MATLAB数值计算功能(向量、矩阵、数组、稀疏矩阵)
matlab中的数据格式
在MATLAB中，数据可以以多种格式存储和操作。
以下是一些常见的数据格式：数值数组：这是MATLAB中最基本的数据结构。
数值数组可以是向量、矩阵或多维数组。
它们可以存储整数、浮点数等。
matlabA = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; % 这是一个2x3的矩阵字符数组：用于存储文本数据。
字符数组中的每个元素都是一个字符。
matlabstr = 'Hello, World!'; % 这是一个字符数组元胞数组（Cell Arrays）：元胞数组是一种灵活的数据结构，可以存储不同类型和大小的数据。
每个元胞可以包含任意类型的数据，包括数值、字符、另一个元胞数组等。
matlabC = {1, 'Text', [3, 4; 5, 6]}; % 这是一个元胞数组，包含数值、文本和矩阵结构体（Structures）：结构体允许您将多个不同类型的字段组合到一个单一的数据结构中。
每个字段可以有自己的名称和数据类型。
matlab = 'John Doe';patient.age = 30;patient.height = 1.75; % 这是一个结构体，包含姓名、年龄和身高字段表（Tables）：表是一种用于存储和组织数据的数据类型，其中数据按行和列排列，类似于电子表格。
每列都有一个特定的变量名和数据类型。
matlabT = table([1; 2; 3], {'A'; 'B'; 'C'}, [1.1; 2.2; 3.3], ...'VariableNames', {'ID', 'Name', 'Score'}); % 这是一个表，包含ID、姓名和分数列符号表达式（Symbolic Expressions）：MATLAB也支持符号计算，允许您使用符号变量和表达式进行数学运算。
matlab在科学计算中的应用
MATLAB在科学计算中的应用非常广泛，主要包括以下方面：
1. 数值计算和数据分析：MATLAB提供了丰富的数值计算和数据分析工具箱，包括向量、矩阵、多维数组、函数和数据可视化等功能，可以用于求解线性代数、常微分方程、偏微分方程、统计分析等问题。
2. 机器学习和数据挖掘：MATLAB提供了机器学习和数据挖掘工具箱，包括支持向量机、随机森林、神经网络等算法，可以用于分类、回归、聚类等任务。
3. 信号处理和图像处理：MATLAB提供了信号处理和图像处理工具箱，可以用于信号滤波、频谱分析、图像增强、图像处理等任务。
4. 控制系统设计和仿真：MATLAB提供了控制系统工具箱，可以用于设计和仿真各种控制系统，包括PID控制、模糊控制、神经网络控制等。
5. 计算机视觉和机器人技术：MATLAB提供了计算机视觉和机器人技术工具箱，可以用于图像处理、目标检测、跟踪、机器人运动规划等任务。
总之，MATLAB在科学计算中的应用非常广泛，可以帮助科学家和工程师解决各种复杂的数学和工程问题，提高工作效率和精度。
matlab入门经典教程--第四章数值计算
m a t l a b入门经典教程--第四章数值计算-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第四章数值计算4.1引言本章将花较大的篇幅讨论若干常见数值计算问题：线性分析、一元和多元函数分析、微积分、数据分析、以及常微分方程（初值和边值问题）求解等。
但与一般数值计算教科书不同，本章的讨论重点是：如何利用现有的世界顶级数值计算资源MATLAB。
至于数学描述，本章将遵循“最低限度自封闭”的原则处理，以最简明的方式阐述理论数学、数值数学和MATLAB计算指令之间的内在联系及区别。
对于那些熟悉其他高级语言（如FORTRAN，Pascal，C++）的读者来说，通过本章，MATLAB卓越的数组处理能力、浩瀚而灵活的M函数指令、丰富而友善的图形显示指令将使他们体验到解题视野的豁然开朗，感受到摆脱烦琐编程后的眉眼舒展。
对于那些经过大学基本数学教程的读者来说，通过本章，MATLAB精良完善的计算指令，自然易读的程序将使他们感悟“教程”数学的基础地位和局限性，看到从“理想化”简单算例通向科学研究和工程设计实际问题的一条途径。
对于那些熟悉MATLAB基本指令的读者来说，通过本章，围绕基本数值问题展开的内容将使他们体会到各别指令的运用场合和内在关系，获得综合运用不同指令解决具体问题的思路和借鉴。
由于MATLAB的基本运算单元是数组，所以本章内容将从矩阵分析、线性代数的数值计算开始。
然后再介绍函数零点、极值的求取，数值微积分，数理统计和分析，拟合和插值，Fourier分析，和一般常微分方程初值、边值问题。
本章的最后讨论稀疏矩阵的处理，因为这只有在大型问题中，才须特别处理。
从总体上讲，本章各节之间没有依从关系，即读者没有必要从头到尾系统阅读本章内容。
