复变函数第四章习题课
复变函数第4章测验题参考解答
防
3.若幂级数
科
【解析】由于 lim n
n →
(−1)n 2 n z 和函数在圆盘 z a 内解析，则 a 的最大值为 n n =1 n 4
大
【答案】 3
n 1 = , 所以该幂级数的收敛半径为 3. 3n 3
n
的收敛半径为 1, 即收敛圆盘为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz + 1 1 , 因此幂级数在 z = −
i i n 处发散, 从而函数 f ( z ) = (n + 1)( z + 1) 在 z = − 处 2 2 n =0
O
min{
【解析】 由阿贝尔第一定理可知
c ( z − 1)
n
在 z = i 处收敛, 则该幂级数在 z − 1 i − 1 内
科
n b n 1 a 1 + i n +1 n +1 a = 1 , 所以幂级数的收 a + ib 【解析】若 a b , 则 l = lim = lim n + 1 n → n → 1 b a n +1 n n a 1 + i a + ib a
5．设 a , b 为正实数，则幂级数 (A) max{ a , b } 【答案】 A
zn 的收敛半径是( n n n = 0 a + ib
函
i 处( 2
n =0
数 M
).
(B) min{ a , b }
(C) max{
敛半径 R =
敛半径为 max{ a , b } , 故选 A.
复变函数与积分变换第四章习题解答
= tat.�!:'(z-2)" -t (;,,2 (z -2)'
Zo
。 =2
I 一= Z z 2 3 及一 I- + -z +···,I Z I<) 。故 I+z
1 z-1 = 一 = z -1 I (z 1) 言 (z-1 +2) 了 l + 已 2
(6) arctan z, z =0
= 1+1 .
。
吕＝旱 [1- 子十 (T丁-···+(- 1t'(罕）'+
11=1 ln1n
1 ” a11+1 a n =0 = lim n =lim (2) R=1/lim ; 11 ---'>«> 1---)00 1 II 00 n+ 1 a＂ all+ [
—
II
—
11
(1+ — )
千
(3) R= 1/lim /1---)00
(4) R =ll �
扣厂 lim1/ 11 + i I = 1/忒 ； ---'>
i'
00
0, 1，
3. 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
2)
不存在 ，
lakl, 囡>l, a=l ， 囡=l,a
;
.
=1=
1.
I 上－；
11=2 ln n
•fl
3)
解 所以
C:,J
1)
• fl
I� 收敛，但 － n n=I n
oo n兀. n冗 — — " +isin , 由 i =cos 2 2 11=1 • 00·11 1 1 II,
复变函数与积分变换第四章习题解答
2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 ；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
解 (1)不对。如Iz"在收敛圆lzl < 1内收敛， 但在收敛圆周日=l上井不收敛； (3)不对。如八 z) 三在全平面上连续， 但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 5幕级数LC11 (z-2)" 能否在z=0收敛而在z=3发散？
=
＝早－（于)2 f （）
11=]
一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
(-1t z-1 "' "
2
+ ... + ( -1 y,-1
(早厂
lz-11<2
l
及
飞(z�2 一言） = z�2 一士 2 = = 1-'� 厂; J- J [ =』 z�2 4 +(:-2i ± + � 2 �
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
复变函数第四章答案
102复变函数作业12 复数项级数 幂级数1. 下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：{}n a （1）（2）；1i1in n a n +=-i 12nn a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3） （4）；（5）.i(1)1nn a n =-++i /2en n a π-=i /21e n n a nπ-=解 （1），，即收敛于.1i0i 110i in n n a n→∞++=−−−→=---lim 1n n a →∞=-{}n a 1-（2），，即收敛于0.i|0|102nnn n a --→∞-=+=−−−→1i lim 02nn -→+∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n a （3）因的实部不收敛，虚部收敛于零，所以不收敛.n a (1)n-11n +{}n a （4），与均不存在（分为奇数与偶数cos isin 22n n n a ππ=-lim cos 2n n π→∞lim sin 2n n π→∞n 便知），所以不收敛.{}n a （5），即收敛于零.i /2i /2111|0|||e 0,lim e 0n n n n n a a n nn ππ--→∞-===→={}n a 2. 下列级数是否收敛？ 是否是绝对收敛？（1）；（2）；（3）；（4）.2111i n n n +∞=+∑1i)2nn n n ∞=+∑1(35i)!n n n ∞=+∑/21(1i)2cosi n n n n ∞=+∑解 （1）原式=，显然发散，而收敛.故原级数发1111i (1)n n n n n ∞∞==+-⋅∑∑11n n ∞=∑11(1)n n n ∞=-∑散.（2）分离的实部和虚部很困难，但由于，当(1i)2n n n +(1i)2nnn n n +=时，因为n →∞.1→<103所以级数收敛，即原级数是绝对收敛的.(1i)2n n n+∑（3）同上，由于，当时，，所以/2(35i)34!!nn n n +=n →∞(1)/2/23434/0(1)!!n n n n +→+级数收敛，所以原级数绝对收敛.1(35i)!nn n ∞=+∑（4）因为，而收敛，所以收敛，/2(1i)1222cosi ch e e e n n n n n n n -+==<+11e n n ∞=∑1(1i)!nn n ∞=+∑即原级数绝对收敛,3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：（1）；（2）；（3） （4）.1i nn n∞=∑2i ln nn n ∞=∑0(65i)8nnn ∞=+∑0cosi 2nn n∞=∑解 （1）一般项，而，i 11cos isin cos isin2222nn n n n n n ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos 2n n n π∞==∑，为收敛的交错级数，所以收敛. 但11(1)2k k k ∞=-∑11111sin (1)221k n k n n k π∞∞-===--∑∑1i nn n ∞=∑，发散，故条件收敛.i 1n n n ≥1i nn n ∞=∑1i n n n∞=∑（2）一般项，而，i 1cos isin lnn ln 22n n n n ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭2111cos (1)ln 2ln(2)k n k n nk π∞∞===-∑∑为收敛的交错级数，所以收敛. 但2111sin (1)ln 2ln(21)kn k n n k π∞∞===-+∑∑2i ln n n n∞=∑，发散，故条件收敛.i 11(2)ln ln n n n n n =≥≥2i ln nn n ∞=∑2i ln n n n ∞=∑（3）一般项，其公比的绝对值，所以(65i)65i 888nn n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭65i 88+65i 188+=<104绝对收敛. 