2020届六校联考高三数学(文科)试卷
2020届六校联考 高三数学(文科)试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题5分，共12小题，满分60分)
1.设集合M ＝{x|x2＝x}，N ＝{x|lgx≤0}，则M ∪N ＝
A.[0，1]
B.(0，1]
C.[0，1)
D.(－∞，1]
2.设11z i i
=++，则z = A.12
B.22
C.32
D.2 3.已知34(,
),cos 25παπα∈=-，则tan()4
πα-= A.7 B.17 C.－17 D.－7 4.若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是
A.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
B.若a ＜b ，则11a b
> C.若a ＜b ，则ac ＜bc D.若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c
5.设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 。
则下列命题中真命题是
A.(¬p)∧(¬q)
B.p ∨(¬q)
C.p ∨q
D.p ∧q
6.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，5)，若(a ＋λb)⊥c ，则实数λ＝
A.－12
B.12
C.－2
D.2 7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,7,33C c b a π=
==，则△ABC 的面积为 33 23- 2 23+ 8.已知a>0，b>0，并且成111,,2a b
等差数列，则a ＋4b 的最小值为 A.2 B.4 C.5 D.9
9.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的。
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符。
已知俩人获奖，则获奖的是
A.甲和丁
B.甲和丙
C.乙和丙
D.乙和丁
10.三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA ＝2，AB ＝AC
BAC ＝60°，则该棱锥的外接球的表面积是
A.12π
B.8π
π
11.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为
A.12-
B.2
C.12
1 12.已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是
A.(2，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.(－∞，－2)
D.(－∞，－1)
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分。
请将答案填在答题卷相应空格上。
)
13.若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 。
14.已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ·lnx 相切，则实数k 的值为 。
15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知bsinA ＋acosB ＝0，则B ＝ 。
16.已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为 。
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
)
17.(本小题10分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5。
(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和。
18.(本小题12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC ＋(c －3b)cosA ＝0。
(1)求cosA 的值；(2)若△ABC
，且b －c ＝2，求a 的值。
19.(本小题12分)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，
AC⊥BC且AC＝BC＝2，O、M分别为AB、VA的中点。
求证：VB//平面MOC；(2)求三棱锥V－ABC的体积。
20.(本小题12分)某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示。
规定分数在80以上(含80)的为“安全意识优秀”。
(1)补全上面2×2的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？
(2)若规定参加调查的100人中分数在70以上(含70)的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率。
附表及公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d。
21.(本小题12分)已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
，短轴的一个端点到右焦点的
距离为2。
(1)试求椭圆M 的方程；
(2)若斜率为
12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1,)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率
为k 1，直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1＋k 2是否为定值？请证明你的结论。
22.(本小题12分)已知函数21()2ln 2f x ax x x =
+-。
(Ⅰ)当a ＝3时，求f(x)的极值；
(Ⅱ)若f(x)在区间[
12
，3]上是增函数，求实数a 的取值范围。
广东省2020届高三六校联盟第三次联考文科数学试题及答案
2019-2020学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3．（5分）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．84．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝16．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．47．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．28．（5分）若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（）①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．A．①③B．③④C．①②D．②④10．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F且斜率为的直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，且||＝2||，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．或2D．或212．（5分）已知求O的表面积为64π，A，B，C在球面上，且线段AB的长为4，记AB 的中点为D，若OD与平面ABC的所成角为60°，则三棱锥O﹣ABC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）＝在点（1，﹣2）处的切线方程为．14．（5分）在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝a n+，则通项公式a n＝．15．（5分）如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC＝CD，2AC＝AD，AB＝2AD，则sin B等于．16．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每位考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n．18．（12分）等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为AC的中点，正方形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直．（1）求证：AB1∥平面DBC1；（2）若AB＝2，求点D到平面ABC1的距离．19．（12分）某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：频数满意度评分分组[50，60）2[60，70）8[70，80）14[80，90）14[90，100]2（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴长为2，过定点P（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B（点B在点A、P之间）．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求实数λ的取值范围；（3）若射线BO交椭圆C于点M（O为原点），求△ABM面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第-题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ＝4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．若a，b，c∈R+，且满足a+b+c＝2．（1）求abc的最大值；（2）求++的最小值．2019-2020学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），∴z＝＝＝1+i，∴|z|＝＝，故选：C．3．（5分）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【解答】解：∵向量＝（1，m），＝（3，﹣2），∴+＝（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故选：D．4．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故B正确；这12天的AQI指数值的中位数是＝99.5，故C不正确；从4日到9日，AQI数值越来越低，空气质量越来越好，故D正确，故选：C．5．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝1【解答】解：∵直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，若l1∥l2，则m（m+1）﹣2＝0，解得：m＝﹣2或m＝1当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝﹣2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝﹣2或m＝1”，故选：C．6．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．4【解答】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则+＝2×＝1；则a+9b＝（a+9b）（+）＝10++≥10+2＝16；即则a+9b的最小值为16；故选：A．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．8．（5分）若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cos2x＝图象向左平移φ可得：sin （2x+2φ）图象关于y轴对称，即2φ＝（k∈Z）解得：φ＝．∵φ＞0，当k＝0时，φ的值最小值为．故选：C．9．（5分）在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（）①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．A．①③B．③④C．①②D．②④【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．∴恒不一定成立的结论是：②④．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．11．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F且斜率为的直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，且||＝2||，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．