复变函数第四章
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数PPT第四章
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
(整理)复变函数第4章
第四章 解析函数的级数表示法1. 复数列和复数列的极限（1）定义 4.1 设{}(1,2,)n a n =L 为一复数列，其中.n n n a i a i αβαβ=+=+为一确定的复数. 如果对任意的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-< (4.1)成立，则称a 为复数列{a n }当n →∞时的极限，记作lim n n a a →∞=.并称复数列{a n }收敛于a .（2）与实数列极限的关系：定理 4.1 复数列{a n }收敛于a 的充分必要条件是：lim ,lim n n n n a a ββ→∞→∞==.lim .n n a a →∞=2. 复级数 （1）定义设(1,2,3,) n n n a i n αβ=+=L 为一复数列，表达式121nn n aa a a ∞==+++∑L L (4.2)称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n 项部分和为12,1,2,,n n S a a a n =+++=L L{}n S 称为该级数的部分和数列.显然，若一般项a n 的虚部0(1,2,)n n β==L 则级数1n n a ∞=∑实质上是实级数，因此实级数可以看作是复级数的特例.定义 4.2 若级数1nn a∞=∑对应的部分和数列{}n S 收敛于常数S ，即lim n n S S →∞=那么1nn a∞=∑称为收敛的级数.数S 叫做该级数的和，记为1.nn aS ∞==∑若lim n n S →∞不存在，则称1nn a∞=∑为发散的级数.我们首先研究级数(4.2)的收敛性问题. （2）收敛的条件： 定理 4.2复级数1nn a∞=∑收敛于S 的充要条件是实级数1nn α∞=∑和1nn β∞=∑分别收敛于δ和τ，其中i ,(1,2,).n n n S a n δταβ=+=+=L定理 4.3 复级数1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0.n n a →∞=3.绝对收敛与条件收敛 （1）定义4.3 对于复级数1nn a∞=∑，若1nn a∞=∑收敛，则称级数1nn a∞=∑绝对收敛；若1nn a∞=∑发散，而1nn a∞=∑收敛，则称级数1nn a∞=∑条件收敛.（2）定理 4.4 如果级数1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑也收敛，且不等式11n nn n a a∞∞==≤∑∑成立.（3）推论 4.1 设i ,1,2,n n n a n αβ=+=L . 则级数1nn a∞=∑绝对收敛的充要条件是级数1nn α∞=∑和1nn β∞=∑都绝对收敛.4. 幂级数的概念所谓幂级数，是指形如01000()()()nn nn n a z z a a z z a z z ∞=-=+-++-+∑L L (4.3)的表达式.给定z 的一个确定值z 1，则(4.3)为复数项级数100110100()()()n n n n n a zz a a z z a z z ∞=-=+-++-+∑L L (4.4)若(4.4)所表示的级数收敛，则称幂级数(4.3)在z 1处收敛，z 1称为(4.3)的一个收敛点，否则则称为发散点.若D 为级数(4.3)所有收敛点的集合，则级数在D 上的和确定一个函数S (z ):0100()()(),,n n S z a a z z a z z z D =+-++-+∈L L (4.5)称S (z )为(4.3)的和函数. 5.收敛半径和收敛圆定理 4.5 如果幂级数0n n n a z ∞=∑在1(0)z z =≠收敛，则对于满足1z z <的z ，级数必绝对收敛；如果在2z z =处级数发散，则对于2z z >的z ，级数必发散.根据定理4.5，幂级数(4.6)的收敛情况必是下列情形之一：1°除z =0外，级数处处发散；2°对于所有z 级数都收敛，由定理4.5知，级数在复平面内处处绝对收敛； 3°存在一个正实数R ,使级数在|z |<R 中收敛，在|z |>R 中发散（如图4.1）.我们把该正实数R 称为级数(4.6)的收敛半径，以原点为中心，半径为R 的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数(4.3)来说，它的收敛圆是以z 0为中心的圆盘.值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能作出一般的结论，要对具体级数进行具体分析 6. 收敛半径的求法定理4.6 若nn n a z∞=∑的系数满足1lim ,n n na a ρ→∞+==则1°当0ρ<<+∞时，1R ρ=；2°当0ρ=时，R =+∞(处处收敛)； 3°当ρ=+∞时，R =0(仅有一个收敛点z =0). 定理 4.7 若幂级数nn n a z∞=∑的系数满足,n ρ=则1°当0ρ<<+∞时，1R ρ=；2°当0ρ=时，R =+∞； 3°当ρ=+∞时，0R =. 图4.17. 幂级数的运算及性质性质 4.1 若幂级数nn n a z∞=∑和nn n b z∞=∑的收敛半径分别为R 1和R 2，则幂级数()n nn n ab z ∞=±∑的收敛半径不小于12min(,)R R R =，且在R z <内有：().nnn nnnn n n n a z b z ab z ∞∞∞===±=±∑∑∑性质 4.2 若幂级数nn n a z∞=∑和nn n b z∞=∑的收敛半径分别为R 1和R 2，则幂级数20001100211200()()()n i n i i a b a b a b z a b a b a b z a b z ∞-=++++++++∑L L的收敛半径不小于12min(,)R R R =，且在R z <内有：().nn nn nni n i n n n i a z b za b z ∞∞∞-====⋅=∑∑∑∑上述性质说明了由两个幂级数经过相加或相乘的运算后，所得到的幂级数的收敛半径只是大于或等于R 1和R 2中较小的一个.