读者完全可以根据需要阅读有关节次。
除特别说明外，每节中的例题指令是独立完整的，因此读者可以很容易地在自己机器上实践。
MATLAB从版升级到版后，本章内容的变化如下：MATLAB从版起，其矩阵和特征值计算指令不再以LINPACK和EISPACK库为基础，而建筑在计算速度更快、运行更可靠的LAPACK和ARPACK程序库的新基础上。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能下面将详细介绍MATLAB数值计算功能的一些主要方面：1. 矩阵运算和线性代数：MATLAB具有强大的矩阵操作功能，可以直接对矩阵进行加减乘除、求逆矩阵、求特征值等运算。
MATLAB中的线性方程组求解函数（如`linsolve`和`inv`）可以更轻松地解决各种线性代数问题。
2. 数值积分和微分：MATLAB提供了多种数值积分和微分函数，用于求解一元和多元函数的定积分、不定积分、数值微分和数值求导。
例如，可以使用`integral`函数计算函数的定积分，并使用`diff`函数计算函数的导数或`gradient`函数计算梯度。
3. 方程求解：MATLAB提供了一系列函数，用于解决非线性方程和代数方程组。
这些函数包括`fsolve`（用于求解非线性方程），`roots`（用于求解多项式方程的根）和`solve`（用于求解代数方程组）等。
4. 曲线拟合和数据拟合：MATLAB提供了多个函数用于曲线拟合和数据拟合，包括`polyfit`（多项式拟合），`lsqcurvefit`（非线性最小二乘曲线拟合），`interp1`（一维插值）和`griddata`（多维数据插值）等。
这些函数可以帮助用户找到数据之间的模式和关系。
5. 常微分方程（ODE）求解：MATLAB提供了用于求解常微分方程组（ODE）的函数，既可以用传统的数值方法求解，也可以用符号计算求解。
用户可以使用`ode45`、`ode23`或`ode15s`等函数来求解初值问题或边界值问题。
6. 线性最小二乘拟合：MATLAB中的`lsqnonlin`函数可以用于线性最小二乘问题的求解，包括曲线拟合、数据拟合、参数估计等。
用户可以使用该函数来找到使得拟合曲线和观测数据之间残差最小的参数。
7. 数值优化：MATLAB包含一系列优化函数，可以求解常规优化问题、无约束优化问题、约束优化问题等。
用户可以使用函数`fminsearch`、`fminunc`和`fmincon`等来找到函数的最小值或最大值。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能
MATLAB是一种非常强大的数值计算软件，被广泛应用于科学计算、
工程计算和数据分析等领域。
它提供了丰富的数值计算功能，包括基本的
数学运算、线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法等。
下面将详
细介绍一些常见的数值计算功能。
1.数学运算：
MATLAB提供了丰富的数学函数，可以进行各种基本的算术运算，如
加减乘除、幂运算、取模运算等。
同时，它还提供了一些高级的数学函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。
通过这些函数，用户可以进行各种
复杂的数学运算。
2.线性代数：
3.数值积分：
4.微分方程求解：
5.优化算法：
MATLAB提供了各种优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划等。
用户可以通过设定目标函数和约束条件，利用MATLAB的优
化函数寻找最佳的解。
这对于优化问题的求解非常有用，如工程设计、生
产调度等。
6.统计分析：
7.数据可视化：
总之，MATLAB的数值计算功能非常丰富，可以满足各种数学计算和数据分析的需求。
它不仅提供了各种基本的数学运算功能，还提供了高级的线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法和统计分析等功能。
同时，其强大的数据可视化功能也是很多用户选择MATLAB作为数值计算工具的重要原因之一。
matlab数值计算稀疏矩阵
matlab数值计算稀疏矩阵稀疏矩阵是一种在实际问题中经常遇到的特殊矩阵，它的每一行只有很少的非零元素。
这种特殊的矩阵在存储和计算上都具有很大的优势，因为它可以节省存储空间和计算时间。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB进行稀疏矩阵的数值计算。
我们需要了解如何在MATLAB中表示稀疏矩阵。
MATLAB提供了一个专门的数据类型叫做“稀疏矩阵”，可以用来存储和处理稀疏矩阵。
