广东省广州市海珠区2020-2021学年第一学期期末联考高一数学试题
海珠区2020学年第一学期期末联考试题高一数学本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{2,3,4,5,6}A =，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，则AB =A ．{2,3}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{3,6}2．已知角α的终边与单位圆的交点为43(,)55−，则sin cos sin cos αααα−=+A ．7−B ．17−C ．17D ．73．命题“x ∀∈R ，10x +≥”的否定是A ．x ∀∈R ，10x +≤B ．x ∀∈R ，10x +<C ．x ∃∈R ，10x +≤D ．x ∃∈R ，10x +<4．sin15cos75cos15sin 75−= A ．12−B ．32−C ．12D ．325．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：/m s ）与耗氧量单位数O 的函数关系式为31log 2Ov k=（k 为常数）．若一条鲑鱼静止时耗氧量O 为100个单位数，那么鲑鱼的耗氧量O 是8100个单位数时，它的游速为A ．1/m sB ．3/2m s C ．2/m s D ．9/2m s 6．已知函数()ln cos f x x x =−的零点为0x ，则0x 所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 7．已知π12π2πsin(),31363αα+=<<，则cos α的值为 A ．123526 B ．123526− C ．125326− D ．125326−+ 8．已知正数,a b 9273a b =，则ab 的最小值为A ．6B ．12C ．18D ．242021.01.20FED C BA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是A ．若a b >，c d >，则a c b d −>−B ．若a b <，则22a b <C ．若a b >，则b aa b < D ．若a b >，则22(1)(1)a c b c +>+ 10.“不等式2304kx kx ++>对一切实数x 都成立”的充分不必要条件是A ． 03k k <>或B ． 03k ≤<C ． 03k <<D ． 0k = 11．下图是函数()sin()(0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象，则A ．函数解析式为()π3sin(2)4f x x =+B ．函数()f x 的图象的两条相邻对称轴的距离为π4C ．将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度，得到 的图象的对应函数是奇函数 D ．将函数()f x 的图象向左平移π8个单位长度，得到的图象的对应函数是偶函数 12．已知函数()||33x f x a =−+(01)a <<，则A ．函数()f x 有最大值，且在(,0)−∞上是增函数B ．函数()f x 有最小值，且在(,0)−∞上是减函数C ．方程()0f x m −=有两个实数根时，m 的取值范围为(0,3)D ．不等式()0f x m −<在x ∈R 上恒成立时，m 的取值范围为(3,)+∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()ln 12f x x x=−的定义域为 ． 14．已知集合{|1,A x x =<或5}x >，{|0}B x x a =<<，若A B ⊆R，则实数a 的取值范围为 ．15. 已知定义域为R 的函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且()()0f x f x −−=，若()112f =−，则不等式()1212f x −≤−的解集为 ．16．如图，在矩形ABCD 中，5AD =，20AB =，点E 在DC 上，点F 在AB 上， AE EF ⊥，则AEF ∆的面积的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在①sincos227αα=，②24cos27α=，③2tan21tan 2αα=−补充在下面问题中，并对其求解．问题：若锐角α满足 ，求sin(2π)cos(π)αα−−+的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. (12分)已知函数1()f x x x=−. （1）证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；（2）已知322(0.2),(log 3),(log 5)a f b f c f ===，试比较三个数,,a b c 的大小，并说明理由．19．(12分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =−+. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的单调递减区间； （3）在ABC ∆中，若()22A f =，ππ62B ≤≤，求cos cos BC +的取值范围．20.（12分）已知()1log (2)a f x x =++(01)a a >≠,且，()(2)g x f x =− （1）若函数()f x 的图象恒过定点A ，求点A 的坐标； （2）若函数()g x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大12，求a 的值.21．(12分)某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生 产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x 万台需投入资金()P x 万元，且222600,04,()5001501025, 4.mx x x P x x x x x ⎧+<<⎪=⎨−+≥⎪⎩生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的 该款摩托车能全部销售完．（1）求2021年该款摩托车的年利润()F x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数解析式；（2）当2021年该款摩托车的年产量x 为多少时，年利润()F x 最大？最大年利润是多少？（年利润=销售所得−投入资金−设备改造费）22.（12分）已知函数2()2f x x x k =−+与2()ln h x x x k x =−+有相同的定义域． （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()0f x =有两个相异实数根12,x x （120x x <<），且()h x 在区间12[,]x x（参考结论：ln 1((0,1)x x x <−∈）海珠区2020学年第一学期期末联考高一数学参考答案与评分标准评分说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1(0,)214.(5,)+∞ 15.{|0x x ≤，或1}x ≥ 16.25 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（10分） 解：选择条件①：由条件①，得2sin cos227αα=，所以sin 7α=. 由22sin cos 1αα+=， 得21cos49α=， 因为α是锐角，所以cos 0α>，所以1cos 7α=. 因为sin(2π)sin αα−=−，cos(π)cos αα+=−，所以sin(2π)cos(π)αα−−+sin cos αα=−+=. 选择条件②：由条件②，得1cos 427α+=， 所以1cos 7α=.由22sin cos 1αα+=， 得248sin49α=， 因为α是锐角，所以sin 0α>，所以sin 7α=. 因为sin(2π)sin αα−=−，cos(π)cos αα+=−，所以sin(2π)cos(π)αα−−+sin cos αα=−+17−=. 选择条件③：由条件③，得22tan21tan 2αα=−所以tan α=所以sin cos αα=. 由22sin cos 1αα+=， 得248sin49α=，21cos 49α=， 因为,αβ是锐角，所以sin 0α>，cos 0α>，所以sin 7α=，1cos 7α=. 因为sin(2π)sin αα−=−，cos(π)cos αα+=−，所以sin(2π)cos(π)αα−−+sin cos αα=−+17−=. [说明]求出sin α=，1cos 7α=各得3分，其中22sin cos 1αα+=记1分.18. (12分)解：（1）证明：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12122112121111()()()()()()f x f x x x x x x x x x −=−−−=−+− 21212112121()()()(1)x x x x x x x x x x −=−+=−+. 由12,(0,)x x ∈+∞，得120,0x x >>，所以12110x x +>， 由12x x <，得210x x −>， 所以21121()(1)0x x x x −+>， 所以12()()0f x f x −>，即12()()f x f x >， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减. （2）因为300.21<<，21log 3<， 所以2log 330.2>.又因为函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以32(log 3)(0.2)f f <. 因为22log 5log 3>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以22(log 5)(log 3)f f <， 综上所述：c b a <<. 19.(12分)解：因为2()cos 2sin 1f x x x x =−+2cos (12sin )x x x =+−2cos 2x x =+ π2sin(2)6x =+.