[理学]竖直面的圆周运动临界问题和连接体问题
竖直、水平面内圆周运动中的临界问题和周期性问题(有解答)
例9：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。
A、最高点水不留出的最小速度？
B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？
答案：（1） （2）2.5N
变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？
2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：
汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．
例2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，
如图所示。今给小物体一个水平初速度 ，则小物体将（）
例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。
变式9-1：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
圆周运动中的临界问题和周期性问题高中物理
圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律r Tm r m r v m ma F n n 222)2(πω====……列方程求解 二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2）A 、最高点水不留出的最小速度？B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。
(完整版)圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。
（2/10s m g =）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
竖直平面内的圆周运动与临界问题
v2 m L
V
Lg
实例一：水流星 例2．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周 运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 60cm，求： （１）为使桶在最高点时水不流 出，桶的最小速率？ FN （２）桶在最高点速率v = 3m/s G 时，水对桶底的压力？
☆考点精炼
练习1．如图所示，长为L的细线，一端固 定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬 点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向 下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做 圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆 周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度 V 应为( )
B
o
L
A
试分析： （1）当小球在最低点A 的速 度为v1时，绳的拉力与速度的 关系如何？
v1
T1
mg
v 最低点： T m g m 1 R
2 1
（2）当小球在最高点B 的速 度为v2 时，绳的拉力与速度的 mg T2 关系又如何？ 2 v2 最高点：T2 m g m R 思考：小球过最高点的最小速 度是多少? 2 v2 T2 0 mg m v0 gR (临界状态） R 当v=v0，小球刚好能够通过最高点；绳拉力为0 当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。绳为拉力
FN mg O 绳
FN mg O 轨道
1、物体在最高点的最小速度取决于该点所受的最小 2 v2 合外力。 F 0
N
mg m v0 gR (临界状态） R 2、当v=v0，小球刚好能够通过最高点；绳或轨道无力
3、当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点；
4、当v>v0，小球能够通过最高点，向下有力
竖直面内圆周运动的临界问题分析
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
[理学]竖直面的圆周运动临界问题和连接体问题
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B
2、竖直面的杆物结构
用长为L的细杆一端固定着一个质量为m的小球， 使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示。
试分析： （1）当小球在最低点A的速度为 V1 时，其杆所受力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度 为V2时，其杆的受力与速度的关 系怎样？
杆物结构：
F3
mg
F1
o
F2
v2
mg
v1
最高点：mg
m v22 L
mg
思考：过最高点的最小速度是多大?
(1)当F=0时，速度V为最小值 v gL
(2)当v
v0时，F1
m
v2 L
mg
(3)当v v0时，物体离开圆面做曲线运动
总结：
明确：向心力和向心加速度公式同样适合于变速圆周运动, 但求质点在圆周上某点的向心力和向心加速度的大小,必 须用该点的瞬时速度值
图 16－5
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作 用力的大小；
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距 L 应是 多少？
(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三 个圆形轨道的设计中，半径 R3 应满足的条件；小球最终停留点 与起点 A 的距离．
例 3 (1)10.0 N (2)12.5 m (3)0<R3≤0.4 m 或 1.0 m≤R3≤27.9 m 36.0 m 或 26.0 m
