南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及参考答案
2013线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案
南京邮电大学2012/2013学年第一学期《线性代数与解析几何》期末试卷（A ）参考答案院(系) 班级 学号 姓名1. 设n 阶方阵A 满足220A A I --=，则矩阵A 可逆，且1A -=1()2A I - 2. 设(1012)Tα=-，(0102)β=，矩阵A αβ=，则()r A = 1 . 3. 设123,,ααα与123,,βββ都是三维向量空间3R 的一组基，且11232βααα=+-，223βαα=+， 312332βααα=++，则由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是101213112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 设12243311A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且0AB =，则t = -3 .5. 过两个曲面2241x y z ++=和222x y z =+的交线，母线平行于 z 轴的柱面方程是222221(1)016x y x y ----=.二、选择题（每题4分，共20分）1.已知行列式111222333x y z x y z a x y z =，则11122233362233x z y x z y x z y --=- ( C ) （A ）a - （B ）6a - （C ）6a （D ）3a -2. 设A ，B 与C 都是n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( D ) （A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AB AC =，且0A ≠，则B C =（C ）22()()A B A B A B +-=- （D ）若det 0AB =，则d e t 0A =或det 0B =装 订线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊3. 设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则 ( B )（A ）12αα+是0Ax =的解 （B ）112212(1)k k k k αα++=是Ax b =的解 （C ）12αα-是Ax b =的解 （D ）112212(1)k k k k αα++=是0Ax =的解 4. 设3阶矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，对应的特征向量分别为1(1,1,2)T α=-，2(1,0,1)T α=-，3(1,2,4)T α=-，则100A = ( C )（A ）A - （B ）I - （C ）I （D ）100A5.若二次型22212312312(,,)282f x x x x x x ax x =+++是正定的，则a 的取值范围是( A )（A ）44a -<< （B ）4a > （C ）4a <- （D ）8a <三、 ( 8分 ) 设135347122A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX A X =-，求X .解 ()A I X A +=,且1A I +=，所以1()X A I A -=+ ………3分()A I A +=235135357347123122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭011111012021123122----⎛⎫ ⎪→---⎪ ⎪⎝⎭100014010201001110-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭…4分1014()201110X A I A --⎛⎫⎪=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭…………1分四、（10分）设向量组()11210T α=-，()21102Tα=，()3211Ta α=的秩为2， (1)求a 的值；(2)求向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示出来.解1121121121012110130130131010130000000202006006a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换..4 123(,,)2R ααα=，6a ∴=， (2)且12,αα是一个极大线性无关组，3123ααα=-+ (4)五、（12分）当a ，b 是何值时，非齐次线性方程组1231231233210431033(1)90x x x a x x x a x x b x +++-=⎧⎪+---=⎨⎪-+-+=⎩ (1)有唯一解，(2)无解，（3）有无穷多解，并求出其通解。
南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及答案
南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及答案一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1 已知向量,αβ满足||2,||3,==和αβαβ的夹角为3π，则以向量 34,2A B =-=+αβαβ为邻边的平行四边形的面积是2 当13141234020020x ax x x ax x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有非零解，则a = 1/4 .3 若平面经过点(1,2,1)A -和z 轴,则此平面方程为 20x y -=.4 由曲线22140x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩围绕x 轴旋转一周所成曲面的方程是222()14x y z -+=. 5 已知3阶矩阵1231223123,,,3,32,22A B ==----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦αααααααααα 且||16B =，则||A = 4 .6设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A 且1||2A =.则1*123A A -⎛⎫-= ⎪⎝⎭n+127 已知向量β可由向量组()()()1231,2,3,0,2,5,1,0,2ααα=-=-=-线性表示, 则向量组123,,,αααβ的秩为 2 .8 设A 为3阶方阵且行列式|||2||3|0E A E A E A -=-=-=，（其中E 为3阶单位阵）。
则*A =36 .（其中E 为3阶方阵）。
9 已知四阶行列式1171318021435125D -=-. 设ij A 为行列式D 中第i 行第j 元素ij a 的代数余子式，则14243444325A A A A +-+= 010 一个动点与(1,0,0)A 的距离是此动点到平面4x =距离的一半，则此动点的轨迹方程为：22234412x y z ++=.二. (10分)计算n 阶行列式解 （1）如果0x =，任意两列对应成比例，故0n D = ----------2分 (2) 如果0x ≠,构造新的n+1阶矩阵--------2 分显然 n D A =第i 行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得（箭形行列式）-----------3分121121121121n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a a a a a a x a D ----++=+11212112112112110000n n n n n n n n n na a a a x a a a a a x a a a a a a a a a a x a A-----++=+11211000100100001000n n a a a a x xxA---=--0-----------3分三．（12分） 当a 为何值时，线性方程组123123123322ax x x ax ax x x x ax +++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》期末试卷1
4 4 8
→
0 00
1 0 0
−
7 2
0
0
2 00
r(1,2 ,3,4 ) = 2, 1,2 ,3,4 线性相关, 1, 2 是一个极大线性无关组, 且有
3
=
3 2
1
−
7 2
2
, 4
= 1
+
2 2
.
