高考数学选修部分

高中数学学习材料
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第十五章 选修部分
试题部分
1.【2015高考天津，文6】如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ）
(A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52
2.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.
3.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程
为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．
4.【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．
5【2015高考上海，文5】若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭
⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c
.
6.【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠
(II)若3,2AD DC BC ==，求O 的直径.
7.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与
参数方程
在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32
x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=.
(I)写出C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.
8. 【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x <<
(I)求实数,a b 的值；
(II)求12at bt ++的最大值.
9.【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲
如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC
交O 与点E .
（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O 切线；
（II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.
10.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）求12,C C 的极坐标方程
.
（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
11. 【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> .
（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；
（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
参考答案
1.【答案】A 根据相交弦定理可得 2122,339CM MD AM MB AB AB AB ⨯=⨯=
⨯= 2212,339
CN NE AN NB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 所以 8,3
CM MD CM MD CN NE NE CN ⨯⨯=⨯⇒==所以选A. 2.【答案】2211x y +-=（）将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标
方程为222sn sn ρθρρθ=∴=， ，它的直角坐标方程为222x y y += ，
2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）．
3.【答案】()2,4-曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为
2
8y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．
4【答案】3连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE =A AE
，由切割线定理得：2C E =BE ⋅AE ，所以()412BE BE +=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34
O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．
5【答案】16由题意，⎩⎨⎧==53y x 是方程组⎩⎨⎧==+2132c y c y x 的解，所以⎩⎨⎧==5
2121c c ，所以
1652121=-=-c c .
6【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.
所以CBD DBA ∠=∠
(II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA AD BC CD
==， 又2BC =，从而32AB =， 所以224AC AB BC =-=
所以3AD =，
由切割线定理得2AB AD AE =⋅ 即2
6AB AE AD
==， 故3DE AE AD =-=，
即O 的直径为3.
7.【答案】(I) ()223
3x y +-=； (II) (3,0). 【解析】
试题分析：(I)由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=，从而有2223x y y +=，所以()223
3x y +-= (II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则
2
2213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).
试题解析：(I)由23sin ρθ=， 得223sin ρρθ=， 从而有2223x y y += 所以()2233x y +-=
(II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，又(0,3)C ， 则2
2213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当0t =时，PC 取得最小值，
此时P 点的坐标为(3,0).
8【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4.
【解析】
(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-
则24
b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-= (II)31234t t t t -++=-+2222[(3)1][(4)()t t ≤+-+ 244t t =-+= 当且仅当
413t t -=即1t =时等号成立， 故()min 3124t t -++=
9【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =23，212BE x =-， 由射影定理可得，2AE CE BE =， ∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°. ……10分 10【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）
12 【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，
∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分
（Ⅱ）将=4π
θ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，
因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12
. 11【答案】（Ⅰ）2{|2}3
x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】（Ⅰ）当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，
等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3
x x <<. ……5分 （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
，
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3
a A -，
(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3
a +. 由题设得22(1)3
a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分。