高一立体几何重点知识点以及学习
高一立体几何重点知识点以及学习
1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示用各顶点字母，如五棱锥几何特征侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示用各顶点字母，如五棱台几何特征①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱定义以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥定义以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台定义用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体定义以半圆的直径。
立体几何知识点高一
立体几何知识点高一高一立体几何知识点在高一的几何学中，立体几何是一个重要的学科内容。
通过学习立体几何，我们可以了解到不同几何体的性质和相关定理，进而帮助我们解决与空间有关的问题。
下面将介绍一些高一立体几何的知识点，以帮助大家更好地理解和应用。
一、平行四边形棱台平行四边形棱台是一个重要的几何体，它的底面是一个平行四边形，侧面是三角形。
在高一中，我们需要了解平行四边形棱台的性质和相关定理。
1. 平行四边形棱台的定义：平行四边形棱台是以平行四边形为底面，顶点到底面的连线垂直于底面的棱台。
2. 平行四边形棱台的性质：平行四边形棱台的底面和顶面是平行的；侧面是等腰三角形；侧面的高是底面的高。
3. 相关定理：平行四边形棱台的体积等于底面积乘以高。
二、正方体正方体是一种常见的几何体，它具有很多特点和性质。
在高一中，我们需要了解正方体的构造和相关定理。
1. 正方体的定义：正方体是具有六个相等的正方形面的立体。
2. 正方体的特点：正方体的六个面相互平行且相等；相邻面之间的夹角是直角；正方体的对角线相等，且相互垂直。
3. 相关定理：正方体的体积等于边长的立方。
三、棱锥和棱台棱锥和棱台是两种常见的几何体，它们具有一些共同的性质和特点。
在高一中，我们需要了解棱锥和棱台的定义、性质和相关定理。
1. 棱锥的定义：棱锥是以一个多边形为底面，其余顶点到底面的点的连线都经过一个点的几何体。
2. 棱台的定义：棱台是以一个多边形为底面，其余各点到底面的点的连线都在同一平面上的几何体。
3. 棱锥和棱台的性质：棱锥和棱台的底面是一个多边形；顶面是一个点或者一个多边形；侧面是三角形。
4. 相关定理：棱锥和棱台的体积等于底面积乘以高的三分之一。
四、球球也是一种常见的几何体，具有特殊的性质和定理。
在高一中，我们需要了解球的定义、性质和相关定理。
1. 球的定义：球是由空间中所有与给定点的距离都相等的点组成的集合。
2. 球的性质：球的表面是一个等曲面；任意两点与球心的连线都与球的表面相交于一点（切点）；球内部的点到球心的距离小于球心到球表面的距离。
高中立体几何知识点总结
一、空间点、线、面的位置关系1.1 点与点•点的定义：空间中的任意一点。
•点的坐标表示：a⃗=(a x,a y,a z)。
1.2 直线与直线•直线的定义：无限延伸的平面内的所有点。
•直线的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
1.3 直线与平面•直线的平面方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
•直线与平面的交点表示：设直线上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+ By0+Cz0+D=0。
1.4 平面与平面•平面的定义：无限延伸的平面内的所有点。
•平面的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
1.5 平面与空间体•平面与空间体的交线表示：设空间体上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+By0+Cz0+D=0。
二、空间几何体2.1 柱体•柱体的定义：底面为圆形或矩形，顶面与底面平行的空间几何体。
•柱体的体积公式：V=底面积×高。
2.2 锥体•锥体的定义：底面为圆形或三角形，顶点在底面内的空间几何体。
•锥体的体积公式：V=1底面积×高。
32.3 球体•球体的定义：所有点与球心等距的空间几何体。
•球体的体积公式：V=4πR3。
32.4 空间四边形•空间四边形的定义：四个顶点在空间中的四边形。
•空间四边形的面积公式：S=12|a⃗×b⃗⃗|，其中a⃗和b⃗⃗为四边形的两条对角线。
三、空间角的计算3.1 线线角•线线角的定义：两条直线之间的夹角。
•线线角的计算公式：θ=arccos(|a⃗⃗⋅b⃗⃗||a⃗⃗||b⃗⃗|)，其中a⃗和b⃗⃗为两条直线的方向向量。
3.2 线面角•线面角的定义：直线与平面之间的夹角。
•线面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗⋅a⃗⃗||n⃗⃗||a⃗⃗|)，其中n⃗⃗为平面的法向量，a⃗为直线的方向向量。
3.3 面面角•面面角的定义：两个平面之间的夹角。
•面面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗1⋅n⃗⃗2||n⃗⃗1||n⃗⃗2|)，其中n⃗⃗1和n⃗⃗2为两个平面的法向量。
高一数学必修2立体几何知识点详细总结
立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
高一立体几何初步知识点总结归纳
高一立体几何初步知识点总结归纳立体几何是数学中与空间图形有关的一个重要分支学科。
在高中数学课程中，立体几何的学习是初步的，主要包括了一些基本的概念、性质和定理。
下面将对高一立体几何初步知识点进行总结归纳。
一、点、线、面的基本概念1. 点：点是几何图形的最基本单位，没有长度、宽度和厚度。
2. 线：由无数个点按一定顺序排列而成。
直线是无限延伸的，线段是有两个端点的有限线段。
3. 面：由无数个点构成，有长度和宽度，平面是无限延伸的。
二、多面体1. 多面体的定义：多面体是由若干个平面多边形组成的空间图形。
2. 五种特殊的多面体：(1) 正四面体：四个全等的三角形构成的多面体。
(2) 正六面体：六个全等的正方形构成的多面体。
(3) 正八面体：八个全等的正三角形构成的多面体。
(4) 正十二面体：十二个全等的正五边形构成的多面体。
(5) 正二十面体：二十个全等的正三角形构成的多面体。
三、棱、面、顶点1. 棱：多面体相邻面共有的边。
2. 面：多面体的平面部分。
3. 顶点：多面体相邻面的公共端点。
四、正投影与斜视图1. 正投影：将立体图形在平面上的投影。
2. 斜视图：根据正投影可画出的三视图中非正视图。
五、视点的选择1. 直接视点法：视点距离物体较近，视点方向垂直于物体表面。
2. 导向视角法：视点在表面上，视线垂直于表面法线。
六、平行线与平面的位置关系1. 平行线：不相交的线，它们的斜率相等。
2. 平面：由无数个平行线构成。
3. 平面与平行线的位置关系：平行线在平面上，平面外，平面内。
七、平面和立体的交线1. 平面和立体的交线：(1) 点线相交：平面和立体的边或棱相交。