（1）所以)(x f 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+， 得π2πππ63k x k +≤≤+， 所以函数)(x f 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z . （3）因为()22A f =，所以2sin()26A π+=，sin()16A π+=，因为在ABC ∆中，0πA <<，所以ππ7π666A <+<， 由ππ62A +=，得π3A =， 所以π2ππ33B C +=−=，所以2πcos cos cos cos()3B C B B +=+−1cos 22B B =+ πsin()6B =+.因为ππ62B ≤≤，所以ππ2π363B ≤+≤，sin()16B π≤+≤，所以cos cos B C +的取值范围为[2.20.（12分）解：（1）当21x +=，即1x =−时，1log 11a y =+=， 所以点A 的坐标为(1,1)−.（2）因为()1log (2)a f x x =++，所以()1log a g x x =+.当01a <<时，函数()g x 在区间[]2a a ，上是减函数， 所以当x a =时，函数()g x 有最大值，且max ()2g x =， 当2x a =时，函数()g x 有最小值，且min ()1log 2a g x a =+，因为max min 1()()2g x g x −=， 所以12(1log 2)2a a −+=，所以14a =.当1a >时，函数()g x 在区间[]2a a ，上是增函数， 所以当x a =时，函数()g x 有最小值，且min ()2g x =， 当2x a =时，函数()g x 有最大值，且max ()1log 2a g x a =+，因为max min 1()()2g x g x −=， 所以1(1log 2)22a a +−=，所以4a =.综上所述：14a =或4a =. 21．(12分)解：（1）由题意2(1)126003000P m =⨯+=，所以400m =， 当04x <<时，()22()50004002600100040024001000F x x x x x x =−+−=−+−；当4x ≥时，225001501025401025()50001000x x x x F x x x x−+−+−=−−=， 所以2240024001000,04,()401025, 4.x x x F x x x x x ⎧−+−<<⎪=⎨−+−≥⎪⎩（2）当04x <<时，2()400(3)2600F x x =−−+， 所以当3x =时，max ()2600F x =.当4x ≥时，24010252525()40104010x x F x x x x x x −+−⎛⎫==−−+=−++ ⎪⎝⎭，因为4x ≥，所以2510x x+≥=， 当且仅当25x x=时，即5x =时等号成立， 所以()1040104000F x ≤−+=，所以当5x =时，max ()4000F x =， 因为26004000<，所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润()F x 最大，最大年利润是4000万元．22.（12分）解:（1）已知函数()f x 与()h x 有相同的定义域， 所以()f x 与()h x 的定义域都是(0,)+∞. 方程2()20f x x x k =−+=的判别式18k ∆=−.①当180k ∆=−<即18k >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立. ②当180k ∆=−=即18k =时，()0f x =的根为14x =，所以()0f x >的解集为{|0,x x >且1}4x ≠.③当180k ∆=−>即18k <时，()0f x=的两根为114x=，214x =，若108k <<，则120x x <<，所以()0f x >的解集为1{|0,x x x <<或2}x x >；若0k ≤，则120x x ≤<，所以()0f x >的解集为2{|}x x x >.{|x x >； 的解集为1{|0,4x x <<或1}4x >；{|0,x x >且1}4x ≠；{|0}x x >.()0f x =有两个相异实数根12,x x （120x x <<），则08k <<，且121211,22x xx x k +==.因为()h x 在12[,]x x 上是减函数，所以()()12h x h x >，1()x 2()h x −2111(ln )x x k x =−+2222(ln )x x k x −−+121212((ln ln )k x x =+−11221()ln 2x x x k x =−−+12111(ln 244xk x +=−−+12ln 4x k x =+. 因为(0,1)x ∈时，ln 1x x <−，又1201xx <<，所以1122ln 1x xx x <−.因为121281118x k x k −−−−=−=− 12=−=−，且108k <<，所以1ln x k x <124k −.112244k k −−=−，。
2020-2021学年珠海市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年珠海市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|−2<x≤1}，则A∪B=()A. [−1,1]B. (−2,2]C. [−1,2]D. [−2,2]2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的大小为()A. 1B. 1或4C. 4D. 2或43.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是()A. y=x2+2B. y=|x|+1C. y=−|x|D. y=e|x|4.在下列给出的四个结论中，正确的结论是()A. 已知函数f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0B. 若a+b=1，则3是3a与3b的等比中项C. 若e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的向量，且m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=3e1⃗⃗⃗ −6e2⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ //n⃗D. 已知角α终边经过点(3,−4)，则cosα=−455.若函数y=log a(x+1)(a>0,a≠1)的图象过定点，则x值为()A. −1B. 0C. 1D. 无法确定6.已知曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间[0,2πω]上截直线y=2及y=−1所得的弦长相等且不为0，则a的值是()A. 12B. 1 C. 23D. 27.函数y=x12和y=−log2x在同一坐标系内的大致图象是()A. B. C. D.8.向量，且若则的值为()A. B. C. D.9.设函数的值域为R，则常数的取值范围是A. B. C. D.10.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则()A. B. C. D.11.的值为A. B. C. D. ．12.设定义在(0,+∞)上的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)−log2x)=6，若x0是方程f(x)−f′(x)=4的一个解，且x0∈(a,a+1)，a∈N，则a等于()．A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）13.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α，β，则2α+β=______ ．14.圆内接四边形ABCD中，cosA+cosB+cosC+cosD=______ ．−1+t(其中t为常数).若a=−ef(−e)，15.设定义在R上的奇函数f(x)满足：x≤0时，f(x)=1e xb=f(1)，c=2f(2)，则a，b，c的大小关系是______.(用“<”连接)16.函数的图象可以先由的图象向平移个单位，然后把所得的图象上所有点的横坐标为原来的倍(纵坐标不变)而得到．17.已知A有限集合，，若的子集个数分别为，且，则__．18.下列说法：①线性回归方程ŷ=b̂x+â必过(x,y)；②命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x<1，x2+3<4”③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是______(把你认为正确的结论都写在横线上)本题可参考独立性检验临界值表：P(K 2≥k)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k2.7063.8415.0246.63510.82819. 已知f(x)是奇函数，满足f(x +2)=−f(x)，f(1)=2，则f(2015)+f(2016)= ______ ． 20. 已知向量a ⃗ =(2,sinθ)，b ⃗ =(cosθ,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则sin(θ+π4)cos(θ+π4)=______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +(t +2)b ⃗ ，n ⃗ =k a ⃗ +t b ⃗ (k ∈R)． (1)若t =1，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求k 的值； (2)若t ∈R ，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =5，求证：k ≤2．22. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知A ，B ，C 成等差数列，且cosAsinC =√3−14，求内角C ．