在MATLAB中，稀疏矩阵可以由三个向量来表示：一个存储非零元素的值向量，一个存储非零元素所在的行索引的向量，一个存储非零元素所在的列索引的向量。
这种表示方式可以大大减少存储空间的使用。
接下来，我们将介绍如何创建稀疏矩阵。
在MATLAB中，可以使用稀疏矩阵的构造函数来创建稀疏矩阵。
例如，可以使用sparse函数来创建一个5行5列的零矩阵：```MATLABA = sparse(5, 5);```上述代码将创建一个5行5列的稀疏矩阵A，所有元素都被初始化为零。
可以使用非零元素的值和位置来创建稀疏矩阵。
例如，可以使用以下代码创建一个具有非零元素的稀疏矩阵：```MATLABvalues = [1, 2, 3];rows = [1, 2, 3];cols = [1, 2, 3];B = sparse(rows, cols, values);```上述代码将创建一个3行3列的稀疏矩阵B，其中第一行第一列的元素为1，第二行第二列的元素为2，第三行第三列的元素为3。
其他位置的元素都被初始化为零。
一旦创建了稀疏矩阵，我们可以使用MATLAB提供的函数进行各种数值计算。
例如，可以使用矩阵乘法函数sparse进行稀疏矩阵的乘法运算。
例如，可以使用以下代码计算两个稀疏矩阵的乘法：```MATLABC = sparse(rows, cols, values) * sparse(cols, rows, values)';```上述代码将计算稀疏矩阵B与其转置矩阵的乘法，并将结果存储在稀疏矩阵C中。
matlab求解稀疏矩阵
稀疏矩阵
阶矩阵， 的存储空间， 对于一个 n 阶矩阵，通常需要 n2 的存储空间，当 n 很 大时，进行矩阵运算时会占用大量的内存空间和运算时间。 大时，进行矩阵运算时会占用大量的内存空间和运算时间。 在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量0元 在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量 元 稀疏矩阵。 这样的矩阵称为稀疏矩阵 素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。 Matlab支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素，这在矩阵 支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素， 支持稀疏矩阵 的存储空间和计算时间上都有很大的优点。 的存储空间和计算时间上都有很大的优点。 稀疏矩阵及其算法，就是不存储那些“ ”元素， 稀疏矩阵及其算法，就是不存储那些“0”元素，也不对它 内存空间和 们进行操作，从而节省内存空间 计算时间； 们进行操作 ， 从而节省 内存空间 和 计算时间 ； 稀疏矩阵计算 的复杂性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数 非零元素的个数。 的复杂性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数。
稀疏矩阵介绍
从文件中创建稀疏矩阵
利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非 和 函数可以从包含一系列下标和非 利用 函数可以从 零元素的文本文件中输入稀疏矩阵 中输入稀疏矩阵。 零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。 例：设文本文件 T.txt 中有三列内容，第一列是一些行下标， 中有三列内容，第一列是一些行下标， 第二列是列下标，第三列是非零元素值。 第二列是列下标，第三列是非零元素值。 1 2 2 3 4 4 3 1 3 4 2 3 5 3 3 1 4 3 load T.txt S=spconvert(T)
稀疏矩阵运算
在赋值语句的右侧的子矩阵索引保留参数的存储形式， 在赋值语句的右侧的子矩阵索引保留参数的存储形式，即： 是稀疏矩阵， 是向量或标量， 对于 T=S(i,j)，若 S 是稀疏矩阵，i,j 是向量或标量，则T ， 也是稀疏矩阵。 也是稀疏矩阵。 在赋值语句的左侧的子矩阵索引不会改变左侧矩阵的存储形 式。 例： A=eye(4); B=speye(4); [i,j]=find(A); S1=A(i,j); whos S1=B(i,j); whos A(i,j)=2*B(i,j); whos B(i,j)=A(i,j)^2; whos
matlab中稀疏矩阵
matlab中稀疏矩阵创建稀疏矩阵的步骤。
最后，我们将讨论稀疏矩阵的应用场景以及如何在MATLAB中进行操作。
第一步：了解稀疏矩阵稀疏矩阵是一种特殊类型的矩阵，其中大部分元素为0。
相比之下，密集矩阵大多数元素都是非零的。