或2D．或2【解答】解：设F（c，0），则C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点且斜率为的直线l：y＝（x﹣c），而渐近线的方程是：y＝±x，由得：A（﹣，），由得，B（，），∵||＝2||，∴＝，可得：3a2＝b2，∴＝3，∴e＝＝＝＝＝2．同理，当点A、B在x轴下方时，e＝．综上所述，双曲线C的离心率为2或．故选：D．12．（5分）已知求O的表面积为64π，A，B，C在球面上，且线段AB的长为4，记AB 的中点为D，若OD与平面ABC的所成角为60°，则三棱锥O﹣ABC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：设△ABC所在截面圆的圆心为O1，AB中点为D，连接OD，O1D，OA＝OB，所以OD⊥AB，同理OD1⊥AB，所以∠ODO1即为OD与平面ABC所成的角，故∠ODO1＝60°；因为OA＝OB＝4，AB＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，所以OD＝2，在Rt△ODO1中，由，得，由勾股定理得：，因为O 1到A、B、C三点的距离相等，所以三棱锥O﹣ABC外接球的球心E在射线OO1上，设四面体OABC外接球半径为R，在Rt△O1BE中，＝，BE＝R，，由勾股定理可得：，即10+，解得R＝，故所求球体积V＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）＝在点（1，﹣2）处的切线方程为x﹣y﹣3＝0．【解答】解：∵f（x）＝＝﹣2，∴f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝﹣2，∴曲线f（x）＝在点（1，﹣2）处的切线方程为：y﹣（﹣2）＝（x﹣1），整理得：x﹣y﹣3＝0，故答案为：x﹣y﹣3＝0．14．（5分）在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝a n+，则通项公式a n＝4﹣．【解答】解：∵a n+1﹣a n＝＝∴…a n﹣a n﹣1＝以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1＝∵a1＝3，∴故答案为：4﹣15．（5分）如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC＝CD，2AC＝AD，AB＝2AD，则sin B等于．【解答】解：由题意设AD＝2x，则AC＝CD＝x，AB＝4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC＝＝，∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝＝，∴在△ADB中由正弦定理可得sin B＝＝＝，故答案为：16．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝x﹣＝，（x ＞0）若f′（x）＝≤0，解可得0＜x≤3，即f（x）的递减区间为（0，3]；若函数f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递减，则有，解可得：1＜a≤2，即a的取值范围为（1，2]；故答案为：（1，2]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每位考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴a n＝2n．（2）由（1）得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32．设{b n}的公差为d，则，解得从而b n＝﹣16+12（n﹣1）＝12n﹣28，所以数列{b n}的前n项和S n＝＝6n2﹣22n．18．（12分）等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为AC的中点，正方形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直．（1）求证：AB1∥平面DBC1；（2）若AB＝2，求点D到平面ABC1的距离．【解答】解：（1）证明：连结B1C，设B1C∩BC1＝O，连结OD，如图，∵O是B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1，∵OD⊂面BDC1，AB1⊄面BDC1，∴AB1∥平面DBC1．（2）解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∵BA⊥CC1，∴BA⊥平面ACC1，∴BA⊥AC1，设点D到平面ABC1的距离为h，由＝，代入可得：＝，解得点D到平面ABC1的距离为．19．（12分）某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：频数满意度评分分组[50，60）2[60，70）8[70，80）14[80，90）14[90，100]2（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．【解答】解：（Ⅰ）设A公司调查的40份问卷的中位数为x，则有0.015×10+0.025×10+0.03×（x﹣70）＝0.5解得：x≈73.3所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 …（4分）（Ⅱ）满意度高于9（0分）的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为a1，a2，a3，a4，2份评价B公司，设为b1，b2．从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共有15种．其中2份问卷都评价A公司的有以下6种：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）．设两份问卷均是评价A公司为事件C，则有．…（9分）（Ⅲ）由所给两个公司的调查满意度得分知：A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数，A公司得分集中在[70，80）这组，而B公司得分集中在[70，80）和[80，90）两个组，A公司得分的平均数数低于B公司得分的平均数，A公司得分比较分散，而B公司得分相对集中，即A公司得分的方差高于B公司得分的方差．…（13分）20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴长为2，过定点P（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B（点B在点A、P之间）．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求实数λ的取值范围；（3）若射线BO交椭圆C于点M（O为原点），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）由题得c＝1，b＝1，所以a2＝1+1＝2，则椭圆C的方程为：；（2）①当直线l斜率不存在时，其方程为x＝0，此时A（0，﹣1），B（0，1），所以＝（0，﹣1），＝（0，﹣3），因为，则λ＝；②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x1，y1﹣2），＝（x2，y2﹣2），由，得，整理得，联立，得x2+2（kx+2）2＝2，即（1+2k2）x2+8kx+6＝0，△＝64k2﹣24（1+2k2）＞0，解得k2＞，且x1+x2＝，x1x2＝，代入（1）中得，因为k2＞，所以2＜＜，解得，又因为B在A、P之间，所以，综上：；（3）由椭圆对称性可知BO＝MO，S△ABM＝2S△AOB，设O到直线l的距离为d，则S△AOB＝＝××|x2﹣x1|×＝|x2﹣x1|＝＝＝＝＝＝≤，当且仅当2k2﹣3＝（k2＞）时取“＝”，所以△ABM面积的最大值＝2△AOB面积的最大值＝，即．21．（12分）已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝p+﹣＝，令h（x）＝px2﹣2x+p，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内是单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内，满足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立，当且仅当p（x2+1）≥2x时，h（x）≥0，p（x2+1）≤2x时，h（x）≤0，因为x2+1＞0，所以当且仅当p≥时，h（x）≥0，p≤时，h（x）≤0，因为在（0，+∞）内有0＜＝＝≤1，当且仅当x＝即x＝1时取等号，所以当p≥1时，h（x）≥0，f′（x）≥0，此时f（x）在（0，+∞）单调递增，当p≤0时，h（x）≤0，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）单调递减，综上，p的取值范围为p≥1或p≤0．（2）因为g（x）＝在[1，e]上是减函数，所以x＝e时，g（x）min＝2；x＝1时，g（x）max＝2e，即g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减，所以f（x）max＝f（1）＝0＜2，不合题意，②当0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x﹣≥0，由（1）知当p＝1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）＝p（x﹣）﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne＝e﹣﹣2＜2，不合题意，③当p≥1时，φ（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，由题意可得，只需x∈[1，e]时，φ（x）max≥0，即可，由（1）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）＝0＜2，又g（x）在[1，e]上是增函数，则φ（x）max＝f（x）max﹣g（x）min，x∈[1，e]，而f（x）max＝f（e）＝p（e﹣）﹣2lne，g（x）min＝2，只需φ（x）max＝p（e﹣）﹣2lne﹣2＞0，解得p＞，综上p的取值范围是（，+∞）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第-题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ＝4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．即x2+（y﹣2）2＝4．（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理，得t2﹣3t+1＝0，△＝18﹣4＝14＞0，设t1，t2为方程的两个实根，则t1+t2＝3，t1t2＝1，∴t1，t2均为正数，又直线l过M（1，4），由t的几何意义得：|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．若a，b，c∈R+，且满足a+b+c＝2．（1）求abc的最大值；（2）求++的最小值．【解答】解：a，b，c∈R+，且满足a+b+c＝2．（1）∴abc≤＝，当且仅当a＝b＝c时取等号，故abc的最大值；（2）∵++＝＝（3）（3+2+2+2）＝，当且仅当a＝b＝c时取等号∴++的最小值．。
湖南省六校2020届高三年级下学期4月联考文科数学试题
姓 名准考证号湖南省2020届高三六校联考试题数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合}1{A =，2，3，4，}5{14B =，，，C A B =I ，则C 的子集共有（ ）A.2个B.3个C.8个D.4个2.设复数z 满足246z z i -=+（z 是z 的共轭复数，i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.下面四个条件中，使m>n 成立的充分而不必要的条件是（ ）A.33m n >B.2m n >+C.22m n > D.2m n >-4.设3log 2a =，9log 3b =，2log 3c =，则（ ）A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a5.双曲线()222x ny n n R -=∈的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A.2B.1C.2D.与n 的值有关6.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容 积为（ ）A.3.4升B.2.4升C.2.3升D.3.6升7.函数2sin y x x π=-的大致图象是（ ）8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.53π+ B.23π+ C.43π D.43π+9.已知实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x t +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =-的最大值为8，则z 的最小值为。
