20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.6 对数及对数函数(原卷版)
第六讲 对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数对数形式 特点记法 一般对数 底数为a (a >0且a ≠1)log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数底数为eln N4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义【套路秘籍】---千里之行始于足下1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x ＝1时，y ＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。
（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。
【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为 ． 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .11【套路总结】 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为 ．考向二 对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x) (a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2 (a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是 A ．y=lg10xB ．y=log 3x2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三 对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为 。
（2）若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【套路总结】对数函数的判断：对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1。
【举一反三】1．已知f(x)={x 2−4ax +3,x <1log a x +2a,x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,12]B ．[12,1)C ．[12,23]D ．[23,1)2．函数y =ln （4-x ）+1n （2+x ）的单调递增区间为（ ） A ．(−2,1)B ．(1,4)C ．(−∞,1)D ．(−2,4)3．已知f(x)=log 12(x 2−ax −a)在区间(−∞，−12)上是增函数，则实数a 的取值范围是______．考向四 比较大小【例4】(1)设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接)【举一反三】1.设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．2.已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．3.已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 4.设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”连接)【套路总结】比较大小问题是每年高考的高频考点，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【套路总结】复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”考向五 对数函数图像【例5】(1)如图是对数函数y ＝log a x 的底数a 的值分别取3，43，35，110时所对应的图象，则相应的C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )(3)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是________．【举一反三】1 。
函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是________．3.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )考向六定义域与值域【例6】．已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【举一反三】(x2−6x+17)的值域是。
1.函数y=log122．函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为。
3.已知函数f(x)=log a(x+2)，g(x)=log a(4−x)，其中a>0且a≠1.（1）求函数f(x)+g(x)的定义域；（2）若函数f(x)+g(x)的最大值是2，求a的值；（3）求使f(x)−g(x)>0成立的x的取值范围.考向七 反函数【例7】已知函数f （x ）=2x的反函数为y =g （x ），则g （12）的值为（ ） A ．−1 B ．1 C ．12 D ．2【举一反三】1．已知函数f(x)=1+2lgx ，则f(1)+f −1(1)=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知f(x)=x+12x，其反函数为f −1(x)，则f −1(0)=______．3．f(x)=x 2+2x （x ≥0）的反函数f −1(x)=________1．若a =log 225,b =0.43,c =ln3，则a 、b 、c 的大小关系是 。
2．a =40.9，b =log 232，c =(12)−1.5的大小关系是 。
3．已知a =5log 23.4，b =5log 43.6，c =(15)log 70.3，则 。
4. 若函数y =log a (x 2−ax +1)定义域为R ，则a 的取值范围是 。
5．函数f(x)=lg(2kx 2−kx +38)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是______． 6．函数f (x )=lnx+1x−1的值域为________.7．定义在[−2a +3,a ]上的偶函数f (x )，当x ∈[0,a ]时，f (x )=log a (2x +3)，则f (x )的值域为______．.8．函数f (x )=lg (4x −2x+1+11)的最小值是___． 9．函数y =log 2(x 2+2x +5)的值域为__________。
10．函数y =log 2(2x −x 2)的单调递增区间为________. 11．f(x)=log 2(4x)log 14(x 2),x ∈[12,4]的最大值为___________12．函数y =1g （1-x ）+√−x 2+x +2的定义域是 。
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________．14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则a ＝________. 16．计算：（1）lg25+2lg2+823= （2）求值：log 3√2743+lg25+lg4+7log 72=_______________（3）eln2+813+lg20−lg2=______（4）3lg2+lg125+1634+(√3+1)0=_____________. （5）(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5=（6）lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2= （7）2log 214−(827)−23+lg1100+(√3−1)lg1=（8）lg52+23lg8+lg5lg20+(lg2)2=17．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数f(x)=log a(2+x)−log a(2−x)，(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求满足f(x)≤0的实数x的取值范围．20．已知函数f(x)=log a(x2−4)，g(x)=log a(2x−1)，(a>0且a≠1)（I）若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的定义域；（II）求不等式f(x)−g(x)>0的解集.21．已知函数f(x)=log2(2x+1)．（1）若函数g(x)=log(2x−1)−f(x)，判断g(x)的奇偶性，并求g(x)的值域；（2）若关于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有实根，求实数m的取值范围.22．已知函数f(x)=log a(9−3x)（a>0，a≠1）.（1）若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；时，求函数y=f(x)+f(−x)的最小值.（2）当a=1423．已知函数f(x)=log a(1−x)+log a(x+3)，其中a>0且a≠1。