3. 解：r(A) = 3 AX = O 的基础解系只含一个解 = 23 − (1 +2 ) = (5, 4, − 3,6)T , 故该方程组通解为： X = k(5, 4, − 3,6)T + (3, 2, −1, 4)T , k R .
1 0 0 4. 解：二次型的矩阵 A = 0 2 − 2 ，令 E − A = 0 ( −1)( − 4) = 0 .
0 − 2 2
−1 0 0 1 0 0
0
当 = 0 时， E − A = 0 − 2 2 → 0 1 −1 1 = 1 ,
0 2 − 2 0 0 0
1
取Q = 1
2 1 2
0 0
− 1 ，经过正交变换 X = QY,
1 2
2
f = y22 + 4y32 ，方程 y22 + 4y32 = 5 为椭圆柱
面.
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《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷一
5. 解：过 L1 的平面束为 x + y + (x − y + z − 2) = 0 ，利用条件，有 (1+ ) + (1− ) + = 0 = −2 ，故所求平面方程为： x − 3y + 2z − 4 = 0 . 四、证明： A, B 正定, AT = A, BT = B, 从而有 (BAB)T = BT AT BT = BAB, 即 BAB 是
南京邮电大学2013-2014模拟考试题一线性代数与解析几何
南京邮电大学2013-2014模拟考试题一线性代数与解析几何说明:)det(A 指方阵A 的行列式,*A 指方阵A 的伴随矩阵,)(A r 指矩阵A 的秩,TA 指矩阵A 的转置矩阵,I 为单位矩阵. 22R ⨯指实数域R 上的二阶实方阵全体按通常矩阵的运算构成的线性空间.2[]F x 表示次数不大于2的一元多项式全体所构成的线性空间。
一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若矩阵201030503⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)T AA = .(2). 若向量组123111,,111λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为2,则λ= .(3). 设矩阵121201 101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,已知齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个向量，则a = .(4). 设矩阵10301131a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A =为正定矩阵，则a 的取值范围是 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,B A ,满足0B =A ，则必有(A) A 的列向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性无关.(C) B 的列向量组线性相关. (D) B 的列向量组线性无关. 【 】(2). 曲线22220x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】 (3). 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则*A I -必相似于对角矩阵(A)012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (B)125-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (C)512-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (D)125⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 【 】(4).设矩阵111023004A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1*12A -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(A)12A . (B) 14A . (C) 18A . (D) 116A . 【 】三、(12分) 设方阵B 满足22I =+*A B B ,其中111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B .四、(12分) 已知直线11:232x y z L -==--，直线2312:212x y z L -++==-. （1）记i L 的方向向量为(1,2)i a i =，求过1L 且与12a a ⨯平行的平面π的方程. （2）求2L 与π的交点.并写出1L 与2L 的公垂线的方程.五、(12分)a 、b 取何值时,线性方程组1234122011231011114423x x x a x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.六、(12分). 设二次型222123123121223(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-,(1) 写出二次型123(,,)f x x x =T x Ax 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出f 在正交变换Py x =下化成的标准形.七、 (12分) 设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A =的全部特征值之积为24.(1) 求a 的值；(2) 讨论A 能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P 使1P AP D -=为对角阵。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》期末试卷2
−1 −1 0 0 0 0
1
3 −1 −1 1 0 −1
1
当 = 4 时， E − A = −1 1 −1 → 0 1 2 2 = 2 ,
−1 −1 3 0 0 0
1
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《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷二
1 1 1
−1
当 = 0 时， E − A = −A → 0 1 0 3 = 0 ,
《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷二
期末试卷二
一、填空题：
A11 A12 A13 1. A21 A22 A23 = ( A* )T = A* = A 2 = 4 .
A31 A32 A33
2. 消去 z 得投影柱面： x2 + 2y2 = 16, 投影曲线为 x2 + 2y2 = 16 z=0
5. A 与 B 相 似 ， 故 它 们 具 有 相 同 特 征 值 ， 从 而 矩 阵 B−1 − I 的 特 征 值 分 别 为
1
=
1 3
−1,
2
=
1 4
−1,
3
=
1 5
−1,
B−1 − I
=
123
=
−
2 5
.
二、填空题：
1. ( B )
2. ( D )
3. ( A)
4. ( A)
5. ( A)
阵.