因而也收敛.1(65i)8nnn∞=+∑（4）一般项不趋于0（当时）（因为cosi1e e1e112222222en nn nn nn-+⎛⎫⎛⎫=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n→∞对所有成立），所以级数发散.1e1112222e2n n⎛⎫⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n1cosi2nnn∞=∑4. 求下列幂级数的收敛半径（1）（为正整数）；（2）；1npnzn∞=∑p21(!)nnnnzn∞=∑（3）；（4）；(1i)n nnz∞=+∑i/1e n nnzπ∞=∑（5）；（6）.1icosh(1)nnzn∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑1ln innzn∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑解（1）一般项系数，即，所11()pn pC nn==→→∞lim1n→∞=以收敛半径.1R=（2），所以收211||||(!)111,,10e0||||111nnn nn nnn nC Cn nCn C C n nn→∞+++⎛⎫===⋅+−−−→⋅=⎪+⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭敛半径.R=（3），收敛半径.(1i)|1i|nnnC=+=+==R=（4），收敛半径.i/e1,1nnnCπ===1R=（5），收敛i/i/11lim cos||i1111cosh(e e)cos,lim112||1lim cosnn n nnnnnC nCn n Cn→∞-+→∞→∞⎛⎫+==+====⎪⎝⎭半径.1R=si nga 105（6），即1110()(ln i )|ln i |ln i2n C n n n n π====→→∞+，收敛半径.0n =R =+∞5. 求下列幂级数的收敛半径：（1）； （2）.121121(i)2n n nn n z ∞--=--∑(1)1i (1)nn n n z n ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑解 （1）因为，按函数项级数定义，有，2121211(21)2()1lim lim ()2(21)2n n n n n n n nn z f z z f z n z ++-+→∞→∞+==-当时，级数才绝对收敛，所以. 于是，级数的收敛半径2112z <z <R =（2）因为10,|1|1;1lim ,|1| 1.n n n n z z z n+→∞-≤-⎧=⎨∞->⎩所以，当时级数绝对收敛，于是，级数的收敛半径为.11z -≤1R =评注 这两个级数都是缺项级数，因此不能直接套用公式，要用类似实数项级数的达朗贝尔比值法求或用柯西根值法求.6. 求出下列级数的和函数.（1）； （2）.(1)nn n z∞=+∑11(21)nn n z ∞-=-∑解 先求收敛半径，再求和函数（1），故收敛半径.由逐项积分的性质，得12limlim 11n n n n c n c n +→∞→∞+==+1R =.10(1)d 1z nn n n zn z z z z∞∞+==+==-∑∑⎰所以，，21(1)1(1)nn z n z z z ∞='⎛⎫+== ⎪--⎝⎭∑1z <106（2），收敛半径.1121lim lim 221n n n n nc c ++→∞-==-12R =1111111111(21)22(2)nn n n n n n n n n n n zzzz z ∞∞∞∞∞-----=====-=-=--∑∑∑∑∑.11112121(12)(1)2z z z z z ⎛⎫⎛⎫=-=⋅< ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭7. 幂级数能否在收敛而在发散？2(2)nn C z ∞=-∑0z =3z =答 不能.由Abel 定理，在收敛的幂级数必在圆域0z =2(2)n n C z ∞=-∑内处处收敛，而在圆域内，所以幂级数不|2||02|2z -<-=3z =|2|2z -<0(2)n n n C z ∞=-∑能在收敛而在发散.0z =3z =8. 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1.0nn C∞=∑0||nn C∞=∑0n n n C z ∞=∑证 级数收敛，相当于幂级数在处收敛. 于是由阿贝尔（Abel ）定nn C∞=∑0nnn C z∞=∑1z =理，对于满足的，级数必绝对收敛.从而该级数的收敛半径.但若||1z <z 0nnn C z∞=∑1R ≥时，幂级数在收敛圆内绝对收敛，特别地在处也绝对收敛，1R >0n n n C z ∞=∑||z R <1()z R =<即收敛，这显然与已知矛盾. 故幂级数的收敛半径.1||nn C∞=∑0n n n C z ∞=∑1R =复变函数作业13 幂级数的和函数 泰勒级数1. 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径：z （1）； （2）； （3）（4）；311z+221(1)z +2cos z sinh z （5）； （6）； （7）；（8）.cosh z 22e sin z z 1ez z -1sin1x-107解 （1）由易知，，收敛半径01(1)(||1)1n nn z z z ∞==-<+∑331(1)(||1)1n n n z z z ∞==-<+∑.1R =（2）由两边求导得，所以01(1)1n n n z z ∞==-+∑1211(1)(||1)(1)n n n nz z z ∞-=-=-<+∑，收敛半径.12(1)2211(1)(||1)(1)n n n nz z z ∞--==-<+∑1R =（3）由得，收敛半径20(1)cos (||)(2)!n n n z z z n ∞=-=<+∞∑240(1)cos (||)(2)!n n n z z z n ∞=-=<+∞∑.R =+∞（4）由及得1e (||)!zn n z z n ∞==<+∞∑e e sinh 2z zz --=21000111(1)1(1)1sinh 2!!2(!)(21)n n n n n k n n n k z z z z z n n n k ∞∞∞∞-====⎛⎫---=-== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑，收敛半径.(||)z <+∞R =+∞（5）同上面（4），，20011(1)1cosh (e e )(||)22(!)(2)!n z z n kn n z z z z n k ∞∞-==+-=+==<+∞∑∑收敛半径.（也可直接由结果4）经过两边求得得到）.R =+∞（6）由得2222222i i (1+i)(1i)11e sin e (e e )(e e )2i 2iz z z z z z z --=⋅-=-222220001(1i)(1i)(1i)(1i)e sin 2i !!2i(!)n n n n z n n nn n n z z z zn n n ∞∞∞===⎡⎤+-+--=-=⎢⎥⎣⎦∑∑∑而(1i)(1i)cos isincos isin 4444n n n n n n n n ππππ⎛⎫⎛⎫+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin4n n π=故g ni r108，收敛半径.220e sin |)z n z z ∞==<+∞R =+∞（7）由两边求导得：两边再求导得：011n n z z ∞==-∑1211(1)n n nz z ∞-==-∑，两边再求导得，... ... (23)22!(1)(1)n n n n z z ∞-==--∑(1)1(1)!(1)(2)[(2)](1)n k k n k k n n n n k z z ∞--=--=-----∑ 即11(1)(2)[(2)](1)(1)!k n k n k z n n n n k z z k ∞+=-----=--∑(1)(2)(3)[(1)](1)!n n k n n n n k z k ∞=-----=-∑ 1 (||1)(1,2,3,)1n n k n z z k k ∞=-⎛⎫=<= ⎪-⎝⎭∑ 故100011(1)(1)e1!1!