23. 已知函数f(x)=2x +a2x +1(a ∈R)，(1)确定实数a 的值，使f(x)为奇函数； (2)在(1)的基础上，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(1)的基础上，求f(x)的值域．24. 如图所示，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS ，OT(点S ，T 分别在第一，四象限)上移动，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ) 求mn 的值；(Ⅱ) 求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．25. 已知函数f(x)=e 2x −m e x 是定义域为R 的奇函数，其中m 是常数．(Ⅰ)判断f(x)的单调性，并用定义证明；(Ⅱ)若对任意x ∈[−3,1]，有f(tx)+f(2t −1)≤0恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A ={x|x 2−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}， B ={x|−2<x ≤1}，∴A ∪B ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]． 故选：B ．求出集A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：设扇形的弧长为：l ，半径为r ，所以2r +l =6， S 面积=12lr =2，所以解得：{l =4r =1或{l =2r =2，所以扇形的圆心角的弧度数是α=lr =4或1． 故选：B ．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=lr 求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．3.答案：C解析：解：对于A ，y =x 2+2是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意； 对于B ，y =|x|+1是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意； 对于C ，y =−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递减的，所以满足题意； 对于D ，y =e |x|是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意． 故选：C ．根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可． 本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的应用问题，是基础题目．4.答案：C解析：本题考查了平面向量共线定理以及函数零点和等比数列、三角函数的定义应用问题，是综合题，但又是基础题．A，举例说明函数f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)f(b)<0；B，举例说明a+b=1时3不是3a与3b的等比中项；C，根据平面向量共线定理的定义判断即可；D，根据余弦值的定义计算即可．解：对于A，函数f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)f(b)<0，如f(x)=x2在(−1,1)内有零点，但f(−1)⋅f(1)=1>0，所以A错误；对于B，当a+b=1时，令a=1，b=0，则3a=3，3b=1，则3不是3a与3b的等比中项，所以B错误；对于C，若e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的向量，且m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=3e1⃗⃗⃗ −6e2⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ =3n⃗，即m⃗⃗⃗ //n⃗，所以C正确；对于D，角α终边经过点(3,−4)，则r=√32+(−4)2=5，cosα=xr =35，所以D错误．故选：C．5.答案：B解析：解：因为y=log a x的图象恒过(1,0)点，又y=log a(x+1)的图象是把y=log a x的图象左移1个单位得到的，所以y=log a(x+1)的图象必过定点(0,0)．故选B．根据对数函数的图象恒过(1,0)点，然后利用函数图象的平移即可得到答案．本题考查了对数的运算性质，考查了函数图象的平移，是基础题．6.答案：A解析：解：曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图象关于直线y=a的对称，又截直线y=2及y=−1所得的弦长相等，所以，两条直线y=2及y=−1关于y=a对称，所以a=2−12=12．故选：A．由曲线y=Asinωx+a的性质：在一个周期上截直线y=2与y=−1所得的弦长相等且不为0，可知两条直线关于y=a对称，由此对称性可求出a的值．本题考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题目．7.答案：C解析：解：函数y=x12是增函数，定义域为：x≥0；y=−log2x是对数函数y=log2x关于x对称的图象，正确选项为：C．故选：C．利用对数函数与幂函数的图象判断即可．本题考查函数的图象的判断，掌握基本函数的图象是解题的关键．8.答案：B解析：本题考查向量的数量积及其运算性质，考查向量的模，考查两角和差公式，解题的关键求得．根据向量的数量积公式结合两角差的余弦公式得，再由可得，可得的值，进而得的值．解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴．故选B．9.答案：C解析：试题分析：由于已知中给定的函数是分段函数，因此求解值域要分别求解值域，再取其并集，那么可知，当x>2时，f(x)>，当x，则根二次函数的性质，那么f(x)=，那么值域为R，可知并集为R，因此利用数轴法表示得到a的范围是，故选C．考点：本试题主要是考查了分段函数的值域。
广东实验中学2020-2021学年高一上学期期末考试 数学试题(含答案)
令 h(t) 3t 2 ,t [1,0) ， h(t) 2 6 当且仅当 t 6 时取等号，∴ k 2 6
t
3
t∈(0,4]时，不等式（*）等价于 k 3t 2 恒成立， t
10 分
令(t) 3t 2 ,t (0,4]，(t) 2 6当且仅当t 6 时取等号，k 2 6
t
17.解：（1）原式＝
﹣1﹣
+ ＝ ﹣1﹣ + ＝ ．
（2）原式＝3+2lg5+2lg2+2＝5+2（lg5+lg2）＝5+2＝7．
评分标准:每一个问 5 分.每个数计算正确各给 1 分,最后结果 1 分
18.解：（1）∵函数是幂函数，
∴m2+2m﹣2＝1，即 m2+2m﹣3＝0，解得 m＝1 或 m＝﹣3，
＝ t ＞ ， ＞ 与 ൌ t ݊ o o t可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式； （2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份．（参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3≈0.4711）．
21．(本题满分 12 分)
已知定义域为
的函数
f
（2）若 t 在 ，5 上单调，求 的最大值． 18 36
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广东实验中学 2020—2021 学年（上）高一级期末考试 数学
答案及说明
题号 1
23
4
5 6 78 9
10 11 12
答案 C A D C A D C B BC ABC CD BC
13.
2、 -
5 12
k , 12
12
63
2
25
广东省海珠区2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省海珠区2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一:选择题，给的四个选项中，只有一个是正确的．1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A. 出租车车费与出租车行驶的里程B. 商品房销售总价与商品房建筑面积C. 铁块的体积与铁块的质量D. 人的身高与体重【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念来进行判断。
【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选：D。
【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。
2.在某次测量中得到A样本数据如下：43,50,45,55,60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数【答案】C【解析】【分析】分别计算出A、B两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。
【详解】A样本的数据为：43、50、45、55、60，没有众数，中位数为50，平均数为50.6，方差为39.44，B样本的数据为：48、55、50、60、65，没有众数，中位数为55，平均数为55.6，方差为39.44，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D。
【点睛】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。
3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为（）A. 55，B. 2,5C. 88，D. 58，【答案】D【解析】【分析】将甲组和乙组数据从小到大列出来，然后利用位数的定义和平均数的公式列方程组，解出x和y的值。