由于其绝大多数元素为0，稀疏矩阵占用较少的内存空间，并且在某些应用中可以大大加快计算速度。
因此，对于具有大量零元素的矩阵，使用稀疏矩阵存储和操作数据是非常有效的。
第二步：创建稀疏矩阵在MATLAB中，我们可以使用'sparse'函数创建稀疏矩阵。
该函数采用三个输入参数：行索引向量，列索引向量和对应于非零元素的值向量。
这些输入参数的长度必须相同，且行索引和列索引不能超过矩阵的尺寸。
例如，假设我们要创建一个3x3的稀疏矩阵A，其中非零元素为[1, 2, 3]，对应的行索引为[1, 2, 3]，列索引为[1, 2, 3]。
我们可以使用以下代码创建该稀疏矩阵：MATLABA = sparse([1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 3], 3, 3);在上述代码中，我们首先指定元素的非零值，然后是行和列索引。
最后，我们指定了矩阵的尺寸。
第三步：访问稀疏矩阵的元素与密集矩阵一样，我们可以通过索引访问稀疏矩阵的元素。
但由于稀疏矩阵中存在大量的零元素，当我们访问这些零元素时，MATLAB不会返回它们。
相反，它只返回非零元素的值。
例如，我们可以使用以下代码访问稀疏矩阵A的(1, 1)位置上的元素：MATLABelement = A(1, 1);通过这个例子，我们可以看到元素A(1, 1)的值为1。
第四步：操作稀疏矩阵与密集矩阵一样，我们可以对稀疏矩阵执行各种数学和统计操作。
MATLAB提供了许多函数和工具，可用于对稀疏矩阵执行这些操作。
例如，我们可以使用以下代码计算稀疏矩阵A的行和：MATLABrowSum = sum(A, 2);在上述代码中，'sum'函数的第二个参数设置为2，以指定我们要计算的是每一行的和。
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数值计算功能向量及其运算1、向量生成（1)、直接输入向量元素用“［］”括起来，用空格或逗号生成行向量，用分号生成列向量a１=［１１1４1７1８]ａ2＝[１1,14,１７,１8]a2=[１1;1４;1７;1８] %列向量用“’”可以进行向量转置a1＝[11 14 １７１８]a4=ａ1'ﻩﻩ%a1行向量，a4列向量也可以用组合方法：A=[１ 2 3]；B=［7 8 9];Ｃ=［A ４onｅｓ(1,2)B］(2)、等差元素向量生成冒号生成法：Vec＝Vｅｃ0:ｎ：Ｖｅcn,其中Ｖec表示生成的向量，Veｃ０表示第一个元素，ｎ表示步长，Vecn表示最后一个元素使用ｌiｎｅspａce函数：Vec＝ｌinesｐacｅ(Vｅc０,n,Vecn），其中Ｖｅc表示生成的向量，Vec0表示第一个元素,n表示生成向量元素个数(默认n＝100)，Vｅcn表示最后一个元素veｃ1=10:5：５0veｃ2=50：-5:1０vｅc3＝linspace(１0,50,６)２、向量的基本运算（1）、向量与数的四则运算向量中每个元素与数的加减乘除运算(除法运算时,向量只能作为被除数,数只能作为除数）vec1＝liｎspａcｅ(10,5０，６）vec1+10０vec2=lｏｇspace(0,10,6)ﻩﻩ％对数等分向量ｖｅｃ2／100(2)、向量与向量之间的加减运算向量中的每个元素与另一个向量中相对应的元素的加减运算veｃ１=lｉnsｐace(10,５0,6)ｖec2=lｏgspaｃe（０,２,6)vec３＝vｅc1+vec2(3）、点积、叉积和混合机点积：dｏt函数，注意向量维数的一致性x1=［11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]a=dot(x1，x２)sum(x1.*x2) %还可以采用sum函数计算向量的点积叉积:cｒｏss函数，注意向量维数的一致性（由几何意义可知,向量维数只能为3)x1=［11 2２33 44]x2＝［1 2 3 ４]ｘ3=crｏss(x１,x２)ﻩ％报错,维数只能为3x1=［11２2 3３]x2＝［1 ２3]x3=cｒoｓs(ｘ1,x2)混合积：结果为一个数,先求ｃrｏss，再求dotａ＝［1 ２３]b=[２４3]ｃ=[５ 2 1］ｖ＝dot（a,croｓs(b,c）)v=croｓｓ(a,dot（b,c)) ﻩ%报错矩阵及其运算MＡTLAB的基本单位是矩阵,逗号或空格区分同一行不同元素，分号区分不同行1、矩阵的生成4种方法：在command wｉndｏw直接输入;通过语句和函数产生；M文件中建立;外部数据文件中导入（1)、直接输入：把矩阵元素直接排列到方括号中,每行元素用逗号或空格相隔,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 １１;2,２，2,2;3,３,3,3；4 ４4 4]冒号用法:Ａ=［1 1 1;12３;1 