天津市河东区2019年一模考试理科数学试卷(无答案)

2019年河东区一模考试理科数学
一、选择题
1.已知i 是虚数单位，R x ∈，复数()()i i x z ++=2为纯虚数，则i x -2的模等于（） A.1 B.2 C.3 D.2
2.已知y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≥-3030x y x y x ，则y x z 3+=的最小值等于（）
A.3
B.6
C.9
D.12
3. 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
4.设R x ∈，则“21<<x ”是“12<-x ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要
5.偶函数()x f 在[]20，上递增，则()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==22log ,41log ,1221f c f b f a 大小为（） A.b a c >> B.b c a >> C.c a b >> D.c b a >>
6.为了得到函数x y 2cos 3=图象，只需把函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=62sin 3πx y 图象上所有点（） A.向右平行移动
12π个单位长度 B.向右平行移动6π
个单位长度 C.向左平行移动12π个单位长度 D.向左平行移动6
π
个单位长度
7.已知21F F ，分别是双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条
渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A.()21， B.(
)
∞+，3 C.()21， D.()∞+，2
8.定义域为
R
的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当[)20，
∈x 时，()[)
[)⎪⎩⎪
⎨⎧∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈-=-2,1211,02
32x x x
x x f x ，若当[)2,4--∈x 时，不等式()21
42+-≥m m x f 恒成立，则实数m 的取值范围是（）
A.[]32，
B.[]31，
C.[]41，
D.[]42，
二、填空题
9.集合{}{}
02,3,2,1,02
≤-==x x x B A ，则B A =______.
10.若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-1的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为_______（用数字作答）
11.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面时正三角形.如果三棱柱的体积为312，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为________
12. 某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行，那么安排这5项工程的不同排法种数是______.
13.如图在平行四边形ABCD 中，已知2,3,5,8=⋅===BP AP PD CP AD AB ，则
AD AB ⋅的值是______
14.若实数y x ,满足()()()1
2111cos 22
22
+---++=-+y x xy
y x y x ，则xy 的最小值为________.
三、解答题 15.
在
ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，
()()()()R x C B x A x x f ∈++-=sin cos sin 2，函数()x f 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛06，π对称
（1）当⎪⎭
⎫
⎝
⎛
∈2,
0πx 时，求()x f 的值域；（2）若7=a 且14
3
13sin sin =+C B ，求ABC ∆的面积.
16.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制.一直所有这些学生的
原始成绩均分布在[]10050，
内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：C B A ,,
了解该校高一年级身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
[)[)[)[)[]100909080807070606050，，，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图1所示，样本中分
数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
（1）求n 和频率分布直方图中的y x ,的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高
一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从C A ,两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记X 表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量X 的分布列及数学期望.
17.如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，
底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥,4,22,//===PC CD AD AB CD AB ，E 为线段PB 上一点
（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC （2）若二面角E AC P --的余弦值为
36，求BP
BE
的值
18.在等差数列{}n a 中，已知公差2=d ，2a 是1a 与4a 的等比中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131
n n n b b b b
a =++++++++…，
求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）令4
n n
n a b c =（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19.已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的短轴的一个顶点和两个焦点构成正三角形，且该三
角形的面积为3 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设21,F F 是椭圆的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点1F 和2F ，求这个平行四边形面积的最大值.
