高中物理竞赛教程(超详细)第十二讲实验理论

实验理论物理学是一门实验科学，几乎所有的物理定律都来自于物理实验并不断地受到新的物理实验的检验，因此研究物理实验是每个对物理感兴趣的同学必须做的工作，正因为如此，物理实验在物理竞赛中也占有重要的地位，不论是全国物理竞赛，还是国际奥林匹克物理竞赛，实验内容都要占30%—50%的比例。

一、 有关实验的基础知识（一）实验误差的概念1、为什么要讨论测量误差 任何物质都有自身的各种各样的特性，反映这些特征的量所具有的客观真实数值，称为真值。

测量的目的就是力图得到真值，但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况，所以测量不能无限精确，在绝大多数情况下，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，这就是测量误差，测量误差的大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小，反映测量结果的可信程度。

从某种意义上说，不给出测量误差的测量结果是没有意义的，是无法使用的，例如我们测量出某种合金的密度是（3.23310)2.0m kg ⨯±，即说明这种合金的密度不会小于33100.3m kg ⨯，不会大于33104.3m kg ⨯。

如果用这种合金制造飞机，就可以估计出飞机的最大和最小质量。

相反，如果测出的密度没有误差范围，是没有实际使用意义的。

测量误差是反映测量结果好坏的物理量，它与实验的各个方面都有密切的关系，例如，我们要根据测量误差的限度制定实验方案，即确定实验原理和步骤，并选用器材，在实验操作过程中，要千方百计减小误差，最后，通过对实验数据的处理，确定实验结果的误差，由此可见，考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。

2、实验误差的分类（1）绝对误差和相对误差 误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。

1）绝对误差：测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差，定义为：绝对误差（∆）=)()(A x 真值测量值-绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。

2）相对误差：绝对误差无法表示测量质量的高低，例如在测量上海到北京的距离时，如果绝对误差是1米，测量质量已很高；但是如果测量百米跑道时产生1米的误差，则测量质量就不好了，为了说明测量质量的高低，我们还要引入相对误差的概念，其定义为： 相对误差（E ）= 绝对误差（∆）÷真值（A ） 相对误差常用百分数的形式来表示：%100⨯∆=A E（2）系统误差和偶然误差 误差按其性质及其产生的原因，又可以分为系统误差和偶然误差两种。

1）系统误差：系统误差的特征是带有确定的方向性，在相同的条件下，对同一量进行多次测量，误差的正负保持不变，如果测量值偏大，则总是偏大；如果测量值偏小，则总是偏小，系统误差的来源主要有以下几个方面：原理误差：由于测量所依据的理论公式的近似性（不完善性）而造成的误差，例如，单摆的周期公式glTπ2=，它成立的条件是摆角趋近于零，否则就是一个近似公式；又如用伏安法测电阻时，因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用，测得的结果只能是近似值。

仪器误差：由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差，例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。

环境误差：由于测量时周围的环境（温度、压力、湿度等）不理想而造成的误差。

例如在20℃时定标的标准电阻在30℃的环境中使用等。

很明显，由于系统误差有固定的偏向性，所以用多次测量求平均值不能减小系统误差，但如果我们找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的方法去减小它的影响，或者对测量结果进行修正。

2）偶然误差：偶然误差的特征是带有随机性（因此偶然误差也叫随机误差）。

在测量中，如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素，而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内，这种误差叫偶然误差。

偶然误差的可能来源是：测量者自身感官（如听觉、视觉、触觉）的分辨能力不尽相同，外界环境的干扰等等。

偶然误差是无法控制的，但它的出现却服从一定的统计规律。

常见的一种规律是：大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等；而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多；偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。

因此，用增加测量次数求平均值的方法，可以减小偶然误差。

关于因仪器损坏，设计错误，操作不当而造成的测量错误，则不是测量误差。

（二）偶然误差1、直接测量中偶然误差的估算所谓直接测量，就是直接用测量仪器进行测量得到结果。

（1）单次测量的误差估算在物理实验中，有时由于对测量的精度要求不高，或由于测量对象的不可重复性，对一个物理量的直接测量只进行一次，这种测量方法叫做单次测量。

单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法：1）取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm 作为测量误差,一般温度计取0.2℃或0.5℃作为测量误差等等.2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g作为测量误差.3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s 或0.2s作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s或0.2s 作为测量误差,0.01s 位上的数字是没有实际意义的.4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法：每个电表都有一个准确度级别（0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级），电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积. 例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差A A I 015.0%5.03=⨯≤∆5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小，但电阻箱级别和电表的级别略有不同。

n 级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的乘积。

（2）多次测量结果和误差估算 测量某一个物理量时，为了减小偶然误差，在可能的情况下，应多次重复测量。

如果在相同的条件下对某一物理量进行了n 次测量，各次测量分别为n x x x x ,,,,321Λ，那么其平均值n x x x x n x ++++=Λ321(1）根据误差统计误差，可证明在一组测量n 次的数据中，其算术平均值x 最接近于真值，此算术平均值称为测量的最佳值。