(1)!kzk k kn z kk k k n k n z z zk k z k z k ∞∞∞∞-====-⎛⎫--⎛⎫=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑111(1)1(||1)1!kn nn k n z z k k ∞==⎡-⎤⎛⎫-=+=<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑∑收敛半径.1R =（8）由结合，的1sin sin 1sin1cos cos1sin 1111z z z z z z z ⎛⎫=+=+⋅ ⎪----⎝⎭cos z sin z 展开式，令（）0(1),2 cos ,(2)!0,2 1 kkk j k j k z z k j k αα∞=⎧-=⎪==⎨⎪=+⎩∑当时;当时,0,1,2,k = （）00,2 sin ,(1),2 1 (21)!k kk j k j k z z j k k ββ∞==⎧⎪==-⎨=+⎪+⎩∑当时;当时,0,1,2,k = 可知1092cos 111kk k z z z z α∞=⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑ 2111nk k n k n z k α∞∞==-⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭∑∑22111nn k n k n z k α∞==⎧-⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭∑∑而221(1), 0,(0,1,2,)(2)!k kk k k αα+-=== 222111121n nk k k k n n k k αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦==--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑211(1),(2,3,)21(2)!n k k n n k k ⎡⎤⎢⎣⎦=-⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∑ 所以2211(1)cos 1 (||1)211(2)!n k nn k n z z z k z k ⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=+<⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑类似地111sin 111kn k k k k n k n z z z k z z ββ∞∞∞===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑1111n n k n k n z k β∞==⎧-⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭∑∑12101(1),(||1)2(21)!n k nn k n z z k k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=<⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑故122211(1)sin sin1sin1211(2)!n k n n k n z k z k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=+⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑12101(1)cos1,(||1)2(21)!n k n n k n z z k k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪+<⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑收敛半径.1R =2. 求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：0z （1）； （2）；01,11z z z -=+0,2(1)(2)zz z z =++110（3）； （4）021,1z z =-01,1i 43z z=+-（5）；（6）.0tan ,4z z π=0arc tan ,0z z =解 （1）11111212z z z z --=⋅-++201(1)(1)22nn n z z ∞=--=-∑，半径.110(1)(1)2n n n n z ∞++=-=-∑11|1|22z z ⎛-⎫<-< ⎪⎝⎭不2R =（2）21(1)(2)21z z z z z =-++++111122231143z z =---++当，即时，214z -<|2|4z -<01(1)(2)2414nnn n z z ∞=-=--+∑当，即时，213z -<|2|3z -<01(1)(2)2313nnn n z z ∞=-=--+∑故当时，上面两展开式同时成立，即有|2|3z -<001(1)1(1)(2)(2)(1)(2)2433n n nnn n n n z z z z z ∞∞==--=---++∑∑ 211021(1)(2)43n n n n z ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑收敛半径.3R =（3）由111111(1)z z z ==-=-+-+0(1) (|1|1)n n z z ∞=-++<∑两边求导得，半径.12111(1) (|1|1)n n n z z z z ∞-='⎛⎫=-=++< ⎪⎝⎭∑1R =（4）1143(13i)3[(1i)]z z =----+11313i 1[(1i)]13iz =⋅---+-111013[(1i)]13i 13i nnn z ∞=⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭∑这里或3[(1i)]113iz -+<-|13i ||(1i)|3z --+<=R =（5）用公式求；()0()!n n f z C n =0:tan 14n C C π==；214(tan )sec 2,24z z C ππ='===；2244(tan )2sec tan4,2442!z z C πππ=''====，；得244(tan )2sec tan sec 16444z z ππππ=⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭31683!3C ==438tan 1224434z z z z πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭函数有距最近的奇点，其距离就是收敛半径，即. 上面sin tan cos z z z =4π2π4πR 4R π=展开式成立的范围为. 注意，由tan z 44z ππ-<sin 44tan cos 44z z z ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin cos 44cos sin 44z z z z ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合与的展开式用幂级数的除法可得到一般展开式，这里从略.sin z cos z （6）由，两边积分即得221(arctan )(1)(||1)1n n n z z z z ∞='==-<+∑，半径21(1)arctan (||1)21n n n z z z n ∞+=-=<+∑1R =3. 将函数展成z 的幂级数（至项）.2()3sin 2z f z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5z112解 （1）用直接展开法，，，，2()3sin 2z f z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)0f =2()sin 3cos 2z f z z z z ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭(0)3f '=，,2()2cos 2sin sin 2z f z z z z z ''=--(0)0f ''=，，2()3sin cos 2z f z z z z '''=--(0)0f '''=，，2(4)()3sin 4cos sin 2z fz z z z z =--+(4)(0)0f =，，2(5)()7cos 5sin cos 2z fz z z z z =-++(5)(0)7f =-所以，=，.