复变函数应用题
复变函数经典例题
第一章例题例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成].；平面上的何种曲线?(1)以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；(2)倾角二的直线；(3)双曲线''■='。
解设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7= y + jv = Λ(cos<p +JSin φ)，则R = r2jφ = 2θ因此(1)在口平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。
2π φ ~—(2)在口平面上对应的图形为：射线J 。
2 2 2 2 2(3)因，故;"r ?'',在F平面上对应的图形为：直线金松“。
例1.2设」「在点[连续，且在点的某以邻域内恒不为0.证因在点勺连续，则能〉0,站〉0,只要k-2ol<^,就有∣⅛)√(¾)∣<≡∖X nE . --------- > 0特别，取- ，则由上面的不等式得∣∕(z)∣>l∕(z o)∣-^ = M>0因此，f②在匚邻域内就恒不为0。
例1.3设/⑵ 4C ri)(3≠o)试证一在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。
第二章例题例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。
但Δ/ _ z+∆z -z _ ∆z∆z ∆z ∆z零时，其极限为一1。
故匚处处不可微。
证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。
故但/(⅛) - /(0) _ λj⅛j∆z ⅛ + i∆y从而（沿正实轴。
一 H ）当I: 「时，极限不存在。
因二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于例2.2在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。
M (ΔJ 7O)-⅛(O,O) = 0 = v∕0,0)(O f O) =Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay在二■ I时无极限，这是因让亠一丄 7'沿射线八—7：' J随二；■.2例2.3讨论/⑵=IZ I的解析性解因•,故UJ = 2扎- 2y f V r=VJ =O要使C-K条件成立，必有2x = 0,2I y = 0,故只在一I可微，从而，处处不解析。
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
《复变函数》试题及参考答案
《复变函数》在线作业参考资料一、单选题1、设则（C ）ABCD2、当iiz −+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A i B i − C 1 D 1−3、若，则双边幂级数的收敛域为(A)A B C D4、复数)2(tan πθπθ<<−=i z 的三角表示式是（D ）A )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++−iD )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++−i5、设为复数，则方程的解是（B ）A B C D6、若z 为非零复数，则22z z −与z z 2的关系是（C ）A z z z z 222≥−B z z z z 222=−C z z z z 222≤−D 不能比较大小 7、下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）A BC D8、设y x ,为实数，yi x z yi x z +−=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 9、关于圆周的对称点是(C)ABCD10、一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31−，则原向量对应的复数是（A ）A 2B i 31+C i −3D i +311、积分( B)A0 B C10 D12、使得22z z =成立的复数z 是（D ）A 不存在的B 唯一的C 纯虚数D 实数13、设复数满足那么（A ）A B C D14、在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析15、方程232=−+i z 所代表的曲线是（C ）A 中心为i 32−，半径为2的圆周B 中心为i 32+−，半径为２的圆周C 中心为i 32+−，半径为2的圆周D 中心为i 32−，半径为２的圆周16、函数在点处是(B)A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导17、00)Im()Im(lim0z z z z x x −−→（D ）A 等于iB 等于i −C 等于0D 不存在18、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ）A ),(y x u 在),(00y x 处连续B ),(y x v 在),(00y x 处连续C ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续D ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续19、设为解析函数的级零点，那么(A)ABCD20、设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+−=的最小值为（A ）A 3−B 2−C 1−D 1 21、积分(C)A0 B C D22、设为函数的级极点，那么(C)A5 B4 C3D223、设为负向，正向，则(B)AB0 CD24、幂级数在内的和函数为(A)A B C D25、设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么(C)A1 B2 C3 D426、设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于.如果在上的值为2，那么对内任一点(C)A等于0 B等于1 C等于2 D不能确定27、设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径(C)A B1 C D28、设是复数，则(C)A在复平面上处处解析 B的模为C一般是多值函数 D的辐角为的辐角的倍29、满足不等式的所有点构成的集合是（D）A有界区域 B无界区域 C有界闭区域D无界闭区域30、下列级数中，绝对收敛的级数为(D)A B C D31、设，则( A)A2 B C D32.、设为正向圆周，则(C)A B C0 D33、是函数的(D)A可去奇点B一级极点C一级零点 D本性奇点34、分式线性变换将区域:映射为(D)A BC D35、下列命题中，正确的是(C) A 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若在区域内解析，则为内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数36、函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的(B) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件也非必要条件 37、下列命题中，正确的是(D) A 设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导C 若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 38、下列函数中，为解析函数的是(C)A xyi y x 222−−B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +−+−D 33iy x + 39、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f −++−+=在复平面内处处解析，那么实常数=a (C)A 0B 1C 2D 2−40、如果)(z f ′在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(−=f ，那么在1<z 内≡)(z f (C)A 0B 1C 1−D 任意常数41、设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是(C)A 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数B 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数C 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 D 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 42、设22)(iy x z f +=，则=+′)1(i f (A) A 2 B i 2 C i +1 D i 22+43、ii 的主值为(D)A 0B 1C 2πe D 2π−e43、ze 在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析 