函数知识讲解
初中函数知识点
初中函数知识点函数是数学中的一个重要概念，它是描述两个数量之间关系的一种数学工具。
在初中数学中，函数是一个重要的知识点。
本文将从函数的定义、函数的性质、函数的图像等几个方面进行讲解。
一、函数的定义函数是数学中的一个重要概念，它是描述两个数量之间关系的一种数学工具。
函数是指一个变量的值可以通过另一个变量的值来确定，通常用y=f(x)来表示。
其中y是函数的值，x是自变量，f(x)是函数的表达式。
二、函数的性质在初中数学中，函数的性质是我们必须要掌握的。
函数的性质主要包括可定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
1.可定义域：函数在哪些自变量下有定义，就称为函数的可定义域。
2.值域：函数在可定义域内所有函数值的集合，就称为函数的值域。
3.奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称或者关于原点对称的性质。
4.单调性：函数在它的定义域内，如果随着自变量的增大，函数值也增大，则称函数在这个区间上是单调递增的；如果随着自变量的增大，函数值反而减小，则称函数在这个区间上是单调递减的。
5.周期性：如果存在一个正数T，使得对于所有x∈D，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T是函数的周期。
三、函数的图像函数的图像是指自变量和函数值之间的关系所形成的图形。
在初中数学中，我们通常使用平面直角坐标系来描绘函数的图像。
1.一次函数：一次函数的图像是一条直线，它的一般式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2.二次函数：二次函数的图像是一条开口向上或者开口向下的抛物线，它的一般式是y=ax²+bx+c，其中a不等于0。
3.指数函数：指数函数的图像是一条上升的曲线，它的一般式是y=aˣ，其中a大于0且不等于1。
4.对数函数：对数函数的图像是一条上升的曲线，它的一般式是y=loga(x)，其中a大于0且不等于1。
四、函数的运算函数的运算是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除等运算所得到的新函数。
在初中数学中，我们主要学习函数的加、减、乘、除四种运算。
高中函数知识点总结讲解
高中函数知识点总结讲解一、基本概念1. 函数的定义函数是一个对应关系，通常用符号f(x)表示，其中x称为自变量，f(x)称为因变量。
函数就是对于给定的x值，通过某种规则来确定唯一的f(x)值，这种规则可以用一个公式、图形、数据表等形式2. 定义域和值域函数的定义域是输入变量x的取值范围，而值域是函数取值f(x)的集合范围3. 奇函数与偶函数奇函数和偶函数是函数的对称性质, 它们满足f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)这两种关系4. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势, 函数递增指当x1<x2时, f(x1)<f(x2), 函数递减指当x1<x2时,f(x1)>f(x2)5. 奇偶性奇函数是对称于原点的函数，偶函数是关于y轴对称的6. 恒等函数恒等函数是指f(x)=x这一关系式，它表示了x和f(x)的一一对应关系7. 复合函数复合函数是指其中一个函数的自变量是另一个函数的因变量的函数，其符号是(f●g)(x)=f(g(x))二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性可以通过函数的解析式来判断，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数则满足f(-x)=f(x)2. 周期性如果对于任意的x都有f(x+T)=f(x)，其中T为一个正常数，则此函数称为周期函数，T称为函数的周期，函数的周期一般用T表示3. 增减性函数增减性是指函数在定义域上的单调变化性质，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)则函数f(x)在区间(x1,x2)上是单调递增的4. 峰值和谷值函数的峰值和谷值是指函数图像的最高点和最低点，即函数在一定区间内的最大值和最小值5. 奇点和间断点函数的奇点指的是函数在该点处不连续或者无定义，间断点是指函数在该点的函数值与函数的极限不相等的点三、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是用平面直角坐标系中的曲线来表示函数的各个值点在坐标系中的几何位置2. 基本初等函数的图像基本初等函数包括常数函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数和幂函数等，它们在坐标系中的图像分别是水平直线，斜直线，抛物线，指数增长曲线，对数增长曲线和曲线等3. 函数的性质与图像函数的性质可通过函数的图像来直观地表示，如奇偶性可以通过图像的对称性来判断，增减性可以通过图像的曲线趋势来判断四、函数的运算1. 函数的四则运算函数的四则运算包括函数的加减乘除，其中加减法为对应自变量的值相加减，乘法为函数的因变量相乘，除法为函数的因变量相除2. 复合函数的运算复合函数的运算是指将一个函数的自变量用另一个函数的因变量来代替，然后再进行相应的运算3. 反函数的运算反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数，通常通过交换自变量和因变量来求得五、函数的应用1. 函数的应用函数的应用十分广泛，包括物理中的位移函数、速度函数、加速度函数等，化学中的反应速率函数，经济中的利润函数、成本函数等2. 函数模型函数模型是指利用数学方法来对现实中的问题进行建模，通常通过分析问题中的具体关系和规律来确定相应的函数形式，然后用函数来描述这种关系3. 函数的优化函数的优化是指通过对函数的分析，找到函数取得最大值或最小值的自变量取值，从而优化问题的结果，通常通过求导和分析函数的性质来确定最优解六、高中函数的扩展1. 三角函数三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，这些函数在三角形的边和角的关系中有着重要的应用2. 对数函数对数函数是指y=loga(x)形式的函数，其中a为底数，x为真数，对数函数在解决指数方程和指数函数问题时有着重要的作用3. 反比例函数反比例函数指的是y=k/x形式的函数，其中k为比例常数，反比例函数在解决比例关系和变化关系的问题中有着重要的应用总之，高中函数是数学学习中的重要内容，它不仅是解决问题的有力工具，也是培养学生逻辑思维和数学推理能力的重要手段。