A.球 B 在最高点时速度为零 B.球 B 在最高点时，球 A 的速度也为零 C.球 B 在最高点时，杆对水平轴的作用力 为 1.5mg D.球 B 转到最低点时，其速度为 vB＝
16 5 gL
答例案4 C [解析] 球 B 在最高点时速度为 v0，有 mg＝m2vL20 ，
竖直平面内的圆周运动临界问题(超级经典全面)
例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道 的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离 轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经 过最高点时，对轨道的压力值是（ ）
A.0
B.mg
C.3mg
D.5mg
例：一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面 内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l ＝60 cm，g取10 m/s2
A .O
C B
2、轻杆和圆管模型 ：
N
能过最高点的临界条件：
mg
v临界＝0
O
杆（管的下壁）对球的支持力FN=mg
N
mg O
小结二:有支撑的物体
小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动
1、临界条件：
由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V临界=0，此时弹力 等于重力
FN ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱg
2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
有 mg m v2 所以： R
V临界 Rg
2、能通过最高点的条件：
v Rg
mg O 绳
v大于 Rg时，绳(轨道）对球产生拉力（压力）。
3、不能通过最高点的条件：
v小于 Rg
实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。
mg
O 轨道
例：如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳 系住，使其在竖直面内作圆周运动。若过小球恰 好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？ 小球的受力情况如何？
7 如下图,质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小 杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为lm，小杯通过 最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2,求：
（1）在最高点时，绳的拉力？
（2）在最高点时水对小杯底的压力？
竖直面内圆周运动的临界问题分析(讲解+练习)
竖直面内圆周运动的临界问题分析竖直面内圆周运动特点：1、运动特点：速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
---变速率圆周运动2、受力特点： 实质：沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，即牛顿第二定律在曲线运动中的运用。
F n 合＝ma n = mv 2/r=mr 2ω1）过最低点：所需的向心力是向上，而重力向下，据：F -mg = mv 2/r 得：F >mg 所以弹力（拉力、支持力）必然向上且大于重力。
2）过最高点：所需的向心力是向下，而重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论临界问题。
讨论： 的意义：例题1：（07理科综合）如图所示，质量为m 的小物块位于半径为R 的半球物体顶端，若给小物体水平速度 ，则物块（ ）A 、立即做平抛运动， BC 、落地速度大小为 ；D 、落地速度方向与地成450。
若给小物体水平速度 ；则小物块对半球物体顶端的压力 。
例题2：杂技演员表演的“水流星”，是一根细长绳的一端系着一个盛了水的容器，以绳的另一端不圆心，使容器在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，N 为圆周最低点，M 为圆周最低点，若“水流星”通过最低点的速度为 ，则下列说法正确的是（ ） 。
gR v =gR v 2=gR v 2=gR v 5=2gR v =A、“水流星”过最高点速度为0；B 、“水流星”过最高点时，有水从容器中流出；C、“水流星”过最高点时，水对容器底没有压力；D、“水流星”过最高点时，绳对容器有向下的拉力。
速度大小v可以取任意值。
但可以进一步讨论：①当v=时，②当时，③当v= 时，④当时，例题3：（04年理综）轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则（）。
A、一定是拉力；B、一定是推力；C、一定等于0；D、可能是拉力可能是推力等于0总结：竖直平面内圆周运动的临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同.例题4：在空间中存在竖直向上的电场，小球带正电，讨论；（1）当E q<mg时：小球过最高点的临界速度？（2）当E q=mg时：小球过最高点的临界速度？课后练习：1、质量是1×103kg的汽车驶过一座拱桥，已知桥顶点桥面的圆弧半径是90m，g=10m/s2。
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(拉力)
mv1Biblioteka Lmg-F3(支持力)
m
v12 L
最低点：F2
mg
m
v22 L
思考:过最高点的最小速度是多大?何时杆子
v2
表现为拉力,何时表现为支持力?
mg
(1)最小速度v0 =0
(2)当v0 gL时，F 0
(3)当v1 v0时, 杆对物有向上的支持力, F3 mg
(4)当v1
A
V1 关系怎样？
v2
mg
F2
最低点：
F1
mg
m
v12 L
o F1 v1
最高点：
F2 mg
m v22 L
mg 思考：过最高点的最小速度是多大?
