复变函数第四章
复变函数第四章
即 R .
2. (极限不存在),
则级数 cnzn 对于复平面内除z 0以外的一切
n0
z 均发散, 即 R 0.
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1 np
，
lim cn1 n cn
lim( n n n
)p 1
lim
n
(1
1 1)
p
1.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
zR R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
当 n 时, n ,
所以数列发散.
例2 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 n 解 级数满足必要条件, 即 lim 1 i2n1 0,
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
(定理二)
实数项级数的审敛问题
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
复变函数-留数
三、杂例
z3 的二级极点， 解: z 0是f ( z ) 5 sin z 1 d 2 Re s[ f ( z ) ,0] lim [ z f ( z )] ( 2 1)! z0 dz
d z 5 z 4 sinz z cos z lim ( ) lim5( ) z 0 dz sinz z 0 sinz sin2 z
C
1
.
例1 求 Re s{e ：
e
z z 1
z z 1
, 1}. Re s{e
z z 1
1 e , n n 0 n! ( z 1)
, 1} e.
解:
sinz z2 z4 ( 1)n z 2n 1 , z 3! 5! ( 2n 1)!
解:
z sin z z 0是 在 | z | 1的孤立奇点， z 3 (1 e )
z3 z5 z( z ) z sinz 3! 5! f ( z) z2 z3 (1 e z )3 3 ( z ) 2! 3!
z2 z4 (1 ) z2 1 3! 5! 3 (1 1 z 2 z 2 ). z z2 z z 3 (1 ) 2! 3! z2 z4 (1 ) 3! 5! 在z 0解 析. 2 z z (1 )3 2! 3!
1 c 1 , 9!
sinz 1 Re s{ 10 , 0} c1 . z 9!
1 Re , 1}. 例3: 求 ： s{ 2 z( z 1) 1 点 . 解: z 1是 z( z 1 2 的 孤 立 奇 点 （ 二 级 极 ） ）
1 在0 | z 1 1解 析. 2 z( z 1 ） 0 | z 1 1, 1 1 1 2 2 z( z 1 ） ( z 1 1 ( z 1) ）
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
复变函数PPT第四章
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
(整理)复变函数第4章
第四章 解析函数的级数表示法1. 复数列和复数列的极限（1）定义 4.1 设{}(1,2,)n a n =L 为一复数列，其中.n n n a i a i αβαβ=+=+为一确定的复数. 如果对任意的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-< (4.1)成立，则称a 为复数列{a n }当n →∞时的极限，记作lim n n a a →∞=.并称复数列{a n }收敛于a .（2）与实数列极限的关系：定理 4.1 复数列{a n }收敛于a 的充分必要条件是：lim ,lim n n n n a a ββ→∞→∞==.lim .n n a a →∞=2. 复级数 （1）定义设(1,2,3,) n n n a i n αβ=+=L 为一复数列，表达式121nn n aa a a ∞==+++∑L L (4.2)称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n 项部分和为12,1,2,,n n S a a a n =+++=L L{}n S 称为该级数的部分和数列.显然，若一般项a n 的虚部0(1,2,)n n β==L 则级数1n n a ∞=∑实质上是实级数，因此实级数可以看作是复级数的特例.定义 4.2 若级数1nn a∞=∑对应的部分和数列{}n S 收敛于常数S ，即lim n n S S →∞=那么1nn a∞=∑称为收敛的级数.数S 叫做该级数的和，记为1.nn aS ∞==∑若lim n n S →∞不存在，则称1nn a∞=∑为发散的级数.我们首先研究级数(4.2)的收敛性问题. （2）收敛的条件： 定理 4.2复级数1nn a∞=∑收敛于S 的充要条件是实级数1nn α∞=∑和1nn β∞=∑分别收敛于δ和τ，其中i ,(1,2,).n n n S a n δταβ=+=+=L定理 4.3 复级数1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0.n n a →∞=3.