不等式的实际应用
不等式的实际应用
例三．如图：为处理含有某种杂质的污水，要制造 一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入， 经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为 b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的 乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、 b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质 量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）
例一．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在 该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的 范围（元）
获得奖券的 金额（元）
[200，400） 30
[400，500） [500，700） [700，900）
60
100
130
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400的商 品，则消费金额为320元，获得优惠额为：
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行 驶？
变式：已知R1和R2是阻值不同的两个电阻，现按图 中的（1）和（2）连结，相应的总阻值分别为RA和 RB，则它们的大小关系为（ ）
A、RA>RB
B、RA=RB
C、RA<RB
D、不能确定
R1
R2
R1
R1
R1
R2
（1）
R2
R2
（2）
假若定价上涨x成（这里x成即 10 ，0<x≤10）。每月
卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z倍。
（1）设y=ax，其中 1 a 1 为常数，用a表示
当
3
售（货2）金若额y最大时2 的x x，的求值使。售货金额比原来有所增 3
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
例析不等式在实际生活中的应用
不等式在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：
1.金融：不等式可以用来分析金融市场的风险和收益。
例如，可以使用不等式来估算
投资的最大损失，或者计算最小投资回报率。
2.公平竞赛：不等式可以用来保证公平竞赛的公正性。
例如，在体育竞赛中，可以使
用不等式来确定最多能够获得的奖励，以确保所有参赛者有同等的机会获胜。
3.保险：不等式可以用来分析保险公司的风险和收益，并确定保险费用。
例如，可以
使用不等式来估算保险公司的最大赔偿金额，或者计算最小保费收益率。
4.工程设计：不等式可以用来分析工程设计的安全性和可靠性。
例如，在建造高楼大
厦时，可以使用不等式来确定楼房的最大承载能力，以确保安全。
5.统计学：不等式可以用来分析数据的统计特征，例如求出数据的平均值和方差。
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例数学不等式作为初中数学中的一个重要内容，不仅有理论的意义，还有实际的应用。
本文将从实际问题的角度出发，给出一些初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例，以展示不等式在实际生活中的重要性。
一、物品购买问题假设小明去商店买口红，他现在有300元的预算，一支口红的价格是x元。
根据经验，我们知道在购买同款口红时，价格越高，质量越好。
但是小明想要在预算范围内选择质量尽可能好的口红。
这个问题可以用不等式进行求解。
首先，我们可以列出不等式：x ≤ 300，其中x为口红的价格。
由于小明希望选择质量尽可能好的口红，根据经验可以假设价格与质量成正比。
因此，价格越高，质量越好。
所以，通过解不等式，我们可以得到小明预算范围内，价格越高的口红质量越好。
通过这个案例，我们可以看到不等式在物品购买问题中的应用。
二、年龄差问题在生活中，经常会遇到解决年龄差不等式的问题。
例如，小明比小红大5岁，小红比小白大3岁，请问小明和小白的年龄差是多少？假设小明的年龄为x岁，则小红的年龄为x-5岁，小白的年龄为x-5-3岁，即x-8岁。
根据题目的条件，我们可以列出不等式：(x-5) - (x-8) ≥ 0简化该不等式，我们可以得到：x - 5 - x + 8 ≥ 0化简后得到：3 ≥ 0这个不等式恒成立，说明小明和小白的年龄差是大于等于0的。
通过这个简单的案例，我们可以看到不等式在解决年龄差问题中的应用。
三、角度问题在几何学中，不等式可以用来描述角度之间的关系。
例如，给定一个三角形ABC，角A的度数是x，角B的度数是2x，角C的度数是3x。
我们需要找出x的取值范围，使得三角形ABC为锐角三角形。
根据角度的性质，我们知道锐角的度数是小于90度的。
因此，我们可以列出不等式：x < 90由于角A、角B、角C是三角形的三个内角，所以它们的和应该等于180度。
根据题目的条件，我们可以列出等式：x + 2x + 3x = 180简化该等式，我们得到：6x = 180解方程得到x = 30。
62. 不等式的常见应用实例有哪些？
62. 不等式的常见应用实例有哪些？62、不等式的常见应用实例有哪些？在我们的日常生活和学习中，不等式是一种非常有用的数学工具，它帮助我们解决各种实际问题，并做出更合理的决策。