(2) 线线相交：平面和立体的棱相交。
(3) 线面相交：平面和立体的面相交。
八、棱角关系1. 垂直：两条相交线段的交角为90度。
2. 平行：两条线段互不相交且在同一平面内。
九、立体几何中的重要定理1. 重心定理：在三角形中，三条重心连线所交于一点，该点即为三角形的重心。
高一必修一数学立体几何知识点总结
第一章知识点总结一、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点三、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）⑥平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④利用勾股定理，等腰三角形三线合一。
(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a ∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l ⊥β,l ⊂α，则α⊥β. （面面垂直判定定理）四、空间中的各种角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)三垂线法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.五 表面积公式和体积公式=2 S =S rl rlππ圆柱侧圆锥侧12)=S r r l π+圆台侧（''()1=2S c c h +正棱台侧'1=ch S =2S ch 直棱柱侧正棱锥侧1= V =3V Sh Sh 柱体锥体1=+3V S S h 下台体上（234=4 V =3S R R ππ球面球。
高一立体几何初步知识点归纳总结
高一立体几何初步知识点归纳总结立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的图形、体积和表面积等属性。
在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，本文将对高一学生需要了解和掌握的立体几何初步知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 点、线、面、体：点是没有长度、宽度和高度的，线是由无数个点连接而成，面是由无数个线连接而成，体是由无数个面连接而成。
2. 点的命名：用字母表示点，如A、B、C等。
3. 直线和射线：直线是由无数个点连成的，没有起点和终点；射线有一个起点，另一端是无穷远的一个方向。
4. 直线的交点：当两条直线相交时，它们交叉的点称为交点。
二、图形的分类1. 平面图形：包括点、线、面。
常见的平面图形有三角形、四边形、圆形等。
2. 空间图形：包括点、线、面、体。
常见的空间图形有立方体、长方体、球体等。
三、空间图形的表示方法1. 投影法：将三维图形在二维平面上的投影来表示，包括正投影和斜投影两种方式。
2. 正投影：投影线垂直于二维平面，每条线投影到平面上都是等长的。
3. 斜投影：投影线与二维平面不垂直，不能保持等长。
四、多面体的特征1. 多面体：指三维空间中的一个封闭的表面，包括四面体、六面体等。
2. 顶点、边、面：顶点是多面体的角，边是多面体的边界，面是多面体的侧面。
3. 万能面：多面体中的一个面，它既是一个面的边界，也是另一个面的侧面。
4. 对称面：多面体中的一个面，它在空间中有对称轴。
五、立体图形的计算1. 体积：立体图形所占的空间大小，单位通常为立方厘米或立方米。
不同图形的计算方式不同，如长方体的体积为底面积乘以高度，球体的体积为四分之三乘以半径的立方。
2. 表面积：立体图形的外表面大小，单位通常为平方厘米或平方米。
不同图形的计算方式不同，如长方体的表面积为底面积的两倍加上底面周长乘以高度，球体的表面积为四乘以半径的平方。
六、平行面和相交面1. 平行面：在空间中，两个或多个面的方向相同或互相平行。
高一数学立体几何讲义
I. 基础知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将空间分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线——共面有且仅有一个公共点；平行直线——共面没有公共点；异面直线——不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） 12方向相同12方向不相同③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P OA a P αβ推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥： [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 侧面积公式S 直棱柱侧＝ch ( c －底面周长，h －高 )S 正棱锥侧＝1/2 ch ( c －底面周长，h －斜高 )S 正棱台侧＝1/2 (c ＋c')h (c ，c'－上、下底面周长，h －斜高)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆锥侧＝1/2cl ＝πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆台侧＝1/2(c ＋c')l ＝π(r ＋r')l(c ，c' －上、下底面周长，r ，r －上、下底面半径)体积公式V 柱体＝Sh ( S －底面积，h －高 )V 椎体=1/3Sh ( S －底面积，h －高 )()h ss s s V '31'++=台体 (S ，S －上下底面积，h －高 ) 3R 34π=球V (R 为球的半径) 24R S π=球。
高一第五章立体几何知识点
高一第五章立体几何知识点立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是在三维空间中的各种几何形体和它们的性质。
在高一的学习中，我们将接触到一些基本的立体几何知识点，本文将为大家介绍这些知识点。
1. 空间中的基本概念在学习立体几何之前，我们首先需要了解一些基本的概念。
例如，点、线、面和体是空间几何中的基本要素。
点是没有长度、宽度和高度的，它在空间中不占据任何位置；线是由无数个点连成的，它没有宽度，但有长度；面是由无数个线组成的，它有长度和宽度，但没有高度；体是由无数个面组成的，它有长度、宽度和高度。
2. 空间中的投影在立体几何中，我们经常需要进行投影操作。
投影是指将一个立体图形沿着某个直线或平面方向影射到另一个平面上的过程。
常见的投影有正投影和斜投影两种。
正投影是指被投影体与投影面垂直的情况，斜投影是指被投影体与投影面不垂直的情况。
在实际问题中，我们可以利用投影来解决空间中的几何问题。
3. 空间中的直线、平面和直线、平面的位置关系在空间中，直线和平面的位置关系是我们要重点考虑的内容。
我们知道，直线与直线可能相交、重合或平行；平面与平面可能相交、重合、平行或共面。
当然，在大多数情况下，我们要考虑的是直线与平面的位置关系，比如直线与平面可能相交于一点，也可能平行于平面，甚至直线可能在平面内。
4. 空间中的多面体多面体是指由多个面组成的立体图形。
我们熟悉的正方体、长方体、棱柱、棱锥、四面体等都是多面体的例子。