()f z 2573sin 325!z z z z ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ z <+∞（2）用间接展开法. 因为，而()f z =23sin sin 2z z +213511sin (1)3!5!(21)!n nz z z z z n +=-+-+-++所以 213511()3(1)3!5!(21)!n nz f z z z z n +⎛⎫=-+--+ ⎪+⎝⎭，.2213511(1)23!5!(21)!n nz z z z z n +⎛⎫+-+-+-+ ⎪+⎝⎭5735!z z =-+ z <+∞4. 求在的泰勒展开式（到项）并指出其收敛半径.()In(1e )zf z -=+0z =4z 解 用直接展开法求，；，；()In(1e )z f z -=+(0)In2f =1()1e z f z -'=+1(0)2f '=-，；，；2e ()(1e )z z f z ''=+21(0)2f ''=3e (1e )()(1e )z z zf z -'''=+(0)0f '''=113，.2(4)4e (14e e )(1e )z z z z f-+=+(4)31(0)2f =-所以.2423111In(1e )In222! 24! 2z z z z -+=-+-+ 由于在时没有定义，所以其奇点为1e ln(1e )ln ezz z-⎛⎫++= ⎪⎝⎭10ze +=.离的最近一个奇点为，其距离为，故收敛半径(21)i(0,1,)k z k k π=+=± 0z =i k z π=π.R π=5. 将函数在中展开为泰勒级数（到项）21()1f z z=+1z -<4(1)z -解 只能用直接展开法，，，，21()1f z z =+1(1)2f =222()(1)z f z z -'=+1(1)2f '=-，，，，22326()(1)z f z z -+''=+1(1)2f ''=3242424()(1)z z f z z -'''=+(1)0f '''=，.4(4)2524240120()(1)z z fz z -+=+(4)(1)3f =-所以 ，.21()1f z z =+241113(1)(1)(1)2244!z z z =--+---+ 1z -<6. 展开为的幂级数.21()(2)f z z =-(1)z -解 因为，所以可利用22211111(2)[3(1)]93z z z --⎡⎤==+⎢⎥++-⎣⎦114式，于是2(1)1(1)(1)(1)2!!nmz z z mz m m m m m n n +=++-++--+ 23223111(1)(1)1223234(2)932! 33! 3z z z z ⎡⎤---=-⋅+⋅-⋅⋅+⎢⎥+⎣⎦，.2312(1)(1)4(1)193327z z z ⎡⎤---=-+-+⎢⎥⎣⎦13z -<7. 求的麦克劳林级数.()e In(1)zf z z =+解 因为2311e 1,(||).2!3!!nzz z z z z n =+++++<+∞ 231In(1)(1),|| 1.23nn z z z z z z n-+=-+++-+< 所以2323()12!3!23z z z z f z z z ⎛⎫⎛⎫=++++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，.2351132340z z z z =++++ 100(1)(1)()!kn n k z k n k ∞∞+==⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭∑∑1z <因为，是奇点，所以确定.1z =-1R =评注 当被积函数可以分解为几个已知展开式的函数地乘积时，可以采用此种方法.乘积项的确定一般用柯西乘积确定.缺点是不易写出幂级数通项，所以一般只写出展开式的前四至五项.8. 分别将和展为的麦克劳林级数.e cos zz e sin zz z 解 用组合法求解. 因为和均在复平面上解析，利用欧拉公式，得e sin zz e cos zz115(1i)e cos ie sin e (cos isin )e z z z zz z z z ++=+=[cos(/4)isin(/4)]ππ+=0cos isin44nn n n z ππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭同理(1)e cos ie sin e (cos isin )ezzz i zz z z z --=-=0cos isin44nn n n z ππ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭两式相加除2得 ；e cos cos 4!nz nn n z z n π∞==∑两式相减除2i 得 0e sin sin 4!nznn n z z n π∞==⋅∑复变函数作业14 洛朗级数1. 把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数：（1）；21,1||2(1)(2)z z z <<+-（2）；；21,0||1(1)z z z <<-0|1|1z <-<（3）；；1,0|1|1(1)(2)z z z <-<--1|2|z <-<+∞（4），；11e z-1||z <<+∞（5），在以为中心的圆环域内；21(i)z z -i （6），在的去邻域内；1sin1z-1z =（7）.(1)(2),3||4,4||(3)(4)z z z z z z --<<<<+∞--解 （1）222111121(1)(2)525151z z z z z z =--+--++116222111112111110551112z z z z z =--⋅⋅-⋅⋅-++2220001111(1)21(1)10255n n n n n nn n n z z z z z∞∞∞===--=--⋅-⋅∑∑∑.2122000111(1)2(1),(1||2)10255n nn n n n n n n z z z z∞∞∞++===--=---<<∑∑∑（2）当时，由两边求导得0||1z <<111n n z z ∞==-∑1211(||1)(1)n n nz z z ∞-==<-∑所以.22211111(2)(1)(1)n nn n nz n z z z z z ∞∞-==-=⋅==+--∑∑当时0|1|1z <-<011(1)(1)11n n n z z z ∞===--+-∑从而222111(1)(1)(1)(1)n n n z z z z z ∞-==⋅=--=--∑2(1)(1)nnn z ∞=---∑（3）111(1)(2)21z z z z =-----当时，，所以0|1|1z <-<011(1)21(1)n n z z z ∞=-==-----∑0111(1)(1)(1)(2)1nnn n z z z z z ∞∞==--=--=-----∑∑当时，1|2|z <-<+∞11711111212z z z =⋅=--+-1001(1)(1)2(2)(2)n nnn n n z z z ∞∞+==--=---∑∑从而1110111(1)(1)(1)(2)2(2)(2)n n n n n n z z z z z +∞∞++==--=-=-----∑∑（4）当时，1||z <<+∞.011111111n n z z z z z∞==-⋅=-=--∑12311111n n zz z z ∞+=⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭∑ 于是231123232311111111111e12!3!zz z z z z z z z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭234111111112!3!4!z z z z=---++ （5）此题中，以为中心的圆环域有两个：与.i 0|i |1z <-<1|i |z <-<+∞当时，0|i |1z <-<01111i i (i)i i i i 1in n n z z z z ∞===⋅=----++∑两边求导得，于是11211i (i)n n n n z z ∞+-==-∑12211i (i)(i)n n n n z z z ∞+-==--∑当时，1|i |z <-<+∞111i i 1iz z z =⋅=-+-1001(1)i (1)i (i)(i)n n n n n n n z z z ∞∞+==--=---∑∑两边求导得118，于是2201(1)(1)i (i)n n n n n z z ∞+=-+=-∑2301(1)(1)i (i)(i)n nn n n z z z ∞+=-+=--∑（6）当时，即在的去心邻域内：0|1|z <-<+∞1z =21011(1)1sin sin 11(21)!