物理光学作业参考答案3

物理光学作业参考答案[13-1] 波长nm 500=λ的单色光垂直入射到边长3cm 的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直孔平面）附近离孔z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。

解：夫琅和费衍射条件为：π<<+zy x k2)(max2121 即： m nm y x z 900109.0500)1015()1015()(122626max2121=⨯=⨯+⨯=+>>λ[13-3]平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20)sin (sin )]sin (sin sin[⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=i a i a I I θλπθλπ 式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图）。

证明：（1缝上任意点Q 的位矢：单逢上光场的复振幅为：因此，观察面上的夫琅和费衍射场为： （其中： ）)cos ,0,(sin i i k k =)0,,(11y x r = 1sin 1)(~x i ik rk i Ae Ae x E ⋅⋅== )sin (sin )]sin (sin sin[)(~1)(~)2(1122)sin (sin )2(11sin 22sin )2(11221)2(11211211112111121i a i a ae z A dx e e z i A dx e e e z i A dx e x E e z i x E z x z ik a ax i ik z x z ik x ik a a x i ik z x z ik x z x ik a az x z ik --====+---+⋅--⋅+--+⎰⎰⎰θλπθλπλλλλθθθsin 1≈z x所以，观察面上的光强分布为：式中：（2）第一暗点位置：[13-4]在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。

问细丝直径是多少？ 解：根据互补屏衍射原理，不透明细丝的夫琅和费衍射图样与相同宽度单缝的夫琅和费衍射图样除中心点之外是相同的，而衍射图样中暗条纹的间距等于中央亮纹宽度的一半，因此，有：mmmm f x a f af x 013.0102656.1305.1108.63226≈⨯=⨯⨯=∆==⋅∆=∆--λλθ即细丝直径是0.013mm.[13-6]导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。

（注：144.31=Z ）解：半径为a 的圆孔在衍射场P 点产生的振幅为： θθθθka ka J ca ka ka J E E a )(2)(21210==其中c 为比例系数，因为场中心振幅0E 正比于圆孔的面积2a π。

圆孔中的圆屏使P 点的振幅减小：θθkb kb J cbE b )(212=20*})sin (sin )]sin (sin sin[{)(~)(~i a i a I x E x E I --==θλπθλπ210)(a z A I λ=πθλπ=-)sin (sin i aa i λθ=-∴sin sin a i i λθθ=-⋅+2sin 2cos 2 ia i cos λθθ=-=∆∴因此，圆环在P 点产生的振幅为：])()([21212θθθθkb kb J b ka ka J a c E E E b a h -=-= 圆环在P 点产生的强度为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==22111122222142111422)()(2)()(4Z Z J Z Z J ba Z Z Jb Z Z J ac E I h h 式中，θθkb Z ka Z ==21,。

对于衍射场中心，021==Z Z ，相应的强度为：2222224420)(2444)(b a c b a b a c I h -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 当b=a/2时，（1） 42222201692)(a c a a c I h =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以，圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比：()()16916942420==ac ac I I a h（2）圆环衍射强度的第一个零值满足:0)()(1212=-θθθθkb kb J b ka ka J a 即 )21(2)()(111θθθka J a kb bJ ka aJ == 利用贝塞耳函数表解上方程，得到： 144.31==θka Z因此，圆环衍射强度的第一个零点的角半径为：aa λπλθ51.02144.3== [13-7] 不透明屏幕上有一孔径∑，用一个向P 点会聚的球面波照明，P 点位于孔径后面与孔径相距z 的平行平面上，如图所示。

(1)求出孔径平面上入射球面波的傍轴近似，设P 点分别位于Z 轴上和轴外(0，y1)点两种情形。

(2)假设孔径面到观察面之间为菲涅耳衍射区，证明在上述两种情形下，观察到的强度分布是孔径∑的夫琅和费衍射，且分布中心在P 点。

解：（1）孔径∑平面上任意考察点(x0,y0)处光场的复振幅分布为：k 为波数。

对相位因子中的r 取傍轴近似：则复振幅分布： 当P 点位于z 轴上时，01=y ，则有：（2）入射球面波被孔径∑衍射后，在观察面上复振幅分布为：此结果表明，观察面上复振幅分布),(~y x E 就是平行光垂直照射孔径∑的夫琅和费衍射场分布，只不过分布的中心在(0,y1)点处，即P 点处。