定理 4.8 设幂级数()nnn a z z ∞=-∑的收敛半径为R ，那么1°它的和函数0()()nn f z a z z ∞==-∑在收敛圆0z z R -<内是解析函数.2°()f z 的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即100()()n n n f z na z z ∞-='=-∑.3°()f z 在0z z R -<内可以逐项积分，即()()d d nnn CCf z z a z z z ∞==-∑⎰⎰其中C 为0z z R -<内的曲线（证明略）. 8.泰勒(Taylor)展开式定理 4.9 设K 表示以z 0为中心，半径为r 的一个圆，()f z 在K 内解析，则()f z 可以在K 内展开成幂级数，即()000()()(),,!n n n f z f z z z z K n ∞==-∈∑(4.8) 并称它为()f z 在z 0的泰勒(Taylor)展开式，(4.8)式右端的级数称为()f z 的泰勒级数. 间接展开法：由于解析函数在一点的泰勒展开式是唯一的，借助于已知函数的展开式并利用幂级数的一些性质来求得另一函数的泰勒展开式，这种方法称为间接法211, 1.1n z z z z z=+++++<-L L (4.13)1,!e nzz z z n =++++<∞L L (4.14)20252cos (1)(2)!1(1),.2!5!(2)!nnn nn z z n z z z z n ∞==-=-+++-+<∞∑L L (4.15)213521sin (1)(21)!(1),.3!5!(21)!n nn n n z z n z z z z z n +∞=+=-+=-+++-+<∞+∑L L (4.16)9.罗朗级数，收敛圆环，罗朗展开式定理 4.11 双边级数100100100()()()()(),nn nn n n n a z z a z z a z z a a z z a z z ∞----=-∞-=+-++-++-++-+∑L L L L 的收敛域若存在必为圆环：0r z z R <-<，且在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐项求积分和逐项求导数.定理 4.12 设()f z 在圆环0r z z R <-<内解析，那么 0()(),,nnf z a z z r z zR ∞-∞=-<-<∑(4.20)其中101()d ,0,1,2,,2π()n n Cf a n i z ξξξ+==±±-⎰L Ñ (4.21)这里C 为圆环0r z z R <-<内任何一条绕0z 的正向简单闭曲线（如图4.5），且(4.20)式是唯一的.注：罗朗展开式只能用间接展开法10. 孤立奇点（1）定义 4.4 若0z z =为函数()f z 的一个奇点，且存在一个去心邻域00z z δ<-<,()f z 在其中处处解析，则0z 称为()f z 的孤立奇点.（2）孤立奇点的罗朗级数：设0z 为()f z 的一个孤立点，因为在00z z δ<-<中()f z 解析，由上一节的定理4.12知()f z 可展成0z z -的罗朗级数，即001()()()nn nnn n f z a z z az z ∞∞--===-+-∑∑（2）孤立奇点的分类：我们按展开式中的负幂项部分的状况把孤立奇点分为三类：1︒ 级数中不出现负幂项，此时称点0z 为()f z 的可去奇点；2︒ 级数中只含有有限个负幂项，则点0z 称为()f z 的极点；3︒ 级数中含有无穷多个负幂项，点0z 称为()f z 的本性奇点.例 4.7 求函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环内的罗朗级数.(1)01z <<; (2)12z <<;(3)2z <<+∞; (4)011z <-<; (5)11z <-<+∞.。
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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结束
铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
复变函数第4章
《复变函数》(第四版) 第4章
第19页
[证]
因
cn
z0n收
敛,
则
lim
n
cn
z0n
0,
n0
则存在M使对所有的n有 | cnz0n | M
如果
|
z
||
z0
|,
则
|z| | z0 |
q
1,
而
n
|
cnzn
||
cn z0n
|
z z0
Mq n
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第20页
n
|
i )n 2
5 (cos
2
i sin )n
2 5
n
cos(n
)
i
sin(
n
)
|n |
n1
n1
2 n
5
收敛.
(公比 |q | < 1)
∴ 原级数绝对收敛.
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第12页
解: 3)
|n |
(1 i)n ( 2 )n cos in
( 2)n ( 2 )n cos in
1 2
| z |2
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第35页
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数绝对收敛. 2
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数发散. 2
故 原级数收敛半径 R 2.