(1)n n n z z n z ∞+=-=-=---+-∑（7）(1)(2)621(3)(4)43z z z z z z --=+-----当时，3||4z <<(1)(2)612113(3)(4)4114z z z z z z z--=------0031211324n n n n n n z z z ∞∞===--∑∑211311232nnn n n n z z ∞∞++===--∑∑当时，4||z <<+∞(1)(2)6121143(3)(4)11z z z z z z z z--=+-⋅----006121143n n n nn n z z z z ∞∞===+-∑∑211111(3223)n n nn z ∞--==+⋅-⋅∑2. 将在内展为洛朗级数.1()e 1zf z z=-01z <-<+∞解 在，内01z <-<+∞1(1)11e e 11z z z z +-=--2e 111(1)(1)(1)12!!nz z z z n ⎡⎤=-+-+-++-+⎢⎥-⎣⎦.1111e 1(1)(1)12!!n z z z n -⎡⎤=-++-++-+⎢⎥-⎣⎦3. 求出使洛朗级数收敛的圆环域.其中(2)nnn c z +∞=-∞-∑119，，，01c =1!n n c n n =111|2n c n-=+++ 1,2,n = 解 要将洛朗级数分为正幂部分和负幂部分和负幂部分两个幂级数，分别求出它们的收敛半径，然后确定使洛朗级数收敛 的圆环域..(2)nn n c z ∞=-∞-∑1111!1(2)12)2n nnn n n z z n n ∞∞-==⎛⎫=+++-++- ⎪⎝⎭∑∑ 其中的收敛半径为1111(2)2nn z n ∞-=⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭∑ .11112lim lim 1111121n n n n c n R c n →∞→∞+++===+++++ 的收敛半径为.1!2)nn n n z n ∞=-∑11lim lim 1e nn n n n c R c n →∞→∞+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以，由，得收敛圆环域为111r R ==12e z <-<4. 在内，将展成洛朗级数.01z <-<+∞()sin 1zf z z =-解 .sinsin 111z z z z ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭11sin1cos cos1sin 11z z =+--而 ,2011cos (1)(1)12!n nn z z n ∞-==---∑(21)011sin (1)(1)1(21)!n n n z z n ∞-+==---+∑故 23cos1sin1cos1sinsin1112! (1)3! (1)z z z z z =+--+---- 2sin1(1)(2)! (1)nn n z +--21cos1(1)(21)! (1)nn n z ++-++-5. 如果为正向圆周，求积分的值. 设为：C ||3z =()d Cf z z ⎰A ()f z （1）；（2）；（3）（4）1(2)z z +2(1)z z z++21(1)z z +(1)(2)zz z ++120解 （1）.当时，1111(2)22z z z z ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭2||z <<+∞.11112(2)221z z z z z=-⋅+=++11320(1)21212n n n n z z z z -∞+=---+=++∑ 由此可见展开式中项的系数，而且圆周在内，所以由公式1z10C -=||3z =2||z <<+∞1()d 2i 0Cf z z C π-==⎰A （2）当时，1||z <<+∞221111111(1)11z z z z z z z z z+=+⋅=+⋅=+++2211111z z z z ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭展开式中项的系数，而且圆周在内，所以由公式1z11C -=||3z =1||z <<+∞1()d 2i 2iCf z z C ππ-==⎰A （3）当时，1||z <<+∞.10011(1)(1)1n nn n n n z z z z∞∞+==--==+∑∑两边求导得，于是，2201(1)(1)(1)n n n n z z ∞+=-+=+∑2301(1)(1)(1||)(1)n n n n z z z z ∞+=-+=<<+∞+∑展开式中项的系数，由公式1z10C -=1()d 2i 0C f z z C π-==⎰A （4）（当时）21(1)(2)21z z z z z =-++++2||z <<+∞2222411111z z z z z z ⎛⎫⎛⎫=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 213z z=-+ 展开式中项的系数，而且圆周在内，由公式1z11C -=||3z =2||z <<+∞1()d 2i 2iCf z z C ππ-==⎰A121复变函数作业15 第4章综合练习1.命题“复数项级数与都发散，则级数和也发散”1nn α∞=∑1nn β∞=∑1()nn n aβ∞=±∑1n n n αβ∞=∑是否成立？为什么？解 不成立. 因为运算可以消除使级数发散的因素.例如，，，则和都发散，但21i n n n α=+21in n n β=+-1n n α∞=∑1n n β∞=∑和都收敛.若令，则2112i ()n n n n n αβ∞∞==+=∑∑241111n n n n n n αβ∞∞==⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∑∑21i n n n β=-也收敛.2112i()n n n n n αβ∞∞==-=∑∑2. 下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.（1）；（2）；（3）；（4）.1i 2nn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭1chi n a n n =0i 2kn n k a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1i 22en n a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=解 先化为复数形式，然后考察时，极限是否存在.n →∞（1）因为，.所以cos isin 44nnn a ππ⎤⎫+=⎥⎪⎭⎦cos isin 44n n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭lim 0n n a →∞=数列收敛，极限为0.{}n a （2）因为，所以数列收敛，极限为0i i 1e e 1cos ,lim 02n n n n n a n a n n-→∞+=⋅=={}n a （3）因为，当时,所以数列收敛，极限为.0i 2knn k a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n →∞22i n a →-{}n a 22i -（4）,当时.所以数列收敛，11cos isin 2222n a n n ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n →∞i n a →-{}n a 极限为i-3. 判断下列级是否收敛? 是绝对收敛还是条件收敛?（1）；（2）；（3）；（4）.0(3)!n n i n ∞=∑1!n n n n ∞=∑/1e !i n n n π∞=∑115i 2nn ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑n122解（1）因为，而当，，所以收敛，(3i)3!!n n n n ≤n →∞1133/0(1)!!n n n n ++→+0(3)!nn i n ∞=∑原级绝对收敛.