河北省衡水市2020届高三下学期六月联考数学(文)试题 Word版含解析
2020届高三六月联考文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,3,5,7M =，(){}50N x x x =-<，则M N =（ ）A. {}1,3B.{}0,1,3 C. {}1,3,5D.{}0,1,3,5【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合N ，再由交集运算即可得解. 【详解】集合{}0,1,3,5,7M =，(){}50N x x x =-<，则{}05N x x =<<，所以由交集运算可得{}1,3M N ⋂=故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（ ） A. 2- B. 3iC. 1D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，即可得z 的虚部. 【详解】由复数除法运算化简可得()133213233213i i i z i i +===-+-， 由复数的概念可知z 的虚部为3. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的概念与复数的除法运算，属于基础题. 3.已知()4cos π5α+=，则3πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.35 B.35C.45D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】首先利用诱导公式得到()4cos πcos 5αα+=-=，再利用诱导公式计算3πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 【详解】因为()4cos πcos 5αα+=-=， 所以3π4sin cos 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟记口诀：“奇变偶不变，符号看象限”为解题的关键，属于简单题.4.设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ）A. 2B. -2C. 6D. -6【答案】D 【解析】 【分析】根据//m n 可知,m n R λλ=∈，再根据2m a b =-，3()n a kb k R =+∈代入求解即可. 【详解】因为//m n ，故,m n R λλ=∈，故()323a kb kb a b a λλλ-==++，因为a ，b是两个不共线的平面向量，故132k λλ=⎧⎨-=⎩，解得136k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.故选：D【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若//m n ，则,m n R λλ=∈，属于基础题.5.记曲线221x y a -=-（0a >且1a ≠）所过的定点为P ，若点P 在双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】易知()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率12b a =，根据公式即可求得结果. 【详解】221x y a-=-,当20x -=时，即2x =，1y =，所以定点()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率12b a =，所以双曲线的离心率为e ===. 故选：B.【点睛】本小题主要考查曲线恒过定点，考查双曲线的渐近线，双曲线的离心率的求法，属于基础题.6.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ 6.59y x =+，则表中m 的值为（ ） A. 22 B. 25.5C. 28.5D. 30【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心点(),x y ，即可代入回归方程求得y ；进而由表中数据求得m 的值.【详解】因为0123425x ++++==，代入回归直线方程ˆ 6.59yx =+，可得 6.52922y =⨯+=， 结合表中数据可知10152035225m ++++=，解得30m =. 故选：D.【点睛】本题考查了线性回归方程及其性质的简单应用，属于基础题.7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，且短轴长为C 的标准方程为（ ）A. 22112x y +=B. 22143x y +=C. 22134x y +=D.221163x y += 【答案】 B 【解析】 【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为23，即可求得,a b 的值，进而由焦点在x 轴上可得C 的标准方程.【详解】由题意可得23π,223,ab b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2a =，3b =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为22143x y+=.故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.8.将函数()32sin x x f x x+=的图象向下平移1个单位长度.得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由条件可得()32sin 1x x g x x+=-，又()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，则()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ，根据()1sin10g =>，可排除C ，从而得到答案.【详解】易知()32sin 1x x g x x +=-，由()()()()32sin x x f x f x x-+--==- 所以函数()32sin x x f x x+=为奇函数，其图象关于原点对称， 故函数()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ； 又()sin1111sin101g +=-=>，排除C. 故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数对称性的应用，根据解析式选择函数图象时可根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）和特殊点处函数值等进行验证排除.属于中档题.9.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为（ ）A.22B. 22-C.21313D.31313【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原空间几何体，由几何体可知PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角，结合线段关系即可求得PBA ∠的值，进而得异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD .因为//AB CD ，所以PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角. 因为tan 1PAPBA AB∠==，所以45PBA ∠=︒， 所以2cos PBA ∠=. 故选:A.【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的简单应用，异面直线夹角的求法，属于基础题. 10.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：2 1.414≈）（ ）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B 【解析】 【分析】CD，再根据木塔底层的边AB 不少于47.5米，即可求解. 【详解】解：设木塔的高度为h，有图可知， 1.41447.567.165h =≥⨯=（米），同时CD h =19.967.9181.41412h ==≈-（米）， 即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题.11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()30f x xf x '+<，且()210f =，则不等式()()2800x f x x x>≠的解集为（ ） A. (),0-∞B. ()0,2C. ()2,+∞D.()(),00,2-∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()3g x x f x =，利用所给不等式求出()g x '的符号从而判断()g x 的单调性，由()210f =知()280g =，分0x >、0x <两类情况求解不等式.【详解】构造函数()()3g x x f x =，则()()()233g x x f x x f x ''=+，()()30f x xf x '+<，()()()230x f xf g x x x '=+∴≤⎡⎤⎣⎦'，∴函数()()3g x x f x =在R 上单调递减.()210f =，∴()280g =，解不等式()()2800x f x x x>≠， 当0x >时，得()380x f x >，则()()2g x g >，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以02x <<；当0x <时，得()380x f x <，则()()2g x g <，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以2x >，不合题意，舍去. 所以不等式()()2800x f x x x>≠的解集为()0,2. 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据题中所给不等式的形式构造新函数是解题的关键，属于中档题.12.已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 在[]2π,2π-上恰有8个零点， 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义可判断①正确，借助二倍角公式将函数化简为()2192cos 48f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭利用二次函数性质计算可得②错误，利用复合函数的单调性可判断22cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且22cos cos 10y x x =+-<，则()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据偶函数性质可得出③正确，利用函数与方程的思想解方程即可判断④错误.【详解】由()()()()cos 2cos cos2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 为偶函数，①正确；()2219cos 2cos 2cos 1cos 2cos 48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=+- ⎪⎝⎭，记[]cos 1,1t x =∈-，则22192cos cos 1248y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当1t =时，y 取得最大值2，当14t =-时，y 取9得最小值98-， 即22192cos cos 1248y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的值域为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为[]0,2，②错误；()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性与它在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性刚好相反，当5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos t x =单调递增，且1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦，而221921248y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭在1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦时单调递减，故22cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又此时221,02y t t ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是得()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，③正确； 令2210t t +-=，得1t =-或12，而当[]0,2πx ∈时，cos 1x =-及1cos 2x =恰有3个不等的实根π，π3，5π3，即()f x 在区间[]0,2π上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即()f x 在区间[]2π,2π-上恰有6个零点，④错误. 