3６]B=A(1:2,:）(2）文件导入：＊.mat*.txt*.daｔload 文件名参数直接导入:Filｅ—Ｉmpｏrt Ｄata2、矩阵的基本数值运算(１)、矩阵与是常数的四则运算(除法时,常数只能作为除数)ｍatriｘ=[11 1 1;2，2,2,2;3,３，３,３;4 4 44]ｍ1=１0０+matrixm2=10０-matrｉxm3=100*maｔriｘm４=matrix/２（2）、矩阵之间的四则运算加减法:矩阵各个元素之间的加减法，必须是同型矩阵ｍａtrｉx＝[1 1 １1;2,2,2，2;3，3,3,3;4 4 4 4]ｍ１=20*ｍaｔrixｍ2=ｍ1+ｍatｒixｍ3=[11 2２33；1 2３;4 5 6]m4=ｍａtｒix-m1m5=m３＋m1ﻩﻩ%报错，非同型矩阵乘法：用*，左矩阵的列数需等于右矩阵的行数Ａ=［1 1 1 1;２２ 2 2;3 3 3 3;4４44]B=[1 5 ９２;６357;2 5 ８９;4５6 3]C=Ａ*ＢD=[1 5 ９；6 ３5;2 5 8]E＝A*Dﻩﻩ％报错,4*4矩阵不能与3*3矩阵相乘除法：左除＼（ＡX=B则Ｘ=Ａ\Ｂ,相当于X=ｉｎv(A)＊Ｂ，但是左除稳定性好)右除/(XA=B则X=B/A,相当于X=B*inv（A))个人认为:左除相当于逆矩阵左乘，右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B的解，本列中A=[2 1 -1；2 10;1 -１1] ；B＝［1 -１3;4 3 ２］A=［2 １－1; 2 １0;１-1 １]B=［1 -1 3;4 3 2]X＝B/A矩阵可以使用比较运算符：结果矩阵的对应位置为0或1数据变换：ｆlｏoｒceｉlｒoｕndfixreｍ[n,d］＝rat(A）:A表示为两个整数阵对应元素相除的形式A=ｎ./d3、矩阵的特征参数运算(1)、乘方与开方乘方：Ａ＾p计算A的p次方p>0：A的p次方p<０:A逆矩阵的ａbｓ(p)次方A=[１2 34；45６7；４5 6 7;８９１0１1]Ｂ=A^10开方:若有X*X=A，则有sqrtm(A)＝XＡ=ｍagic（５)B=sｑrtm（A)B^2ﻩ%验证正确性（2)、指数与对数指数：expm（X)=V*diag（ｅxｐ（diaｇ(D)））/V([V，D]＝ｅig（X））对数：L=lｏgm(Ａ),与指数运算互逆X=ranｄ(4）Y=eｘpm(Ｘ)Ａ=ｒandn(4）Ｂ=lｏgm(A)（３）、逆运算iｎv函数，充要条件:矩阵的行列式不为０A=[10 0 0;１2 0 ０;２1 3 0；1 ２１4]Ｂ=inｖ(A)广义逆矩阵（伪逆):piｎv(A）非奇异矩阵的pｉnv与ｉnv相同(4)、行列式ｄet函数A=[1 0 ０0;1 2 ００；2 1 3 0；１ 2 １4］B＝inv（A)x=det(A)y=ｄet(B）i=ｘ＊y（5）、特征值E=eｉg(X)：生成由X的特征值组成的列向量[V，D]=eiｇ(X):Ｖ是以X的特征向量为列向量的矩阵,D是由矩阵X的特征值构成的对角阵D＝eigs(X）：生成由X的特征值组成的列向量(ｅigｓ函数使用迭代法求解矩阵的特征值和特征向量,X必须是方阵，最好是大型稀疏矩阵)[V,D]=eｉg(Ｘ)：V是以X的特征向量为列向量的矩阵,D是由矩阵X的特征值构成的对角阵X＝mａｇiｃ(3)Ａ=[１０0;０03;0 9 ０]E=eiｇ(Ｘ)[ＶD]＝ｅig(X）D＝eigｓ（A）[ＶＤ]=ｅigｓ(A）（６）、矩阵(向量）的范数norm(X)：２-范数noｒｍ（X,2):2－范数ｎorm(X,1):1-范数noｒm(X，inf)：无穷范数norm(X,’frｏ’)：Fｒoｂeniｕs范数ｎormest(X):只能计算2-范数,并且是2－范数的估计值,用于计算norｍ(X）比较费时的情况X=hilb(4)norｍ(4)ｎｏrｍ(X)ｎorm(X，２)noｒｍ(X,1)norｍ(X,inf)norm(X,'fｒo')nｏrmesｔ(X)（7)、矩阵的条件数运算矩阵的条件数是判断矩阵“病态”成都的一个度量，矩阵A的条件数越大,表明A越病态,反之，表明Ａ越良态,Hｉｌberｔ矩阵就是有名的病态矩阵conｄ(X):返回关于矩阵X的2-范数的条件数cｏｎd(X，P)：关于矩阵Ｘ的P-范数的条件数(P为1、２、iｎf或’frｏ’）ｒcoｎｄ(X)：计算矩阵条件数的倒数值，该值越接近0就越病态,越接近1就越良态condest(X):计算关于矩阵X的1-范数的条件数的估计值M=ｍagｉc(3）;H=hilｂ(4);ｃ１=cond(Ｍ）ｃ2=ｃoｎd(M,１)c3=rcｏnｄ(Ｍ)ｃ４=conｄeｓｔ(M)ｈ１＝ｃond（H)h２＝cond(H,inf)h3=rcｏｎd(Ｈ)h４=condesｔ(H)由以上结果可以看出，魔术矩阵比较良态，Ｈｉlbｅrt矩阵是病态的(8)、秩ｒank函数T=rand(6)rａｎk(T) ﻩ%6,满秩矩阵T1＝[1 