对于多面体，我们可以通过计算它们的体积、表面积等性质来研究它们。
在学习中，我们需要熟悉多面体的各个部分的名称和性质，以便能够准确地描述和计算它们。
5. 空间中的球体和圆锥体球体和圆锥体是立体几何中的两个重要概念。
球体是由距离一个定点距离相等的所有点组成的，而圆锥体是由一个封闭曲面和一个封闭曲线上的所有点组成的。
对于球体和圆锥体，我们可以计算它们的体积、表面积等性质，并且利用它们来解决一些实际问题。
6. 空间中的交角和距离在解决空间几何问题时，我们经常需要计算交角和距离。
高一数学立体几何知识点总结
高一数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的物体和形状。
在高一数学学习中，我们接触到了许多立体几何的知识点，本文将对这些知识点进行总结和归纳。
一、点、线、面与体1. 点：点是几何中最基本的概念之一，具有位置但没有大小和形状。
2. 线：线由无数个点组成，是一维的，具有长度但没有宽度和厚度。
3. 面：面由无数个线组成，是二维的，具有长度和宽度但没有厚度。
4. 体：体由无数个面组成，是三维的，具有长度、宽度和厚度。
二、图形的投影1. 平行投影：平行投影是指投影线与物体平行的投影方式，常见的有水平投影和垂直投影。
2. 斜投影：斜投影是指投影线与物体不平行的投影方式，常见的有等腰斜投影和近似斜投影。
三、多面体与相关概念1. 多面体：多面体是由多个平面多边形组成的立体图形，常见的多面体有正方体、长方体、棱柱等。
2. 顶点：多面体的尖角部分称为顶点，每个顶点都是多面体的三个或更多个面的交点。
3. 棱：多面体的边称为棱，每条棱都是多面体的两个顶点之间的线段。
4. 面：多面体的平面多边形称为面，每个面都由多条棱围成。
四、平行线与平面1. 平行线：在同一个平面内，永不相交的线称为平行线。
2. 平面：平面是在三维空间中无限延伸的一个二维空间，具有长度和宽度但没有厚度。
五、重心、中心与轴1. 重心：重心是多边形或多面体的质心，是该图形内所有点重心坐标之和的平均值。
2. 中心：中心是某个图形的特殊点，如三角形的外心、内心、垂心等。
3. 轴：轴是对称图形的特殊线，有横轴、纵轴、对称轴等。
六、立体图形的体积与表面积1. 体积：立体图形的体积是指其所占的空间大小，常用单位为立方厘米、立方米等。
2. 表面积：立体图形的表面积是指其外表面的总面积，常用单位为平方厘米、平方米等。
七、正方体与长方体1. 正方体：所有棱的长度相等且所有面均为正方形的立体图形为正方体，它有六个面、八个顶点和十二条棱。
2. 长方体：所有棱的长度相等且相邻面均为长方形的立体图形为长方体，它有六个面、八个顶点和十二条棱。
高一 立体几何知识点+例题+练习 含答案
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形． (2)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到． ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到． ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到． 2．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 34.(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． (2)几个与球有关的切、接常用结论 a ．正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b ．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. c ．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ )(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．(教材改编)下列说法正确的是________．①相等的角在直观图中仍然相等； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③正方形的直观图是正方形；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． 答案 ④解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．故④正确． 2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________ cm. 答案 2解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．3．(2014·陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________． 答案 2π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为________． 答案212a 3解析 O 是AC 的中点，连结DO ，BO ，△ADC ，△ABC 都是等腰直角三角形．因为DO ＝BO ＝AC 2＝22a ，BD ＝a ，所以△BDO 也是等腰直角三角形．又因为DO ⊥AC ，DO ⊥BO ，AC ∩BO ＝O ，所以DO ⊥平面ABC ，即DO 就是三棱锥D －ABC 的高．因为S △ABC ＝12a 2，所以三棱锥D －ABC 的体积为13×12a 2×22a ＝212a 3.5． 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是__________________________________________．答案 ①解析平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为2，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2 2.题型一空间几何体的结构特征例1(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是________．(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是________．(3)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．答案(1)0(2)③⑤(3)①④解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．图1图2(2)这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，③正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．(3)命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．题型二 空间几何体的直观图例2 已知△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．