苏教版九年级下册数学[探索三角形相似的条件--知识点整理及重点题型梳理](提高)

苏教版九年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
探索三角形相似的条件（提高）知识讲解
【学习目标】
1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；
2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；
3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明. 【要点梳理】
要点一、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图： l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 分别与l 1、l 2、l 3交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 、，则有 （1）
AB DE BC EF =（2）AB DE AC DF =（3）BC EF
AC DE
=
成立.
l 3
l 2
l 1
b
l 3
l 2
l 1
l 3
l 2
l 1
要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
2.平行于三角形一边的直线的性质
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 要点诠释：
这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.
要点二、相似三角形的判定定理
【课程名称： 相似三角形的判定（1） 394497相似三角形的判定】 1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
要点四、三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
【典型例题】
类型一、平行线分线段成比例定理
1. 如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2
AE AB AD =⋅
A B
C
D G E
【答案与解析】 证明：∵DG ∥EC,
∴
AD AG
AE AC
=,
∵EG ∥BC,
∴AE
AG
AB AC =, ∴AD
AE
AE
AB
=, 即2AE AB AD =⋅.
【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键． 举一反三：
【变式】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）
A.
23 B. 3
2
C. 6
D. 16
【答案】B.
【解析】∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴
AB DE
BC EF
=
， ∵AB=2，BC=3，DE=1，
∴21
3EF
=
， ∴EF=32
，
故选B ．
2.如图，AD 是△ABC 的中线，P 是AD 上任意一点，CP 、BP 的延长线分别交AB 、AC 于E 、D 两点,连接EF.求证：EF ∥BC.
【思路点拨】构造平行线，利用平行线所截得的对应线段成比例来证明. 【答案与解析】延长PD 到M ，使DM=PD ，连接BM 、CM,
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD,
∵DM=PD
∴四边形BPCM是平行四边形. ∴BP∥CM，即PF∥MC，
∴AF AP AC AM
=,
同理AE AP AB AM
=,
∴AE AF AB AC
=
∴DE∥BC.
【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，反过来如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
类型二、相似三角形的判定
【课程名称：相似三角形的判定（1） 394497
：练习4】
3.（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为多少？
【思路点拨】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【答案与解析】
解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴=，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，
∴=，
解得：x=，
则EH=．
故答案为：．
4. （2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
【思路点拨】作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM=∠B，利用相似可得MN的长．
【答案与解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，AC=，
∴MN=，
∴MN的长为3或．
【总结升华】本题主要考查相似三角形的作图和相似三角形的判定以及存在性，解题的关键是注意相似作图及解答有多种情况．
举一反三：
【变式】（2015•大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=．
【答案】解：∵D为AB的中点，
∴BD=AB=，
∵∠DBE=∠ABC，
∴当∠DBE=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，
∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴△BDE∽△BCA，
∴=，即=，解得DE=，
综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．。