绝对收敛与条件收敛 （1）定义4.3 对于复级数1nn a∞=∑，若1nn a∞=∑收敛，则称级数1nn a∞=∑绝对收敛；若1nn a∞=∑发散，而1nn a∞=∑收敛，则称级数1nn a∞=∑条件收敛.（2）定理 4.4 如果级数1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑也收敛，且不等式11n nn n a a∞∞==≤∑∑成立.（3）推论 4.1 设i ,1,2,n n n a n αβ=+=L . 则级数1nn a∞=∑绝对收敛的充要条件是级数1nn α∞=∑和1nn β∞=∑都绝对收敛.4. 幂级数的概念所谓幂级数，是指形如01000()()()nn nn n a z z a a z z a z z ∞=-=+-++-+∑L L (4.3)的表达式.给定z 的一个确定值z 1，则(4.3)为复数项级数100110100()()()n n n n n a zz a a z z a z z ∞=-=+-++-+∑L L (4.4)若(4.4)所表示的级数收敛，则称幂级数(4.3)在z 1处收敛，z 1称为(4.3)的一个收敛点，否则则称为发散点.若D 为级数(4.3)所有收敛点的集合，则级数在D 上的和确定一个函数S (z ):0100()()(),,n n S z a a z z a z z z D =+-++-+∈L L (4.5)称S (z )为(4.3)的和函数. 5.收敛半径和收敛圆定理 4.5 如果幂级数0n n n a z ∞=∑在1(0)z z =≠收敛，则对于满足1z z <的z ，级数必绝对收敛；如果在2z z =处级数发散，则对于2z z >的z ，级数必发散.根据定理4.5，幂级数(4.6)的收敛情况必是下列情形之一：1°除z =0外，级数处处发散；2°对于所有z 级数都收敛，由定理4.5知，级数在复平面内处处绝对收敛； 3°存在一个正实数R ,使级数在|z |<R 中收敛，在|z |>R 中发散（如图4.1）.我们把该正实数R 称为级数(4.6)的收敛半径，以原点为中心，半径为R 的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数(4.3)来说，它的收敛圆是以z 0为中心的圆盘.值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能作出一般的结论，要对具体级数进行具体分析 6. 收敛半径的求法定理4.6 若nn n a z∞=∑的系数满足1lim ,n n na a ρ→∞+==则1°当0ρ<<+∞时，1R ρ=；2°当0ρ=时，R =+∞(处处收敛)； 3°当ρ=+∞时，R =0(仅有一个收敛点z =0). 定理 4.7 若幂级数nn n a z∞=∑的系数满足,n ρ=则1°当0ρ<<+∞时，1R ρ=；2°当0ρ=时，R =+∞； 3°当ρ=+∞时，0R =. 图4.17. 幂级数的运算及性质性质 4.1 若幂级数nn n a z∞=∑和nn n b z∞=∑的收敛半径分别为R 1和R 2，则幂级数()n nn n ab z ∞=±∑的收敛半径不小于12min(,)R R R =，且在R z <内有：().nnn nnnn n n n a z b z ab z ∞∞∞===±=±∑∑∑性质 4.2 若幂级数nn n a z∞=∑和nn n b z∞=∑的收敛半径分别为R 1和R 2，则幂级数20001100211200()()()n i n i i a b a b a b z a b a b a b z a b z ∞-=++++++++∑L L的收敛半径不小于12min(,)R R R =，且在R z <内有：().nn nn nni n i n n n i a z b za b z ∞∞∞-====⋅=∑∑∑∑上述性质说明了由两个幂级数经过相加或相乘的运算后，所得到的幂级数的收敛半径只是大于或等于R 1和R 2中较小的一个.定理 4.8 设幂级数()nnn a z z ∞=-∑的收敛半径为R ，那么1°它的和函数0()()nn f z a z z ∞==-∑在收敛圆0z z R -<内是解析函数.2°()f z 的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即100()()n n n f z na z z ∞-='=-∑.3°()f z 在0z z R -<内可以逐项积分，即()()d d nnn CCf z z a z z z ∞==-∑⎰⎰其中C 为0z z R -<内的曲线（证明略）. 8.泰勒(Taylor)展开式定理 4.9 设K 表示以z 0为中心，半径为r 的一个圆，()f z 在K 内解析，则()f z 可以在K 内展开成幂级数，即()000()()(),,!n n n f z f z z z z K n ∞==-∈∑(4.8) 并称它为()f z 在z 0的泰勒(Taylor)展开式，(4.8)式右端的级数称为()f z 的泰勒级数. 