注: 求形如 n z2n 或 n z2n1 (n 0 )
1 chn
en
2 en
2 en
而
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
复变函数第四章
∑c
n=0
∞
n
( z − z0 ) n
(0 < z − z 0 < R )
z → z0
lim f ( z ) = c 0
(有 限 值 )
所以不论 f(z) 原来在 z0 是否有定义, 只要令 f(z0)=c0, 则 函数的展开式就变成在 z0 的邻域（圆域）上的泰勒级 数 f ( z ) = ∑ c ( z − z ) ( z − z < R ) ，从而函数f(z)在 z0 就成 为解析的了， 这也意味着在圆域 |z−z0|<R内函数处处 解析， z0 点不再是奇点， 因此称为“可去奇点”。
例1 判断函数
( z 2 − 1)( z − 2)3 f ( z) = (sin π z )3
在扩充平面内有些什么
类型的奇点? 如果是极点, 指出它的阶数。 [解] 首先考虑分母为零的点：
sin π z = 0 ⇒ z = 0, ±1, ±2,...
显然函数f(z)除这些使分母为零的点外, 在全平面解析。 由于(sinπz)' = πcosπz在z=0, ±1, ±2, …处均不为零, 因 此这些点都是sinπz的一阶零点, 从而是(sinπz)3的三阶 零点. 所以这些点中除去1,−1,2（因为它们同时是分子 的零点）外都是f(z)的三阶极点.
1 d m −1 Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) m f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z
f ( z) = 如果f(z)可以表示为有理函数的形式： P( z ) Q( z )
规则3 并且P(z)及Q(z)在z0都解析, P(z0)≠0, Q(z0)=0, Q'(z0)≠0, 即z0为f(z)的一阶极点, 则
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
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即 R .
2. (极限不存在),
则级数 cnzn 对于复平面内除z 0以外的一切
n0
z 均发散, 即 R 0.
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1 np
，
lim cn1 n cn
lim( n n n
)p 1
lim
n
(1
1 1)
p
1.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
zR R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
当 n 时, n ,
所以数列发散.
例2 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 n 解 级数满足必要条件, 即 lim 1 i2n1 0,
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
(定理二)
实数项级数的审敛问题
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
例如, 级数:
zn
n0
R 均为1, 收敛圆周 z 1 收敛圆周上无收敛点;
zn
n1 n
在点z 1发散, 在其它点都收敛;
zn
n1 n2
在收敛圆周上处处收敛.
3. 收敛半径的求法
方法1: 比值法(定理二):
如果 lim cn1 0, 那末收敛半径 R 1 .
n cn
证
由于
lim cn1 n cn
性的基本方法是:
利用极限
lim
n
sn
s.
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2 zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
2.复数项级数收敛的条件
定理二 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
例3 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例4
级数
[(1)n n1 n
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
由定理二可得 n 是收敛的.
n1
又由
n
n
k k ,
k 1
k 1
可知
n
n
lim
n
k
1
k
lim
n
k 1
k
或 k k .
k 1
k 1
[证毕]
定义
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
说明 由
然而当
z1
1 时,
lim
n
cn1 cn
z1 z1
n1 n
z1
1.
与 cn z1n 收敛相矛盾, 即假设不成立 .
n0
故
cn z n
n0
在圆
z
1
外发散,
所以收敛半径为 R 1 .
[证毕]
注意:
定理中极限 lim cn1 n cn
存在且不为零 .
如果:
1. 0, 则级数 cnzn 在复平面内处处收敛,
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1
n1
且不等式 n n 成立.
n1
n1
注意
n 的各项都是非负的实数,
n1
应用正项级数的审敛法则判定.
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
n0
或
cn zn c0 c1z c2 z2 cn zn .
n0
这种级数称为幂级数.
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那末对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0
级数发散, 那末对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
n0
故级数 cnzn 是绝对收敛的.
n0
另一部分的证明请课后完成.
[证毕]
2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
例如,
级数
1
z
z2 22
zn nn
对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 z 1 , n2
an2 bn2 an bn ,
n
n
n
知
ak2 bk2 ak bk ,
k 1
k 1
k 1
所以 an与bn绝对收敛时,
n1
n1
n也绝对收敛 .
n1
综上:
n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n1
n1
n1
三、典型例题
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1) n
(1
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
四、小结与思考
通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质.
an a bn b ,
所以
lim
n
n
.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
二、级数的概念
1.定义 设{n } {an bn } (n 1,2,)为一复数列,
n
所以 R 1 1.
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim n n
cn
0,
那末收敛半径
R 1.
说明:
如果
0
R R0
(与比值法相同)
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的四则运算
设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而有 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
时, f [g(z)] an[g(z)]n.
n0
说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
定理四 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R,
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
那末 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
2.复数列收敛的条件
复数列{n} (n 1,2,) 收敛于 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
证
如果
lim
n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和