新教材人教版高中数学必修1 第五章 5.2.1 三角函数的概念
t＜0时，
3 13 13
13 2 13
13
2 3 2
例3 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑴sin 1 ;
2
⑵tan 2.
角的终边
y
1
P
y1 2
-1 O
M1
x
-1
y P1
-1 O
A
1
x
角的终边
-1 P
T
课堂小结
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线比较三角函数值的大小； ③利用三角函数线确定角的集合或范围.
B
)
2.设角的终边过点P(6a, 8a) a 0
则sin -cos的值为( D )
A.1/ 5
B. 1/ 5
C. 1/ 5或 7 / 5
D. 1/ 5或1/ 5
3.若为第一象限角,则sin 2 , cos 2
sin / 2和cos / 2中必取正值的有 B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识一：根据三角函数的定义,终边相同的 角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有诱导公式一
sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
kZ
知识二：三角函数线
三种三角函数能否找到一种几何表示呢？
sin y MP MP (正弦线)
r OP
cos x OM OM(余弦线)
r OP
tan y AT AT(正切线)
x OA
有向线段：像MP,OM这种被看作带有 方
三角函向数的线线：段上，图叫中做三有条向与线单段位；圆有关 的有向线段MP，OM，AT,分别叫做角а 的正弦线、余弦线、正切线，
统称为三角函数线.
α的终边 y
P
A
Mo
x
(Ⅱ)
T
y
M
P α的终边
T
o
Ax
(Ⅲ)
y α的终边 T
P o MA x
y (Ⅰ)
MA
o
x
PT
α的终边 (Ⅳ)
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
练习：1AC.若.第.第s一三in象象限限0角角, 且
tan
0.则角是(
B.第二象限角 D.第四象限角
4.若sin gcos 0,则在( B )
A.第一, 二象限角
B.第一, 三象限角
C.第一,四象限角
D.第二,四象限角
5.若角终边过点P(2t,3t)(t 0),
则sin cos的符号为___+_______
sin 3 _1_3__, cos 2__1_3__, tan 3____
t＞0时， 13
变题： 写出满足条件 1 ≤cosα＜ 2
23的角α
的集合.
2
y
3 Q1
P
6
-1 O
-1
6
3
|2k ＜α≤ 2k 2 ，或
6
2k
4
3
≤α＜
2k
11
，k Z
3
6
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα.
S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
MP·OA/2 ＜α·OA ·OA /2 ＜OA ·AT /2
MP＜α＜AT sinα＜α＜tanα
例4 利用单位圆中的三角函数线
⑴比较大小:
①sin 400与sin1100;② cos 4 与cos 6 ;
5
7
③ tan 4 与tan 6 .
5
7
⑵若
3
≤θ≤
5，6 试确定sinθ的取值范围.
cosθ呢?
5.2.1 三角函数的概念(教学设计)
5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
13
5
13
5
12
则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
六、归纳小结提高认识
1.知识：三角函数的定义及其定义域.
2.数学思想方法：数形结合思想；类比法.
七、布置作业 检测目标
课本179-180页练习1、2、3、4题.
谢
谢！
作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则
|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|,△OMP∽△OM0P0.
因为y0与y同号，所以y0= .即sinα= .
同理可得cosα= , tanα= .
于是
0 0
1
=
,即|y0|= .
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
我们将它们统称为三角函数
2.三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
| ≠ ＋， ∈
2
四、举例应用掌握定义
5
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
3
5
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单
在锐角的终边上任取一点P(a, b),
设 OP r a 2 b2 0
P(a
, b)
y
P ( a, b)
MP b
sin
OP r
OM a
cos
OP
r
tan
最新人教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.2.1 三角函数的概念
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= ×
+× =
+=
+
.
(2)原式=sin - + +cos +
=sin +cos
·tan 0= .
·tan(4π+0)
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
？
(2)如何判断正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限
的符号?
提示:由三角函数的定义,可知sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0;同理
可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.
？
5.2.1
三角函数的概念
？
课标定位
素养阐释
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义.
2.掌握三角函数在各象限的符号.
3.掌握诱导公式一,并会应用.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理和直观想
象素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
？
自主预习·新知导学
所以sin θ<0,cos θ<0.所以sin θcos θ>0.