间接展开法：由于解析函数在一点的泰勒展开式是唯一的，借助于已知函数的展开式并利用幂级数的一些性质来求得另一函数的泰勒展开式，这种方法称为间接法211, 1.1n z z z z z=+++++<-L L (4.13)1,!e nzz z z n =++++<∞L L (4.14)20252cos (1)(2)!1(1),.2!5!(2)!nnn nn z z n z z z z n ∞==-=-+++-+<∞∑L L (4.15)213521sin (1)(21)!(1),.3!5!(21)!n nn n n z z n z z z z z n +∞=+=-+=-+++-+<∞+∑L L (4.16)9.罗朗级数，收敛圆环，罗朗展开式定理 4.11 双边级数100100100()()()()(),nn nn n n n a z z a z z a z z a a z z a z z ∞----=-∞-=+-++-++-++-+∑L L L L 的收敛域若存在必为圆环：0r z z R <-<，且在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐项求积分和逐项求导数.定理 4.12 设()f z 在圆环0r z z R <-<内解析，那么 0()(),,nnf z a z z r z zR ∞-∞=-<-<∑(4.20)其中101()d ,0,1,2,,2π()n n Cf a n i z ξξξ+==±±-⎰L Ñ (4.21)这里C 为圆环0r z z R <-<内任何一条绕0z 的正向简单闭曲线（如图4.5），且(4.20)式是唯一的.注：罗朗展开式只能用间接展开法10. 孤立奇点（1）定义 4.4 若0z z =为函数()f z 的一个奇点，且存在一个去心邻域00z z δ<-<,()f z 在其中处处解析，则0z 称为()f z 的孤立奇点.（2）孤立奇点的罗朗级数：设0z 为()f z 的一个孤立点，因为在00z z δ<-<中()f z 解析，由上一节的定理4.12知()f z 可展成0z z -的罗朗级数，即001()()()nn nnn n f z a z z az z ∞∞--===-+-∑∑（2）孤立奇点的分类：我们按展开式中的负幂项部分的状况把孤立奇点分为三类：1︒ 级数中不出现负幂项，此时称点0z 为()f z 的可去奇点；2︒ 级数中只含有有限个负幂项，则点0z 称为()f z 的极点；3︒ 级数中含有无穷多个负幂项，点0z 称为()f z 的本性奇点.例 4.7 求函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环内的罗朗级数.(1)01z <<; (2)12z <<;(3)2z <<+∞; (4)011z <-<; (5)11z <-<+∞.。
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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结束
铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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结束
铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
复变函数第4章
《复变函数》(第四版) 第4章
第19页
[证]
因
cn
z0n收
敛,
则
lim
n
cn
z0n
0,
n0
则存在M使对所有的n有 | cnz0n | M
如果
|
z
||
z0
|,
则
|z| | z0 |
q
1,
而
n
|
cnzn
||
cn z0n
|
z z0
Mq n
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第20页
n
|
i )n 2
5 (cos
2
i sin )n
2 5
n
cos(n
)
i
sin(
n
)
|n |
n1
n1
2 n
5
收敛.
(公比 |q | < 1)
∴ 原级数绝对收敛.
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第12页
解: 3)
|n |
(1 i)n ( 2 )n cos in
( 2)n ( 2 )n cos in
1 2
| z |2
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第35页
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数绝对收敛. 2
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数发散. 2
故 原级数收敛半径 R 2.