2020-2021学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若扇形的弧长为2cm ，半径为1cm ，则其圆心角的大小为（ ） A.2π B.4π C.2 D.42. 设集合A ={x ∈N|−2≤x ≤4}，B ={x|y =ln (x 2−3x)}，则集合A ∩B 中元素的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.34. 周期为π的函数y =cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（ ）A.−π3B.2π3C.π6D.5π65. 已知函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x =1对称，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c6. 研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n ∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n 的最小值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.127. 已知向量a →=(m −3,n ) ，b →=(2,−1)（其中m >0,n >0） ，若a →与b →共线，则4m+12n的最小值为（ ）A.94B.3C.4615D.98. 已知函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（ ）A.(12,23)∪[89,76] B.(12,1724]∪[1718,2924] C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）若0<a <1，则（ ）A.log a (1−a)<log a (1+a)B.log a (1+a)<0C.(1−a)13<(1−a)12D.a 1−a <1将函数f(x)=2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1设a →，b →是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A.若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ使得a →=λb →B.若a →⊥b →，则|a →+b →|=|a →|−|b →| C.若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →=b →D.若a →与b →的方向相反，则|a →+b →|=|a →|−|b →|已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A.函数f(sin x)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数 B.函数sin （f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数 C.函数f(cos x)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数 D.函数cos （f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）已知向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0)，则|a →+3b →|=________.若函数f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．已知命题p ：(x −m)2<9，命题q:log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件．则实数m 的取值范围是________．设函数f (x )={|ln x|,0<x <2，f (4−x ),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 解答.(1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)； (2)求cos 17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3)的值．已知函数已知函数f (x )=sin ωx +√3cos ωx (ω>0) f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2 (1)求ω的值；(2)若f (α)=23，求sin (5π6−4α)的值．已知向量a →=(cos x, sin x)，b →=(sin x, sin x),x ∈[0,π4].(1)若x =π6，向量c →=(−1,1)，求c →在a →上投影；(2)若函数f (x )=λ(a →⋅b →−12)的最大值为12，求实数λ的值．已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围；(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．已知函数f(x)=ln(√1+x2+x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选C.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选A.3.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的正弦公式【解析】由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcosθ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选A．4.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6.故选C.5.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)，又由函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增， 则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c .故选D . 6.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论． 【解答】解：根据题意，(12)n <11000， 即2n>1000，n ∈N ； 所以n 的最小值是10． 故选B ． 7.【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n ＝3，再利用基本不等式求出的最小值． 【解答】解：由a →， b →共线得： 2n +m −3=0， ∴ m +2n =3，4m +12n =13(4m +12n )(m +2n ) =13(5+8n m +m 2n) ≥1×(5+2√4) =3. 当且仅当8n m=m 2n即m =4n 时“=”成立．故选B ． 8.【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数的图象 【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，分类讨论k ，求得ω的具体范围． 【解答】解：AB ．函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12 ，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB 错误；CD ．由f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6,且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k ∈Z ，解得3k+29≤ω≤3k+512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23，符合题意， 当k =2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）【答案】B,D【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，loga (1−a)>loga (1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则loga(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0＝1，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f(x)=2sin x的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选BCD.【答案】A,B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的概念与向量的模命题的真假判断与应用【解析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．【解答】解：|a→+b→|=|a→|−|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2所以a→⋅b→=−|a→||b→|，而a→⋅b→=|a→||b→|cos⟨a→,b→⟩所以−|a→||b→|=|a→||b→|cos⟨a→，b→⟩，所以cos⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘所以a→=b→共线且反向，所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；对|a →+b →|=|a →|+|b →|两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2+2|a →||b →|+|b →|2 所以cos ⟨a →,b →⟩=1，即<a →,b →>=0∘所以a →=b →同向，但a →不一定等于b ，故C 错误； 由A 选项可知，只有当λ<0，|a →|≥|b →|时，才有|a →+b →|=|a →|−|b →|，故D 不正确． 