44、设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是(C) A )(z f 在复平面上处处解析 B )(z f 以π2为周期 C 2)(iziz e e z f −−= D )(z f 是无界的45、设α为任意实数，则α1(D)A 无定义B 等于1C 是复数，其实部等于1D 是复数，其模等于1 46、下列数中，为实数的是(B)A 3)1(i − B i cos C i ln D i e23π−47、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+∫cdz iy x )(2(D)A i 6561−B i 6561+−C i 6561−−D i 6561+ 48、设c 为不经过点1与1−的正向简单闭曲线，则dz z z zc∫+−2)1)(1(为(D)A 2iπ B 2i π− C 0 D(A)(B)(C)都有可能二、判断题1、如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（错）2、若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析(错）3、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（对）4、有界整函数必在整个复平面为常数（对）5、若在区域内解析，则||也在内解析（错）6、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛（对）7、是一个有界函数（错）8、若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann 条件（对）9、有界整函数必为常数（对）10、若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）（对）11、如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（错）12、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点（对）13、若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则（对）14、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点（对）15、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（对）16、（错）17、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数(错）18、若函数是区域内的单叶函数，则（对）19、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续（对） 20、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（对）21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续（对）22、若，则为的n 阶零点（错）23、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（对）24、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析(错） 25、若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线（错）26、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f (错）27、若函数是非常的整函数，则必是有界函数（错）28、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数（对）29、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数（对）30、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析(错）31、设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有（对）32、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f （对）33、与在复平面内有界（错）34、若0z是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f （对）35、若是的一级极点，则（对）36、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件（对） 37、当复数时，其模为零，辐角也为零（错）38、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析(错）39、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（对）40、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界(错）41、若收敛，则与都收敛（对）42、设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有（对）43、一定不存在（对）44、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （对） 45、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（对）46、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（对） 47、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析.（错） 48、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数.（对）49、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（对） 50、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（对）51、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D ′≠∀∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（错）52、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（对）。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数练习题
复变函数练习题一、填空题1. 复变函数的定义域是__________，值域是__________。
2. 若复数z = a + bi（a, b为实数），则z的共轭复数是__________。
3. 设f(z) = z^2 + 3z + 2，则f(1+i) =__________。
4. 复数z = 1 + i的模为__________，辐角为__________。
5. 若f(z) = e^z，则f'(z) =__________。
二、选择题1. 下列哪个函数是整函数？（）A. f(z) = z^2B. f(z) = 1/zC. f(z) = |z|D. f(z) = sin(z)2. 复变函数f(z) = z^3 3z在z = 0处的泰勒展开式为（）A. f(z) = z^3 3z + 3z^2 zB. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^4C. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^3D. f(z) = z^3 3z + 3z^23. 下列哪个复数是解析函数的孤立奇点？（）A. z = 0B. z = ∞C. z = 1+iD. z = 1i4. 复变函数f(z) = e^z在z = 0处的洛伦兹级数为（）A. f(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + …B. f(z) = 1 + z + z^2/2 + z^3/3 + …C. f(z) = 1 z + z^2/2! z^3/3! + …D. f(z) = 1 z + z^2/2 z^3/3 + …5. 复变函数f(z) = sin(z)在z = π处的留数为（）A. 1B. 1C. 0D. 无法确定三、计算题1. 设f(z) = (z^2 + 1)/(z i)，求f(z)的洛伦兹级数展开。
2. 求解积分∮(1/(z^2 + 4))dz，其中积分路径为以原点为中心，半径为2的圆。
3. 设f(z) = e^zsin(z)，求f(z)在z = 0处的泰勒展开式。
复变函数经典习题及答案
于是 z 2i 9i
3
cos
π 2
2kπ
π i sin 2
2kπ
,
2
2
k 0,1
故z132来自223
2
2
i
,
z2
3 2
2 2 3 2 i. 2
3
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) Im (z) 0;
解 Im (z) 0是实数轴,不是区域.