专升本数学函数知识点讲解
专升本数学函数知识点讲解在专升本数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，贯穿了整个数学课程。
理解和掌握函数的相关知识，对于我们解决各种数学问题以及提升数学素养都具有关键意义。
接下来，就让我们一起深入探讨一下函数的知识点。
一、函数的定义函数可以被简单地理解为一种对应关系。
设集合 A、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 是集合A 到集合B 的一个函数。
记作 y ＝ f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域。
要准确理解函数的定义，需要注意以下几点：1、函数是一种特殊的对应关系，强调“一对一”或者“多对一”，但绝不能“一对多”。
2、定义域、值域和对应关系是决定一个函数的三要素，当这三个要素完全相同时，两个函数才是相同的。
二、函数的表示方法函数常见的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图象法。
1、解析法就是用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，例如 y ＝ 2x ＋ 1 。
这种方法简洁明了，能够准确地反映函数的性质，但对于一些复杂的函数，其表达式可能会比较繁琐。
2、列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
例如，在某商店某种商品的销售记录中，我们可以列出不同数量的商品对应的价格，这就是列表法。
这种方法直观易懂，但只适用于有限个取值的情况。
3、图象法用图象来表示函数关系。
例如，一次函数 y ＝ x ＋ 1 的图象是一条直线。
图象法能够直观地反映函数的变化趋势和性质，但不够精确。
在实际应用中，我们常常根据具体问题的需要，灵活选择合适的表示方法。
三、常见函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。
其图象是一条直线，当 k＞0 时，函数单调递增；当 k＜0 时，函数单调递减。
中职函数知识点总结讲解
中职函数知识点总结讲解一、函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，它是一种特殊的关系，它把一个数域的元素（称为自变量）映射到另一个数域的元素（称为因变量）。
通俗地讲，函数就是一种对应关系，每个自变量都对应一个唯一的因变量。
在数学上，函数通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
如果一个函数的定义域和值域都是实数集，那么这个函数就是实函数；如果定义域和值域都是复数集，那么这个函数就是复函数。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的基本性质，它们决定了函数的取值范围和取值规律。
在函数的图像中，定义域决定了函数的横坐标范围，值域决定了函数的纵坐标范围。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减规律。
一个函数如果在定义域上严格递增或严格递减，那么它就是单调函数；如果在定义域上既递增又递减，那么它就是不单调函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的对称性。
一个函数如果满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定区间内具有重复性。
一个函数如果满足f(x)=f(x+T)，其中T为正实数，那么它就是周期函数，T称为函数的周期。
5. 最值和极值：函数的最值是指函数在定义域上的最大值和最小值，极值是指函数在某个局部范围内的最大值和最小值。
函数的最值和极值通常通过导数和二阶导数求解。
三、基本初等函数1. 线性函数：线性函数是最简单的函数之一，它的图像是一个直线。
线性函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b是常数，k称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数：二次函数是一个关于x的二次多项式，它的图像是一个抛物线。
二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，a≠0。
3. 指数函数：指数函数是以一个固定的正数为底的函数，它的自变量是指数。
八年级函数全知识点讲解
八年级函数全知识点讲解函数是数学中非常重要的一个概念，是一种映射方法，用来描述两个变量之间的关系。
下面就为大家详细讲解八年级数学中的函数知识点。
一、函数的定义函数是一个映射方法，可以将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
通常用符号 f(x)表示，在其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。
函数从一组数到另一组数的映射，也就是说函数是一种关系。
映射方法 f 将自变量 x 映射到因变量 y，在数学中用 (x, y) 表示这个映射关系。
函数常用于表示各种自然现象以及数学中导数、积分等运算。
二、函数的特点1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量 x 的所有取值，在这些区间内映射后得到的函数值定义了函数的值域。
例如，y = 2x + 1 这个函数的定义域为实数集合，值域为所有的实数集合。
2. 奇偶性函数的奇偶性指函数在自变量 x 为正或负时对应的函数值是否相等。
如果一个函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相等，则这个函数具有偶性；如果函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相反，则这个函数具有奇性。