故选AB ． 【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的性质与判断 复合函数的单调性 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：f (−x )=−x|−x|=−x|x|=−f (x )，∴ f (x )是奇函数， y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，∴ f (sin x )和sin (f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos (f (x ))是偶函数， f (x )=x|x|={x 2,x ≥0，−x 2,x <0，∴ f (x )在R 上是增函数，∴ y =sin x 在(−12,12)上是增函数，y =cos x 在(0,1)上是减函数， ∴ f (sin x )在(−12,12)上是增函数，f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误；C 正确； 当x ∈(−12,12)时，f (x )∈(−14,14)， ．y =sin x 在（ −14,14) 上单调速增，∴ sin (f (x ))在（ −12,12）上单调递增，故B 正确； 当x ∈(−1,0)时，f (x )∈(−1,0)， y =cos x 在(−1,0)上单调递增，∴ cos (f (x ))在(−1,0)上单调递增，故D 正确．故选BCD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 【答案】√7【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可． 【解答】解：向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0) 则a →+3b →=(−2,√3)， 所以(a →+3b →)2=4+3=7， 所以|a →+3b →|=√7.故答案为：√7. 【答案】 2【考点】三角函数的周期性 【解析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值． 【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)， ∴ f(x)=cos ωx ⋅sin ωx =12sin 2ωx ，∴ 最小正周期T =2π2ω=π2，∴ 解得ω=2． 故答案为：2. 【答案】 (−2, 0) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．【解答】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3，因为命题q:log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以{m −3<−3,m +3>1,解得−2<m <0，所以实数m 的取值范围是(−2, 0)． 故答案为：(−2, 0)． 【答案】 (20, 20.5) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】不防令x 1<x 2<x 3<x 4，由题意f(x)的图象是关于x ＝2对称的，可得x 1+x 4＝x 2+x 3＝4．助于|ln x|的图象可以得到x 1，x 2之间的关系，最终将x 12+x 22+x 32+x 42表示成x 2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：函数f(x)={|ln x|，0<x ≤2，f(4−x)，2<x <4，的图象如图所示：由题意得x 1x 2=1, x 1+x 4=x 2+x 3=4， ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=8, x 1=1x 2.则x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+(4−x 1)2+x 22+(4−x 2)2 =2(x 1+x 2)2−8(x 1+x 2)2+28=2(x 1+x 2−2)2+20=2(x 2+1x 2−2)2+20.∵ x 2+1x 2在(1, 2)上单调递增，∴x 12+x 22+x 32+x 42∈(20, 412).故答案为：(20,20.5).四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π+sin (−16π)−tan (−4π) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3.【考点】对数的运算性质 【解析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解． （2）利用诱导公式直接求解． 【解答】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3. 【答案】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T 2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可． （2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可． 【解答】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【答案】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4] 又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的投影三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．【解答】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)， 因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4]又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ， 可得m ≤(32)2x −2(32)x ， 令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]． 【考点】函数恒成立问题 函数单调性的性质【解析】（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0， 即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值， 由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵ 二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8， ∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0． 即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0， 解得−20≤q ≤12．∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20, 12]. (2)当{t <8,8−t ≥10−8,t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【考点】二次函数的性质函数的零点【解析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：(1)∵二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，解得−20≤q≤12．∴使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].(2)当{t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【答案】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√1+x12>√1+x22，所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．【解答】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√112>√1+x22所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．。
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