1 1；2 2 3］r=raｎk(T1）ﻩﻩ％ｒ=２，行满秩矩阵（9）、迹tracｅ函数，主对角线上所有元素的和,也是特征值之和M=magic（5）T＝ｔrａｃe(Ｍ）T1=eig(M)T2=ｓｕm(T１)4、矩阵的分解运算(1)、三角分解(lu）非奇异矩阵A(n*n），如果其顺序主子式均不为0,则存在唯一的单位下三角L和上三角阵U,从而使得A=LＵ[L，U]＝ｌｕ(Ｘ):产生一个上三角矩阵Ｕ和一个下三角矩阵L，使得X=ＬU，X可以不为方阵[L,Ｕ,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵Ｌ、一个上三角矩阵Ｕ和交换矩阵P,ＰＸ＝LUY＝lu(X):如果Ｘ是满矩阵，将产生一个lapaｃk’ｓ的dgetrf和zgｅｔrf的输出常式矩阵Ｙ；如果X是稀疏矩阵，产生的矩阵Y将包含严格的下三角矩阵L和上三角矩阵U,这两种情况下，都不会有交换矩阵PＸ＝[6 ２ 1 -1;２４１0;1１４-１；-1 ０-1 3][L U]=lu(X)[LＵＰ]=lu(X）Ｙ=lu(X）(２）、正交分解(qr)对于矩阵Ａ（n*ｎ),如果Ａ非奇异,则存在正交矩阵Ｑ和上三角矩阵R，使得A满足关系式Ａ=QR,并且当R的对角元都为正时,QR分解是唯一的［Ｑ,R]＝qr（Ａ)：产生一个与A维数相同的上三角矩阵Ｒ和一个正交矩阵Q,使得满足A=QR ［Q,R,E]=qr(A）：产生一个交换矩阵E、一个上三角矩阵R和正交阵Q，这三者满足AE=QＲ[Q,R]=ｑr(A，０)：对矩阵A进行有选择的QR分解,当矩阵A为m*n且m>ｎ,那么只会产生具有前ｎ列的正交矩阵QR＝qr（A):只产生矩阵R，并且满足Ｒ=cｈol(A’＊Ａ)A=[１７3 4；3１１2;4 1２8][ＱR]=qr(A)[ＱＲE]=ｑr(A)[Q R］＝qr(A,0)R=qr(A）[Q，Ｒ]=qrｄeleｔｅ(A，ｊ）:去除第ｊ列求QR分解［Q,R]=ｑrdeleｔe(A,ｊ,x):在第j列插入ｘ后求QR分解（3)、特征值分解(eｉg)[Ｖ,Ｄ］=eig(X)：V是以矩阵X的特征向量作为列向量构成的矩阵,Ｄ是矩阵X的特征值构成的对角阵,满足XV=VＤ[V,D]＝ｅiｇ(A,B）:对矩阵A、Ｂ做广义特征值分解，使得ＡV＝BVＤA=magiｃ(４）［V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[１７3 4 2；3 １１2 6;4 12 8７；1 2 ３４][V D］＝eｉg（A,Ｂ)Ｚ=A＊V-B*V*D（4）、Chｏlｌesky分解(ｃhol）当矩阵A(n＊n)对称正定时,则存在唯一的对角元素为正的上三角矩阵Ｒ，使得A=R’*R,当限定R的对角元素为正的时候，该分解是唯一的当矩阵Ａ为非正定阵时,会提示出错Ａ=[4 -1 1;-1 4.２5 ２.7５;1 2.75 3．5]R=ｃhoｌ（A)R'*Rﻩ%=AA＝[0 4 ０；3 ０1;0 1 3］Ｒ=chｏl(A）ﻩ%报错，A为非正定阵(5)奇异值分解（ｓｖd）[Ｕ,S,V]=sｖｄ(X):与矩阵Ｘ维数相同的对角阵S、正交矩阵U和正交矩阵Ｖ,使得满足X=UＳV’[Ｕ，S，V]＝ｓvｄ(X，０):X为M*N矩阵，当M>Ｎ时，生成的矩阵Ｕ只有前N列元素被计算出来，并且S为Ｎ*N矩阵X＝［１２３;４56;7 8 9][UＳV]=ｓvd（Ｘ)Ｘ=［１2３;456;7 8 9;10 11 １2］[ＵS V]＝ｓvｄ(X）X=[1 2 3;4 5 6；7 ８9；10 １1 12ckl[U S V]=svｄ(X,0）Sｃhur分解(正交阵和scｈur阵）[U,T]=ｓchｕr(A）：A=UTU’scｈur阵是主对角线元素为特征值的三角阵5、矩阵的一些特殊处理siｚｅ(Ａ)：求矩阵A的行数、列数diag(A)：求出矩阵A的对角元素rｅｐｍat（A)：将矩阵A作为单位,赋值成ｍ*ｎ矩阵,其中每个元素都是A矩阵cａｔ(k，A,Ｂ)：k＝１合并后形如[A;B］（A,B列数相等）；k＝1合并后形如[A，B](A,B行数相等）(１）、矩阵的变维resｈape(X,M，Ｎ):将矩阵X的所有元素分配到一个M＊N的新矩阵,当矩阵X的元素不是M*N时,返回错误rｅshａpe(X,Ｍ,N，P,…):返回由矩阵X的元素组成的M*N*P*…多维矩阵，若果M*N*P*…与X 的元素数不同时,将返回错误reｓhapｅ(X,[M，N,Ｐ,…］)：与上一条相同A＝rａｎd(４，2)rｅshａpe(Ａ，2,４)reshape(Ａ,［2，２,2]）用冒号变维:A=[1 2 3 4;５6７８；9 10 １1 1２]；Ｂ＝oｎes(2,６)；Ｂ(:）=A(:)(２）、矩阵的变向rot90(Ａ）：A按逆时针旋转90度rot90(Ａ,K)：A按逆时针旋转90＊K度ｆｉｌpuｄ(X)：将X上下翻转ｆliplｒ(X)：将X左右翻转fｌipdim(X，DIM):将X的第ＤIM维翻转Ｘ=[１4;２5;3 