3. 对称性函数的对称性包含水平和垂直两种对称性。
如果函数曲线在直线 y = k 垂直平面上对称，则称函数关于该垂直线具有对称性。
如果函数曲线在直线 x = k 水平平面上对称，则称函数关于该水平线具有对称性。
4. 单调性函数在定义域内是单增还是单减的性质称为它的单调性。
如果函数的导数恒大于0，该函数称为单调递增；如果函数的导数恒小于0，该函数称为单调递减。
三、函数的类型1. 线性函数线性函数的表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，也叫函数的斜率和截距。
线性函数的图形是一条直线，反映了固定比例的关系。
2. 二次函数二次函数的标准表达式为 y = ax² + bx + c，其中 a, b, c 都是常数。
它的图形是一个抛物线。
3. 幂函数幂函数的表达式为 y = x^n，其中 n 为常数。
函数知识点总结
函数知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是其他学科中经常遇到的概念之一。
它是描述两个集合之间的一种关系的方法。
函数的概念在数学中是非常广泛的，从最基本的映射到更复杂的变换都可以归为函数的范畴。
本文将对函数的基本概念、性质和应用进行总结和讲解。
首先，我们来定义函数的基本概念。
函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
通常记作f(x)，其中x是输入的值，f(x)是输出的值。
函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域则是所有可能的输出值的集合。
函数可以用各种不同的方式表示，例如用公式、图像、表格等。
函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以直观地看到函数的特点和性质。
其次，我们来讨论函数的性质。
函数有很多重要的性质，其中最基本的性质是单值性和有界性。
单值性指的是函数的每个输入值只对应一个输出值，即每个x值只有一个f(x)值。
有界性指的是函数的值域有上界和下界，即值域中的值都在一定的范围内。
函数还有其他的性质，例如增减性、奇偶性、周期性等。
增减性指的是函数在定义域上的单调性，即函数是单增的还是单减的。
奇偶性指的是函数的对称性，即函数在原点的对称性。
周期性指的是函数的图像在一定的间隔内重复出现。
接下来，我们来讨论函数的应用。
函数在数学中有着广泛的应用，可以用来解决各种实际问题。
例如，函数可以用来描述物体的运动，可以用来计算经济中的变量之间的关系，可以用来模拟自然界中的现象等。
在物理学中，函数可以用来描述物体在空间中的位置随时间的变化。
在经济学中，函数可以描述供需关系、成本收益关系等。
在计算机科学中，函数是编程中的基本组成单元，可以用来实现各种功能。
函数在工程和技术中也有很多应用，例如信号处理、控制系统等。
最后，我们来总结一下函数的重要性。
函数是数学中的一个基本概念，几乎涉及到数学的各个分支和其他学科。
它可以描述两个集合之间的关系，并且可以用来解决实际问题。
函数具有很多重要的性质，例如单值性、有界性、增减性等，这些性质可以帮助我们理解函数的特点和性质。
函数知识点总结讲解
函数知识点总结讲解一、函数的定义和调用1.1 函数的定义在程序设计中，函数是一段完成特定任务的独立代码块，它可以通过函数名来调用和执行。
函数通常包括函数名、参数列表、返回值类型和函数体等部分。
函数可以被多次调用，在不同的上下文中完成不同的任务。
在大多数编程语言中，函数的定义通常遵循以下格式：```pythondef function_name(parameters):# 函数体# 实现特定的功能return value```其中，def是定义函数的关键字，function_name是函数的名字，parameters是函数的参数列表，return value是函数的返回值。
函数体是实现特定功能的代码块。
1.2 函数的调用函数的调用是指在程序中使用函数名加上一对括号来执行函数。
调用函数时，可以将实际参数传递给函数，这些参数将会被函数体所使用。
函数执行完毕后，可以返回一个值给调用者。
在大多数编程语言中，函数的调用通常遵循以下格式：```pythonresult = function_name(arguments)```其中，function_name是函数的名字，arguments是实际参数列表，result是函数的返回值。
二、参数传递2.1 位置参数在调用函数时，可以将参数按照位置顺序传递给函数，这种传递方式被称为位置参数。
函数内部可以通过参数的位置来访问这些参数，然后进行相应的处理。
例如：```pythondef add(a, b):return a + bresult = add(3, 5)print(result) # 输出8```在这个例子中，add函数接收两个位置参数a和b，然后将它们相加并返回结果。
当调用add函数时，传递的实际参数3和5会分别赋值给a和b，从而得到结果8。
2.2 关键字参数在调用函数时，也可以按照参数名字来传递参数，这种传递方式被称为关键字参数。
通过使用关键字参数，可以使得函数调用更加清晰和易于理解。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极其重要的概念。
它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。
在给定的集合中，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。
例如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1。
当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋1 ＝ 3；当 x ＝ 2 时，f(2) ＝ 2×2 ＋ 1 ＝ 5。
可以看到，对于每一个给定的 x 值，都能通过这个表达式得到唯一确定的 f(x) 值。
二、函数的表示方法函数可以用多种方式表示，常见的有解析法、列表法和图像法。