2020-2021学年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥64．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9二、选择题（共4小题）.9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是210．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜0或x＞4}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．解：∵角α的终边经过点（x，﹣3），且＝，则x＝﹣4，故选：C．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥6解：命题是全称命题，则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6，故选：C．4．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．解：由函数f（x）的图象知A＝2，T＝2×（+）＝4π，∴ω＝＝，由五点法作图可得×+φ＝π，且|φ|＜π，∴φ＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故选：D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x+log2x﹣m在区间（0，+∞）上为增函数，由函数f（x）在上存在零点，∴f（）＝﹣2﹣m＜0，f（8）＝8+3﹣m＞0，解得﹣＜m＜11，故函数f（x）在上存在零点时，m∈．故选：B．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，若x＝1，y＝﹣2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误；|x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x＝﹣2，y＝1，故选项C正确；当x＝1，y＝2时，，但是x2＜y2，故选项D错误．故选：C．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T＝，则ω＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝，由题意，t＝0时，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣，∵＜φ＜，∴φ＝．则+2，由d＝6，得6＝4sin（）+2，∴sin（）＝1，∴，k∈Z，得t＝，k∈Z．∴当k＝0时，t取最小值为（s）．故选：D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，由80×0.8n＜20，解得，因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以n≥7，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是2解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，y＝2﹣x＞2，＝＝＝∈（﹣∞，0），所以A错；对于B，当x＜0时，＝﹣（）≥﹣＝﹣2，x＝﹣1时“＝“成立，所以B对；对于C，当0＜x＜1时，，而函数f（t）＝t+在（0，1）上单调递减，无最小值，所以C错；对于D，当时，0＜sin x≤1，而函数f（t）＝t+在（0，1]上单调递减，≥1，x＝时“＝“成立，所以D对；故选：BD．10．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减解：令f（x）＝；对于A，因为f（x+（﹣π））＝＝＝＝fx），所以A对；对于B，因为f（）＝＝＝＝fx），所以B对；对于C，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数f（）＝＝，函数f（）与函数y＝3cos2x+1不同，所以C错；对于D，⇒⇒f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，⊂，所以D对；故选：ABD．11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错；对于C，当a＜1，未必有，如a＝﹣1，所以不充分；反之，⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“”的必要条件，所以C对；对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则”的否命题，￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），￢（）⇔，所以命题“若a＞b＞0，则”的否命题是：“若a≤b或b≤0，则”，分情况说明：①若b＝0，无意义，所以不成立，②若b＜0，取a＝b＞b，则不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则不成立，由①②③知，否命题为假，所以D对；故选：CD．12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，即f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，又由f（x+2）＝f（2﹣x），则f（﹣x）＝f（4+x），则有f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，对于B，当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x＝，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f（0）＝4，最小值为f（2）＝1，又由f（x）为偶函数，则区间[﹣2，0]上，其最大值为f（0）＝4，最小值为f（﹣2）＝f（2）＝1，又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确，对于C，当x∈[2，4]，则4﹣x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝22﹣（4﹣x）＝2x+2，C错误，对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[﹣2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为（﹣∞，）．解：由题意得8﹣3x＞0，解得x＜，故函数的定义域是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝﹣1．解：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝sin25°cos（90°+25°）+cos（180°﹣25°）cos25°＝﹣sin25°sin25°﹣cos25°cos25°＝﹣sin225°﹣cos225°＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则∀x∈（1，2），a≤恒成立，只需a≤（）min，x∈（1，2），令g（x）＝，x∈（1，2），所以g′（x）＝＝＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减，所以g（x）＞g（2）＝＝﹣，所以a≤﹣，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：当x≥0时，f（x）＝﹣，∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝，∴f（x）＝，∴f（x）在R上是单调递减函数，且f（x）可化为f（x）＝﹣，且满足2f（x）＝f（﹣4x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（﹣4x）在x∈[t，t+1]恒成立，∴x+t≤﹣4x在[t，t+1]恒成立，即5x≤﹣t在[t，t+1]恒成立，∴5t+5≤﹣t，解得t≤﹣，即t的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，所以该不等式的解集为（1，2）；（2）x≥1时，x﹣1≥0，所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1）＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1）＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0，所以2x3+1≤2x+x4．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．解：（1）∵，∴tanα＝＝＝，＝＝＝＝＝．（2）∵，，∴+β∈（，），则cos（+β）＝﹣＝﹣，﹣α∈（﹣，﹣），则﹣α∈（﹣，0），则sin（﹣α）＝﹣，则cos（α+β）＝cos[（+β）﹣（﹣α）]＝cos（+β）cos（﹣α）+sin（+β）sin （﹣α）＝×+（﹣）×＝．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．解：（1）显然f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝1+a＝0，∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）为奇函数，∴a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝e x﹣2e﹣x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下：证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴，，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在R上单调递增．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由2x+＝kπ，得2x＝kπ﹣，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，），k∈Z．（2）当时，2x∈（﹣，），2x+∈（﹣，），则sin（2x+）∈（sin（﹣），sin]，即sin（2x+）∈（﹣，1]，2sin（2x+）∈（﹣1，2]，则2sin（2x+）+∈（﹣1，2+]，即函数f（x）的值域为（﹣1，2+]．（3）由f（x）≥0得2sin（2x+）+≥0，得sin（2x+）≥﹣，得2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝0时，≤x≤，当k＝1时，≤x≤π，当k＝﹣1时，﹣π≤x≤﹣，即不等式的解集为[﹣π，﹣]∪[，]∪[，π]．