注: 求形如 n z2n 或 n z2n1 (n 0 )
1 chn
en
2 en
2 en
而
复变函数第四章
∑c
n=0
∞
n
( z − z0 ) n
(0 < z − z 0 < R )
z → z0
lim f ( z ) = c 0
(有 限 值 )
所以不论 f(z) 原来在 z0 是否有定义, 只要令 f(z0)=c0, 则 函数的展开式就变成在 z0 的邻域（圆域）上的泰勒级 数 f ( z ) = ∑ c ( z − z ) ( z − z < R ) ，从而函数f(z)在 z0 就成 为解析的了， 这也意味着在圆域 |z−z0|<R内函数处处 解析， z0 点不再是奇点， 因此称为“可去奇点”。
例1 判断函数
( z 2 − 1)( z − 2)3 f ( z) = (sin π z )3
在扩充平面内有些什么
类型的奇点? 如果是极点, 指出它的阶数。 [解] 首先考虑分母为零的点：
sin π z = 0 ⇒ z = 0, ±1, ±2,...
显然函数f(z)除这些使分母为零的点外, 在全平面解析。 由于(sinπz)' = πcosπz在z=0, ±1, ±2, …处均不为零, 因 此这些点都是sinπz的一阶零点, 从而是(sinπz)3的三阶 零点. 所以这些点中除去1,−1,2（因为它们同时是分子 的零点）外都是f(z)的三阶极点.
1 d m −1 Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) m f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z
f ( z) = 如果f(z)可以表示为有理函数的形式： P( z ) Q( z )
规则3 并且P(z)及Q(z)在z0都解析, P(z0)≠0, Q(z0)=0, Q'(z0)≠0, 即z0为f(z)的一阶极点, 则
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只有有限负幂次项，称z =z0为f (z)的m 级极点;
有无穷多负幂次项，称z =z0为f (z)的本性奇点。
83 84
2016/11/28
所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果令f(z0) =c0,则 在圆域|z-z0|内就有 f(z) = c0c1(z-z0) cn(z-z0)n 从而函数f(z)在z0就成为解析的了. 由于这个原因, 所 以z0称为可去奇点. 若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
1
2
o
2
x
练习：
(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒 (Taylor)级数，在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数。 (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。 Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心，奇点为分 隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展 成级数。
1
y
y
2
x
o
1
2
x
o
1
2
x
解
没 有 奇 点
2016/11/28
小结：把 f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：
(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数 分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用 ,经计算展成需要的形式。如例4。
例5
y
(2) 在(最大的)去心邻域 x
1
o 解 (1) 在(最大的)去心邻域
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
没有负幂次项，称z =z0为f (z)的可去奇点; 这时, f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是 一个普通的幂级数: c0c1(z-z0) cn(z-z0)n 因此, 这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数, 且当zz0时, F(z) =f(z); 当z =z0时, F(z0)=c0. 由于
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
解
2016/11/28
(2)由幂级数逐项求导性质得：
(1)另一方面，因ln(1+z)在从z = 1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是1,它的展开式的收敛范围为z<1.