高考数学一轮复习讲义2.6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数[最新考纲]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象；3．体会对数函数是一类重要的函数模型；4．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①＝N；②log a a N＝N；③log b N＝log a Nlog a b；④＝nm log a b；⑤log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n log a M(n∈R)；④log a nM＝1n log a M.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0 当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数辨 析 感 悟1．对数运算的辨析(1)(2013·浙江卷改编)已知x ，y 为正实数，①2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y ，②2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lgy，③2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y ，④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y ，以上四个式子错误的是①②③.(√)(2)(2013·中山调研改编)若log 4[log 3(log 2x )]＝0，则＝24.(√)2．对数函数的理解(3)(2013·吉林调研改编)函数y ＝log 3(2x －4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)(2014·长沙模拟改编)函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝2.(×) (6)log 2x 2＝2log 2x .(×) [感悟·提升]三个防范 一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0＜a ＜1和a ＞1分类讨论，否则易出错.学生用书第25页考点一 对数的运算例1 (1)(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64的值是________．(2)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝( )．A.124B.112C.18D.38 (1)解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)1 (2)A规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．训练1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. (2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________. 解析 (1)a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝()a m 2·a n ＝22×3＝12. (2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)12 (2)2考点二 对数函数的图象及其应用例2 (2012·新课标全国卷)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)审题路线 在同一坐标系下作出两个函数y ＝4x 与y ＝log a x 的图象⇒画函数y ＝log a x 的图象可考虑两种情况：a ＞1和0＜a ＜1⇒观察图象，当a ＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a ＜1的情形⇒观察图象的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2满足条件：log a 12＞2即可．解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方． 又当x ＝12时，＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 B规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．训练2 (2014·石家庄二模)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )． A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．答案 D考点三 对数函数的性质及其应用例3 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c . (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎨⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.答案 (1)D (2)C规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 【训练3】 (1)(2014·郑州模拟)若x ∈(1e -，1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c(2)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析 (1)依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b ＞c＞a .(2)由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3. 答案 (1)B (2)D(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．学生用书第26页教你审题2——巧用对数函数图象解题[审题] 一审条件❶：转化函数y ＝|log 2x |为y ＝ ⎩⎨⎧log 2x ，x ＞1，－log 2x ，0＜x ＜1.得到图象，如图． 二审条件❷：见上图．三审条件❸：转化为a 是A ，C 两点横坐标之差的绝对值，b 是B ，D 两点横坐标之差的绝对值．A ，B 的横坐标即是方程|log 2x |＝m 的解，C ，D 的横坐标即是方程|log 2x |＝82m ＋1的解，求出A ，B ，C ，D 点的横坐标． 四审问题❹：把ba 转化为关于m 的函数，利用导数或不等式求解即可． 解析 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)上，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)上，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝|x B －x D ||x C －x A |＝x B －x Dx C －x A .根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝，x B ＝2m ，x D ＝，所以b a ＝＝ .只要求出82m ＋1＋m 的最小值即可．法一 构造函数g (m )＝82m ＋1＋m ，则g ′(m )＝－16(2m ＋1)2＋1＝(2m ＋5)(2m －3)(2m ＋1)2，由于m ＞0，显然可得g (m )在(0，＋∞)上有唯一的极小值点，也是最小值点m ＝32，故g (m )min＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝72，即b a 的最小值为＝8 2.法二82m ＋1＋m ＝4m ＋12＋m ＝4m ＋12＋m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当4m ＋12＝m ＋12，即m ＝32时等号成立，故ba 的最小值为＝8 2.[反思感悟] (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC 和BD 在x 轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大． 【自主体验】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________． 解析 分别作出三个函数的图象，如图所示： 由图可知，x 2＜x 3＜x 1.答案 x 2＜x 3＜x 1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果12log x ＜12log y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析 ∵12log x ＜12log y ＜log 121，又y ＝12log x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x答案 D2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1 ＋x )，则f (－2)＝ ( )．A ．－1B ．－3C ．1D ．3解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 A3．(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关 系是( )．A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除D. 答案 A4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于 ( )．A.12 B.14 C ．－14D ．4解析 令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，所以要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4＋4a ≥0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14，此即为实数a 的值．答案 C5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞) 解析 记u ＝(3－a )x －a ，当1＜a ＜3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数， u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数， ∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求． 当a ＞3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数， 而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0＜a ＜1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题6．函数y ＝12log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．已知f (x )＝⎩⎨⎧2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 188．