接下来，让我们一起看看不等式的常见应用实例。
在购物时，不等式就大有用处。
比如说，我们有一定的预算，比如200 元，而商店里有不同价格的商品。
假设我们想买衣服和鞋子，衣服的价格是每件 80 元，鞋子的价格是每双 120 元。
我们可以用不等式来表示我们的购买选择：设购买衣服的数量为 x，购买鞋子的数量为 y，那么 80x ＋120y ≤ 200。
通过这个不等式，我们可以确定在不超出预算的情况下，能够购买的衣服和鞋子的组合。
在工程领域，不等式也经常出现。
例如，在建造桥梁时，需要考虑桥梁的承重能力。
假设桥梁的最大承重为 100 吨，而通过的车辆重量各不相同。
一辆小型汽车重 2 吨，一辆大型卡车重 8 吨。
设通过的小型汽车数量为 m，大型卡车数量为 n，那么 2m ＋8n ≤ 100。
这样的不等式可以帮助工程师确定在保证桥梁安全的前提下，能够允许通过的车辆数量和类型。
在资源分配方面，不等式也发挥着重要作用。
比如，一家工厂有一定数量的原材料，如钢材和铝材。
钢材有 50 吨，铝材有 30 吨。
生产一种产品需要钢材 3 吨，铝材 2 吨；生产另一种产品需要钢材 2 吨，铝材 4 吨。
设生产第一种产品的数量为 a，第二种产品的数量为 b，那么 3a ＋2b ≤ 50，2a ＋4b ≤ 30。
通过这样的不等式，工厂可以合理安排生产，以充分利用有限的资源。
在行程问题中，不等式同样有应用。
假设你要去一个距离为 200 公里的地方，你的汽车每小时能行驶 60 公里，但由于路况等因素，平均速度可能会降低。
你希望在 4 小时内到达目的地。
设平均速度为 v 公里/小时，那么v × 4 ≥ 200。
通过这个不等式，可以确定为了按时到达，汽车的平均速度至少要达到多少。
不等式应用举例知识点
不等式应用举例知识点
不等式是数学中常用的一种表示关系的方法，用于描述数量的大小关系。
在实际应用中，
不等式常常用于解决一些问题，例如：
1. 成绩不低于某个标准：假设某个考试的及格分数线是60分，如果一个人的成绩超过了60分，则可以表示成x > 60，其中x 表示这个人的成绩。
这个不等式表示了成绩不低于60分的条件。
2. 收入与支出关系：假设一个人的月收入是1000美元，如果他的每月支出不超过800美元，
则可以表示成x ≤ 800，其中 x 表示这个人的月支出。
这个不等式表示了收入与支出的关系。
3. 时间问题：假设某个人从 A 地到 B 地的路程是100公里，他以每小时80公里的速度行驶，
那么他到达 B 地所需要的最短时间可以表示为t ≥ 1.25，其中 t 表示小时数。
这个不等式表示
了到达时间的下限。
4. 购物优惠活动：假设某商店推出了满100元减20元的优惠活动，如果一个人购买的金额超
过100元，则可以表示成 x > 100，其中 x 表示购买金额。
这个不等式表示了是否能够享受优
惠的条件。
这些例子只是不等式应用的一小部分，不等式在数学中涉及到的领域很广泛，能够帮助我们描
述和解决各种问题。
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案一、教学目标1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够将实际问题转化为不等式问题，并运用不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义与基本性质2. 实际问题转化为不等式问题3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念与基本性质，实际问题转化为不等式问题的方法。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不等式的定义与基本性质，引导学生理解不等式的概念。
2. 案例分析法：通过实际问题，引导学生将问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
3. 小组讨论法：分组讨论不等式在实际问题中的应用，促进学生之间的交流与合作。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示不等式的定义与基本性质，实际问题转化为不等式问题的案例。
2. 练习题：准备一些实际问题，供学生在课堂上练习解决。
【章节一：不等式的定义与基本性质】1. 引入不等式的概念，讲解不等式的定义。
2. 讲解不等式的基本性质，如传递性、同向可加性等。
3. 通过示例，让学生理解不等式的表示方法，如“<”、“>”、“≤”、“≥”等。
【章节二：实际问题转化为不等式问题】1. 引入实际问题，如“两个人比赛跑步，A跑得比B快，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“A跑得比B快”可以表示为“A 的速度> B的速度”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题。
【章节三：不等式在实际问题中的应用】1. 引入实际问题，如“一个班级有男生和女生，男生人数多于女生人数，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“男生人数多于女生人数”可以表示为“男生人数> 女生人数”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
【章节四：不等式的解集与图像】1. 讲解不等式的解集的概念，如“解不等式2x + 3 > 7的解集是什么？”2. 引导学生通过图像法或代数法求解不等式的解集。