故正确的是①③. 故选:A.【点睛】本题考查讨论余弦函数的奇偶性、单调性，以及根据已知条件求值域，考查零点问题，函数与方程的思想，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为______.【答案】()1,x ∀∈+∞，22x x +>【分析】根据特称命题的否定形式及定义即可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为“()1,x ∀∈+∞，22x x +>”. 故答案为：()1,x ∀∈+∞，22x x +>.【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题.14.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =，34527a a a ++=，则10S =______. 【答案】120 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及前n 项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前n 项和公式即可求得10S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得()141331533327a d a a d +=⎧⎨=+=⎩解得13a =，2d =， 所以101109102S a d ⨯=+10910322⨯=⨯+⨯ 120=.故答案为：120.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 15.已知长方体1111ABCD A B C D -的共顶点的三条棱长度之比为1:1:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______. 【答案】803【解析】计算出长方体外接球的半径，根据题意设出长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，可得出24R ==k 的值，进而可求得该长方体的全面积.【详解】设长方体外接球的半径为R ，则2416R ππ=，2R ∴=， 设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，于是得24R ==，k ∴=因此，该长方体的全面积为()222222225k k kk++=⨯803=. 故答案为：803. 【点睛】本题考查利用长方体的外接球计算长方体的表面积，同时也考查了利用球体的表面积计算球体的半径，考查计算能力，属于中等题.16.已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A ，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______.【答案】 (1). (2). (4⎤⎦【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合()sin sin B A C =+可得出关于角A 的三角等式，进而可求得tan A 的值；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出4sin 3b B c π⎛⎫+= ⎝+⎪⎭，根据ABC 为锐角三角形求得角B 的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得b c +的取值范围.【详解】由2sin cos cos cos b A A C A =及正弦定理，得()sin sin sin cos sin cos B A A A C C A =+，即()sin sin sin B A A A C =+，sin sin sin B A A B ∴=，02B π<<，sin 0B ∴>，可得tan A =02A π<<，3A π∴=.又ABC 是锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====，21sin sin sin cos sin 33322b c B B B B B π⎫⎡⎤⎛⎫∴+=+-=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin cos 4sin 3226B B B π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 62B ππ<<，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，(b c ⎤∴+∈⎦.(4⎤⎦.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形边长之和取值范围的计算，考查三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且242a a =，532a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求使得2020n S <成立的n 的最大值0n .【答案】（1）2nn a =（2）09n =【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式，设{}n a 的公比为q ，代入已知条件即可求得首项与公比，进而得{}n a 的通项公式；（2）由等比数列通项公式，代入即可得n S 的表达式，结合不等式即可试解得最大值0n . 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ， 由已知条件得32211a q a q =，4132a q =， 解得12a q ==.故112n n n a a q -==. （2）因为2nn a =，所以()12122212n n nS +-==--，由2020n S <，得1222020n +-<，即122022n +<， 而10210242022=<，11220482022=>， 所以110n +≤，即9n ≤， 所以09n =.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=， 得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.19.在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC CC ===，3π4ACB ∠=，点D ，E 分别为棱1CC ，AB 的中点.（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求三棱锥1D AC E -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）248【解析】 【分析】(1)本题首先可以取1AB 的中点F 并连接EF 、1C F ，然后通过证明1//C D EF 即可得出四边形1C DEF 是平行四边形以及1//DE C F ，最后根据线面平行的相关判定即可得出结果； (2)本题首先可结合题意与图像将三棱锥1D AC E -的体积转化为112C ACE V -，然后通过三棱锥的体积公式即可得出结果.【详解】（1）取1AB 的中点F ，连接EF ，1C F ，则在1ABB △中，1//EF BB ，112EF BB =， 又点D 是1CC 的中点，所以1111122C D CC BB ==. 而且11//C D BB ，所以1//C D EF ，所以四边形1C DEF 是平行四边形，1//DE C F ， 又DE ⊄平面11AC B ，1C F 平面11AC B ，所以//DE 平面11AC B . （2）因为点D 是1CC 的中点， 所以1111122D ACE C AC E C ACE V V V ---==，11111113π1sin 1113262412224C ACE ABC V SCC CA CB CC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，所以三棱锥1D AC E -的体积为148D ACE V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求法，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则线面平行，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.20.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点.（1）若直线l 与圆221:4O x y +=相切，求直线l 的方程； （2）若直线l 与x 轴交点为D ，且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.【答案】（1）1y =+；（2）λμ+为定值1-. 【解析】 【分析】 （1）对直线l斜率是否存在进行分类讨论，由直线l 与圆O 相切，得出圆心到直线l 的距离等于半径，进而可求得直线l 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，可知当直线l 的斜率不存在时不满足题意，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出关于λ、μ的表达式，代入韦达定理化简计算可求得λμ+的值.【详解】（1）由已知得()0,1F .当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时，直线l 与圆O 相交，不合乎题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=， 由直线l 与圆221:4O x y +=12=，解得k =综上所述，直线l的方程为1y =+；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y . 若0k =，则直线l 与x 轴平行，不合乎题意，所以0k ≠.联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得2440x kx --=，由韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩，易知1,0D k ⎛⎫-⎪⎝⎭，由DA AF λ=，得()111111,,x x k y y λ⎛⎫=-- ⎪⎝+⎭，则111x x k λ+=-，111kx λ∴=--，同理可得211kx μ=--，所以12121211422214x x kkx kx kx x kλμ++=---=--=--=--， 所以λμ+为定值1-.【点睛】本题考查直线与圆相切，同时也考查了抛物线中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()()211xf x mx x e m =+-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()23f x mx x >+【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，对0m ≥、0m <两类进行分类讨论判断导数符号从而确定单调性；（2）设()()23F x f x mx x =--，通过导数判断函数()F x 的单调性，证明()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立即可得证.【详解】（1）()()22x xf x mx xe x e m '=+=+.①当0m ≥时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <， 故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增. ②当0m <时，令()0f x '=，得0x =或()ln 2x m =-. 当12m =-时，()()10xf x x e '=-≥，故()f x 在R 上单调递增. 当102m -<<时，令()0f x '>，得0x >或()ln 2x m <-；令()0f x '<，得()ln 20m x -<<，即()f x 在()()ln 2,0m -上单调递减，在()(),ln 2m -∞-，()0,∞+上单调递增. 