函数知识精要

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2、集合之间的关系
(1)子集：若x∈A，则 x∈B，集合A叫做集合B的子集。 表示为 A B 或 B A 。
性质：① A A ② Φ A ③若 A B， B C 则 A C
(2)若 A B ，且至少有一个x∈B，但 x∈A，集合A 叫做集合B的真子集。表示为 A B 或 B A 。
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§1.7函数的单调性 1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于 定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2， 当 x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2) （ f(x1) ＞f(x2) ）， 那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。 2、注意定义的变形：设x1、x2∈[a，b] f(x1) －f(x2) ＞0或 (x1－x2)( f(x1) －f(x2))＞0 x1－x2 f(x)为偶函数
4、空集φ是一个特殊的集合，它是任何集合的子 集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未 指明集合非空时要考虑到空集的可能性。
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5、常用的集合元素： ①对于集合A={x|x2+x－1=0}中，A即为方程的解。
②对于集合A={x|x+1≤3－x}中，A即为不等式的解。
③对于集合A={y|y=x2－2x+5}中，A为函数的值域。
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〖方法小结〗
1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不 等式或不等式组。 2、已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义 域时，可令g(x) ∈D解得x的范围C，即为 f[g(x)]的定义域；已知 f[g(x)]的定义域为D， 求f(x)定义域时，可先由x∈D，求出g(x) 的 范围C，即为f(x)定义域。
4、补集：A={x|x∈I 且x∈A}
性质：A∪A=I，A∩ A = φ , A=A
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〖方法小结〗 解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系， 依据概念，结合图形，分步解决： 1、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数 集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的 方法。 2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化 到最简形式，再进行运算。 3、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理 有时需进行讨论。 4、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要 注意各类知识的融会贯通。
φ A 性质：① 若A≠φ则 ； ②若 A B ，B C ，则 A
C
(3)若 B A 且 A 为A＝B。
B ，那么这两个集合相等。表示
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〖方法小结〗
1、明确集合中元素的确定性、互异性和 无序性，并注意此性质在解题中的应用。 2、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、 数轴表示等基本方法。 3、理解集合的基本概念、相互关系、术 语符号等，能正确地表示出一些较简单的 集合。
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§1.5函数的值域
函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量 x的值对应的y值的集合。
〖方法小结〗 1、求函数值域的常用方法有： ①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值 域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响. ②真分式法:求式函数f(x)= ax＋b 形函数的值域， cx＋d 5 2x＋1 如f(x)= 转化为f(x)=1－ 求值域; 2x＋3 x＋3
常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二 次方程根的分布来求解. ⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集 上的单调性求出函数的值域. ⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值 域容易求出的另一类函数
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⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于 几何方法求出函数值域.
3、若原函数过点(a , b)，则反函数过点(b, a) ，即 若f（a）=b，则f－1（b）=a。
4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。
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§1.9正、反比例函数、一次、二次函数 1、正比例函数：y=kx（k≠0） 图象
y
o k＞0 y x
x
性质:1、定义域为R； 2、值域为R； 3、是奇函数； 4、单调性： k＞0时为增函数, K＜0时为减函数。

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〖方法小结〗
1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于 原点对称。 2、函数奇偶性的可用如下变形判定：
f(－x) =－1 奇函数：f(－x) + f(x)=0 或 f(x) （f(x)≠0） f(－x) =1 偶函数：f(－x) － f(x)=0 或 f(x)
3、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是 奇函数或偶函数的方法有：①根据恒等式性质， 利用待定系数法；②利用特殊值法。特别是当奇 函数在x=0时有意义必有f(0)=0。
3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)， x∈(a,b),u∈(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x))在[a,b] 上也是单调函数。若y=f(u)是(m , n)上的增（减）函 数，则y=f(g(x))的增减性与u=g(x)的增减性相同（相 反）。也可概括为“同增、同减为增，一增一减为 减”。
④对于集合A={(x,y)|y=x2－2x+5}中，A为函数上所 有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合。
6、识记以下重要的结论： ①A∩B=A ，A∪B=A A B ②A∩B=A∪B
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A
B
，
A∪B=A∩B
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§1.2集合的运算 1、交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 性质：A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A 2、并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 性质：A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A 3、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合 都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集。
o k＜ 0
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2、反比例函数：y= k （k≠0）
x
图象 y
x
o k＞ 0
y
o k＜0
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§1.8反函数 1、定义：函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，由 y=f(x)解出x=f－1(y)，如果对于y在C中的任何一个值， 由x=f－1(y) ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么 x=f－1(y)就表示x是y的函数，则函数x=f－1(y)就叫做 y=f(x)的反函数。习惯上把y看成函数，将x、y调换， y=f(x)的反函数表示为y=f－1(x)。 2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域 和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x 对称。 3、反函数的求法：①由y=f（x）解出x=f－1（y）； ②将x=f－1（y） 中的x、y互换，得y=f－1（x） ；③ 由 y =f（ x ） 的值域，写出 y =f－1（ x ）的定义域。
①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个 增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减） 函数；②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调 性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性； ③y=f(x)与y=－f(x)有相反的单调性；④当 y=f(x)恒 为正或恒为负时， y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。
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ax ＋ b ③反函数法:求式函数f(x)= 形函数的值域， cx＋d 均可使用反函数法. ④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0, 通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域. a1x2+b1x+c2 形如y= a2x2+b2x+c2 (a1,a2不同时为0)的函数的值域
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§1.4函数的定义域
1、函数的定义域是指自变量的取值范围。
2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母 不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真 数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于 1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题 的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有 实际意义。 3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得 到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。
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〖方法小结〗 1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域 内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说 明在哪个区间上递增或递减。 2、根据定义证明函数单调性的方法： ①设x1、x2∈A，且设x1＜x2 ；②作差：f(x1)－f(x2)， 并变形（分解、配方、通分等）；③判断差的符号， 并作结论。
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〖方法小结〗 1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函 数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反 函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数 f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数； 周期函数不存在反函数。
2、若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。
f(x1) －f(x2) ＜0或 (x1－x2)( f(x1) －f(x2))＜0 x1－x2 f(x)为奇函数
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几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线 的斜率都大于（小于）零。 3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数的单调性。
4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有 好处：
〖方法小结〗 1、理解映射的概念①A、B为非空数集；②A中 的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；③A 中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对 一或多对一”。 2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素” 是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完 全相同的两个函数才是同一函数。 3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同， 可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫 做分段函数。 4、若y是u的函数，u又是x的函数即y=f(u)， u=g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y关于x 的函数y=f(g(x))，叫做f和g的复合函数。