解 建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.引申探究1．若本例改为“已知△ABC 是边长为a 的正三角形，求其直观图△A ′B ′C ′的面积”，应如何求？解 由斜二测画法规则可知，直观图△A ′B ′C ′一底边上的高为32a ×12×22＝68a ， 故其面积S △A ′B ′C ′＝12a ×68a ＝616a 2.2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原图形的面积为________． 答案 2＋22解析 如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°， ∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1.∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴原图形的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________． ①正方形； ②矩形；③菱形； ④一般的平行四边形． 答案 ③解析 如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm. ∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，∴四边形OABC 是菱形．题型三 求空间几何体的表面积例3 (1)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 12解析 由题意知该六棱锥为正六棱锥，∴设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.(2)如图，斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA ′与底面相邻两边AB 与AC 都成45°角，求此斜三棱柱的表面积． 解 如图，过A ′作A ′D ⊥平面ABC 于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连结A ′E ，A ′F ，AD . 则由∠A ′AE ＝∠A ′AF ， AA ′＝AA ′，又由题意知A ′E ⊥AB ，A ′F ⊥AC ， 得Rt △A ′AE ≌Rt △A ′AF ， ∴A ′E ＝A ′F ，∴DE ＝DF ， ∴AD 平分∠BAC ，又∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥AA ′， 而AA ′∥BB ′，∴BC ⊥BB ′， ∴四边形BCC ′B ′是矩形，∴斜三棱柱的侧面积为2×a ×b sin 45°＋ab ＝(2＋1)ab . 又∵斜三棱柱的底面积为2×34a 2＝32a 2， ∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab ＋32a 2.思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．解 (1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32，因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3， 则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32. 在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3(cm)． 故三棱台斜高为 3 cm.(2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732 (cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)． 故三棱台的侧面积为2732 cm 2，表面积为9934cm 2.题型四 求空间几何体的体积例4 (2015·山东改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________． 答案42π3解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝CB ＝2，则AB ＝2 2.设D 为AB 中点，则BD ＝AD ＝CD ＝ 2.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V ＝2×13×π×(2)2×2＝42π3.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(2014·课标全国Ⅱ改编)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________． 答案 1解析 在正△ABC 中，D 为BC 的中点， 则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ， AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴V 三棱锥A －B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.题型五 与球有关的切、接问题例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________． 答案132解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52， OM ＝12AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r .又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π， V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 (32)2－(12×6)2＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________．答案 2 解析 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)， ∴(x 2)2＋(x 2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.15．巧用补形法解决立体几何问题典例 如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．思维点拨 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积． 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案96温馨提醒(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．