当12m <-时，令()0f x '>，得0x <或()ln 2x m >-；令()0f x '<，得()0ln 2x m <<-， 即()f x 在()()0,ln 2m -上单调递减，在(),0-∞，()()ln 2,m -+∞上单调递增. （2）设()()()23311xF x f x mx x x e x =--=--+，则()()()2133xxxF x e x e x x e x '=+--=-，设()3xx e x ϕ=-，则()3xx e ϕ'=-，∵1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()30x e ϕ'<-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又1103ϕ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()130e ϕ=-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点，设为0x . 则当013x x <<时.()0x ϕ>，()0F x '>，()F x 单调递增； 当01x x <<时，()0x ϕ<，()0F x '<，()F x 单调递减， 又1133126226*********e F e -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()10F =，∴()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，∴当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()23f x mx x >+.【点睛】本题考查分类讨论含参函数的单调区间、利用导数证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求证：2PQ ≤. 【答案】（1）22149x y +=；2240x y x +-=（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）消去参数α即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标与直角坐标的转化公式即可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）由参数方程可设()2cos ,3sin P αα，由两点间距离公式可求得2PC ，并求得2PC的最大值，由点和圆的位置关系即可证明结论.【详解】（1）由2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）消去α，得22149x y +=， 即曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，而222,cos x y x ρρθ==+，所以曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设点()2cos ,3sin P αα，则2PC ==当4cos 5α=-时，2max PC =，故max2PQ =+，即25PQ ≤+. 不等式得证.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，由参数方程求点到圆上距离的最值问题，属于中档题.选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>.（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 【答案】（1）{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）2.【解析】【分析】（1）可知所求不等式为122x x x -++≥-，然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=，然后将所求代数式变形为2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求得2242a b b a +的最小值. 【详解】（1）根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.当2x -≤时，则有122x x x ---≥-，解得3x ≤-，此时3x ≤-；当21x -<<时，则有122x x x -++≥-，解得1x ≥-，此时11x -≤<；当1x ≥时，则有122x x x -++≥-，解得13x ≥，此时1x ≥. 综上所述，不等式()2f x x ≥-的解集为{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+，当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立， 0a >，0b >，函数()y f x =的值域为[)2,+∞，即22a b +=.()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b ≥=+-=，当且仅当21a b ==时取等号，因此，2242a b b a+的最小值为2. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
2020年广东省六校联盟高考数学第四次联考试卷(文科)(解析版)
2020年广东省六校联盟高考数学第四次联考试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<2},B={x|3−2x>0}，则()．A. A∩B={x|x<32} B. A∩B=φC. A∪B={x|x<32} D. A∪B=R2.已知复数z=1+ai3+i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数a=()A. −3B. 3C. −13D. 133.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出(单位：元)都在[10,50]内，其中支出在[30,50]内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n=()A. 100B. 120C. 130D. 3904.“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=()A. 4B. 2C. 0D. 146. 已知点D 是△ABC 所在平面内一点，且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则x −y =( )A. −43B. 1C. −53D. 53 7. 设sin(π4+θ)=13，则sin2θ=( )A. −19B. −79C. 19D. 79 8. 如图，在正六边形ABCDEF 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 25 9. 已知函数f(x)=x 2+alnx +2x 在(1,4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3√6]B. (−∞,3√6)C. (−∞,−632)D. (−∞,−632] 10. 下列命题中，正确的命题是( )A. 存在两条异面直线同时平行于同一个平面B. 若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C. 底面是矩形的四棱柱是长方体D. 棱台的侧面都是等腰梯形11. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[π3,π2]上单调递减，则ω取值范围是( ) A. 0≤ω≤23 B. 0≤ω≤32 C. 23≤ω≤3 D. 32≤ω≤312. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|PF 1|=3，|PF 2|=4，则双曲线C 的离心率为( )A. √102B. √5C. 52D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx +y ≤1x −2y −1≤0，则z =2x +y 的最小值是 ．14. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是___________．15. 已知函数f(x)=3x +sinx −2cosx 的图像在点A(x 0,f(x0))处的切线斜率为3，则tanx 0=__________.16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π3，若△ABC 的面积为3√3 ，则边a 的最小值为________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某公司近年来产品研发费用支出x 万元与公司所获得利润y 之间有如下统计数据：(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b x +a ̂(2)试根据(1)中求出的线性回归方程，预测该公司产品研发费用支出为10万元时所获得的利润． 参考公式：用最小二乘法求现象回归方程y ̂=b .x +a ̂ b ̂=∑(n i=1x i −x .)(y i −y .)∑(n i=1x i −x .)=∑x i n i=1y i −nx .y.∑x i 2n i=1−n x −2．18. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =32a n −1(n ∈N ∗)．(1)求a n 和S n ；(2)若b n=log3(S n+1)，求数列{b3n}的前n项和T n．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点D是线段PB的中点，平面PAC⊥平面ABC．(1)在线段AB上是否存在点E，使得DE//平面PAC？若存在，指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；(2)求证：PA⊥BC．20.已知函数f(x)=x−alnx，(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)设g(x)=−a+1，若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立，求a的取值范围．x21. 已知直线y =2p 与抛物线C ：x 2=2py(p >0)交于P ，Q 两点，且|PQ|=8．(1)求抛物线C 的方程；(2)斜率为k(k ≠0)的直线l 经过C 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点D ，点E 在y 轴上，|AB||DE|为定值，求点E 的坐标．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=x2+(2a−1)x−3．(1)当a=2，x∈[−2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[−1,3]上的最大值为1，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题主要考查集合的交集、并集运算，属于基础题．由集合的交集、并集定义进行运算，判断即可．解：集合A={x|x<2},B={x|3−2x>0}={x|x<32}，则A∩B={x|x<32}，A∪B={x|x<2}．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵z=1+ai3+i =(1+ai)(3−i)(3+i)(3−i)=3+a10+3a−110i为纯虚数，∴{3+a10=03a−110≠0，即a=−3．故选：A．3.答案：A解析：根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33，从而得到位于30～50的数据的频率之和为1−0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量n的值．解：∵位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23，∴位于10～20、20～30的数据的频率分别为0.1、0.23，。
2020届广东省六校第三次联考 文科数学+答案