(2014·深圳中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是________． 解析 当x ∈(－∞，0)时，则－x ∈(0，＋∞)， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ) ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，0，0，－log 2(－x )，x ＜0，由f (x )＜－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 2x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－log 2(－x )＜－1，解得0＜x ＜12或x ＜－2. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，或x ＜－2三、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x －1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0， 因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．10．已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)．(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时， 解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2a <x <1. 故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1，或x >2a； 当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝12log u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a －2<0，u (2)＝2a －22－1≥0，得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交 点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，P 4(2,2)中，“好点”的个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log b x (b ＞0，b ≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上， 得a ＝1与a ＞0，且a ≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a＝14，b ＝14；易得P 4(2,2)也为“好点”． 答案 B2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时， f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝ ( )．A ．1 B.45 C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(＋15)＝－1.答案 C 二、填空题3．如果函数y ＝f (x )图象上任意一点的坐标(x ，y )都满足方程lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ， 那么y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是________．解析 由lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，由x ＋y ＝xy 得y ＝f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1(x ≠1)．则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是f (4)＝1＋14－1＝43.答案 43 三、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第2章 函数导数及其应用 第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b ＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 181＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0， 即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·青岛模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －，x >1，－x －，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，求实数a 的取值范围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a的取值范围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，求实数a 的取值范围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a|＝|lg b|＝c，所以lg a＝－c，lg b＝c，即lg a＝－lg b，lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，于是abc＝c，而0<c<1.故abc的取值范围是(0,1)．题型三对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为( )A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b答案 D解析因为e＝2.71828…>2，所以a＝log2e>log22＝1；b＝ln 2<ln e＝1；又因为c＝log1213＝log23>log22＝1，又因为a＝log2e<log23＝c，所以c>a>b.角度2 解对数不等式2．(2018·银川模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x>0，log12－x，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析若a>0，则log2a>log12a，即2log2a>0，所以a>1.若a<0，则log12(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，所以0<－a<1，－1<a<0.综上知，实数a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．角度3 与对数函数有关的综合问题3．已知函数f(x－3)＝log ax6－x(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调区间．解令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝log a3＋u3－u(a>0，且a≠1，－3<u<3)，所以f(x)＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法2．求解对数不等式的两种类型及方法3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c >b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值范围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞) C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D ．[0,1]∪[42，＋∞)答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值范围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值范围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。
高考数学一轮总复习 2.6 对数与对数函数精品课件 理 新人教版
shù)函数
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考纲要求
(yāoqiú)
考纲要求
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自
然对数或常用对数;了解
对数的发现历史以及对简化运算的作用.
2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的
∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(a2b2)=2lg(ab)=2×1=2.
2
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解析
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
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误区警示
答案
答案
(dá àn)
探究
(tànjiū)突
破
方法提炼
对数式化简求值的基本思路:
n
(1)利用换底公式及 loa m Nn= logaN 尽量地转化为同底的和、差、积、
形结合思想.由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图象可得 0<a<1,0<b<1.则
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x
B
g(x)=a
+b 的图象由 y=ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B.
点(kǎo diǎn)一
解析
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十六页，共28页。
误区警示
答案
一般先研究函数的周期性.
3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函数的单调性.