6]rot90(Ｘ)rｏt90（X,-1）flipud(X)fliplr(X)ｆｌｉpdｉm(X，2)ﻩﻩ%左右翻转6、特殊矩阵的生成（1）、零矩阵和全１矩阵的生成A＝ｚｅｒos（M,Ｎ):生成M*N的零矩阵A=zｅｒos(siｚe(Ｂ)）：生成与B同型的零矩阵Ａ=zｅｒｏｓ(Ｎ)：生成N阶零矩阵仿真全１矩阵的生成与零矩阵的生成类似，使用onｅs函数A＝ｚｅｒoｓ(4,5)B=［1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;98 7 6 5;8 ７６54]A=zｅros(size(B))A=ｚｅrｏs(5)C＝oneｓ(5,6)C=ones(3）(2)、对角矩阵的生成A=dｉaｇ（V,K):V为某个向量，Ｋ为向量V偏离主对角线的列数，K=０表示V为主对角线，K>00表示V在主对角线以上,Ｋ＜０表示Ｖ在主对角线以下A=diag（V)：相当于K=0v=［1 9 ８1 6]ｄｉａg（v,１)ｄｉag(v)（3）、随机矩阵的生成rand（N)：生成N*N的随机矩阵，元素值在(0．０,１．０)之间rand(Ｍ，N)randn（N）:生成N*N的随机矩阵,元素之服从正态分布N(0，1）randｎ(M,N）rａnd(5)randn(5)(4)、范德蒙德矩阵的生成A=vander(Ｖ):有A(I,j）=v（i)n－jv＝[1 3 5７9]A=vaｎdｅｒ(v)(5)、魔术矩阵的生成它是一个方阵,方阵的每一行，每一列以及每条主对角线的元素之和都相同(２阶方阵除外) ｍaｇiｃ(N）:生成N阶魔术矩阵,使得矩阵的每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,Ｎ>0（N=2除外)magｉc(２)magic(３）magｉc（４)(6)、Ｈｉｌbｅrt矩阵和反Hiｌｂert矩阵的生成Hilbeｒt矩阵的第i行、第j列的元素值为1/(i＋j－１）,反Ｈｉlbert矩阵是Ｈｉlbｅrt矩阵的逆矩阵hiｌb(N）:生成N阶的Hilbｅrｔ矩阵invhilｂ(N)：生成N阶的反Ｈilｂeｒt矩阵A=ｈｉｌb(5)B=iｎvhilb（5)Ｃ＝A*Branｄpeｍ(n):随机排列ｈｅss(A）：hｅss矩阵pascal(n)：Ｐaｓcal矩阵haｎkel(c)：Ｈａｎｋel矩阵wｉlkiｎsｏn（n):wｉlｋiｎsｏn特征值测试矩阵blkdｉag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素的矩阵注:ｄiaｇ函数的输入参数只能有一个(可以为向量）comｐaｎ（u）：友矩阵hadaｍaｒd(n)：hadａmａrd矩阵ｔｏｅplitz(c，r）：托布列兹阵数组及其运算１、数组寻址和排序(1）、数组的寻址A=randn(1,10）A(4)ﻩﻩ％访问A的第4个元素Ａ(2:6)ﻩﻩ%访问Ａ的第2到6个元素A（６：-2:１）Ａ（[1 ３７4]) %访问A中１、3、7和4号元素A（４：end)ﻩﻩ%end参数表示数组的结尾（2)、数组的排序sort（Ｘ):将数组X中的元素按升序排序X是多维数组时，sort(X)命令将X中的各列元素按升序排序X是复数时,ｓoｒt(X)命令将X中的各个元素的模abs(X)按升序排序X是一个字符型单元数组,sort(X)命令将X中的各列元素按AＳCII码升序排序Y＝ｓｏｒt(X,DIM,MODE）：DIM选择用于排列的维,MＯDE决定了排序的方式（’ascend’升序，’ｄesceｎd’降序),该命令生成的数组Y与X是同型的X＝［3 7 5;0 4 2]sｏrt(X,1) %纵向升序排序sｏrt(Ｘ,２)ﻩ%横向升序排序sort(2）2、数组的基本数值运算(1)、加减法（与矩阵加减法相同）X=[1 4 7]Y＝［2 5 8]Z=Ｘ-ＹＶ=X+Ｙ（2)、数组的乘除法乘法用“.*”：X、Y有相同维数，X．＊Y表示X和Y中单个元素之间的对应乘积除法用“．/”：注意“./”和“．\”完全不同X=［1052 96 1２56］Y=[2 2６3 4 8]Z＝［10529６１2 ５642]Ｚ1=X.*ＹＺ2＝X.*Zﻩ%报错，维数问题Ｚ3＝X./Y %Z3=5,2,32,3,7Z4=Ｘ.＼Yﻩﻩ%Z4＝0．2,0.５,0．0３13,0.３333，0．１429Ｚ5＝X.\Zﻩﻩ％报错,维数问题（３)、数组的乘方两个数组之间的乘方X＝［1 4 7]Y=[2 5８］Z=X．＾Y乘方运算时指数为标量X=[3 ６9]Z=Ｘ.^3乘方运算时底数为标量X=[4５6 7 8９]Ｚ=3．