（2）因为，所以原级数收敛.1(1)!!1/1(1)en n n n n n ++=<+（3）因为，,1cos isin n n n n ππα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1111cos i sin n n n n nn n ππα∞∞∞====+∑∑∑两个级数不能保证原级数收敛.所以原级数发散.（4）因为，不趋于零（当时），所以原级发散.nn α=lim n αn →∞4. 求幂级数的收敛半径.21(i)1sin n n n n z n -∞→∞⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭∑解 因为含有幂次，用根值法n c n （等价无穷小）n n 1lim 1sin nn n -→∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，收敛半径.(1)11lim 1e n n n ⋅--→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭e R =5. 证明：如果存在（），下列三个幂级数有相同的收敛半径：1limn n nC C +→∞≠∞11,,.1n n n n n n C C z z nC z n +-+∑∑∑证设，则由，易知，1lim()n n n C l C +→∞=≠∞11||n n n n C C l l C C ++-≤-1lim ||()n n nCl C +→∞=≠∞记.||l ρ=（1）的收敛半径.n n C z ∑11R ρ=（2）一般项系数（项系数），于是11n n C z n ++∑nz 1n nC a n-=123，即，由公式得其收敛半径.11||||11n n nn C n n Cαα+-=⋅→⋅+ρρ=1lim n n nαρα+→∞=21R ρ=（3）一般项系数于是，1n n nC z -∑1(1),n n n C β+=+121||211n n nn C n n C βρρβ++++=⋅→⋅=+即，收敛半径.1limn n nβρβ+→∞=31R ρ=故三个幂级数有相同的收敛半径.6. 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的nnn C z∞=∑0z 闭区域上绝对收敛.证设级数在收敛圆周上一点处绝对收敛（为收敛半径），则nnn C z∞=∑||z R =0z R 收敛且. 于是对收敛圆所围成的闭区域上任一点，都有00||n n n C z∞=∑0||z R =||z R ≤z 0||||||||||n n n nn n n n C z C Z C R C z =≤=由比较判别法得收敛，即在上绝对收敛.0||nn n C z∞=∑0n n n C z ∞=∑||z R ≤7. 求幂级数的收敛半径.[2(1)]n n nn z∞→+-∑解 用比值法和极值法都不能求得R ，故用柯西-哈达玛法，lim[2(1)]3n n →∞+-=所以，收敛半径.13R =8. 求幂级数的收敛半径.10,0)i nn nn z a b a b ∞=>>+∑解 用根值法221/21()n n nn a b +124因为 ,，所以{}{}221/21/2max ,()2max ,nn n n a b ab a b ≤+≤lim 1n →∞=.{}221/2lim()max ,n n n n a b a b →∞+=于是，级数的收敛半径为.{}max ,R a b =9. 求下列级数的和函数（1）;（2）.111(1)n n n nz∞--=-∑20(1)(2)!nnn z n ∞=-∑解 （1），收敛半径.由逐项积分性质，得11limlim 1n n n n c n c n+→∞→∞+==1R =.111(1)d (1)1z nn n n n n z nz z z z∞∞-==-=-=+∑∑⎰所以.1211(1)11(1)nn n z nzz z z ∞-='⎛⎫-==⋅< ⎪++⎝⎭∑（2）. 故收敛半径.11limlim 0(21)(22)n n n c c n n +→∞==++R =∞设级数和函数, 进行逐项求导，得20()(1)(2)!nnn z f z n ∞==-∑，，所以有 ,211()(1)(21)!n nn z f z n -∞='=--∑221()(1)(22)!n nn z f z n -∞=''=--∑()()f z f z ''=-即有微分方程 .解得 待定.()()0f z f z ''+=()cos sin ,,f z A z B z A B =+因为，得，200(0)(1)1(2)!nn n z z f A n ∞==⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦∑1A =得B =0，21010(0)(sin cos )(1)0(21)!n nz n z z f z B z n -∞===⎡⎤'=-+=-=⎢⎥-⎣⎦∑故 .20()(1)cos (2)!nnn z f z z n ∞==-=∑12510. 证明级数，沿实轴绝对收敛.222222221(1)(1)nz z z z z z z ++++++++ 证 若，级数绝对收敛.0z =若，取任意不为零实数时，有. 所以，级数收敛. 由于0z ≠2111z <+201(1)nn z ∞=+∑也是实数，因而也收敛.2z 220(1)nn z z ∞=+∑11. 将分别展为和的泰勒级数.1()23f z z =-z 1z -解 即分别取和.于是00z =01z =（1）222111122123312/3333z z z z ⎡⎤-==-+++⎢⎥--⎣⎦，，即 .232323412223333z z z =----- 1023n n n n z ∞+==-∑213z <32z <（2），, 即 .112312(1)z z =----0[2(1)]n n z ∞==--∑2(1)1z -<112z -<12. 将展为的幂级数，，为不相等的复数.1()f z z b=-()z a -a b 解 先在中构造出的因式再展开()f z ()z a -1111()/()z b b a z a b a -=⋅-----211z a z a b a b a b a ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，.101()()nn n z a b a ∞+==---∑1z a b a -<-13. 将在下列圆环域内展为洛朗级数：1()(1)(2)f z z z =--（1）; （2）; （3）; （4）.12z <<2z <<+∞011z <-<11z <-<+∞解 ,11()21f z z z =---126（1）在内，，，12z <<11z <12z<故 .1111()21/211/f z z z z =-⋅---0011122n nn n z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1100112n n n n n z z∞∞++===--∑∑（2）在内，，，故2z <<+∞11z <21z<.0011121211()12/11/n nn n f z z z z z z z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑1021n n n z ∞+=-=∑（3）在内011z <-<1111()211(1)1f z z z z z -=-=------01(1)1n n z z ∞==----∑ .211(1)(1)(1)1n z z z z =----------- （4）在内，，11z <-<+∞111z <-11111()(1)11111/(1)1f z z z z z z =-=⋅-------- 23111111(1)(1)(1)1n z z z z z =+++++------ 23111(1)(1)(1)nz z z =++++--- 第四章习题课教与学参考例1 证明：0,||1,||1lim 1,1.||1,1nn a a a a a a →∞<⎧⎪∞>⎪=⎨=⎪⎪=≠⎩不不不证 令，其中，则i e(cos isin )r r θαθθ==+||,arg r αθα==127.(cos isin )n n r n n αθθ=+（1）当时，非负实数. 从而，即||1α<1,lim 0nn r r →∞<=|0|0()n nr n α-=→→∞.lim 0n n α→∞=（2）当时，，由1）的结论，从而有.