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3
1 1 1 A = 4b
七、 解：二次型的矩阵 A = 1 3 1 ，令
a = 1, b = 0 .且矩阵 A 的特征值分别
1 1 a trA = 5 + b
是 1 = 1，2 = 4，3 = 0 .
线性代数期末模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则 111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11 。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的线性关系是 。
南京邮电大学2013-2014第二学期高等数学A下期末自测试题及答案详解
南京邮电大学2013-2014学年第二学期《高等数学》（A 下）自测模拟试题及详细答案1．极限2221lim 1x x yx y x +→∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e ．2．设()2y z x y x ϕ=++，其中ϕ具有连续二阶偏导数，则2z x y∂∂∂=2x ()''21()ln 1y x y x y x ϕ-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4P π处的法线方程为41122111z x y π---==-．4．函数2(,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0）处的方向导数的最大值为5．设2x u v z y u vz ⎧=-++⎨=+⎩确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ∂=∂12z zu -+． 6．幂函数21(1)9nnn x ∞=-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2,10()1,01x x f x x x --<≤⎧=⎨-<≤⎩，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于12． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2()xdydz ydzdx zdxdyx y z ++=++∑⎰⎰4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k u r r r r u r r r r ，则div (A )B ⨯u r u r =3224x y z x z ---．10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-⎰= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 212565xx x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数2()0000000''()()()()()()'()()2!!n nf x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++L L =2()1''(2)(2)(2)(2)'(2)(2)42!!n nf x f x f x n ---+-++++L L ，不易。
线性代数测试题参考答案
3．解因为增广矩阵
所以一般解为 （其中 , 是自由未知量）
4．解因为系数矩阵
A=
所以当= 5时，方程组有非零解.且一般解为
（其中 是自由未知量）
5．解：当 =3时， ，方程组有解.
当 =3时，
一般解为 ，其中 , 为自由未知量.
线性代数测试题参考答.B 3.D 4.A 5.A 6.C
二、填空题
1． 2． 3．0 4． 5． 6．无解7．-1
三、计算题
1．解： =
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南京邮电大学2013-2014
《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及参考答案
一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．
1 已知向量满足的夹角为，则以向量
为邻边的平行四边形的面积是 .
2 当有非零解，则 1/4 .
3 若平面经过点和轴,则此平面方程为 .
4 由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是 .
5 已知3阶矩阵
且，则 4 .
6设阶方阵的伴随矩阵为且.则
7 已知向量可由向量组线性表示, 则向量组的秩为 2 .
8 设为3阶方阵且行列式，（其中为3阶单位阵）。
则 36 .（其中为3阶方阵）。
9 已知四阶行列式. 设为行列式中第行第元素的代数余子式，则 0
10 一个动点与的距离是此动点到平面距离的一半，则此动点的轨迹方程为：.
二. (10分)计算n阶行列式
解（1）如果，任意两列对应成比例，故 ----------2分
(2) 如果,
构造新的n+1阶矩阵
--------2 分
显然
第i行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得
（箭形行列式）-----------3分
-----------3分
三．（12分） 当为何值时，线性方程组
无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。
解：此线性方程组的增广矩阵为
------------4分
所以时，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于3，所以
有惟一解。
---------2分
当时方程组的增广矩阵可化为：
，故方程组有无穷多组解：通解为
------------------4分
当时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，无解。
------------2分
四．（10分）求过点且与直线垂直相交的直线方程。
解先作过点且与直线垂直的平面：
---------2分
直线的参数方程为：
带入上式得.
求出直线与平面的交点. -----------4分
从点到点的向量，
取方向向量，所求直线方程：
------4分五．（12分）设是阶方阵，且
（1）证明 （其中I是阶单位阵）
（2）若,求矩阵
解（1）由得到
故. ------6分
(2) ，
, -------------4分
故
-------------2分
六.（13分） 已知三元二次型
（1） 试写出此二次型的矩阵。
（2） 用正交变换化二次型为标准形，并写出相应正交矩阵和标准型.
解 （1）二次型矩阵为
-----------2分
(2) A的特征多项式
解得特征值为。
对应特征值的特征向量可求解得两个彼此正交的特征向量
（若取的不正交，要正交化） -------6分
对应特征值的特征向量。
-------2分
属于不同特征值的特征向量一定正交。
将它们单位化为
------2分
作矩阵
则是正交矩阵。
经正交变换，可将二次型化为
------1分
七（8分）求下列向量组的一个最大无关组，并把其余向量表示成最大无关组的线性组合。
其中
解
------4分
故极大无关组为。
------4分
八 （5分）设是阶实对称矩阵，证明存在实数, 使得为正定矩阵.（这里为阶单位阵）。
解 设阶实对称矩阵的特征值是
当时 ---------3分
的特征值是均大于0。
因为阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是其特征值大于0，故为正定矩阵.
----------2分。