答案 ①2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________．答案 10解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．3．用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为________________________________________________________________________． 答案 100π解析 依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25，∴S 球＝4πR 2＝100π.4．(2015·课标全国Ⅰ改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛．答案 22解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)． 5.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________．答案 2 解析 因为AA 1⊥平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以AA 1⊥AB 1，又知AA 1＝1，A 1B 1＝2，所以AB 1＝22－12＝3，同理可得AC 1＝3，又知在△AB 1C 1中，B 1C 1＝2，所以△AB 1C 1的B 1C 1上的高为h ＝3－1＝2，其面积S △AB 1C 1＝12×2×2＝2，于是三棱锥A —A 1B 1C 1的体积V 三棱锥A —A 1B 1C 1＝V 三棱锥A 1—AB 1C 1＝13×S △AB 1C 1×AA 1＝23，进而可得此三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V ＝3V 三棱锥A —A 1B 1C 1＝3×23＝ 2. 6．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．答案 7解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 7．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．答案 144π解析 如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.8．(2015·盐城一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．答案 932解析 设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3. 又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ， 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3，则其体积比为932. 9．(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和 30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.10.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积．解 方法一 连结A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连结B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离．∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高．∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1，∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a . ∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H ＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二 连结EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知某圆锥体的底面半径r ＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是________．答案 36π解析 由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2πr ＝6π，从而其母线长为l ＝6π2π3＝9，从而圆锥体的表面积为S 侧＋S 底＝12×9×6π＋9π＝36π. 12．三棱锥P —ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D —ABE 的体积为V 1，P —ABC的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 V 1＝V D —ABE ＝V E —ABD ＝12V E —ABP ＝12V A —BEP ＝12×12V A —BCP ＝12×12V P —ABC ＝14V 2. 13．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是________cm 2.答案 24π解析 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA ，设O 1C ＝r ， 则OA ＝2r ，又O 1C SC ＝OA SA＝sin 30°，∴SC ＝2r ，SA ＝4r ， ∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm ，∴r ＝2 cm.∴圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π cm 2.14．(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt △AEC中，可得EG＝32x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥EACD的体积V EACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2 5.15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．解 (1)如图，连结OM ，则OM ⊥AB ，设OM ＝r ，OB ＝3－r ，在△BMO 中，sin ∠ABC ＝r 3－r ＝12⇒r ＝33. ∴S ＝4πr 2＝43π. (2)∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3， ∴AC ＝1.∴V ＝V 圆锥－V 球＝13π×AC 2×BC －43πr 3 ＝13π×1×3－43π×39＝5327π.。