||1α>11α<1lim 0nn α→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭lim n n α→∞=∞（3）当时易知.1α=1,lim 1n nn αα→∞==（4）当时，.因与||1,1αα=≠1,cos isin (0)nr n n αθθθ==+≠lim cos n n θ→∞均不存在，所以不存在.lim sin n n θ→∞lim n n α→∞例2 下列说法是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；（3）每一个在点连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数.0z 0z 答 （1）不正确. 幂级数在收敛圆内的点处收敛而且绝对收敛，而在收敛圆周上可能处处收敛（如），也可能处处发散（如），还可能既有收敛点也有发散点（如211n n z n ∞=∑1nn z ∞=∑）.11nn z n∞=∑（2）不正确. 和函数在收敛圆内是解析函数，在收敛圆周上至少有一个奇点.（3）不正确. 在点解析的函数才一定可以在的邻域内展开成泰勒级数. 在点连0z 0z 0z 续的函数（更进一步在点可导的函数）不一定能在的邻域内展开成泰勒级数，例如0z 0z 在的邻域内就不能展开成泰勒级数.2()||f z z =00z =例3 如果的收敛半径为，证明的收敛半径.[提示：nnn C z∞=∑R 0(Re )n nn C z∞=∑R ≥]|(Re )|||||n n n n C z C z ≤128证 由的收敛半径为可知，对收敛圆内任一点，不但收nnn C z∞=∑R ||z R <0z 0n n n C z∞=∑敛而且绝对收敛，即收敛. 又||nn n C z∞=∑0000|(Re )||Re |||||||||n n n nn n n n C z C z C z C z =≤=结合比较判别法可得收敛，即绝对收敛，因而也是收敛的. 这00|(Re )|nnn C z∞=∑0(Re )nn n C z ∞=∑样幂级数在内任一点收敛（而且是绝对收敛的），它的收敛半径R.(Re )nnn C z∞=∑||z R <≥例4 为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂||z R <(,)R R -()f z z 级数时，展开式的系数都是实数？答因为当在上取实数值且可导时其导数()f z (,)R R -在上为实数值（只需让沿实轴趋于零便知），这样()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆(,)R R -z ∆依次下去可知当在内解析（当然在上有各阶导数），在上取实()f z ||z R <(,)R R -(,)R R -数值时在上取实数值，特别地()()(0,1,2,)n fz n = (,)R R -为实数，即展开式的系数都是实数.()(0)/!(0,1,2,)n n f n C n == 例5 函数能否在圆环域内展开成罗朗级数？为什么？1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭0||(0)z R R <<<<+∞答 不能. 由罗朗定理，能否在内展开成罗朗级数等价于能1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭0||z R <<1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭否在内解析. 而以的点为奇点，0||z R <<1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭1cos 0z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1(0,1,2,)2k z k k ππ==±±+且，所以在任何圆环域内都有的奇点. 在lim 0k k z →∞=0||(0)z R R <<<<+∞1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭129内不解析，从而在其内不能展开成罗朗级数.0||z R <<例6 若,与都收敛, 证明级数绝对收敛.Re()0n α≥1nn α∞=∑21nn α∞=∑21nn α∞=∑证 因为,若收敛,则也收敛,从而也收敛. 但是i n n n a b α=+na∑21nn α∞=∑221()n n n ab ∞=-∑,22221112()nnnn n n n a a b α∞∞∞===--=∑∑∑所以, 级数收敛.21n n α∞=∑例7 讨论级数的敛散性.1()n n n zz ∞+=-∑解 讨论级数的部分和.11()1n k k n n k S zz z -+==-=-∑当时，，故级数收敛于1；当时，，故级数发散1z <lim 1n n S →∞=--1z =lim 0n n S →∞=0；当时，不唯一，故级数收敛于；1z =-lim n n S →∞当，且时，即时，.1z =1z ≠i e (0)z θθ=≠cos isin nz n n θθ+因为和的极限都不存在，所以不存在，级数发散；cos n θsin n θlim n n S →∞当时，级数显然发散.1z >例8 求下列幂级数的收敛半径：（1）； （2）（p 为正整数）；!1n n z∞=∑0p nn nz ∞=∑（3）； （4），1!n n n n n ∞=∑20(1)n nn q z q ∞=<∑（5）21223211111223232323n nn n n n z z z z z --+++++++⋅⋅ng130解（1）因为，所以，收敛半径.1,!,0,!kk nck n=⎧=⎨≠⎩11R=（2）因为.所以，收敛半径.1/1/lim()lim()1p n n pn n nn n→∞→∞===1R=（3）因为.所以，收敛半径.1(1)!!1lim/lim(1)1enn nn nn n nn n n+→∞→∞+⎛⎫==⎪++⎝⎭eR=（4）因为，所以，收敛半径2(1)21lim lim0nnnn nqqq++→∞→∞==R=+∞（5）因为，，所以2121123n nc--=2123n n nc=⋅，.于是，收敛半/(21)(1)/(21)2lim lim1/(23)n n n nn n---→+∞→∞=⋅=limn→+∞=径.R=例9 求下列级数收敛半径，并写出收敛圆周：（1）（p为正整数）；（2）；1(i)npnzn∞=-∑1(1i)n nnz∞=+∑（3）（4）.[3(1)](1)n n nnz∞=+--∑2(1)(2)!nnnzn∞=-∑解先求收敛半径，再据题写出收敛圆周（1）因为，所以，收敛半径，收敛圆周为.1lim lim11pnn nnc nc n+→∞→∞⎛⎫==⎪+⎝⎭1R=i1z-=（2）因为，所以，收敛半径.写出收敛圆周为1lim lim1inn nncc+→∞→∞=+=R=z=（3）因为是振荡的，所以由柯西-哈达玛法[3(1)]n nnc=+-，收敛半径.收敛圆周为.n n4=14R=114z-=。
(完整)《复变函数》练习题
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福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
复变函数--习题课
(4) ch2 z sh2 z 1;
(5) sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
18
4）对数函数 满足方程ew z (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数, 记为 w Ln z. 因此 w Ln z ln z i Arg z
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0)
lim
1
1 e y2
z0
z0
y0 yi
lim f (z) f (0) , 故 f (z) 在原点不可导.
z0
z0
27
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
8
2. 解析函数
1)定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
线性部分.则 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f (z)dz.