20. 已知函数，()x e
ex
x g =，其中均为实数．（1）求函数的极值；
（2）设，，
若对任意的、，()()()()
11
2221x g ex
x g ex x f x f -<-恒成立，求实数的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，，使得
成立，求实数的取值范围．
()ln f x mx a x m =--,m a ()g x 1m =0a <1x 2x 12[3,4]()x x ∈≠a 2a =0(0,]x e ∈(0,]e 1t 2t 12()t t ≠()120()()f t f t g x ==m。

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2019年天津市部分区中考数学一模试卷-解析版

2019年天津市部分区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 计算6×(−9)的结果等于( )A. −15B. 15C. 54D. −542. cos60°的值等于( )A. 12B. √22C. √32D. √333. 据《人民日报》报道，1月9日在京举行的2019年全国科技工作会议传来好消息，我国研发人员总量预计达到4 180 000人，居世界第一，将4 180 000用科学记数法( )A. 0.418×107B. 4.18×106C. 41.8×105D. 418×1044. 下列图形中，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.6. 下列整数中，与√35最接近的是( )A. 4B. 5C. 6D. 77. 方程组{3x −2y =55x +4y =1的解是( )A. {x =1y =1B. {x =1y =−1C. {x =2y =12D. {x =13y =−28. 下列等式成立的是( )A. 1a +2b =3a+b B. 22a+b =1a+b C. a−a+b =−aa+bD. abab−b 2=aa−b9.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为()A. 3B. 4C. 5D. 610.已知反比例函数y=−8，下列结论错误的是()xA. y随x的增大而减小B. 图象位于二、四象限内C. 图象必过点(−2,4)D. 当−1<x<0时，y>811.如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l的某点P处修建一个向A，B供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设管道一定最短的是()A. B.C. D.12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)，其对称轴是x=1，与x轴的一个交点在(2,0)，(3,0)之间，有下列结论：①abc<0；②a−b+c=0；③若此抛物线过(−2,y1)和(3,y2)两点，则y1<y2.其中，正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.计算(x+2)(x−2)的结果等于______．14.计算(4√2−√6)÷√2的结果等于______．15.不透明袋子中装有17个球，其中有8个红球、6个黄球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率______．16.若一次函数的图象与直线y=−3x平行，且经过点(1,2)，则一次函数的表达式为______．17.如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为______．18.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点．(1)线段AC的值为______；(2)在如图所示的网格中，AM是△ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CP+DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的(不要求证明)．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解不等式组：{x−3≥−6 ①−(x−1)≥−1 ②请结合题意填空，完成本题的解答(1)解不等式①，得______；(2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(4)原不等式组的解集为______．20.为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试(把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格)，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整．(2)抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在______级；(3)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．21.已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BCD=148°．(1)如图①，若E为AB上一点，延长DE交⊙O于点P，连接AP，求∠AFD的大小；(2)如图②，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线交于点P，求∠APD的大小．22.某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高度数据进行对比．如图，在E处测得无人机C的仰角∠CAB=45°，在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30°，已知测角仪的高AE=BD=1m，E，D两处相距50m，请根据数据计算无人机C的高(结果精确到0.1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)．