2020届高三六校联盟第三次联考试题文科数学命题学校：珠海市第一中学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合{}123A ,,=，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃等于( ) A ．{}1 B ．{}12, C ．{}0123,,,D ．{}10123,,,,-2．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．233．已知向量1a ,m =（）r ，32b ,=-（）r ，且a b b +⊥（）rr r ，则m =( )A ．8-B ．6-C ．6D ．84．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知直线1l ：0(1)x y m m ++=+，2l ：210mx y ++=，则“12l l //”的一个必要不充分条件是（ ）A ．2m =-或1m =B ．1m =C ．2m =-D ．2m =或1m = 6．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16B ． 9C ．5D ． 47．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b 分别为52,，则输出的n 等于( )A ． 2B ． 3C ．4D ．5 8．若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( ) A.8πB. 38 πC. 2 πD. 58π9．在正四棱锥S ABCD -中，E ,M ,N 分别是BC ，CD ，SC 的中点．动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（ ） ①EP AC ⊥； ②EP BD ∥； ③EP ∥平面SBD ； ④EP ⊥平面SAC . A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．②④10．已知函数1()1f x x lnx =--，则()y f x =的图象大致为( )A B C D11．设F 为双曲线C ：()2222100x y a ,b a b-=>> 的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于AB ，两点，且2AF BF =uu u r uu u r，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．233C ．3或2D ．233或212．已知球O 的表面积为64π，,,A B C 在球面上，且线段AB 的长为42，记AB 的中点为D ，若OD 与平面ABC 的所成角为60︒，则三棱锥O ABC -外接球的体积为（ ）A ．256327π B ．512327π C ．256627π D ．512627π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为 ．14．在数列{}n a 中，13a =，()111n n a a n n +=++，则通项公式n a = ．15．如图，ABC V 上，D 是BC 上的点，且AC CD =，23AC AD =，2AB AD =，则sin B 等于 ．16．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题，每位考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．18．（12分）等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与三角形ABC 所在的平面互相垂直． （1）求证：1AB //平面1DBC ；（2）若2AB =，求点D 到平面1ABC 的距离．19．（12分）某校学生营养餐由A 和B 两家配餐公司配送.学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分.根据收集的80份问卷的评分，得到如图A 公司满意度评分的频率分布直方图和如表B 公司满意度评分的频数分布表：满意度评分分组频数[50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90)14 [90,100]2（1）根据A 公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（2）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A 公司评分的概率；（3）不经过计算，请从平均数和方差两个角度，对A 、B 两家公司做出评价．20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>的右焦点为()1,0F ，短轴长为2，过定点()0,2P 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B （点B 在点A ，P 之间）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若射线BO 交椭圆C 于点M （O 为原点），求ABM ∆面积的最大值．21．（12分）已知函数()2pf x px ln x x=--． （1）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）设()2e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为14x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点M 的坐标为()14,，求MA MB +的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）若a b c R ∈＋，，，且满足2a b c ++=． （1）求abc 的最大值；（2）求111a b c ++的最小值．2020届高三六校联盟第三次联考文科数学参考答案一、选择题CBDCA ACA D B DD二、填空题13、30x y --= 14、14n -15、6 16、(]1,2 三、解答题17、解：（1）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以2n n a =………………5分（2）由（1）得38a =，532a =，则38b =，532b = ………………7分 设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=+=⎧⎨⎩解得11612b d =-=⎧⎨⎩ ………………9分从而1612(1)1228n b n n =-+-=- 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==- ……………12分18、 解：（1）连1B C ,设1B C 交1BC 于O ,连OD ,如下图所示: 因为O 为1B C 的中点,D 为AC 的中点, 则1//OD ABOD ⊂面1BDC ,1AB ⊂/面1BDC所以1AB ∥平面1DBC ………………6分 （2）因为等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒ 则BA AC ⊥,又因为1BA CC ⊥ 所以BA ⊥平面1ACC 则1BA AC ⊥设点D 到平面1ABC 的距离为h . 由11D ABC C ABD V V --=,代入可得11121332h ⨯=⨯⨯⨯⨯解得3h =分19、解：（1）设A 公司调查的40份问卷的中位数为x ，则有0.015100.025100.03(70)0.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得：73.3x ≈，所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3． ………………4分 （2）满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A 公司，设为1a ，2a ，3a ，4a ，2份评价B 公司，设为1b ，2b从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共有15种．其中2份问卷都评价A 公司的有以下6种：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，23(,)a a ，24(,)a a ，34(,)a a ．设两份问卷均是评价A 公司为事件C ，则有62()155P C ==． ………………10分 （3）由所给两个公司的调查满意度得分知：A 公司得分的平均数数低于B 公司得分的平均数，A 公司得分比较分散，而B 公司得分相对集中，即A 公司得分的方差高于B 公司得分的方差． ……………12分20、解：(1)因为右焦点为()1,0F ,故221a b -=.又短轴长为2,故22,1b b ==,解得2221a b ==⎧⎨⎩故椭圆C 的方程：2212x y += ……………4分(2)当直线l 斜率不存在时, 直线:0l x =,不合题意,舍去.当直线l 斜率存在时,设直线:2l y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y .联立直线与椭圆22122x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩有22(12)860k x kx +++=,此时122812k x x k +=-+,122612x x k =+.222644()6023012k k k ∆=-⨯>⇒->+ . ……………7分12122212ABM ABO S S OP x x k∆∆==⨯⋅-=+ ……………9分令0t => ,则ABM S t t ∆==≤=+故ABM ∆……………12分21、解：（1）22222'()p px x pf x p x x x-+=+-= 令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数，只需()h x 在(0,)+∞内满足：()0h x ≥或()0h x ≤恒成立. ……………2分当且仅当2(1)2p x x +≥时()0h x ≥，2(1)2p x x +≤时()0h x ≤，210x +>Q ∴当且仅当221x p x ≥+时()0h x ≥，221xp x ≤+时()0h x ≤，Q 在(0,)+∞内有2222201111x x x x x x <==≤+++当且仅当1x x=即1x =时取等 ∴当1p ≥时()0h x ≥，'()0f x ≥，此时()f x 在(0,)+∞单调递增，当0p ≤时()0h x ≤，'()0f x ≤，此时()f x 在(0,)+∞单调递减，综上，p 的取值范围为1p ≥或0p ≤. ……………5分 （2）∵2()eg x x=在[1,]e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；时，max ()2g x e =，即()[2,2]g x e ∈，①当0p ≤时，由（1）知()f x 在[1,]e 上递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意； ②当01p <<时，由1[1,]0x e x x∈⇒-≥， 又由（1）知当1p =时，()f x 在[1,]e 上是增函数， ∴1111()()2ln 2ln 2ln 22f x p x x x x e e e x x e e=--≤--≤--=--<，不合题意； ③当1p ≥时，令()()()x f x g x ϕ=-，[1,]x e ∈， 由题意可得，只需[1,]x e ∈时()0max x ϕ≥即可； 由（1）知()f x 在[1,]e 上是增函数，(1)02f =<，又()g x 在[1,]e 上是减函数，则()max min max ()()x f x g x ϕ=-，[1,]x e ∈， 而max 1()()()2ln f x f e p e e e==--，min ()2g x =，则只需()max 1()2ln 20x p e e e ϕ=--->，解得241e p e >-，综上，p 的取值范围是24(,)1ee +∞- ……………12分 22、解：(1)圆C 的方程为4sin ρθ=，24sin ρρθ∴=，∴圆C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．即22(2)4x y +-=． ……………4分 (2)将直线l 的参数方程代入圆的方程，整理，得210t -+=，184140∆=-=>，设,A B 对应的参数为1t ，2t ，则12t t +=121t t =1t ∴， 2t 均为正数，又直线l 过1,4M （），由t 的几何意义得：1212||||||||MA MB t t t t +=+=+= ……………10分23、解:（1）因为a b c R ∈＋，，，所以2a b c =++…，故827abc ….当且仅当23a b c ===时等号成立，所以abc 的最大值为827. ……………4分（2）因为a b c R ∈＋，，，且2a b c ++=，所以根据柯西不等式，可得1111111()()2a b c abca b c++=++++222222]1]2=++⋅++21922≥=.所以11192a bc ++≥. ……………10分。
2020届高三六校联盟第四次联考文科数学试题
A．100
B．120
C．130
D． 390
4．“ 3 m 5 ”是“方程 x2 y2 1表示椭圆”的 5m 3m
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
5．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与
“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图源于“更相减损术”，当输入 m 98, n 63 时，输出的 m 的值是
n
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式： b
i 1 n
xi yi xi 2
nx y nx2
,
a
y b x ．
i 1
2020 届六校联盟第四次联考文科数学第 3页/ 共 5 页
18．（12 分）已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 m, an1 Sn 1(n N *) ．
（1）求实n
an(n为奇数)
(