使C1和C2也在C内,且C1与C2互不相交,互不包含,
据复合闭路定理有
y
ez
C z(1 z)3 dz
C1
ez z(1
z)3dz
ez C2 z(1 z)3 dz
C1
C
•
O 1x C2
30
而积分
C1
ez z(1
z)3dz即为2)的结果2i,
而积分
C2
ez z(1
z)3dz
即为3)的结果
x
y
x
y
由于 f (z) 解析，所以 u v , u v x y y x
即 2bxy 2cxy b c,
3ay2 bx2 3x2 cy2 3a c,b 3 故 a 1, b 3, c 3.
11
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
1( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
6
复变函数的积分例题及解析
复变函数的积分例题及解析复变函数的积分是数学中一个基础重要的部分。
它可以用来求解各种极限问题，如微积分中的各种重要问题。
本文将以复变函数的积分为主题，通过几个例题来说明复变函数的积分的解法。
首先说明的是复变函数的定义：它是对实数的函数，它的值是复数。
这意味着它可以把实数的函数映射到复数的函数，而积分就是求复变函数的定积分。
现在我们来看几个复变函数的积分例题：例题1：求下列复变函数的定积分：f(x)=2+2i解：根据定积分的定义，我们需要求出f（x）在一定区间内的积分，即∫ a b [2 + 2i]dx = 2 (b-a) + 2i (b-a)因此，给定复变函数f(x)=2+2i，其定积分为2(b-a)+2i(b-a)。
例题2：求下列复变函数的定积分：f(x)=3-3i解：根据定积分的定义，我们需要求出f（x）在一定区间内的积分，即∫ a b [3 - 3i]dx = 3 (b-a) - 3i (b-a)因此，给定复变函数f(x)=3-3i，其定积分为3(b-a)-3i(b-a)。
例题3：求下列复变函数的定积分：f(x)=4+4i解：根据定积分的定义，我们需要求出f（x）在一定区间内的积分，即∫ a b [4 + 4i]dx = 4 (b-a) + 4i (b-a)因此，给定复变函数f(x)=4+4i，其定积分为4(b-a)+4i(b-a)。
以上例题的解析说明了复变函数的积分方法，基本原理就是：给定复变函数f(x)，在一定的区间内求出f(x)的定积分，并将它转换成实和虚的形式。
此外，复变函数的积分应用于许多领域，比如求解任意一般变量的定积分、求解不可积函数的定积分、求解零点函数的定积分等。
例如，有一个复变函数f(x)=x^2+2ix，它的定积分可以写成：∫ a b [x^2 + 2i]dx = 1/3 (b^3-a^3) + 2i(b-a)这个例子说明了复变函数的定积分可以用来求解各种变量的定积分问题。
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2
ωt
电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量 变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来 衡量并称为无功功率，用QL表示
Q L UI I 2 X L
单位是乏
17
var
例：3.3.1
解：（1） X C
1 1 318 6 C 314 10 10
260o A I jX I j 318 260o 636 30o U c
QC UI 636 2 1272var
（2）频率提高一倍，XC降低一倍，在电流大小保持不变的 情况下，电压的有效值降低一倍；
I L
16
iL
uL
_
L
I L
感抗的倒数称为感纳，用BL表示
U L
U L
_
jL
相量模型
电感的功率
设：i 2 I sin t
u 2U sin(t 90o ) 2U cost
u O P.u.i p i
p u i 2UI sin t cost
于是表示正弦电压
u U m sin(t ) 的相量为
U (cos j sin ) U e j U U m m m m
或
j U U (cos j sin ) Ue U
：电压的振幅值相量 U m
：电压的有效值相量 U
例：曲柄滑块机构
已知：曲柄长l1、1，等角速度ω1。
求：连杆的2、ω2、2；
滑块的xc、vc、ac
y
2
B
1
A
1 1
2
3
xC
C s
x 。
Hale Waihona Puke 二、曲柄滑块机构1. 位置分析
封闭矢量方程式：
y
B 1
1 1
2
2
xC
3
C s
l1 l2 xc l1e l2 e
15 120V U C
uC 15 2 sin1000t 120 V
24
例 3.6.1
方法二
电源等效变换
L
• 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF， i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。
100V , I 230 A, U 1 2
③同直流电阻电路的分析方法
步骤: ①作相量形式的等效电路 ③ ②列方程并求解 I i(t ) I
i
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U u(t ) U u ④必要时作相量图
例 3.6.1
100V , I 230 A, U 1 2
X L L 10 5 10
u R R iR RI 2 sin t U 2 sin t
UR R IR
时域模型
uR, iR 均为正弦量，即有 U0o i I I0o U RI uR U R R R R R
R
IR
+ U R 相量模型
相量图：
U R
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电阻元件的功率
(c)
两边乘e－i2，展开后取实部，得：
2 l112 cos(1 2 ) l22 ac cos 2
2 l112 cos(1 2 ) l22 ac cos 2
二、曲柄滑块机构