23.一辆汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知该汽车平均耗油量为0.1L/km．(1)计算并填写表：x(单位：km)10100300…y(单位：L)______ ______ ______ …(2)写出表示y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(3)若A，B两地的路程约有230km，当油箱中油量少于5L时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车是否会报警请说明理由．24.如图①，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是正方形，点P为正方形AOBC对角线的交点，点O(0,0)，点A(2,0)点B(0,2)分别延长PC到D，PA到F，使PD=2PC，PF=2PA，再以PD，PF为邻边作平行四边形PDEF．(1)求点D的坐标；(2)如图②，将四边形PDEF绕点P逆时针旋转得四边形PD′E′F′，点D，E，F旋转后的对应点分别为D′，E′，F′，旋转角为(0°<α<360°)；①在旋转过程中，当∠PBD=90°时，求点D′的坐标；②在旋转过程中，求BE′的取值范围(直接写出结果即可)．25.函数y=−12x2+mx+1(x≥0,m>0)的图象记为C1，函数y=−12x2−mx−1(x<0,m>0)的图象记为C2，其中m为常数，C1与C2合起来的图象记为C．(1)若C1过点(1,1)时，求m的值；(2)若C2的顶点在直线y=1，求m的值；(3)设C在−4≤x≤2上最高点的纵坐标y0，当32≤y0≤9时，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】原式利用乘法法则计算即可求出值．此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．【解答】解：原式=−6×9=−54，故选：D．2.【答案】A．【解析】解：cos60°=12故选：A．根据特殊角的三角函数值解题即可．本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．3.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：4 180 000用科学记数法表示成：4.18×106，故选B．4.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．5.【答案】D【解析】解：这个几何体的主视图为：．故选：D ．画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．6.【答案】C【解析】解：∵52=25，62=36，∴5<√35<6，25与35的距离大于36与35的距离， ∴与√35最接近的是6．故选：C ．根据5<√35<6，25与35的距离小于36与35的距离，可得答案．本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关键．7.【答案】B【解析】解：{3x −2y =5①5x +4y =1②，①×2+②，得 11x =11解得，x =1，将x =1代入①，得 y =−1，故原方程组的解是{x =1y =−1，故选：B ．根据解二元一次方程组的方法可以解答本题．本题考查解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．8.【答案】D【解析】接：A 、两边不相等，故本选项不符合题意； B 、22a+2b =1a+b ，两边不相等，故本选项不符合题意；C 、a−a+b =a−(a−b)=−aa−b ，两边不相等，故本选项不符合题意； D 、abab−b 2=abb(a−b)=aa−b ，故本选项符合题意；故选：D ．根据分式的基本性质逐个判断即可．本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵D是AB中点，AB=6，∴AD=BD=3，∵折叠∴DN=CN，∴BN=BC−CN=9−DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=(9−DN)2+9，∴DN=5∴BN=4，故选：B．由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求BN的长．本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．10.【答案】A中k=−8<0，【解析】解：反比例函数y=−8x在每个象限内y随着x的增大而增大，故A错误，符合题意，故选：A．利用反比例函数的性质判断后即可确定错误的选项．本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据比例系数的符号确定其性质，难度不大．11.【答案】A【解析】解：如图，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P点，则此时为所求，故选：A．先作点A关于直线l的对称点A，再连接A′B，即可得出答案．本题天考查了轴对称−最短路线问题，能正确画出图形是解此题的关键．12.【答案】C【解析】解：①由a<0，对称轴是x=1，可知b>0，由抛物线与x轴的一个交点在(2,0)，(3,0)之间，可知另一交点位于(0,0)与(−1,0)之间，抛物线与y轴交于正半轴，c>0，所以abc<0，故①正确；当x=−1时，a−b+c<0，故②错误；③抛物线上点(−2,y1)关于对称轴x=1的对称点为(4,y1 )，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，4>3，所以y1<y2，故③正确；正确的是①③，共2个，故选：C．