(1)当F=0时，速度V为最小值 v gL
(2)当v
v0时，F1
m
v2 L
mg
(3)当v v0时，物体离开圆面做曲线运动
总结：
Rg
, FN
m v2 R
mg
mg
mg (3)当v gR时,物体离开圆轨道做曲线运动
B
mg
绳子和內轨均是没有支撑的小球能过最高点的最小速度
v Rg (临界速度)
拓展:竖直平面内的圆周运动与机械能守恒 定律相结合的问题
巩固练习
绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动， 水的质量m=0.5kg，绳长=40cm.求
①当小球通过最高点的速度 v＝v0 时，小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力；
②当小球通过最高点的速度 v＜v
时，小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力；
②当小球通过最高点的速度 v＜v0 时，小球不能在竖直面内做完整的圆周 运动；
③当小球通过最高点的速度 v＞v0
时，小球能在竖直面内做完整的圆周运
解析：
首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。 A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为 零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：
同理m2在最高点有： m2球由最高点到最低点机械能守恒
由上述方程可得：
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端 插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内 绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速 度分别为3m/s, 6m/s,2m/s时,求杆对球 的作用力各为多少?
动，且绳子有拉力.
拓展：物体沿竖直内轨的圆周运动
有一个竖直放置的内壁光滑圆环，其半 径为R，质量为m的小球沿它的内表面做圆周 运动，分析小球在最高点的速度应满足什么 条件？
V
A
分析A点: mg
FN
m vA2 R
mg
(1)当FN 0, v Rg (临界速度)
D
FN FN
FN
FN
C (2)当FN 0, v
A
B
2、竖直面的杆物结构
用长为L的细杆一端固定着一个质量为m的小球， 使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示。
试分析： （1）当小球在最低点A的速度为 V1 时，其杆所受力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度 为V2时，其杆的受力与速度的关 系怎样？
杆物结构：
F3
mg
F1
o
F2
v1
最高点：mg
+F1
图 16－5
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作 用力的大小；
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距 L 应是 多少？
(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三 个圆形轨道的设计中，半径 R3 应满足的条件；小球最终停留点 与起点 A 的距离．
v0时,杆对物有向下的拉力, F1
m
v12 L
mg
m
v12 L
拓展：物体沿竖直外轨运动 物体沿竖直细管的运动
v
均是有支撑的小球 能过最高点的最小速度v=0
物体沿竖直细管的运动
一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半 径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与 细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1， B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最 低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好 运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零， 那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是什么？
明确：向心力和向心加速度公式同样适合于变速圆周运动, 但求质点在圆周上某点的向心力和向心加速度的大小,必 须用该点的瞬时速度值
在小球通过最高点时存在临界状 态：小球到达最高点时绳子的拉力(或轨 道的弹力)刚好等于零，小球的重力刚好 提供做圆周运动的向心力，即 mg＝mvr20. 式中的 v0 是小球通过最高点的最小速 度，通常叫临界速度，v0＝ rg.相关讨论 如下：
A
O
巩固练习
如图所示，质量为m的小球，用长为L的细 绳，悬于光滑斜面上的0点，小球在这个倾 角为θ的光滑斜面上做圆周运动，若小球在 最高点和最低点的速率分别是vl和v2，则绳 在这两个位置时的张力大小分别是多大?
[2009·安徽卷] 过山车是游乐场中常见的设施．图 16－5 是一 种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆 形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间距相等，半径 R1＝2.0 m、R2＝1.4 m．一个质量 为 m＝1.0 kg 的小球(视为质点)，从轨道的左侧 A 点以 v0＝12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1＝6.0 m．小球与 水平轨道间的动摩擦因数 μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水 平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取 g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
专题： 竖直面的圆周运动 临界问题和连接体问题
► 竖直面的圆周运动临界问题问题分析
1、竖直面的绳物结构
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平 面内作圆周运动，如图所示。
V2 B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
o
为V1时，其绳的张力为多大？
（2）当小球在最高点B的速度
L
为V2时，其绳的张力与速度的
（1）桶在最高点水不流出的最小速率？
（2）水在最高点速率v=3m/s时水对桶底的压力？ (g取10m/s2)
质量为1kg的小球沿半径为20cm的圆环在竖直平面内 做圆周运动，如图所示，求 （1）小球在圆环的最高点A不掉下来的最小速度是多少？ 此时小球的向心加速度是多少？ （2）若小球仍用以上的速度经过圆环的最高点A，当它 运动到圆环的最低点B时，对圆环的压力是多少？此时小 球的向心加速度是多少？