当P 点位于z 轴上时，01=y ，此时只是上述情况的特例：[13-12] 一台显微镜的数值孔径为0.85，问(1)它用于波长为400nm 时的最小分辨距离是多少?(2)若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍?(3)显微镜的放大率应设计成多大?(设人眼的最小分辨角为1')。

ikr ikr e zA e r A y x E --≈=),(~0]2)(1[)(220120220120zy y x z z y y x r -++≈+-+=]})([2exp{),(~2012000y y x z k i e z A y x E ikz -+-⋅=-)}(2exp{),(~202000y x z k i e z A y x E ikz +-⋅=-00])([)(2200])()[(2])([20020200001021222020201201]})()[(2exp{),(~1),(~dy dx ee z i A dy dx e e e z A e zi dy dx y y x x z ik y x E e z i y x E y y y xx zki y y xz k i y y x x z k i y y x z k i ikz ikz ikz ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-+--+-+--+--∑∑=⋅⋅=-+-⋅=λλλ00)()(2200])()[(2)(2002020000022202020201]})()[(2exp{),(~1),(~dy dx e e zi A dy dx e e e z A e z i dy dx y y x x zik y x E e z i y x E yy xx z ki y x z k i y y x x z ki y x z k i ikz ikz ikz ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+-+-+-+--∑∑=⋅⋅=-+-⋅=λλλ解：（1） 显微镜的分辨率为：nm NA 28785.040061.061.0=⨯==λε （2） 数值孔径增大后显微镜的分辨率为：nm NA 16845.140061.061.0'=⨯==λε所以，分辨率提高了：7.1168287'==εε倍（3） 人眼的明视距离为250mm ，所以人眼的最小分辨距离为：nm 727001806011025060=⨯⨯⨯=πε 所以显微镜的放大率应设计成：43016872700'0≈=εε倍 [13-15] 光栅的宽度为l0cm ，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm 。

问(1)它产生的波长632.8nm 的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少?(2)若入射光是波长为632.8nm 和波长之相差0.5nm 的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少? 解：（1） 光栅常数 mm d 2102.05001-⨯==光栅总缝数 42105102.0100⨯=⨯==-d w N 光栅的角半宽度：mmw Nd θλθλθcos cos ==∆光栅产生的m 级谱线的峰值强度位置由光栅方程确定： λθm d m =sin所以，波长632.8nm 的单色光的1级和2级谱线的方向：433.18102.0108.632sin sin 26111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----d λθ 2.39102.0108.6322sin 2sin 26112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----d λθ 因此，波长632.8nm 的单色光的1级和2级谱线的半宽度是 ：mm f x 361611034.35001067.6500cos 100108.632---⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅∆=∆θθmm f x 362621009.45001017.8500cos 100108.632---⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅∆=∆θθ（2） 光栅的线色散为：f d m d dl mθλcos =波长632.8nm 的单色光的1级和2级谱线相应的线色散为：nm mm nm mm d mf d dl nm mm nm mm d mf d dl /64.02.39cos 10102.05002cos /26.0433.18cos 10102.05001cos 62226211=⨯⨯⨯⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛--θλθλ而波长差nm 5.0=∆λ的两种单色光的1级和2级谱线之间的距离为：mmd dl l mmd dl l 32.05.064.013.05.026.02211=⨯=∆⋅⎪⎭⎫⎝⎛=∆=⨯=∆⋅⎪⎭⎫⎝⎛=∆λλλλ[13-16]设计一块光栅，要求(1)使波长λ=600nm 的第2级谱线的衍射角30≤θ，(2)色散尽可能大，(3)第3级谱线缺级，(4)在波长λ=600nm 的2级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。

在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm 的几条谱线? 解：为达到条件（1），光栅必须满足：mm mm m d 36104.230sin 106002sin --⨯=⨯⨯≥=θλ 根据条件（2），应选择d 尽可能小，故 mm d 3104.2-⨯= 根据条件（3），光栅缝宽a 应为： mm da 3108.03-⨯==再根据条件（4），光栅的缝数N 至少应有： 1500002.02600=⨯=∆⋅=λλm N所以，光栅的总宽度W 至少为：mm mm Nd W 36104.2150003=⨯⨯==-光栅产生的谱线应在90<θ的范围内，当90±=θ时：410600104.2sin 63±=⨯⨯±==--mmmm d m λθ第4级谱线对应于90±=θ方向，实际上不可能看到，此外第3级缺级，所以，只能看见2,1,0±±共5条谱线。