点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(原卷版)
第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝x n，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.2．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．23．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ）【套路总结】指数函数xy a =形如，指数函数的需要同时满足①01a a >≠且②系数为1③次数为1【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）A ．2B ．1C ．3D ．2或−1考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。
高考数学一轮复习讲义 第2章 第5节 对数与对数函数
第五节对数与对数函数[考纲要求]1．理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0,且a≠1)．突破点一对数的运算[基本知识]1．对数的概念、性质及运算概念如果a x＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化:a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0,log a a＝1,a log a N＝_N_运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)(1)换底公式:log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0);(2)log a b＝1log b a,推广log a b·log b c·log c d＝log a d.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)存在这样的M,N使得log2(MN)＝log2M·log2N.()答案:(1)×(2)×(3)√二、填空题1．已知log62＝p,log65＝q,则lg 5＝________(用p,q表示)．解析:lg 5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案:q p ＋q2．计算:2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________. 解析:原式＝13＋3(lg 2＋lg 5)＋53＝5.答案:53．已知4a ＝2,lg x ＝a ,则x ＝________. 解析:∵4a ＝22a ＝2,∴a ＝12.∴lg x ＝12,∴x ＝10.答案:104．log 225·log 34·log 59＝________.解析:原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8.答案:8[典例感悟]计算下列各式的值: (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514;(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解:(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[针对训练]1．计算:⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析:原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案:－202．计算:lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.解析:原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝⎛⎭⎫16×0.06 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案:13．(2019·宁波期末)已知4a ＝5b ＝10,则1a ＋2b ＝________.解析:∵4a ＝5b ＝10,∴a ＝log 410,1a ＝lg 4,b ＝log 510,1b ＝lg 5,∴1a ＋2b ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg25＝lg 100＝2.答案:2突破点二 对数函数的图象及应用[基本知识]1．对数函数的图象 函数y ＝log a x ,a >1y ＝log a x,0<a <1图象图象特征 在y 轴右侧,过定点(1,0)当x 逐渐增大时,图象是上升的当x 逐渐增大时,图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,如图,0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧,图象从左到右相应的底数由小变大; 在x 轴下侧,图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧,底数都按顺时针方向变大) 3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1,函数图象不在第二、三象限．( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点(0,0)．( ) 答案:(1)√ (2)√ 二、填空题1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是________． 解析:y ＝log a x 的图象恒过点(1,0),令x －3＝1,得x ＝4,则y ＝－1. 答案:(4,－1)2．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称,则m ＝________.答案:13．若f (x )＝log 2x ,则f (x )>0的x 的范围是________． 答案:(1,＋∞)[全析考法]考法一 对数函数图象的辨析[例1] (2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )[解析] 法一:函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1},且对任意的x ,均有f (x )≥0,结合对数函数的图象可知选C.法二:||y ＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象左移1个单位,再向上翻折得到,结合选项知选C.[答案] C [方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地,要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．考法二 对数函数图象的应用[例2] (2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ,且f (a )＝f (b ),则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4,＋∞)B ．[4,＋∞)C ．(5,＋∞)D ．[5,＋∞)[解析] 由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |,根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a <b ,得－ln a ＝ln b,0<a <1<b ,1a ＝b .令g (b )＝a ＋4b ＝4b ＋1b ,易得g (b )在(1,＋∞)上单调递增,所以g (b )>g (1)＝5. [答案] C [易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误,要记准记牢图象的变换规律．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析:选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|,先画出x>0时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选A.2.[考法二]已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12m,值域为[0,1],则m的取值范围为________．解析:作出f(x)＝|log12x|的图象(如图),可知f⎝⎛⎭⎫12＝f(2)＝1,f(1)＝0,由题意结合图象知:1≤m≤2.答案:[1,2]3.[考法二]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析:在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示),由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案:(－1,0)突破点三对数函数的性质及应用[基本知识]对数函数的性质函数y＝log a x(a>0,且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0,＋∞)值域R单调性在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时,y＝0当x>1时,y>0; 当x>1时,y<0;当0<x <1时,y <0当0<x <1时,y >0一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)当x >1时,log a x >0.( )(2)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (3)对数函数y ＝log a x (a >0,且a ≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________． 答案:[2,＋∞)2．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋∞3．函数y ＝log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________. 答案:2或12[全析考法]考法一 与对数有关的函数定义域问题[例1] (2018·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R,则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3][解析] 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时,3>0,符合题意;当m ≠0时,只需⎩⎨⎧m >0Δ＝(－2m )2－12m <0解得0<m <3.