1、解析法就是用数学表达式来表示函数关系，如上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 就是解析法。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数，比如：｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ f(x) ｜ 3 ｜ 5 ｜ 7 ｜3、图像法用图像来直观地展示函数关系。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，它的图像是一个开口向上的抛物线。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，由于分母不能为 0，所以 x 1 ≠ 0，即x ≠ 1，定义域为x ≠ 1。
通过分析函数的表达式，可以得出值域。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝√（x 2)，求其定义域。
要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 2 ≥ 0，解得x ≥ 2，所以定义域为 2, ＋∞）。
例 2：若函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，当 x ＝－1 时，求 f(x)的值。
将 x ＝－1 代入函数中，f(－1) ＝ 2×（－1) ＋ 3 ＝ 1 。
例 3：已知函数 f(x)的图像经过点(1, 2)和(2, 4)，求函数的表达式。
函数讲解知识点
函数讲解知识点函数是编程中非常重要的概念之一。
它是一段可重复使用的代码，用于执行特定的任务或计算。
函数将一系列操作封装在一个单元中，可以接受输入参数并返回结果。
在本文中，我们将逐步讲解函数的相关知识点。
1. 函数的定义函数的定义由关键字def开始，后面跟着函数名和一对圆括号。
函数名是用于调用函数的标识符。
圆括号中可以包含参数，参数是函数接受的输入值。
def function_name(parameter1, parameter2, ...):# 函数体# 实现特定的任务或计算return result在函数体中，我们可以编写实现特定任务的代码。
函数可以完成一系列操作，例如执行计算、打印输出、调用其他函数等。
2. 函数的调用函数定义之后，我们可以通过函数名加圆括号的方式来调用函数，并传递参数。
调用函数时，参数的值将被传递给函数体中的对应参数。
result = function_name(argument1, argument2, ...)这样就可以将函数的返回值赋给变量result。
如果函数没有返回值，则可以省略赋值语句。
3. 参数传递函数可以接受零个或多个参数。
在函数定义中，我们可以指定参数的名称和类型。
参数可以是必需的或可选的。
•必需参数：函数定义中指定了参数名称的参数，调用函数时必须传递相应的参数值。
def greet(name):print("Hello, "+ name +"!")•默认参数：函数定义中可以为参数指定默认值，调用函数时如果没有传递该参数，则使用默认值。
def power(base, exponent=2):return base ** exponent•可变参数：函数定义中可以使用*来接受不定数量的参数。
这些参数将被封装成一个元组。
def sum(*numbers):total =0for num in numbers:total += numreturn total4. 返回值函数可以使用return语句返回结果。
函数知识点复习整理
函数知识点复习整理函数是数学中的基本概念之一，它在解决问题、研究现象和建模等方面起到了重要的作用。
函数的知识点主要包括函数的定义、函数的性质和函数的应用等方面。
下面就对函数的知识点进行复习整理。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它把一个集合与另一个集合中的元素进行对应。
数学中常用的函数记作f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数的定义包括以下几个要素：1.自变量的定义域：自变量x的取值范围，通常用集合表示。
2.因变量的值域：因变量f(x)的取值范围，也用集合表示。
3.函数表达式：函数的具体表达形式，可以是一个公式或者一个算法。
4.函数名称：给函数取一个名称，以便于引用和表示。
二、函数的性质函数的性质主要包括函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性、连续性和可导性等方面。
下面对这些性质进行详细讲解：1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
2.周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
3.单调性：如果对于函数f(x)中的任意两个数a和b，当a<b时，有f(a)<f(b)；当a>b时，有f(a)>f(b)，则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；反之，如果当a<b时，有f(a)>f(b)；当a>b时，有f(a)<f(b)，则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递减。
4.有界性：如果对于函数f(x)中的任意x，存在两个常数M和N，使得当，x，>M时，有，f(x)，<N，称函数f(x)在无穷远处有界。
5.连续性：如果对于函数f(x)中的任意x0，当，x-x0，趋近于0时，有f(x)趋近于f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
6.可导性：如果对于函数f(x)中的任意x0，存在一个常数f'(x0)，使得当x趋近于x0时，有[f(x)-f(x0)]/[x-x0]趋近于f'(x0)，则称函数f(x)在点x0处可导。
