE =∠OAC ，即AC 平分∠FAB(2)连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE =∠OAC ，∴△ACB ∽△AEC ,∴AB AC AC AE =. ∵AE ＝1，CE ＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE =+=+= ∴()22551AC AB AE ===，∴⊙O 的半径为52．13．如图，已知,,BAC AB AC O ∆=为ABC ∆外心，D 为O e 上一点，BD 与AC 的交点为E ，且2·BC AC CE =．①求证：CD CB =；②若030A ∠=，且O e 的半径为33+，I 为BCD ∆内心，求OI 的长．【答案】①证明见解析； ②3【解析】【分析】①先求出BC CE AC BC=，然后求出△BCE 和△ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根据等角对等边即可得证；②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解．【详解】①∵BC2=AC•CE，∴BC CE AC BC=．∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；②连接OB、OC．∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF=BC×sin30°12=BC，BF=BC•cos30°3=BC，所以，BD=2BF=23⨯BC3=BC，设△BCD内切圆的半径为r，则S△BCD12=BD•CF12=（BD+CD+BC）•r，即12•3BC•12BC12=（3BC+BC+BC）•r，解得：r3223=+（）BC2332-=BC，即IF2332-=BC，所以，CI=CF﹣IF12=BC233--BC=（23-）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（23-）BC=（3-1）BC．∵⊙O的半径为33+，∴BC=33+，∴OI=（3-1）（33+）=33+3﹣3323-=．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．14．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ +=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<． 【解析】【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，221212k -+++∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．15．如图1，⊙O 的直径AB =12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC =30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．（1）如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；（2）如图3，当弧DC =弧AC 时，延长AB 至点E ，使BE =12AB ，连接DE ．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题。
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》1．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD 延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．3．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK ＝9BK，若OL＝，求BD的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．6．如图，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．（1）求证：AI是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径是5．①若E是BI的中点，OE＝，则BI＝；②若BC＝16，求AI的长．7．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．[结论应用]（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S＝．△CEF（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O 上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；11．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．12．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．14．如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P 是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC 的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．15．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．2．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．3．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．4．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．5．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．6．（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI．∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．∴∠1＝∠3．∵AB＝AC，∴AD⊥BC．又∵OB＝OI，∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠2．∴OI∥BD．∴OI⊥AI．∴AI为⊙O的切线．（2）①解：∵E是BI的中点，∴OE⊥BI．在直角△OBE中，OB＝5，OE＝，则由勾股定理知：BE＝＝＝2．∴BI＝2BE＝．故答案是：；②解：由（1）知OI∥BC，∴△AOI～△ABD．∴，∴＝．∴．∴．∴AI＝•AD＝×＝．7．解：[教材呈现]已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，求证：CD＝AB．证明：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则DF∥BC，DE∥AC，∵CD是中线，∴AF＝FC，BE＝EC，∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DA＝DC，DB＝DC，∴CD＝DA＝DB＝AB；[结论应用]（1）CF、FE分别是Rt△ACD、Rt△ADE的中线，则CF＝EF＝AD＝2，设：∠CAF＝α＝∠ACF，∠FAE＝β＝∠AEF，∠CAB＝α+β＝60°，∠CFE＝∠FCA+∠FAC+∠FEA+∠FAE＝2α+2β＝120°，故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，过点F作FH⊥CE，则S＝×CE×FH＝2×1＝，△CEF故答案为：；（2）设sin∠DAC＝＝sinα，CD＝2，则AD＝6，OC＝OE＝AD＝3，①当CD∥OE时，如图③（左侧图），则∠ADC＝∠DOE＝∠β，sin＝cosβ，过点D作DH⊥OE交OE于点H，OH＝OD cosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，同理DH＝2，DE＝＝2，AE＝＝＝2；②当OC∥DE时，如图③（右侧图），则∠COD＝∠ODE＝2α，过点O作ON⊥DE于点N，则DN＝EN，DE＝2DN＝2×OD cos2α＝2×3×＝（注：cos2α的求法见备注），AE＝＝＝；综上，AE＝2或；备注：等腰三角形ABC，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，设∠BAD＝∠CAD＝α，设sin，设BD＝CD＝a，则AB＝AC＝3a，则AD＝2a，S＝AD×BC＝AB×CE，△ABC即2a×2a＝3a×CE，则CE＝，sin2α＝＝，则cos2α＝．8．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．9．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°，∵，∴∠BOD＝2∠BOC＝144°，∴的长＝＝π．10．解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．11．解：（I）如图①，∵OA＝OC，∠OAC＝58°，∴∠OCA＝58°∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q＝∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．12．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．13．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．14．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．15．（1）证明：如图1，连接AC、BF、CF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BED，∵ED⊥AB，∴∠BDE＝∠AFB＝90°，又∵BE＝BE，∴△BDE≌△BFE（AAS），∴∠ABC＝∠FBC，∵，∴∠ABC＝∠AFC，∵，∴∠CAF＝∠FBC，∴∠CAF＝∠AFC，∴AC＝CF，∴；（2）证明：如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，∵，∴AOC＝∠FOC，∵AO＝OF，∴OC⊥AF，∴AH＝HF＝AF，∵∠BAF＝45°，∴AF＝BF，∵FG⊥BH，AS⊥AF，∴∠S＝∠BHF，又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，∴△FSA≌△BHF（AAS），∴AS＝HF＝AH，∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，∴△SAG≌△HAG（SAS），∴∠SGA＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BGF；（3）解：如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，∵△SAG≌△HAG，∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，∵OH⊥AF，∴∠OHG＝∠OHB，∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，∴△ORH≌△OTH（AAS），∴RH＝TH，OR＝OT，又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），∴PR＝BT，∴PR+RH＝BT+TH，即PH＝BH，∴∠HPB＝∠HBP，设∠OPR＝∠OBT＝α，∵∠AOH＝∠A＝45°，∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，∴∠PHB＝90°﹣2α，∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，∴∠PBO＝45°，∵PO＝BO，∴∠OPB＝∠OBP＝45°，∴PO⊥AB，∵PK⊥BH，GF⊥BH，∴PK∥GF，∴∠PMG＝∠BGF，∵∠PGM＝∠AGH，∴∠PGM＝∠PMG，∴PG＝PM，∴OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L，∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，∵∠MPL＝∠BPK，∴∠PML＝∠PBH，∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，∴PL＝4a，∴PB＝6a，∴PO＝BO＝6a，∴OM＝OG＝2a，∴GM＝4a，∴GM＝BM，∵N为BH的中点，∴MN为中位线，∴GH＝2MN＝，过点G作GU⊥OH于点U，则tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，在Rt△GUH中，设GU＝b，则UH＝2b，GH＝b，∴GU＝，∴GO＝2＝2a，∴a＝1，∴OB＝6a＝6，即⊙O的半径为6．。