综上0≤m <3,故选B. [答案] B [方法技巧]已知f (x )＝log a (px 2＋qx ＋r )(a >0,且a ≠1)的定义域为R,求参数范围时,要注意分p ＝0,p ≠0讨论．同时p ≠0时应结合图象说明成立条件．考法二 与对数有关的比较大小问题[例2] (2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a ＝2 01812019,b ＝log 2 018 2 019,c ＝log 2 019 2 018,则a ,b ,c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a[解析] ∵a ＝2 01812019>2 0180＝1,1＝log 2 0182 018>b ＝log 2 018 2 019>log 2 018 2 018＝12,c ＝log 2 019 2 018<log 2 019 2 019＝12,所以a >b >c .故选A. [答案] A[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底中间量过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三 与对数有关的不等式问题[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ＞0log 12(－x )x ＜0.若f (a )＞f (－a ),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎨⎧a ＞0log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0－log 2(－a )＞log 2(－a )解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C [方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解． 考法四 对数函数性质的综合问题[例4] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2,m ＋2)内单调递增,则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤433B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤432C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫432 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43＋∞ [解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0,解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝ log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2,m ＋2)内单调递增,只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2m ＋2≤53m －2＜m ＋2解得43≤m ＜2.[答案] C [方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a ∈(0,1),还是a ∈(1,＋∞)．(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－130∪(0,＋∞) C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－13＋∞ D ．[0,＋∞)解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0ln (3x ＋1)≠0解得x >－13且x ≠0,故选B.2.[考法二]设a ＝log 50.5,b ＝log 20.3,c ＝log 0.32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <b <aD ．a >b >c解析:选B a ＝log 50.5>log 50.2＝－1,b ＝log 20.3<log 20.5＝－1,c ＝log 0.32>log 0.3103＝－1,log 0.32＝lg 2lg 0.3,log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2,即c <a ,故b <c <a .故选B.3.[考法三](2019·湛江模拟)已知log a 34<1,那么a 的取值范围是________．解析:∵log a 34<1＝log a a ,故当0<a <1时,y ＝log a x 为减函数,0<a <34;当a >1时,y ＝log a x 为增函数,a >34,∴a >1.综上所述,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫034∪(1,＋∞)．答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫034∪(1,＋∞)4.[考法四](2019·盐城中学月考)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数,当x ∈(－1,a ]时,函数f (x )的值域是(－∞,1],则a ＋b 的值为________．解析:由1－xb ＋x >0,解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称,故b ＝1.所以f (x )＝log a1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1,a ]上单调递减,0<a <1,所以f (x )在 (－1,a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞,1],故f (a )＝1,此时g (a )＝a ,即1－a a ＋1＝a ,解得a ＝2－1(负根舍去),所以a ＋b ＝ 2.答案: 2[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0,且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析:选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 2．(2018· 衡水名校联考)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121 D.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤121 解析:选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.3．设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析:选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1,b ＝log 23＜log 22＝1,所以a ＞b ; 又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1,c ＞0,所以b ＞c .故a ＞b ＞c . 4．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞,－2) B ．(－∞,－1) C ．(2,＋∞)D ．(5,＋∞)解析:选D 由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)得x 2－4x －5>0,得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5,则m (x )＝(x －2)2－9,m (x )在[2,＋∞)上单调递增,又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5,＋∞),故选D.5．已知a >0,且a ≠1,函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上,则f (x )＝________.解析:设幂函数为f (x )＝x α,因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2,2),则2α＝2,所以α＝12,故幂函数为f (x )＝x 12.答案:x 126．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________． 解析:作出函数y ＝log 2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知,函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞,－1),单调递增区间为(－1,＋∞)．答案:(－∞,－1) (－1,＋∞)[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x ,y ,下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析:选B 由对数的运算性质可知lg x ＋lg y ＝lg(xy ),因此选项B 错误． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)＝1,则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析:选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0,且a ≠1)． ∵f (2)＝1,∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2,则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析:选A 由函数f (x )的解析式可得:f (x )＋f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2＋lg(1＋4x 2－2x )＋2＝lg(1＋4x 2－4x 2)＋4＝4, ∴f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝f (ln 2)＋f (－ln 2)＝4.故选A. 4．(2019·衡水中学模考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析:选B 易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数,故排除A,C;当x >0时,y ＝ln x ,只有B 项符合．故选B.5．(2019·菏泽模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8x ≤2log ax ＋5x >2(a >0,a ≠1)的值域为[6,＋∞),则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2,＋∞)解析:选C 当x ≤2时,f (x )∈[6,＋∞),所以当x >2时,f (x )的取值集合A ⊆[6, ＋∞)．