由抛物线的对称轴x=1和a<0可判断b>0，由抛物线与x轴的一个交点在(2,0)，(3,0)之间，可知另一交点位于(0,0)与(−1,0)之间，抛物线与y轴交于正半轴，c>0，由此判断结论①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，求出当x=−1时，a−b+c<0，判断结论②；利用对称性先找到(−2,y1)关于对称轴x=1的对称点为(4,y1 )，再利用增减性判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数图象的性质是解题的关键．13.【答案】x2−4【解析】解：(x+2)(x−2)=x2−4．故答案为：x2−4．平方差公式特点是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，计算结果是相同项的平方减去相反项的平方．本题考查了平方差公式，正确运用平方差公式是解题的关键．14.【答案】4−√3【解析】解：原式=4−√3．故答案为4−√3．利用二次根式的除法法则进行计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.【答案】317【解析】解：∵袋子中共有17个小球，其中绿球有3个，∴摸出一个球是绿球的概率是3，17故答案为：3．17根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，．其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn16.【答案】y=−3x+5【解析】【分析】设一次函数的表达式为：y=kx+b，根据两直线平行求出k，利用待定系数法计算即可．本题考查的是两条直线的平行问题，若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．【解答】解：设一次函数的表达式为：y=kx+b，∵一次函数的图象与直线y=−3x平行，∴k=−3，∵一次函数经过点(1,2)，∴−3+b=2，解得，b=5，则一次函数的表达式为y=−3x+5，故答案为y=−3x+5．17.【答案】92【解析】解：如图，连接CE，∵AD是等边△ABC的高∴∠BDA=90°∵△ABC，△ADE是等边三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AE=AD∴△ABD≌△ACE(SAS)∴∠ADB=∠AEC=90°，∵F为AC中点，∴EF=12AC=92故答案为：92由“SAS”可得△ABD≌△ACE，可得∠ADB=∠AEC=90°，由直角三角形的性质可求EF的长．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形性质，证明∠AEC=90°是本题的关键．18.【答案】(1)5；(2)如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所求．【解析】解：(1)AC=√32+42=5，故答案为5．(2)见答案．【分析】(1)利用勾股定理即可解决问题．(2)如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所求．本题考查作图−复杂作图，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】(1)x≥−3(2)x≤2(3)见解析(4)−3≤x≤2【解析】解：(1)解不等式①，得x≥−3，(2)解不等式②，得：x≤2，(3)不等式①和②的解集在数轴上表示为：(4)原不等式组的解集为−3≤x≤2．故答案为：x≥−3；x≤2；−3≤x≤2．(1)根据不等式的性质求出即可；(2)根据不等式的性质求出即可；(3)把不等式的解集在数轴上表示出来即可；(4)根据数轴求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．20.【答案】解：(1)54°；C级学生有：40−6−12−8=14(人)，补全的条形统计图如图所示，(2)C；=72(分)，(3)90×6+80×12+70×14+50×840答：抽取的这部分学生体育的平均成绩是72分．【解析】解：(1)本次抽查的学生有：12÷30%=40(人)，=54°，∠α的度数是：360°×640C级学生有：40−6−12−8=14(人)，补全的条形统计图如右图所示，故答案为：54°；(2)由统计图可得，抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在C级，故答案为：C；(3)见答案．【分析】(1)根据统计图中的数据可以计算出本次抽查的学生数，从而可以求得∠α的度数和C级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；(2)根据(1)中补充完整的条形统计图和中位数的定义可以解答本题；(3)根据题意和统计图中的数据可以计算出抽取的这部分学生体育的平均成绩．本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：(1)连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BCD=148°，∴∠BAD=32°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=58°，∴∠APD=∠ABD=58°；(2)连接AD，由(1)知∠BAD=32°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD=32°，∵DP切⊙O于A，∴OA⊥PA，∴∠PAO=90°，∴∠PAD=∠PAO+∠OAD=122°，∵∠PAD+∠ADO+∠APD=180°，∴∠APD=26°．【解析】(1)如图①，连接BD，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD=180°，求得∠BAD=32°，根据圆周角定理得到∠BDA=90°，求得∠BAD+∠ABD=90°，于是得到结论；(2)由(1)知∠BAD=32°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠OAD=32°，根据切线的性质得到OA⊥PA，求得∠PAO=90°，根据三角形的内角和即可得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，伊能静三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：如图，过点C作点CH⊥AB于H．