不等式的应用
不等式的应用不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用来表示两个数的大小关系。
在实际生活中，不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
本文将以几个具体的应用案例为例，讨论不等式在实际问题中的应用。
一、经济学中的不等式应用在经济学中，不等式经常用于描述供求关系、成本与收入之间的关系。
以市场价格为例，我们知道市场上的商品价格不可能低于生产成本，这就可以用不等式来表示。
假设生产成本为C，市场价格为P，则可以表示为P > C。
另一个例子是利润最大化问题。
假设某企业的成本函数为C(x)，收入函数为R(x)，其中x表示生产或销售的数量。
为了使利润最大化，我们可以建立如下不等式关系：R(x) - C(x) > 0。
通过求解这个不等式方程，可以找到使得利润最大化的生产或销售数量。
二、物理学中的不等式应用在物理学中，不等式经常用于描述物理量之间的关系，如力、速度、加速度等。
以力学为例，根据牛顿第二定律，力F等于物体的质量m乘以加速度a，即F = ma。
但是物体所受力的大小不能超过一定范围，即F ≤ Fmax。
这个不等式描述了物体所受力的上限。
另一个例子是能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量总量在封闭系统内是守恒的。
假设某系统的初始能量为E1，经过某一过程后的能量为E2，那么可以建立如下不等式关系：E1 ≥ E2。
这个不等式表明经过过程后的能量不能超过初始能量。
三、工程学中的不等式应用在工程学中，不等式被广泛应用于优化问题的求解。
以线性规划为例，线性规划是一种在约束条件下最大化或最小化线性目标函数的优化方法。
假设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，线性目标函数为f(x1,x2, ..., xn)，约束条件为一系列不等式关系。
通过求解这些不等式关系，可以找到使目标函数最优化的决策变量取值。
另一个例子是电路设计中的不等式应用。
在电路设计中，为了满足电路的稳定性和可靠性要求，往往需要限制电流、电压等物理量的取值范围。
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解：如图，设矩形的长与宽分别为x，y,圆柱的侧面积为S
则2x+2y=36，即x+y=18
因
S
2xy
2
x
2
y
2
162
当且仅当x=y且x+y=18，即x=y=9时取等号
y x
答：当矩形的长与宽均为9时，圆柱的侧面积最大
(6)课本P：101 B组 Ex1 设矩形ABCD(AB＞CD)的周长为24，把 ⊿ABC沿AC向⊿ADC折叠，AB折叠后交DC于点P，设AB=x 求⊿ADP的 最大面积及相应x的值
三、不等式的实际应用
1.线性规划
2.其他不等式
一、解决实际问题的两大步骤
建模
实际问题 ﹤
还原
二、常见的数学模型
概率与统计
排列组合
解三角形
线性规划
1.按模型分 函数
方程
不等式
数列
······
2.按条件分
模型已知 模型未知
﹥ 数学问题
一次 二次 三次 对号 分段 绝对值 幂函数型 指数函数型 对数型 三角函数 ···
同底法 取对数法 其他法
单调性法
注：对数不等式要注意Domain
解三角不等式
（一）基础型——背诵法
1.若 sin x 0 ,则 x 2.若 cos x 0 ,则 x 3.若 tan x 0 ,则 x 4.若 sin x cos x ,则 x 5.若 sin x tan x ,则 x
（二）其他型——图象法
未知
需知1
需知2
……
已知
综合法： 由因导果顺推法
已知
可知1
可知2
……
未知
反证法： 假设归谬三存真 正难则反及显然
至多至少存在性 肯定否定唯一性
放缩法:
欲证A＞B, 若能证A＞□,□＞B同时成立 ,则有A＞B
辅助函数法:
构造辅助函数，利用其单调性或最值证明不等式
含参不等式四种成立
一、描述方式繁多：
二、解法多样且灵活：
③直线旋移型：z x y (λ,μ为参量,截距……)
④点线距离型：z | ax by c | (a,b,c为常数,距离…)
2.曲线型：
⑤圆伸缩型：z (x x0 )2 ( y y0 )2 (x0 ,y0为常数,半径…) 3.其他型：
⑥向量型：……
已知两正数□,○，若
1 □
+
1 ○
，□ + ○，□2+○2，□○
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
解一元二次不等式
1.图象(标根)法：
2.公式(口诀)法：
口诀1：大于号要两头 口诀2：一正二方三大头
解分式不等式
1.“左右”去分母法
小于号要中间 无根大全小为空
2.“上下”去分母法
解不等式组
数形结合“或”字型 书写格式整体观
解连不等式
通法:“截”成不等式组 特法:左右是常数时，可变形成高次不等式
影响，影响15小时
(4)课本P：100 A组 Ex2 一段长为30m的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽 各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解：设菜园的长和宽分别为x，y ,则 x+2y=30
菜园的面积为
18
S xy 1 (x 2y) 1 ( x 2y )2 225
⑦同向可加：
⑧正值同向可乘： ⑨同号可倒：
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