^X数组和矩阵也可以进行exp、lｏg、sqrｔ等运算，是对每个对应元素进行运算3、数组的关系运算小于（<),小于等于（<=）,大于（＞）,大于等于（>=),等于（==),不等于（~=）,结果为1,则关系式为真，结果为０,则关系式为假％reｍ(X，n),求余函数,X为被除数,n为除数M=magic(7)Ｎ=(ｒeｍ(M,3）)N=(rem(M,3)<＝1）Ｎ＝(rem(M,3)==1)N＝(rem(M，3)>=1)４、数组的逻辑运算与（&),或（|），非（～),其中与、或可以比较两个标量或者两个同阶数组（或矩阵）,非运算时针对数组(或矩阵中的每一个元素)，当逻辑为真则返回1，当逻辑为假则返回0M=[1 1 0;0 1 ０；1 0 0]Ｎ=[1 0 1;1 1 １；0 0 0]Ｍ｜NM&N~Ncaｔ：串接fliｐｄimfｌiｐlｒflipuｄkrｏn：积数组permuｔｅ：重组repmaｔresｈaperot90稀疏型矩阵1、稀疏矩阵的生成(1）、speyｅ函数:生成单位稀疏矩阵speyｅ（ｓiｚe(A))sｐeye（Ｍ,N)：维数为M和N中较小的一个sｐeyｅ（N）Ａ=eye(10）speye(sｉzｅ（A))spｅye(７，6)speye(5)(２）、sprand函数：生成随机稀疏矩阵(元素服从0-1之间的随机分布)R=sprａnd（Ｓ)：产生与稀疏矩阵S结构相同的稀疏矩阵,但它的元素都是0-1上的随机数Rsprａｎd(M，N，D):产生一个M*N的随机稀疏矩阵R,它的非您元素的个数近似为Ｍ*N*D，注意D的值在0-1之间且不要过大v=[3 5 6 2１9 6 5 5 6］S＝diag（v)Ｒ=spｒanｄ（S)R=spranｄ（10,１0，0.0８)（3）、ｓparse函数S=sparse(X):将矩阵X转化为稀疏矩阵SS=spａrsｅ（Ｉ，j,ｓ,m,n,nzm）:生成m*n的稀疏矩阵S，向量s的元素分布在以向量ｉ的对应值和向量ｊ的对应值为坐标的位置上,其中ｎzｍ＝length(s）S＝spａrse(I,j,s）：生成m＊n的稀疏矩阵S,向量s的元素分布在以向量ｉ的对应值和向量j 的对应值为坐标的位置上，其中m=ｍax(i),n=max(j)S=sparsｅ(m,n）:是sparse（[],［],[],m,n，０)的简化形式i=[６2 ７７4１２５]j=[1 3 2 7 ２8 3 2]s=［8 37 7１7 ０2］Ｘ=diag（s,-2)S=sｐarse(X）S1=spaｒｓｅ(i,j,s，1０,10,7) ﻩ%报错,ｎzmaｘ=length(s）S１=sparｓe（ｉ,ｊ,s，10,10,８)S2=sparsｅ(ｉ,ｊ,s，１０，9）ﻩ%默认nzmax=lenｇth(ｓ）Ｓ2=spａrse(i,j,s)ﻩﻩ%m=maｘ(ｉ),ｎ=ｍax（j）2、稀疏矩阵的操作(1）、nnz函数：用于求非零元素的个数ｎz=ｎｎz（Ｓ）：返回S总非零元素个数D=nｎz(S)／pｒod(siｚe（Ｓ)):表示稀疏矩阵S中非零元素的密度v=[6 2 77 ４1 3 ５]S=diaｇ（v,-1)nz=nnz(S）D=nnz(S)/pｒod(ｓize(S)）（2）、sponse函数Ｒ=spｏnse（S)：生成一个与稀疏矩阵Ｓ结构相同的稀疏矩阵R,但是在矩阵Ｓ中的非零元素的位置上用元素1替换Ｓ=ｓprａndsym(10,0．05)R=sｐones(S)（3）、spａllｏc函数S=spalloｃ（ｍ,ｎ,nｚm):生成一个所有元素都为0的m＊n阶稀疏矩阵,计算机利用这些空间来存储nzm个非零元素ｎ＝3;v=ｓprａnd(n,1,０.33）ﻩ%生成3*1的稀疏列向量ｓ＝spａllｏc(n,n,1*n)ﻩﻩ%分配3*3的空间，最终可以存储3个非零元素ｆorｊ=1：ns(:,j)=(ｖ)ﻩﻩ%v为含有一个非零元素的稀疏列向量end（４）、fuｌl函数S＝fulｌ(X)：将稀疏矩阵（三元组表示）转换为满矩阵（矩阵表示)s(6,1）＝8;s（4,2）=1;ｓ(5,3)=６0;ｓ（6，2）=５7;ｓ(１,7)=25；s(３,8)=３7;full(ｓ)(5)、ｆind函数I＝find（X）：返回矩阵Ｘ的非零元素的位置，如I=fiｎｄ(Ｘ>100) 返回X中大于10０的元素的位置[I,J]=ｆind(X)：返回Ｘ中非零元素所在的行I和列J的具体数据[I,J,Ｖ］=fｉnd（X)：除了返回I和J，还返回矩阵中非零元素的值Ｖ注：find(X）和ｆind(X~＝0)会产生同样的Ｉ和J，但是后者会生成一个包括所有非零元素位置的向量S(10,50)=８2；Ｓ(32,１4)＝８2；S(251,396)=25；I=finｄ（S)［I Ｊ]＝find(Ｓ)[I J V]＝ｆｉnd(Ｓ)（6)、issｐarse函数issparse(Ｓ):返回值为1说明矩阵Ｓ是一个稀疏矩阵，返回值为0时说明矩阵S不为稀疏矩阵v=[6 2 7 7 ４ 1 3 ５]S=diag(ｖ，2)R=ｓｐarse(S)Ｎ=iｓsparse(S)ﻩ％返回0，不为稀疏矩阵Y=issparｓe（R) %返回1,为稀疏矩阵ﻬ。