∵∠CAB=45°，∴AH=CH，设CH=x，则AH=x，∵∠CBA=30°，∴BH=√3CH=√3x，由题意知：AB=ED=50，∴x+√3x=50，≈18.3.18.3+1=19.3，解得：x=502.73答：计算得到的无人机的高约为19.3m．【解析】如图，过点C作点CH⊥AB于H.设AH=CH=x，根据AB=50，构建方程即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】(1)49，40，20；(2)y与x的函数关系式：y=50−0.1x，根据题意，50−0.1x≥0，解得x≤500．故x的取值范围为：0≤x≤500，(3)当y=5时，50−0.1x=5，解得x=450．因此当汽车行驶450km就会报警，而往返路程为：230×2=460km．∵450<460，∴汽车会报警．【解析】解：(1)根据题意，当x=10时，y=50−0.1×10=49；当x=100时，y= 50−0.1×100=40；当x=300时，y=50−0.1×300=20；故答案为：49，40，20；(2)见答案；(3)见答案．【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练一次函数的应用以及将一次函数与实际问题联系起来是解答此题的关键．(1)根据题意，分别把行驶10，100，300km的耗油量算出来，然后在用50减去耗油量，即可得到剩余油量；(2)剩余油量=50−耗油量；当x应当大于等于0，但行驶的路程小于50L所行驶的路程；(3)先算出45L所行驶的总路程，然后算出往反路程，进行比较．24.【答案】解：(1)过点D作DH⊥x轴于H，如图①所示：∵点O(0,0)，点A(2,0)，点B(0,2)，∴OA=OB=2，∴正方形AOBC的边长为2，∴AC=2，AB⊥OC，PC=PA，∵PD=2PC，PF=2PA，∴PD=PF，∴平行四边形PDEF是正方形，∵四边形AOBC是正方形，点P为正方形AOBC对角线的交点，∴∠COA=45°，OP=PC=PB=PA，OC=√OA2+AC2=√22+22=2√2，∴OP=PC=PB=PA=√2，∵PD=2PC，∴OD=OP+PD=3PC=3√2，∵∠COA=45°，DH⊥x，∴△OHD是等腰直角三角形，∴OH=DH=√22OD=√22×3√2=3，∴点D的坐标为(3,3)；(2)①过点B作PB⊥l，则点D落在直线l上，如图②所示：当α=30°时，在Rt△PBD′中，∵PD′=2PB，∴∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，∵∠PBD′=90°，∠PBC=45°，∴∠D′BK=45°，∴△BD′K是等腰直角三角形，∴BK=D′K=√22BD′，由勾股定理得：BD′=√PD′2−BP2=√(2√2)2−(√2)2=√6，∴BK=D′K=√22BD′=√3，∴点D′的坐标为(√3,2+√3)；当α=150°时，在Rt△PBD′中，∵PD′=2PB，∴∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，∵∠PBD′=90°，∠PBC=45°，∴∠D′BK=45°，∴△BD′K是等腰直角三角形，∴BK=D′K=√22BD′，由勾股定理得：BD′=√PD′2−BP2=√(2√2)2−(√2)2=√6，∴BK=D′K=√22BD′=√3，∴点D′的坐标为(−√3,2−√3)；综上所述，在旋转过程中，当∠PBD=90°时，点D′的坐标为(√3,2+√3)或(−√3,2−√3)；②连接PE′，如图③所示：由勾股定理得：PE′=√2PD′=4，当PE′与PB重合时，BE′为最小值=PE′−PB=4−√2，当PE′与PA重合时，BE′为最大值=PE′+BPP=4+√2，∴BE′的取值范围是4−√2≤BE′≤4+√2．【解析】(1)过点D作DH⊥x轴于H，由题意得出OA=OB=2，AC=2，由正方形的性质得出∠COA=45°，OP=PC=PB=PA，由勾股定理得出OC=√OA2+AC2=2√2，得出OP=PC=PB=PA=√2，求出OD=OP+PD=3PC=3√2，证出△OHD是等腰直角三角形，得出OH=DH=3，即可得出答案；(2)①过点B作PB⊥l，则点D落在直线l上，当α=30°时，在Rt△PBD′中，证出∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，证出△BD′K是等腰直角三角形，得出BK=D′K=√22BD′，由勾股定理得：BD′=√6，得出BK=D′K=√22BD′=√3，即可得出答案；当α=150°时，在Rt△PBD′中，证出∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，证出△BD′K是等腰直角三角形，得出BK=D′K=√22BD′，由勾股定理得：BD′=√6，得出BK=D′K=√22BD′=√3，即可得出答案；②连接PE′，由勾股定理得：PE′=√2PD′=4，当PE′与PB重合时，BE′为最小值=PE′−PB=4−√2，当PE′与PA重合时，BE′为最大值=PE′+BPP=4+√2，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、旋转变换的性质、直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.【答案】解：(1)将点(1,1)代入y=−12x2+mx+1，∴m=12；(2)C2的顶点为(−m,m22−1)，∵顶点在直线y=1，∴m22−1=1，∴m=±2，∵m>0，∴m=2；(3)∵y=−12x2+mx+1的顶点为(m,m22+1)，y=−12x2−mx−1的顶点为(−m,m22−1)，当0<m≤2时，32≤y0=m22+1≤9，∴1≤m≤2；当2<m≤4时，当x=2时，y0=2m−1，∴32≤y0=2m−1≤9，∴2<m≤4；当m>4时，当x=−4时，y0=−9+4m，∴32≤y0=−9+4m≤9，∴4≤m≤92；综上所述：1≤m≤92；【解析】本题考查二次函数的图象及性质；掌握函数图象的特点，熟练在给定区间内求函数的最值，数形结合解题是关键．(1)将点(1,1)代入y=−12x2+mx+1，即可求解；(2)C2的顶点为(−m,m22−1)，m22−1=1；(3)y=−12x2+mx+1的顶点为(m,m22+1)，y=−12x2−mx−1的顶点为(−m,m22−1)，分三种情况讨论：当0<m≤2时，32≤y0=m22+1≤9，当2<m≤4时，32≤y0=2m−1≤9，当m>4时，32≤y0=−9+4m≤9；。