2
1 □
+
1 ○
□○
≤
□
+
2
○
□2+○2 2
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
数形结合周期性 上大下小中方程
（一）基础型——背诵法
sin x cos x
1.若 sin x 2.若 cos x
3.若 tan x
4.若 sin x 5.若 sin x
0 ,则 x
sin x＞cosx
0 ,则 x
0 ,则 x
sin x＜cosx
cos x ,则 x
tan x ,则 x
sin x＞tanx sin x＜tanx
6002 400t 2 2 20t 600 2 4502 2
整理得 4t2 120 2t 1575 0
B
解得 30 2 15 t 30 2 15
A
2
2
而
30
2 15 13.7(h) 2
30
，
2 15 30 2
2 15 15(h) 2
答: 从现在起13.7小时后，该码头将受到热带风暴中心的
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
1.基本性质
①大小的定义
②对称性
③传递性
2.运算性质
⑴对一个不等式的运算(变形)
④加(减): 如果a>b，那么a+c>b+c
⑤乘(除)： 如果a>b,且c>0,那么ac>bc
⑥方：
如果a>b,且c<0,那么ac<bc 正值可方奇无限
⑵对多个不等式的运算(变形)
练习2.其他不等式的实际应用
(2)课本P：81 A组 Ex6 某文具店购进一批新型台灯 若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价 每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得 400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
析：设每盏台灯售价x元，则
x 15
x 30
注：直线划分坐标面 先画直线定边线 有等为实反为虚 特点验证确定面 左小右大 A要正 上大下小 B要正
2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域
常见的几类目标函数 1.直线型：
①直线平移型：z ax by (a,b为常数,截距……)
②直线旋转型：z y y0 x x0
(x0 ,y0为常数,斜率……)
解:设每月生产甲,乙产品分别为x和y件,每月收入为Z千元
则目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是
x＋2y ≤400 2x＋y ≤500 x ≥ 0 y ≥ 0
x＋2y ≤400 2x＋y ≤500 x ≥ 0 y ≥ 0
Z＝3x＋2y
Y 500
200 O
M(200,100) X
250 400
由图可知目标函数线经过点M(200，100)时，Z最大 即 Zmax ＝3x＋2y＝800（千元） 故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元
不同种类的思想方法； (2)作用：
化复杂为简单，化陌生为熟练，化大为小； (3)原则：
①分类标准要统一； ②分类讨论时，要不重不漏； ③分类讨论要逐级进行，建议尽量书写序号 ④先分后合，能合必合 ⑤能避免分类标准，尽量避免之
2.含参不等式恰成立
小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根
大作：回归到含参不等式常成立
2
22
2
当且仅当 x=2y且x+2y=30
y x
即 x 15, y 15 时取等号
(0＜x＜18, 0＜y＜15)
2
答：矩形的长、宽分别为 15m, 15 m时
2
菜园的面积最大，最大面积为 225 m2 2
(5)课本P：101 A组 Ex3 已知矩形的周长为36,矩形绕 它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长，宽各为多少时 旋转形成的圆柱侧面积最大?最大侧面积是多少？
解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型：大于号要中间,小于号要两头 2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 3.双绝对值号型：
①零点分段法 ②函数图象法 ③绝对值几何意义法
解根式不等式
1.数法：陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍
2.形法：
解指对不等式
形法 数法
巧构函数是关键 上大下小中方程
2(
x
15)
400
即 [15，20）
(3)课本P：81 B组 Ex4 据气象部门预报，在距离某码头 南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度 向正北方向移动， 距风暴中心450km以内的地区都将受到 影响，从现在起，多长时间之后，该码头将受到热带风暴 的影响，影响时间大约多长 法1：建立如图所示的坐标系，记风暴
3.含参不等式恒成立：
形法 (1)
数法
通法 (2)
特法
4.含参不等式能成立：
最值法 子集法
分离参量法 变换主元法 先猜后证法
用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可
§163 不等式的实际应用
一、解决实际问题的两大步骤
实际问题 ﹤
建模 还原
﹥ 数学问题
二、常见的数学模型
1.按模型分