2 i2 l112ei1 l2 2iei2 l22 e ac
一、用复数矢量法进行机构的运动分析
解析法 一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方 程对时间求导得速度方程和加速度方程。 由于所用的数学工具不同，解析的方法也不同， 下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。 复数矢量法 复数矢量法是将机构看成一封闭的矢量多边
形，并用复数形式表示该机构的封闭矢量方程式， 再将矢量方程分别对所建的直角坐标取投影。
• 注意：
（1）只有同频率正弦量所对应的相量才能相互 运算。 （2）今后在不加特殊说明时，相量是指有效值 相量。 （3）两个同频率正弦量的瞬时值可以进行加减 运算，其对应的相量也可以进行加减运算，而 振幅值和有效值不能直接加减运算。
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例: 已知瞬时值，求相量。
已知:
i 141 .4 sin 314 t A 6 u 311 .1sin 314 t V 3
I C
I C
1 jC
U C
_
相量图：
U C
19
相量模型
电容的功率
u 2U sin t
i 2 I sin(t 90o ) 2 I cost
i O P.u.i p u
p u i UI sin 2t
1 P T
T
0
1 pdt UI sin 2tdt 0 T 0
式（b)展开后取虚部：
l11 cos 1 l22 cos 2 0
l11 cos 1 2 l2 cos 2
二、曲柄滑块机构
3. 加速度分析
l11iei1 l22iei2 vc
式（b)对时间求导得：
(b)
2 i2 l112ei1 l2 2iei2 l22 e ac
A
i1 、 i2
2 f 2 1000 6280rad
i1 100 2 sin(6280 t 60 ) A
o
s
i2 10 2 sin(6280 t 30 ) A
o
正弦电路中的电阻、电感、电容元件
电阻元件： iR + uR R I R
uR R iR
设：iR I 2 sin t
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基尔霍夫定律的相量形式 KVL、KCL的相量形式：
KVL
u
k 1
n
k
0
e j t ] 设： uk Im[U k
上式变为
e Im[U
k 1 k n j t
]0
n
e Im [U k
k 1
n
j t
]0
U
k 1
n
k
0
同理： KCL
I
k 1
22060o U
QL IU 3.5 220 770var
U 22060o 2 o I 3 . 5 10 30 A 3 jX L j 6.28 10
（2）f=5000Hz时
X L L 2 5000 0.2 6.28 10
8
Um
t
矢量长度 =
Um
正弦量的相量表示法：
旋转矢量可以用复数表示，所以用旋转矢量表示的 正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚 轴构成的平面称为复平面。 +j
b
A
o a +1
图3- 4中实数 A=a+jb，a 为 实部，b 为虚部。
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为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复 数称为相量，并在大写字母上打“●”表示。
确定正弦量在任意时刻地数值，可以完整的表示一 个正弦量。
2.正弦量波形图
Im
i
O T 2
t
7
• 3.相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。 u U m sin t
ω
矢量与横轴夹角 = 初相位 在t 0时刻，矢量以角速度按逆时针方向旋转
i1 i2
A
x 。
xc
（a）
l1 cos 1 l2 cos 2 xc l1 sin 1 l2 sin 2 0
滑块的位置：
xc l1 cos 1 l2 cos 2 l1 sin 1 2 arcsin( ) l2
二、曲柄滑块机构
2. 速度分析
• 瞬时功率
p u i 2UI sin t sin t UI [1 cos 2t ]
平均功率（有功功率 ）
1 P T
1 T pdt UI[1 cos2(t i )]dt UI 0 T 0
T
U2 P UI I R R
2
Um
Im
Im
3
i 3.5 102 2 sin(3.14 104 t 30o ) A
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QL IU 3.5 102 220 7.7 var
电容元件
iC C d uC CU 2 cost CU 2 sin(t 90) dt I 2 sin(t 90)
k
0
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相量分析法
• 条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 方法: ①电路中所有正弦量用其对应的相量表示
u S (t ) U S u( t ) U iS (t ) I S i( t ) I
②电路元件用相量模型表示
R R(G ) 1 L jL - j L C -j 1 (jC) C
一个0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在交流电源电压的 上。u 220 2 sin(314t 60o ) （1）求线圈中的电流相量和无功功率QL （2）若 将电源的频率改变为5000Hz，其它不变，求i和Q。
解：(1) X L L 314 0.2 62.8
o U 220 60 I 3.5 30o A jX L j 62.8
(c)
式(c)展开后取虚部：
2 l112 sin 1 l2 2 cos 2 l22 sin 2 0