天津市河东区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析

天津市河东区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A．1 B．0 C．±1 D．±1和02．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是()①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①②B．①④C．②③D．③④3．2018年，我国将加大精准扶贫力度，今年再减少农村贫困人口1000万以上，完成异地扶贫搬迁280万人．其中数据280万用科学计数法表示为( )A．2.8×105B．2.8×106C．28×105D．0.28×1074．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是( )A．B．C．D．5．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）A．B．C．D．6．某校九年级（1）班全体学生实验考试的成绩统计如下表：成绩（分）24 25 26 27 28 29 30人数（人）2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班考试成绩的众数是28分C．该班考试成绩的中位数是28分D．该班考试成绩的平均数是28分7．若正比例函数y＝kx的图象上一点（除原点外）到x轴的距离与到y轴的距离之比为3，且y值随着x 值的增大而减小，则k的值为（）A．﹣13B．﹣3 C．13D．38．如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（）A．B．C．D．9．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米，方差分别是，，则在本次测试中，成绩更稳定的同学是（）A．甲B．乙C．甲乙同样稳定D．无法确定10．点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（）A．＞B．=C．＜D．不能确定11．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.1．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③12．在平面直角坐标系中，点，则点P不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作a n，b n（n≥2），则223320072007111...2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b+++=------（______14．如图，宽为(1020)m m<<的长方形图案由8个相同的小长方形拼成，若小长方形的边长为整数，则m的值为__________．15．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3和B1，B2，B3分别在直线y=1455x+和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形．则A3的坐标为_______.．16．若一个多边形每个内角为140°，则这个多边形的边数是________．17．某市居民用电价格如表所示：用电量不超过a千瓦时超过a千瓦时的部分单价（元/千瓦时）0.5 0.6小芳家二月份用电200千瓦时，交电费105元，则a=______．18．如图，已知圆柱底面周长为6cm，圆柱高为2cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____cm．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y=ax的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．20．（6分）在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+4和点M(3，2)(1)判断点M是否在直线y＝﹣x+4上，并说明理由；(2)将直线y＝﹣x+4沿y轴平移，当它经过M关于坐标轴的对称点时，求平移的距离；(3)另一条直线y＝kx+b经过点M且与直线y＝﹣x+4交点的横坐标为n，当y＝kx+b随x的增大而增大时，则n取值范围是_____．21．（6分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．22．（8分）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．23．（8分）“六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）该校有_____个班级，补全条形统计图；（2）求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童．24．（10分）解不等式组21324x xx x≥⎧⎨≥⎩－①－（－）②请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式①，得_______.（2）解不等式②，得_______.（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为_______________.25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE 上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．26．