log2 an (n为偶数)
n
N*)，求数列{bn} 的前
2n
项和 T2n
．
19．（12 分）如图 1， C, D 是以 AB 为直径的圆上两点，且 AB 2 AD, AC BC ，将 ABC 所在的半圆沿直
径 AB 折起，使得点 C 在平面 ABD 上的射影 E 在 BD 上，如图 2．
则 c b 的最大值是
．
bc
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 至 21 题为必考题，每 位考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）为了对新产品进行合理定价，,对该产品进行了试销试验，以观察需求量 y （单位：件）对于价格 x
2020年河南省高三联考文科数学试卷答案
2020年河南省六市高三第二次联合教学质量监测参考答案1-5 CBABC 6-10 BDCCA 11-12 DA 13. 2 14. 3 15. ）（6,1- 16. 2317解：（Ⅰ）∵．①∴当n=1时，可得a 1＝4，……........................................................…1分 当n ≥2时，．②….................……2分①—②可得： ＝（2n ﹣1）+1=2n ，……................................…4分∴．n=1时也满足…….....................................................…5分 ∴.…………................................................................….…6分（Ⅱ）=…..............................................…..…8分∴S n ，……..........................…10分又4019>n S ，可得n>19，….............................................................……11分 可得最小正整数n 为20．……....................................................………12分 18解：（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE == 所以DG AE ⊥.............................................................…1分因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ， 所以DG ⊥平面ABCE ．...........................................................................…3分 在直角三角形ADE 中，易求22AE =则2AD DEDG AE⋅==.............…4分 所以四棱锥D ABCE -的体积为1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯=…………6分（Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =……...................…7分过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC 因为CF//A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ,所以CF //平面ADE ,同理//FP 平面ADE ,又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．…......................................................................……9分因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE .…….............................…10分 因为四边形AECF 为平行四边形，所以1==CE AF ，即4=BF 故45BP BF BD AB ==所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =…..........………12分19（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）107.（Ⅲ）选择方案（1） 解：（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4. ……4分（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（2）” 从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁} {丙，戊} {丁，戊}..........................................................................................…6分 其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊} ，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}， {丙，戊} ，{丁，戊}共7种情况， 所以7()10P B =.……...................................................................................…8分 （Ⅲ）方法1：快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯= …............................….…10分 方案(2)日工资约为()10062445190 236+-⨯=<故骑手应选择方案（1） ...................................................................…12分 方法2： 设骑手每日完成快递业务量为n 单方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN当17n <时，12y y <依题意，可以知道25n ≥，所以这种情况不予考虑 当25n ≥时 令()503100544n n +>+- 则85n < ……..................…10分 即若骑手每日完成快递业务量在85单以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05 ，较低， 故建议骑手应选择方案（1）……................................................…......12分 方法3：设骑手每日完成快递业务量为n 单，方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 236= ……......................................................................................…10分方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 194.5=因为236194.5>，所以建议骑手选择方案（1）.…….....…12分20（Ⅰ）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=> ………………1分1x =Q 时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==. ……………………………2分 .()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x > 解()0f x '<得112x <<……………4分()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. …………5分（Ⅱ）()()221,0x ax f x x x-+'=>()f x Q 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴212180,02a x x ∆=->=>，1202ax x +=> ……………………………………………………………………………6分 ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--……………………………7分∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-……………………8分 即212121ln ln 2x x x x x x ->-+……………………………………………………………………9分不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x xx x x ->+ (10)分令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+,()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， ()h t ∴在(1,)+∞上递增.()()10h t h ∴>=. …………………………………………………………………………11分2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立.()()212142f x f x a x x a ∴>---成立. ……………………………12分 21解：（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离||QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以||QF 等于Q 到直线2x =-的距离……..............................…2分 由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以2-=x 为准线的抛物线…….............................…….......................................................…3分所以动点Q 的轨迹W 的方程为x y 82=…......................................……4分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为2)4(+-=y m x ）（0>m ，与x y 82=联立，得0163282=-+-m my y ，则0)1632(4642>-⨯-=∆m m ，1100><<∴>m m m 或Θ， .........................................................……6分 设 ),(),,(2211y x N y x M ，则m y 841=+，即481-=m y ，以m 1-代替m ，得482--=my ， 则向量NM →在y 轴正方向上的投影为)1(821m m y y +=-............................................................................……9分设函数)1(8)(mm m f +=，则)(m f 在）（1,0上单调递减，在），（∞+1上单调递增，从而16)1()(=>f m f ............................................................…...................…11分 故向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为），（∞+16.............……12分22.解：（Ⅰ）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）消去参数得40x +-= cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ= 即cos sinsin cos266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin()26πρθ+= ……………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++= 即2213x y +=…...................................5分 （Ⅱ）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416()2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++，即AOB ∆面积的最小值为34 当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” …...................................8分（法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” 121324AOB S ρρ∆=≥ ................................8分） 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++g 48cos 3π== 故所求四边形的面积为329844-= …...................................10分23. 证明：（Ⅰ）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111()4x x c b a ≥+--+2221114a b c =++ ∴2221114a b c ++1= …...................................3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ====”∴22249a b c ++≥ …...................................5分（Ⅱ） 22112,a b ab +≥Q22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ====”）…...................................…...................................7分将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c++= 即111122ab bc ac++≤ …...................................10分。