当0<a <1时,A ＝(－∞,log a 2＋5),不符合题意;当a >1时,A ＝(log a 2＋5,＋∞),若A ⊆[6,＋∞),则有log a 2＋5≥6,得1<a ≤2.综上所述,选C.6．设a ,b ,c 均为正数,且2a ＝log 12a ,⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ,⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析:选A ∵a ＞0,∴2a ＞1,∴log 12a ＞1,∴0＜a ＜12.∵b ＞0,∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1,∴0＜log 12b ＜1,∴12＜b ＜1. ∵c ＞0,∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0,∴log 2c ＞0,∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ,故选A.7．已知函数f (x )＝log a(2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223上恒有f (x )>0,则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫131C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫231 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫231 解析:选A 当0<a <1时,函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223上是减函数,所以log a⎝⎛⎭⎫43－a >0,即0<43－a <1,解得13<a <43,故13<a <1;当a >1时,函数f (x )在区间[ 12,23]上是增函数,所以log a (1－a )>0,即1－a >1,解得a <0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131.8．(2019·六安一中一模)计算:(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.解析:原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1＋lg 3＋33log 25＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.答案:269．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0,且a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:当a >1时,f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min ＝log a (8－2a )>1,解得1<a <83.当0<a <1时,f (x )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min ＝log a (8－a )>1,解得a >4,且0<a <1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫183.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18310．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0,且a ≠1)有最小值12,则实数a 的值等于________．解析:令g (x )＝x 2－26x ＋a ,则f (x )＝log a [g (x )]．①若a ＞1,由于函数f (x )有最小值12,则g (x )应有最小值 a ,而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6,当x ＝6时,取最小值a －6,因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a ＝a －6解得a ＝9.②若0＜a ＜1,由于函数f (x )有最小值12,则g (x )应有最大值a ,而g (x )不存在最大值,不符合题意．综上,实数a ＝9.答案:911．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2,其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值; (3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围．解:(1)由x ＋ax －2>0,得x 2－2x ＋a x >0,当a >1时,x 2－2x ＋a >0恒成立,定义域为(0,＋∞);当a＝1时,定义域为{x |x >0且x ≠1};当0<a <1时,定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时,∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2,＋∞)上是增函数,∴f (x )在[2,＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2,＋∞),恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2,＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2,x ∈[2,＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时,恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2,＋∞)．12．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1？如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由．解:(1)∵a >0且a ≠1,设t (x )＝3－ax , 则t (x )＝3－ax 为减函数,当x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3－2a , ∵当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0,∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132.(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数,∴a >1, 当x ∈[1,2]时,t (x )的最小值为3－2a ,f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.[C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析:选D 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|,并作出它们的图象,如图所示．因为x 1,x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根,所以两个函数图象交点的横坐标分别为x 1,x 2,不妨设x 2<－1,－1<x 1<0,则10x 1＝－lg(－x 1),10x 2＝lg(－x 2),因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2),因为10x 2－10x 1<0,所以lg(x 1x 2)<0,即0<x 1x 2<1.2．(2019·安丘一中期中)如图所示,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y ＝2x ,y＝x 12,y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________．解析:因为点A 的纵坐标为2,所以令2x ＝2,解得点A 的横坐标为12,故x D ＝12.令x 12＝2,解得x ＝4,故x C＝4.所以y C＝⎝⎛⎭⎫224＝14,故y D＝14,所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1214.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫12143．已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0＜m ＜n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm ＝________.解析:因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x0＜x ＜1log 3xx ≥1所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1, ＋∞)上单调递增,由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n ),可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ＜1n ＞1log 3n ＝－log 3m则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1n ＞1mn ＝1所以0＜m 2＜m＜1,则f (x )在[m 2,1)上单调递减,在(1,n ]上单调递增,所以f (m 2)＞f (m )＝f (n ),则f (x )在[m 2,n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2,解得m ＝13,则n ＝3,所以n m ＝9.答案:9。
2020年高考数学第一轮复习数学2.8 对数与对数函数