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（），当x≥70时，y＝100x﹣（101x+﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+）．∴；（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣＝，当x＝60时，y取最大值1400万元；当x≥70时，y＝1660﹣（x+），当且仅当，即x＝80时y取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．解：（1）∵f（x）＝log2（x2+1）≥0．∴由方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3可得f（x）＝2，∴log2（x2+1）＝2，∴，∴方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3的解集为{，﹣}；（2）∵2f（x）＝x2+1，∴函数g（x）＝2f（x）+＝＝（x+）2﹣2b（x+）+b2﹣2，令t＝x+，（1≤x≤2），则t，g（x）＝h（t）＝t2﹣2bt+b2﹣2＝（t﹣b）2﹣2，t∈[2，]，①当b时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（）＝2，整理可得4b2﹣20b+9＝0，解答b＝或（舍）②当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）＝2，整理可得4b2﹣4b＝0，解答b＝0或4（舍）③当2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）＝﹣2≠2，综上，b的值为0或．。
广东省广州市海珠区2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题 Word版含答案
海珠区2020学年第一学期期末联考试题高二数学共22小题,满分150分,考试用时120分钟一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|33},A x x =-<<集合2{|340},B x x x =--≥则A ∩B=A.(-3,1]B.[-2,3)C.(-3,-2]D.(-3,-1] 2.已知椭圆221,2516x y +=则该椭圆的离心率为 4.5A 16.25B 3.5C 9.25D 3.已知命题2:0,0,p a a a ∃≥+<则命题¬p 为2.0,0A a a a ∀≥+≤2.0,0B a a a ∀≥+< 2.0,0C a a a ∀≥+≥ 2.0,0D a a a ∃<+<4.等比数列{}n a 中,已知1236a a a ++=,4563,a a a ++=-则789a a a ++=A.24 3.2B 3.4C 27.8D - 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.π+2 32.3B π+ 23.6C π+ 23.6D π+6.设正数m,n 满足111m n +=则9m+4n 的最小值为 A.9 B.16C.25D.26 7.椭圆22221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12,,F F 点P 是这两曲线的一个交点,则12||||PF PF ⋅的值为22.A m a - 1.()2B m a - .C m a - D.m-a8.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段,某同学在画“切面圆柱体”(用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱,圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若切面所在平面与底面成30°角,则该椭圆的离心率为22.A 3.B 6.3C 1.2D 二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知命题p:若x<y<0,则-x>-y,命题q:若x<y,则22,x y <则下列命题中真命题A.p ∧qB.p ∨qC.p ∧(¬q)D.(¬p)∨q 10.已知110a b<<,则下列不等式正确的是 A . 11a b ab <+ B.|a|+b>0 22.ln ln C a b > D.11a b a b->- 11.已知直线12l l 、的方向向量分别是(2,4,)(2,,2)AB x CD y ==、,若||6AB =且12,l l ⊥则x+y 的值可以是A.-3B.-1C.1D.312.已知椭圆C 的中心为坐标原点,焦点12,F F 在y 轴上,短轴长等于2,离心率为6过焦1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P,Q 两点,则下列说法正确的是 A.椭圆C 的方程为2213y x += B.椭圆C 的方程为2213x y += 23.||C PQ = 2.D PF Q ∆的周长为43三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知x,y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩则32z x y =-+的最小值为__. 14.数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知2,(2)n a n n =+则4S =__. 15.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=2,122,AA =若M 是1AA 的中点,则BM 与平面11B D M 所成角的正弦值是___.16.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线,与双曲线的左右两支分别相交,则此双曲线的离心率的取值范围是____.(用区间表示)四､解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(10分)454,a a +=-①266,a a +=-②714S =③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k 存在,求k 的值;若k 不存在,说明理由.问题:等差数列{}n a 前n 项和为7,3,n S a =若______,是否存在k,使得1k k S S ->且1k k S S +<? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 到两点3,0),(3,0)M N 的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程.(2)若直线y=kx+2与曲线C 有公共点,求实数k 的取值范围.19.(12分)某公司进行技术创新,将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品,从而实现“变废为宝､低碳排放”.经过生产实践和数据分析,在这种技术下,该公司二氧化碳月处理成本y(元)与二氧化碳月处理量x(x ∈[300,600],单位:吨)之间满足函数关系2130080000,2y x x =-+假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200元.(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最低,最低平均成本是多少?(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收入-月处理成本)20.(12分)如图,正三棱柱111ABC A B C -中,D 是AC 的中点.(1)求证:1//AB 平面1DBC ；(2)若11,AB BC ⊥求二面角1D BC C --的余弦值.21.(12分)已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N (1)求证:数列{}3n n a 是等差数列. (2)求数列{}n a 的通项公式(3)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证:37.324n n S n >-22.(12分)已知点A(1,0),E,F 为直线x=-1上的两个动点,且,AE AF ⊥动点P 满足//,EP OA //FO OP (其中O 为坐标原点).(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M,N,如果4,OM ON ⋅=-证明直线l 必过一定点,并求出该定点的坐标.。
广东省广州市八区联考2020-2021学年高一上学期期末数学试题