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函数【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在某一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 前提：必须是在某一运动变化过程中，有两个变化的量.（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2. 要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式.其中的等式叫做函数表达式（或函数解析式）.（2）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.（3）图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出两个变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象一般的，对于一个函数，如果把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行：1. 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值.2. 描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点.3. 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线一次连接起来.描出的点越多，描绘的图象误差越小.有时不能把所有的点都描出，就用平滑的曲线连接画出的点，从而得到表示这个函数关系的近似图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ） 22320,1,,||,||x y x y y x y x x y -=-====A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2， y 3||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、（2016•南宁）下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）A. B. C. D.【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案．【答案】 D ； 【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数解析式 3、求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）．52+-=x x y （2）．423x y x =- （3）．23y x =+（4）．21y x =-（5）．312y x =-（6）．32x y x +=+ 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32； （3）．23y x =+，要使函数有意义，需2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．21y x =-，要使函数有意义，需2x －1＞0，即12x >； （5）．312y x =-，x 为任何实数，函数都有意义；（6）．32x y x +=+，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10，所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【思路点拨】把13x =代入关系式可求得函数值. 【答案】C ；【解析】130610643y =⨯-=-=.【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 举一反三：【变式】（2015春•抚州期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t （h ） 0 1 2 3 …油箱剩余油量Q （L ） 100 94 88 82 …（1）根据上表的数据，请你写出Q 与t 的关系式；（2）汽车行驶5h 后，油箱中的剩余油量是多少？（3）该品牌汽车的油箱加满50L ，若以100km/h 的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？【答案】解：（1）Q=50﹣8t ；（2）当t=5时，Q=50﹣8×5=10，答：汽车行驶5h 后，油箱中的剩余油量是10L ；（3）当Q=0时，0=50﹣8t8t=50，解得：t=， 100×=625km ．答：该车最多能行驶625km ；类型四、函数的图象6、（2015春•东平县校级期末）陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？（2）陈杰在书店停留了多少分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了多少米？（3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？【思路点拨】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案，根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度；（4）根据路程、速度，即可得到时间．【答案与解析】解：（1）陈杰家到学校的距离是1500米，1500﹣600=900（米）．答：书店到学校的距离是900米．（2）12﹣8=4（分钟）．答：陈杰在书店停留了4分钟．1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）=2700（米）．答：本次上学途中，陈杰一共行驶了2700米（3）（1500﹣600）÷（14﹣12）=450米/分．答：在整个上学的途中12分钟到14分钟时段陈杰骑车速度最快，最快的速度是450米/分；（4）1500÷（1200÷6）=7.5（分钟），14﹣7.5=6.5（分钟）．答：陈杰以往常的速度去学校，需要7.5分钟，本次上学比往常多用6.5分钟．【总结升华】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B；7.画出函数y＝8x的图象．【思路点拨】从正数，负数中各选几个值作为自变量x的值，进而得到y的值，然后描点，连线即可．【答案与解析】解：①列表得：x-4-2-1124y248-8-4-2②描点，连线得：【总结升华】本题考查函数图象的画法；注意自变量x的取值范围是不为0的任意实数.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。