第1节平面弯曲的概念和实例

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07.材料力学-弯曲

Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
17
[例2]：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。 ql A y ql 1 A x1 Q1 图（b） M1
1 1 a
2
B 2
q
解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体
Q Q( x ) M M (x)
剪力方程
弯矩方程
三、剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x ) 的图线表示 M M ( x ) 的图线表示
20
[例3] 求下列图示梁的内力方程，并画出内力图。 MO O YO Q(x) ⊕ P x L A P 解：①求支反力 YO P ; MO PL MO Q(x)
9
3. 支座简化 ① 固定铰支座
2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。 ② 可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
10
③ 固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ① 简支梁
XA
YA
2
b C
Q2 q( x2 a l )
图（a） 2 B x2 Q2 M2
m (F ) 0 ,
2 i
1 qlx2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx 2 2
图（c）
19
二、内力方程：
内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。

梁的内力分析

FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算：（1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负）以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负）以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩，反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。

材力讲稿第4章弯曲强度

CD段: 6mx3<8m
x3
FAy
0
B
q
C
M0
M3
FS3
c
DE段: 8mx4<12m
x4
FAy
0
B
q
C
M0
F
D
M4
FS4
c
FS3=13kN; M3=13x3+24(kNm)
FS4=-32kN; M4=384-32x4(kNm)
DE段: 8mx4<12m
取右边部分如何? DE段: 8mx4<12m
解：
1.作出F单独作用时的弯矩图
2.作出Me单独作用时的弯矩图
3.叠加上述两图，得到F和Me同时作用时的弯矩图
Fl
1
4
Fl
1
4
Fl
1
4
Fl
1
8
例 6 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图
解：
1.作出q单独作用时的弯矩图
2.作出Me单独作用时的弯矩图
3.叠加上述两图
左顺右逆，M为正。
例 1 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。解：求支反力
解：求内力 A左邻截面：例 1 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。
解： 2.求内力 A左邻截面： A右邻截面：例 1 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。
解：求内力 D左邻截面：例 1 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。
固定端
滑动铰支座
固定铰支座
任何方向移动
阻止竖向移动
任何移动和转动
一、梁的简化
2.载荷：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶

梁的弯曲(工程力学课件)

02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上剪力图为水平线。弯矩图为斜直线（两点式画图）。

梁的弯曲

第九章梁的弯曲第一节平面弯曲一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。

以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图9-1 受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。

例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。

工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。

如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。

这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。

平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

图9-2 工程中常见的受弯构件图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：1．悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。

2．简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。

3．外伸梁：梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。

(a ) (b ) (c )图9-5 三种静定梁第二节梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。

下面将着重讨论梁的内力的计算方法。

一、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6 用截面法求梁的内力图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。

现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。

假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。

工程力学-平面弯曲变形分析

yc
5ql4 Fl3 384 EI 48EI
洛阳职业技术学院
五、提高梁的强度和刚度的措施
提高强度
M max max [ ] WZ
降低 Mmax 合理安排支座合理布置载荷
合理布置支座
F
F
F
合理布置支座
合理布置载荷
F
采用变截面梁或等强度梁
提高刚度
M max max [ ] WZ
max
M 11 y max Iz 150 3.64 10 103 2 P a 12.94MP a 6 21.09 10
3
2.梁弯曲正应力的强度计算梁的危险截面上的最大正应力

材料的许用应力
即
max
M max [ ] Wz
上式适用于横截面关于中性轴对称的截面。
∑Fy=0 FQ=FA ∑Mc（F）=0 －F AX＋M =0 M = FAX FQ（剪力）作用线通过截面形心，且平行于外力 M（弯矩) 位于纵向对称面内，使梁受弯曲作用的内力偶矩。 FA－FQ=0
剪力、弯矩符号规定：
剪力左下右上为正弯矩上凹为正
下凹为负
弯矩方程和弯矩图
1、简支梁AB受集中力F作用，跨度为l，求最大弯矩，并画出梁的弯矩图。
max
M
x
（3）设计截面尺寸。由强度条件 M max max Wz
M max 32 103 103 WZ m m3 203822 m m3 [ ] 157
由矩形截面抗弯截面模量
bh2 b(2b) 2 2 3 WZ b 6 6 3
3 203822 b m m 67.4m m 2

