常用不等式-放缩技巧
不等式的放缩技巧
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设求证.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n .2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=，，2121)1(+=++<+<k k k k k k )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放2b a ab +≤1)1(+<+k k k 2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
3,2=n例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为bxa x f 211)(⋅+=54)1(=f )(x f ，求证：（02年全国联赛山东预赛题）21.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n例3 已知为正数，且，试证：对每一个，b a ,111=+ba *∈N n .（88年全国联赛题）1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 简析 由得，又，故111=+b a b a ab +=42)11)((≥++=++abb a b a b a ，而，4≥+=b a ab nn nr r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(令，则nnnb a b a n f --+=)()(=，因为，倒序相加得)(n f 1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C in ni n C C -==，)(2n f )()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ 而，则1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r rrn n n b a b a ab b a b a ab b a=)(2n f ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++，所以，即对每一个，⋅-≥)22(n 12+n )(n f ⋅-≥)22(n n 2*∈N n .1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 例4 求证.),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- 简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C 32112222112-++++=-n n =，原结论成立.nn n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> 212-⋅n n 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得)0,0(>>>++>m a b ma mb ab>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn 即⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n .12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法2 利用贝努利不等式的一个)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 特例(此处)得12121)1211(2-⋅+>-+k k 121,2-==k x n =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
不等式的放缩法基本公式
不等式的放缩法基本公式1.加减法：对于不等式a<b，可以加上一个等式(或不等式)的两边，得到a+c<b+c。
同样地，可以减去一个等式(或不等式)的两边，得到a-c<b-c。
2. 乘除法：对于不等式a < b，如果c > 0，则乘以一个正数的两边，不等号方向不变，得到ac < bc。
如果c < 0，则乘以一个负数的两边，不等号方向反转，得到ac > bc。
同样地，除以一个正数的两边，不等号方向不变；除以一个负数的两边，不等号方向反转。
3.平方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数，可以对其进行平方运算，得到a^2<b^2、如果a和b都是负数，得到a^2>b^24.开方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数且不超过1，可以对其进行开方运算，得到√a<√b。
如果a和b都是正数且大于1，得到√a>√b。
5.绝对值：对于不等式，a，<，b，可以根据a和b的正负情况分别讨论。
如果a和b都是非负数，得到a<b。
如果a和b都是负数，得到-a<-b。
6.倍增法：对于不等式a<b，可以重复加或者减一个相同的数，直到得到符合条件的不等式。
这些是不等式的放缩法的基本公式和方法，但实际问题中常常还需要结合具体情况进行灵活运用。
同时，需要注意的是，放缩法只是解决不等式问题的一种方法，不是唯一的方法，有时候可能需要结合其他方法一起使用。
最重要的是，解决不等式问题时需要保持逻辑性和推理能力，严谨地进行分析和求解。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
不等式放缩技巧
不等式常用放缩技巧：模型一、等比数例倒求放缩目标。
小于常值题是重点，因为它涉及一个考点，例如：证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯首先这个2不是随便的一个数，为什么不是5/3，不是3？ 我们首先代入一下：q-11=5/3，3，2分别解得： q=52，32，21那么通项公式：an=(52)1-n,(32)1-n ,( 21)1-n <1+2)25(1+3)25(1+…+n )25(1<5211-=5/3(n 取多少开始才有可能后式大于前式，就很难求出。
)<1+2)23(1+3)23(1+…+n)23(1<5211-=5/3(n>2)<1+2)2(1+3)2(1+…+n)2(1<2111-=2(n>1)后两种很容易发现不超三项就开始成立。
所以一般出题出n>1时就开始成立 再见青海高考2014年高考题：解：（1）a n+1=3an +1,根据模型求解：是一次函数斜截式肯定可以用点斜式表示 （a n+1-Y0）=3（an –X0），为构成等比式，直接X0=Y0 解得Y0=X0=-1/2所以（a n+1+1/2）=3（a n +1/2） 所以a n +1/2为等比数列所a n +1/2=（a1+1/2）31-n =23n所以a n =213-n（2）小于3/2，不妨用等比数列极限=q-11=3/2，解得q=1/3 所以通项Bn=(31)1-n ,只需n a 1=132-n <(31)1-n =131-n ,也即2.13-n <13-n ,也即 1<n 3-2.13-n = .13-n (只要N>1显然成立)则<1+31+(31)2+…+(31)n<3111-=3/2当然考试时不用那么啰嗦。
这只是思路建立目标与已知的关系。
上述放缩是等比数列为模板倒求放缩比，此方法用在指数型，首先考虑，等比数列模型放缩。
常用不等式,放缩技巧
常用不等式,放缩技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
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一：一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）
二重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)
(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)
(a+b)p≥a p+ b p (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n
∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i
若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n
∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3：n！<【(n+1/2)】n
4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。