当测量次数n 无限增加时，最佳值将无限接近于真值。

一般就将最佳值为多次测量的结果。

严格地说，误差是测量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且当测量次数多时，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值来估算误差。

仍以上例来说明误差x ∆的估算方法。

,11x x x -=∆ x x x -=∆22… x x x n n -=∆n x x x x n /)(21∆+∆+∆=∆Λ（3）测量结果的表示 测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。

通常将测量的结果写成x x x ∆±=单位。

其中x 是测量值，可以是一次测量值，也可以是多次测量的最佳值，x ∆是绝对误差。

为了更清楚地表示测量质量的好坏，还应同时写出其相对误差%100⨯∆=x x E .这里要说明两点： ①在误差运算的过程中，一般只取一到二位有效数字，最后表示绝对误差x ∆的值一般只取一位而且应该和测量最佳值x 的最末一位对齐，为了确保误差范围的有效性，一般是只入不舍。

②测量结果为x x ∆±并不表示x 为x x x x ∆-∆+和两个值，而是表示x 一般在x x x x ∆+∆-和这个范围之内。

2、间接测量中偶然误差的估算 所谓间接测量，就是应用直接测量得到的值，经过计算得到自己所需要的结果。

例如测一块圆柱体金属的密度，可以先通过直接测量得到它的直径D 、高h 和质量m ，然后用公式)4(2h D m ⋅=πρ计算出密度。

因为计算中所用的直接测量值都是有误差的，所以算出来的间接测量值当然也是有误差的。

下面就讨论在不同类型的计算中，怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。

设x 为间接测量的量，而A 、B 、C …为直接测量的量，它们之间满足一定的关系，即x=f(A,B,C …).如果各直接测得量表示为Λ;;;C C C B B B A A A ∆+=∆+=∆+=将这些量代入f(A,B,C …)中，便可以求得,x x x ∆±= x x E x ∆=其中),,,(ΛC B A f x =为间接测得量的最佳值，x ∆是间接测得量的绝对误差。

（1）加法运算中的误差若x=A+B+C+…则Λ+∆±+∆±+∆±=∆±)()()(C C B B A A x xΛΛ±∆±∆±∆±+++=C B A C B A 其中最佳值Λ+++=C B A x绝对误差Λ±∆±∆±∆±=∆C B A x由于A 、B 、C 都是互相独立的，它们的绝对误差可能为正，也可能为负。

在最不利的情况下，可能出现的最大误差是Λ+∆+∆+∆=∆C B A x 。

我们规定此可能的最大误差为x 的误差。

（2）减法运算中的误差若x=A-B-C-… 则Λ-∆±-∆±-∆±=∆±)()()(C C B B A A x xΛΛ±∆±∆±∆±---=C B A C B A 其中最佳值Λ---=C B A x绝对误差按前面所讲，在最不利情况下，取Λ+∆+∆+∆=∆C B A x由此可见，加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。

（3）乘法运算中的误差若B A x ⨯= 则)()(B B A A x x ∆±⨯∆±=∆±))(()()(B A A B B A B A ∆±∆±+∆±+∆±+⨯= 其中最佳值B A x ⨯= 绝对误差))(()()(B A A B B A x ∆±∆±+∆±+∆±=∆由于为二级小量))((B A ∆±∆±(即比A ∆或B ∆更小的小量),可以忽略不计,所以,)()(A B B A x ∆±⨯+∆±⨯=∆.在最不利的情况下,取A B B A x ∆⨯+∆⨯=∆,于是相对误差为B A x E E B B A A B A A B B A x x E +=∆+∆=⨯∆⨯+∆⨯=∆=(4) 除法运算中的误差 若B A x =则))(())((B B B B B B A A B B A A x x ∆∆±∆±∆±=∆±∆±=∆+μ22)(B B A B B A A B B A ∆-∆⨯∆±∆⨯±∆⨯±⨯= 忽略二级小量(2B B A A B B A ∆⨯±∆⨯±⨯=) 2B B A A B B A ∆⨯±∆⨯±+= 其中最佳值B A x = 绝对误差2B B A A B x ∆⨯±∆⨯±=∆,在最不利的情况下,取2B B A A B x ∆⨯+∆⨯=∆.相对误差为A B BB A A B x x E n ⋅∆⨯+∆⨯=∆=2 =B B AA ∆+∆B A E E +=由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值，那么可以不考虑它的误差。