单元四课题二

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课题二梁的弯曲
第一节平面弯曲的概念和实例
第二节剪力和弯矩第三节剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、
剪力、第四节剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系及其应用专题：剪力图和弯矩图的快速画法专题：剪力图和弯矩图的快速画法
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第一节平面弯曲的概念和实例一、平面弯曲的概念当梁上的载荷均作用在纵向对称面内时，当梁上的载荷均作用在纵向对称面内时，梁发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。 F 轴线 M
F
A
= FB
ql = 2
q A x
FA
②列剪力方程和弯矩方程
Q ( x) = FA − qx = ql − qx （0，l ) 2 x ql q M ( x) = FA x − qx = x − x 2 [0,l] 2 2 2
B
FB
l
ql 2
③绘剪力图和弯矩图
Q图图
1 1 Q(0) = ql , Q(l ) = − ql 2 2 l 1 2 Q(0) = M ( l ) = 0, M = ql 2 8
A y A
.A x FA
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②求内力—截面法求内力截面法 a A x m m Q A C Q M C M F B
∑F = 0
y
FA
FB
y x
F( l − a ) Q=F = l ∑ M ( F ) = 0,
A c
FA
F
M =Fx
A
c为截面形心为截面形心
FB
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3.内力符号规定内力符号规定 ①剪力Q：剪力绕所取梁段任一点之矩顺时针转为正，反之为负。剪力：剪力绕所取梁段任一点之矩顺时针转为正，反之为负。 Q + Q Q Q

平面弯曲的概念

2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与它到中性层的距离有关，在横截面的同一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同的，与它在横截面宽度上的位置无关。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
3、纵向对称平面：
工程上常见的梁，其横截面都具有一根对称轴y。
纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成的平面。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
4、平面弯曲：梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯
曲。 5、载荷分类：
作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（N·m，KN·m）
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
解：（1）求支座反力，画弯矩图。
RA 3kN RB 11kN
M B 4kN m
M c 3kN m
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
2）CB段梁的剪力方程为：
Pa Q2 l
(a x2 l)
3）剪力图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：
M1

Pb l
x1
(0 x1 a)
2）CB段梁的弯矩方程为：

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第七章直梁弯曲时的内力和应力
第七章直梁弯曲时的内力和应力
第七章直梁弯曲时的内力和应力
二、静定梁的基本形式梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1）固定铰支座：如图a所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和垂直于梁轴线方向的FAy。
第七章直梁弯曲时的内力和应力
第一节
平面弯曲的概念和实例
一、平面弯曲弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或受到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的轴线会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。平面弯曲：若梁的外力及支座反力都作用在纵向对称面内，则梁弯曲时轴线将变成此平面内的一条平面曲线，该弯曲变形称为平面弯曲。
或
第七章直梁弯曲时的内力和应力 2）活动铰支座：如图b所示，活动铰支座只能限制梁在支承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 3）固定端支座：如图c所示，固定端支座限制梁在支承处的任何方向线位移和角位移，其支座反力有两个正交力FAx、FAy和一个力偶分量MA。
或
MA
第七章直梁弯曲时的内力和应力静定梁的形式：根据梁的支座情况，工程中常见的静定梁可以简化成以下三种形式。 1）简支梁：梁的支座一端是固定铰支座，另一端是活动铰支座。 2）外伸梁：梁的支座与简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。 3）悬臂梁：梁的一端自由，另一端是固定支座。
第七章直梁弯曲时的Biblioteka 力和应力三、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内，可近似简化为作用于一点，如图所示的力F。单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。 2）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似简化为作用于一点，如图所示的力偶M。单位为牛顿· 米（N· m）或千牛顿· 米（KN· m）。 3）分布载荷：沿梁轴线方向、在一定长度上连续分布的力系，如图所示的均布载荷q。其大小用载荷集度表示，单位为牛顿/米（N/m）或千牛/米（kN/m）。