广东省广州市八区联考2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数()()32f x log x =-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦ D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．21()1,()1x f x x g x x -=-=+B ．1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C ．()1(),()1()f x x x g x x x =+∈=+∈R ZD ．2(),()f x x g x == 3．函数()326xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,34．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6B ．－6C ．83-D ．835．函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞-上是增函数，则a 的范围是()A ．[)5,+∞B ．[)3,-+∞C ．(],3-∞-D ．(],5-∞- 6．已知向量a ，b 满足3,23,3a b a b ==⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°7．设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是 （ ）A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<b<aD ．b<a<c8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象()A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 210．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是()A．B．-C ．5D ．5-11．已知函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有解的和为()A ．6πB ．3π C ．2π D ．π12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（ ） A ．14-B ．3-C ．14-或3 D ．14-或3-二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()4f =___________. 14．在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度/Vm s 和燃料的质量Mkg 、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是22000log 1M V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达12Km/s ． 15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________.16．在等腰直角ABC 中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足1AP =，则AP BM ⋅的取值范围为______．三、解答题 17．已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值； ()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值． 18．已知全集,U R =集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤.(Ⅰ)若3m =，求U C B 和AB ；(Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.19．已知()()2222f x sin x x a a R =-++∈．()1若x ∈R ，求()f x 的单调递减区间；()2若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为4-，求a 的值．20．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)21．已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+，12BE e e λ=-+，122EC e e =-+，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知点(2,4)D ，1(2,1)e =--，2(2,2)e =-，若A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．22．已知函数()a g x log x =，其中1a >．(Ⅰ)当[]0,1x ∈时，()21x g a +>恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)设()m x 是定义在[],s t 上的函数，在(),s t 内任取1n -个数1x ，2x ，⋯，2n x -，1n x -，设1221n n x x x x --<<⋯<<，令0s x =，n t x =，如果存在一个常数0M >，使得()()11||nii i m x m x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[],s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由．(注：()()()()()()()()112111||)nii nn i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-+⋯+-∑参考答案1．A 【解析】 【分析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x 的范围即可．【详解】要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<，()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题． 2．B 【分析】直接根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】 A. ()1f x x 定义域为R ，21()1x g x x -=+定义域为{}|1x x ≠-，故错误；B. 因为1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩， 1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，故正确；C. ()1(),()1()f x x x g x x x =+∈=+∈R Z ，定义域不同，故错误；D. ()f x x =定义域为R ，2()g x =定义域 为[0,)+∞，故错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的三要素以及相等函数的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．C 【分析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．A 【分析】两向量平行，內积等于外积。
广东省广州市海珠区2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题(wd无答案)
广东省广州市海珠区2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★) 3. 已知命题，，则命题为（）A．，B．，C．，D．，(★★) 4. 等比数列中，已知，，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π+2B．C．D．(★★) 6. 设正数、满足，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 7. 椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是这两曲线的一个交点，则的值为（）A．B．C．D．m-a(★★) 8. 几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”(用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知命题若，则，命题若，则则下列命题中真命题（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）A．椭圆方程为B．椭圆方程为C．D．的周长为三、填空题(★★★) 13. 已知，满足条件则的最小值为___________.(★★★) 14. 数列的前 n项和为，已知，则___________.(★★★) 15. 如图，长方体中，，，若是的中点，则与平面所成角的正弦值是___________.(★★★) 16. 过双曲线的右顶点且斜率为的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)四、解答题(★★)17. ① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 k存在，求 k的值；若 k不存在，说明理由.问题：等差数列前 n项和为，若___________，是否存在，使得且？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★) 18. 在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.(★★★) 19. 某公司进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝､低碳排放”.经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本（元）与二氧化碳月处理量（，单位：吨）之间满足函数关系，假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为元.（1）该公司二氧化碳月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低，最低平均成本是多少？（2）该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少？（月收益月收入月处理成本）(★★★) 20. 如图，正三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.(★★★) 21. 已知数列满足（1）求证：数列是等差数列.（2）求数列的通项公式.（3）设数列的前 n项和为求证：(★★★★) 22. 已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点）.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与轨迹相交于两不同点、，如果，证明直线必过一定点，并求出该定点的坐标.。