7
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称 f (z)在区域 D内可微. 可导与微分的关系 函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
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n
i n1
(2) zn
？绝对收敛？
n 3 n
1 n
n 2
i
e
n
6。 判断下列级数是否收敛
（1 ） ( 1) n (1 i )
n
n1
(2)
[( 1 )
n1
n
1 n
2
i
3
]
7 . 求幂级数
8 .求函数 f ( z )
f (z)
的二阶导数在
z 2 处不解析。
( 3 ) 若幂级数
c n ( z 2 ) 在 z 0 处收敛，则它在
n
z 3 处必发散。
（4） 幂级数
n0
c n ( z z 0 ) 的和函数在收敛圆内可
n
能存在奇点。
n0
5. 判断下列数列是否收敛？若收敛，计算它们的极限。
C1为负方向的闭曲线
4 i
C2
3z 2 z ( z 1)
2
3z 2
dz
C2
z dz ( z 1)
2 i (
dz
3z 2 z
)
z1
2 i
dz
c
3z 2 z ( z 1)
dz
C1
3z 2 z ( z 1)
C2
3z 2 z ( z 1)
2 2
t tdt
0 2
( t ) tdt
2 0
t tdt
0
z z dz 8 i
2 .计算积分
c
3z 2 z ( z 1)
dz ，
C1
dz 2i f ( z0 )
C2
积分曲线C如右图所示 柯西积分公式： c
f ( z) z z0
n
lim z n lim x n i lim y n
n n
解: (1) x n
( 1) , y n
n
n
1 n1
发散
n
lim ( 1 ) 极限不存在。
n
n1 1 1 n 1 n 2 (2) z n e cos( ) i sin( ) n n 2 n 2 1 n 1 n 1 n 1 n lim cos( ) 0 , lim sin( ) 0 x n cos( ), y n sin( ) n n n n 2 2 n 2 n 2
D 内解析，
f ( z0 )
2i z z
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
3s 4s
2
( s z )( s 2 )
对应的不解析点
s z, s 2
s 2 在积分曲线的外部
若点 z 在曲线 C ： 1的内部 z
z z dz
C
z z dz
AB
C
0 A
i
x 2 cos 半圆周 C 的参数方程： y 2 sin
B
复数方程：
z z ( ) 2 cos i 2 sin 2 e , 0
2e
i
z z dz
C
2e
i
n 1 n 1
n 1
（1 ）
( 1) n
n
3
( 1) n
n
3
n
3 n
n1
(1 i )
3 n1
n
(1 i )
1 n
n
( 2)
n
3 n
收敛
n1
( 2)
( n 1)
n
lim
( 2) n
3
lim
n
n
2 n1
n
(
)
3
1 2
1
1 n
2
在积分曲线
C 所围成的区域上处处解
析，
根据柯西定理
1
1
f (z)
3s 4s
2
C
( s z )( s 2 )
2
ds ＝0
3 z 12 z 8
2
f ' ( ) 点 在 C 的内部 f ( z ) 2 i f ' ( z ) 2 i 2 2 z2 2 ( z 2) 1 106 f '( ) i 2 9 f ' (3 3i ) 点 ( 3 3 i ) 在 C 的外部 f ( z ) 0 f ' ( 3 3 i ) 0
0
1
验证：（）分子在曲线围成的区域上处处解析； 1 （ ）分母对应的不解析点在曲线的内部 2
c
3z 2 z ( z 1)
dz
C1
3z 2 z ( z 1)
dz
C2
3z 2 z ( z 1)
dz
3z 2
C1
3z 2 z ( z 1)
dz
C1
3z 2 z 1 dz 2 i ( ) |z 0 z z1
圆内解析。
n0
c n ( z z 0 ) 所对应的和函数在收敛
n
n0
命题错误
5. 判断下列数列是否收敛？若收敛，计算它们的极限。
(1 ) z n ( 1 )
n
i n1
(2) zn
1 n
n 2
i
e
复数数列 { z n }收敛的判定
实部{xn }以及虚部{ yn }对应的实数数列收敛。
n
n
则 R
1
.
lim
cn1 cn
lim
(1 i )
n1 n
n
(1 i )
lim
n
2
2
收敛半径
R
1 2
8 .求函数 f ( z )
z
解:
( z 1 )( z 2 ) f ( z )的不解析点为： z 1 , z 2 距离 z 0 2 最近的为
i2e d
i
0
0
8e
i
ie d
i
0
8 id 8 i
x t 线段 AB 的参数方程： 2 t 2 y 0
复数方程：
z z (t ) t i 0 t , 2 t 2
z z dz
AB
2 2
t t 1 dt
所以， f ' ( z ) 存在，且在曲线 C 所围成的闭区域上解析 又因为， f ( z ) 在曲线 C 所围成的闭区域上函数 值不为零，
f '(z) f (z) 在曲线 C 围成的区域上解析
，
根据柯西定理
f '(z) f (z)
dz 0
C
2）错误
f (z)
ln( z 3 ) ( z 2)
n
1 n
2
i
3
n
]
n1
n!
判定复数项级数
z n 收敛：
[1] 级数 z n绝对收敛。 ]判定实数项级数 xn , yn收敛； [2
n 1
n1
判定级数
n 1
n 1
z n 绝对收敛：
n1
[1]定义：判定正项级数 z n 收敛；
[2]判定实数项级数 xn , yn绝对收敛。
n i
数列 z n ( 1 )
i
数列 z n
1 n
n 2
i
e
收敛
n
lim z n lim x n i lim y n＝0
n n
6。 判断下列级数是否收敛
（1 ）
？绝对收敛？
(2)
( 1) n
n
3
n1
(1 i )
n
[( 1 )
n!
( 1 i ) z 的收敛半径。
n
n0
z
( z 1 )( z 2 )
在 z 0 2 处的泰勒展开式，并指
出收敛半径。
9 .求函数 f ( z )
1 ( z 1)
2 2
在 z 0 i 的解析邻域上的罗朗展
开式。
1 .计算积分
z z dz
z 2 和线段 2 x 2 , y 0 组成的闭路
2 i
3 . 设函数
f (z)
3s 4s
2
C
( s z )( s 2 )
2
ds， 1
其中，曲线
C ： x y 1 , 求 f ' ( )， f ' ( 3 3 i ) 2
2
设 f ( z ) 在简单正向闭曲线 z 0 为 D 内的任一点，那么
C 及其所围成的区域