2020年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数（一）知识梳理 1．对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3.对数的运算性质log log log a a a MN M N =+； log log log aaa MMN N=- log log n a a M n M=其中a>0,a ≠0,M>0,N>0；log log (0,01,01)log m a m NN N a a m m a=>>≠>≠且且对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、名称 指数函数 对数函数一般形式Y=a x(a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点（０，1） （1，０） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数性０＜a<1,在(-∞,+ ∞)上为减函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数b> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1? y>0? y<0?4．几个注意点1．指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 （二）小题训练1. 1.（北京文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则 解：利用中间值和1来比较:372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，2. （江西文4）若01x y <<<，则A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <解：函数4()log f x x =为增函数, 44log log x y <3.（08安徽理13文13）函数221()x f x --=的定义域为 ．4.（2020年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）5.(2020北京春季高考)函数f(x)=|log 2x|的图象是( )解析:f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 答案:A（三）题型剖析考点一：对数函数性质应用例1：取值 12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2=-++=-++ 3．指对数互化例2．已知x,y,z 为正数，满足z y x 643==① 求证：xz y 1121-= ②比较3x 、4y 、6z 的大小 思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。
高考数学一轮总复习(知识梳理+聚焦考向+能力提升)2.6 对数函数课件 理
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C 聚焦考向透析
考 向 一 对数(duì shù)的运算
例题(lìtí)精编
计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
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C 聚焦考向透析
1 D．[5，1)∪(1，5]
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
当函数 y＝f(x)与 y＝loga|x|有五个交点时， 求 a 的范围．
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C 聚焦考向透析
考 向 二 对数函数图象(tú xiànɡ)及应用
例题(lìtí)精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·江西省七校联考)已知定义 在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝ f(x)，当－1＜x≤1 时，f(x)＝x3，若函 数 g(x)＝f(x)－loga|x|至少有 5 个零
N
n
n m
log a
N
尽量地转化为同底的和、差、积、商的运
算；
(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂
再运算；
(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．
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C 聚焦考向透析
考 向 一 对数(duì shù)的运算
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
3．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过一定点是_(_2_，__2_)__．
高考数学一轮复习课件_2.6对数与对数函数
1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一 个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lg a|＝|lg b|得到ab＝ 1是解题的关键．
2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数 型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时， 常利用数形结合求解．
3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相 应函数图象问题，利用数形结合法求解．
【答案】 (1)A (2)(－∞，－1) (－1，＋∞)
【思路点拨】 (1)利用真数大于0构建不等式，但要注 意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调 性．
1．利用对数函数的性质比较对数值大小： (1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理； (2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图 象或比较其倒数大小来进行． (3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中 间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较． 2．利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三 点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数 的构成．
【提示】 作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点 的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得 到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条 件？
【提示】 若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0， 1)．
若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且 b∈(1，＋∞)．
3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的 和、差、倍之间进行转化．
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12)
D．(20，24)
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(原卷版)
6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．考向四 角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．110933．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．234．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．25 B ．35 C ．15 D ．235．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．866B ．500C ．300D ．1346．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√227．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ）A ．310B ．23C ．35D ．458．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23 D ．．3410．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．1311．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.6412．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）.A．215πB．320πC．2115π-D．3120π-14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A．2π332(π3)--B．32(π3)-C ．32(π3)+D ．2π332(π3)-+15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．2316．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）A ．37B ．217C ．413D ．2131317．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（ ）A ．m nB ．n mn- C ．()4n m n- D ．4mn18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．13C ．14D ．24π-19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3420．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．332π-B ．634π-C ．33πD ．63π21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）A ．11π- B ．1π C ．2π D ．41π-22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：3 2.09460.8269≈）（ ）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.141323．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x y a a +=+-表示双曲线的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．38 D ．5824．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ）A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________.。