天津市六校2020学年度高三数学文科联考试卷
天津市六校2020学年度高三年级联考数学试题（文科）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数)1)(1ln()(>-=x x x f 的反函数是（ ） A ．)(1)(1R x e x f x ∈+=- B ．)(110)(1R x x f x ∈+=-C ．)1(110)(1>+=-x x fxD ．)1(1)(1>+=-x e x fx2．已知条件265:,2|1:|x x q x p >->+条件，则q p ⌝⌝是的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设α是三角形的一个内角，且,51cos sin =+αα则方程1cos sin 22=-ααy x 表示（ ）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆4．设x x f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．)2,1[C ．),1[+∞D ．]1,(-∞5．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （ ）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,I（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）6．若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则Λ（ ）A ．9B ．10C ．－9D ．－107．若函数)(,0)(21,0)1,0)(2(log )(2x f x f a a x x x f a 则内恒有在区间>⎪⎭⎫ ⎝⎛≠>+=的单调递增区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,8．如果直线N M my kx y x kx y ,04122交于与圆=-++++=两点，且M 、N 两点关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积是（ ）A ．41 B ．21 C ．1 D ．29．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是,],3,[2222b a c c c -=其中则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110．设)(),(22222)(1031074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（ ）A ．)18(72-nB ．)18(721-+n C ．)18(723-+n D ．)18(724-+n第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分）11．已知抛物线方程为,2ax y =则其准线方程为 . 12．向量θ夹角与则满足,6||,2||,=-=+的最小值为 .13．点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB ，则△ABC 的边长为 . 14．设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和，如果y 有最大值,42则此时a = ，x = .15．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689），则五位“渐升数”共有 个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 . 16．函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）17．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为2,32=⋅- （1）求A tan 的值；（2）求)4cos(12cos 2sin 22sin 22A AA A --+π的值. 18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖。
2020届安徽六校高三数学(文科)试题及答案解析
10．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b，短轴的一个端点为 P ，直线 l : 4x 3y
0
与椭圆相交于 A 、 B 两点.若| AF | | BF | 6 ，点 P 到直线 l 的距离不小于 6 ，则椭圆离心率 5
的取值范围为（ ）
A． (0, 9] 5
B． (0, 3 ] 2
A. A 2020 和 n n 1 B. A 2020 和 n n 2 C. A 2020 和 n n 1
D. A 2020 和 n n 2
8.函数 f x Asin x （其中 A 0, ）的图象如图所示，
2
则 f ( )
A. 1
B. 1
2
C. 2 2
D. 3 2
试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数 z (1 i)(3 i) （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（
A.2
B. 2i
C.4
2．设集合 M x x 1 1 ， N x x 1 ，则 M N =( )
C． y 3x
D． y 2x
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若函数 f (x) ln x 2ax 的图象存在与直线 2x y 0 垂直的切线，则实数 a 的取值范围
是
．
14.设 等 差 数 列 an 的 公 差 d 不 为 0 ， a1 16d ， 若 ak 是 a1 与 a2k 的 等 比 中 项 ， 则 k 等
故选
C.
1
7.如图程序框图是为了求出满足 3n 2n 2020 的最小偶数 n，那么在
2020届全国大联考高三第六次联考数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届全国大联考高三第六次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤答案：D首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 解：解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð. 故选：D 点评：本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+= 答案：B设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 解：解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 点评：本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.3．若双曲线22214x y a -=）A ．B ．C ．6D ．8答案：A依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 解：解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 点评：本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.4．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180答案：A因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 解：Q 711911212a a a a +==+，∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 点评：本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17答案：C首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 解：解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8.故选：C 点评：本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则51AT ES --=u u u r u u u r （ ）A 51+u urB 51RQ +u u urC 51-u urD 51RC -u ur答案：A利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 解：解：515122AT ES SD SR RD QR -=-==u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r .故选：A 点评：本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 7．“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-，∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件. 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．8．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 解：∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确.点评：本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.9．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．32答案：B因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.解：Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B.本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D推导出PM PN a +=，且PM PN =，22MN a =，2a PM =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 解：解：如图（4），PMN ∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a +=，且2aPM PN ==，由PMN ∆为等腰直角三角形可知， 22MN a =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴1224PO MN a ==， ∴23122272232424P ABCD V a a a -⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =. 故选：D点评：本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.11．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为。