？
反思感悟
判断三角函数值正负的两个步骤
新教材人教版高中数学必修第一册 5.2.1 三角函数的概念(1) 教学课件
1
r
即
|
y0
|
|
y r
|
第十一页，共二十二页。
因为 y0与 y 同号，所以
y0
y r
即 sin y
r
同理可得 cos y
r
tan y
x
只要知道角 终边上任意一点P的坐标，就可以求得角 的各个三角函数
值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变。
第十二页，共二十二页。
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
横坐标等于0， tan y 无意义，此时 k (k z).
x
2
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
第八页，共二十二页。
探究：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比
x 值为函数值的函数，设 x (0, )，把按锐角三角函数定义求得的锐角 的 2
新教材人教版高中数学必修第一册 5.2.1 三角函数的概念（1） 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第五章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
第一页，共二十二页。
复习
1.1弧度的角： 等于半径长的圆弧所对的圆心角
2.角度制与弧度制的换算 180 弧度
1弧度 （180
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0, y0 )，
分别过点 P, P0
作 x 轴的垂线
PM
,
P0
M
，垂足分别
0
为
M , M 0 ，则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
5.2.1 三角函数的概念(2)--新人教版高中数学第一册
(2)sin73πcos－236π＋tan－154πcos133π.
解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
23＝
3 2.
(2)原式＝sin2π＋π3cos－4π＋π6＋tan－4π＋π4·cos4π＋π3
[解析] 由题意知 r＝|OP|＝
－ 232＋122＝1，
1
3
所以
sin
α＝yr＝21＝12，cos
α＝xr＝－
2 1
＝－
23，
1
tan
α＝xy＝－223＝－
3 3.
[答案]
1 2
－
3 2
－
3 3
(2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x，
则 sin θ＋tan θ 的值为________．
6 .
(2)
原
式
＝
sin
－2π＋π6
＋
cos
2π＋25π
·tan(4π
＋
0)
＝
sin
π 6
＋
cos25π×0＝12.
[方法技巧] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成 2kπ＋α 的形式，其中 α∈ [0,2π)，k∈Z ；
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角 α 的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
[答案]
3
1100＋30或3
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
5.2.1 三角函数的概念 教学设计(2)
【新教材】5.2.1 三角函数的概念三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。
三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。
三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。
紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。
三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。
三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
教学设计1：5.2.1 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念【课标要求】课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等．教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.【知识导学】知识点一三角函数的概念(1)单位圆中三角函数的定义(2)三角函数的定义域知识点二三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式(一)【新知拓展】(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.(4)sin2·cos3·tan4的值的符号为________．答案 (1)D (2)－1213 513 －125 (3)32(4)负 【题型探究】题型一 三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．[解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34； 若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. [条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y ＝3x 上，问题不变，怎样求解？解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝ a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a＝－12，tan α＝3a a ＝ 3. 金版点睛利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．[跟踪训练1] (1)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15(2)已知角α终边上的点P (4,3m )，且sin α＝22m ，求m 的值． 答案 (1)A (2)见解析解析 (1)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1.即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45， ∴sin α＝－45，cos α＝35， ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. (2)∵P (4,3m )，∴r ＝16＋9m 2，∴sin α＝y r ＝3m 16＋9m 2＝22m ， 两边平方，得9m 216＋9m 2＝12m 2. ∴m 2(9m 2－2)＝0，∴m ＝0或m ＝±23. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①tan120°·sin269°；②cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，∴tan120°·sin269°>0.②∵π<4<3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0，∴cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. [答案] (1)C (2)见解析金版点睛判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A ，B 满足sin A ·cos B <0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能(2)点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．答案 (1)B (2)二解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sin A >0.因为sin A cos B <0，所以cos B <0，所以B 是钝角，故三角形是钝角三角形．(2)因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则角α的终边在第二象限. 题型三 与三角函数有关的定义域问题例3 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋cos x tan x； (2)y ＝－cos x ＋sin x .[解] (1)要使函数有意义，需tan x ≠0，∴x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z ，∴x ≠k π2，k ∈Z . 于是函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠k π2，k ∈Z . (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 金版点睛求解函数定义域的解题策略(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[跟踪训练3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .解 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数才有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，x ≠k π＋π2(k ∈Z )． ∴函数的定义域为{ x | 2k π≤x <2k π＋π2或2k π＋π2<x ≤2k π＋π，k ∈Z }. 题型四 诱导公式(一)的应用例4 计算：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan4π； (2)sin1140°cos(－690°)＋tan1845°.[解] (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 12π5tan0＝sin π6＋0＝12. (2)原式＝sin(3×360°＋60°)cos(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cos30°＋tan45°＝32×32＋1＝74. 金版点睛利用诱导公式化简的步骤(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．[跟踪训练4] 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan(－15π4))； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. 【随堂达标】1．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形答案C解析因为sin A>0，所以cos B，tan C中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.答案43 3解析tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a4，解得a＝433.5．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.。