例3 把下列函数展开成 z - z0 的幂级数:
88
定理
例如
事实上，
必要性得证！
充分性略！
89
定理：不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
90
2016/11/28
定理
证明 “” 若z0为f (z)的m 级极点
91
92
例
综合
解
显然，z = i 是(1+z2)的一级零点
93
94
5. 函数在无穷远点的性态
如果函数 f(z)在无穷远点z = 的去心邻域 R<|z|< 内解析, 称点为 f(z)的孤立奇点． 作变换t 1z, 并且规定这个变换把扩充 z 平面上 的无穷远点z =映射成扩充 t 平面上的点t =0, 则 扩充z 平面上每一个向无穷远点收敛的序列{zn}与 扩充t 平面上向零收敛的序列{tn 1 zn}相对应. 反 过来也是这样.同时, t 1z 把扩充 z 平面上的去 心邻域 R<|z|<+ 映射成扩充 t 平面上原点的去心 这样, 我们可把在去心邻域 R<|z|<+内对 f(z) 的 研究变为在去心邻域 0<|t|< 1R内对(t)的研究. 显然 (t) 在去心邻域 0<|t|< 1R 内解析, 所以 t=0是 (t) 的孤立奇点. 规定, 如果t=0是(t)的可去奇点, m级极点或本 性奇点, 则称点z =是f(z)的可去奇点, m级极点或 本性奇点. 由于f(z)在R<|z|<+内解析, 所以在此圆环域内 可以展开成洛朗级数, 根据(4.4.5)与(4.4.8),有
---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和 称为幂级数
2016/11/28
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理）
证明
(2)用反证法，
小，在c外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。 显然，< 否则，级数(3)将在处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变
2016/11/28
第四章
级
数
§1 复数项级数
内 容 简 介
与研究实函数一样，级数是研究复变函数的重 要工具。把解析函数表示为幂级数的主要作用在 于通过对幂级数的研究来研究函数使 问题大大简 化,利用级数还可计算函数的近似值.在许多带应 用性质的问题中(如解微分方程等)也常常用到级 数,本章讨论把解析函数表为幂级数的问题。
定理：设 f(z) 在区域 D内解析，z0∈D，d为z0到D的 边界上各点的最短距离，则当|z-z0|< d 时，有
成立。其中 C是任一圆周：|z-z0|=ρ< d。
D
C
证明：设圆域|z-z0|<d为区域E，对于E内任一点z， 必存在一个圆周C：|-z0|=<d，|z-z0|<，用柯西积分公式
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4. 收敛半径的求法
定理2 (比值法) 证明
例1
解
定理3 (根值法)
综上
例2 求下列幂级数的收敛半径:
解 (1) p=1 该级数发散 该级数收敛 p=2 该级数在收敛圆上是处处收敛的。 综上 该级数收敛， 该级数发散。
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5. 幂级数的运算和性质
故该级数在复平面上是处处收敛 的。
R1
R2
z0
z0
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3. 函数展开成双边幂级数
定理
证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：
R2 R r R1
D z
z0 记为I1 记为I2
k1
D1
k2
式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子：
解
定理
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4. 解析函数的零点
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
定理
事实上，
则称z =z0为f (z) 的m 级零点。 例如： 必要性得证！ 充分性略！
例如
§4 罗朗(Laurent)级数
1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性
---含有正负幂项的级数
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 即，级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散。
---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分：
负幂项部分：
(2)在圆环域的边界z - z0R1, z - z0R2上,
R2 R1
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义 又设复常数：
定理1 证明
2. 级数的概念
定义 设复数列： ---无穷级数 级数的前面n项的和 ---级数的部分和
例1 解
定理2 证明
不收敛
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性质 定理3 证明
由定理2，复数项级数的审敛问题可归之为 两个实数项级数的审敛问题。
y
以下将f (z)在孤立奇点的去心邻域内展成洛朗级数， 根据展开式的不同情况，将孤立奇点进行分类。考察：
特点： 没有负幂次项
o x
这说明奇点未 必是孤立的。
特点： 只有有限负幂次项
特点： 有无穷多负幂次项
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定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，将 f (z)在z0的 去心邻域0z z0 内展成洛朗级数，若
由定理3的证明过程，及不等式 定理4
定义
?
例2
§2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
解
1. 幂级数的概念
定义 设复变函数列：
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中
z0
事实上，
R2
DR1c源自2016/11/28R2
D
R1
z0
c
由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大多数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法。 例1 解
例2 解
例4
y 例3 解 o
例如： z =1为f (z)的一个三级极点, z = i为f (z)的一级极点。 若z0为f(z)的极 点 若z0为f (z)的本性奇点
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4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 中含有无穷多个z的负幂项．
则称z =z0为f (z) 的m 级零点。 例如：
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由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
3. 简单初等函数的泰勒展开式