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE∥CF．27．（12分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题：“一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数．”其大意为：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹．问官和兵各几人？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据倒数的定义即可求解.【详解】的倒数等于它本身，故C符合题意.故选：C.【点睛】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.2．B 【解析】分析：本题是考察数轴上的点的大小的关系.解析：由图知，b<0<a ，故①正确，因为b 点到原点的距离远，所以|b|>|a|,故②错误，因为b<0<a ，所以ab<0，故③错误，由①知a-b>a+b ，所以④正确. 故选B. 3．B 【解析】分析：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．详解：280万这个数用科学记数法可以表示为62.810，⨯ 故选B.点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键. 4．D 【解析】【分析】找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【详解】解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，故选A ．【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是掌握三视图所看的位置．掌握定义是关键．此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键． 5．A 【解析】【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．【详解】该几何体的俯视图是：．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】直接利用众数、中位数、平均数的求法分别分析得出答案．【详解】解：A、该班一共有2+5+6+6+8+7+6=40名同学，故此选项正确，不合题意；B、该班考试成绩的众数是28分，此选项正确，不合题意；C、该班考试成绩的中位数是：第20和21个数据的平均数，为28分，此选项正确，不合题意；D、该班考试成绩的平均数是：（24×2+25×5+26×6+27×6+28×8+29×7+30×6）÷40=27.45（分），故选项D错误，符合题意．故选D．【点睛】此题主要考查了众数、中位数、平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键．7．B【解析】【分析】设该点的坐标为（a，b），则|b|=1|a|，利用一次函数图象上的点的坐标特征可得出k=±1，再利用正比例函数的性质可得出k=-1，此题得解．【详解】设该点的坐标为（a，b），则|b|＝1|a|，∵点（a，b）在正比例函数y＝kx的图象上，∴k＝±1．又∵y值随着x值的增大而减小，∴k＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出k=±1是解题的关键．8．C试题分析：∵该几何体上下部分均为圆柱体，∴其左视图为矩形，故选C．考点：简单组合体的三视图．9．A【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S甲2=1.4，S乙2=2.5，∴S甲2＜S乙2，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是甲；故选A．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10．C【解析】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则．考点：反比例函数的性质．11．B【解析】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.1.错误,故选B.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.12．B【解析】【分析】根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.【详解】A. 若点在第一象限，则有：，解之得m>1，∴点P可能在第一象限；B. 若点在第二象限，则有：，解之得不等式组无解，∴点P不可能在第二象限；C. 若点在第三象限，则有：，解之得m<1，∴点P可能在第三象限；D. 若点在第四象限，则有：，解之得0<m<1，∴点P可能在第四象限；故选B.【点睛】本题考查了不等式组的解法，坐标平面内点的坐标特征，第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．﹣10034016．【解析】试题分析：由根与系数的关系得：2n 22n n n n a b a b n +=+=-，，则()()()222n n 1n n a b --=-+，则()()()11111222n 12n 1n n a b n n ⎛⎫=-=-- ⎪--++⎝⎭， ∴原式=1111111111100322334201720182220184016L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++-=-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的韦达定理以及规律的整理，属于中等题型．解决这个问题的关键就是要想到使用韦达定理，然后根据计算的法则得出规律，从而达到简便计算的目的．14．16【解析】【分析】设小长方形的宽为a ，长为b ，根据大长方形的性质可得5a=3b ，m=a+b= a+53a =83a ，再根据m 的取值范围即可求出a 的取值范围，又因为小长方形的边长为整数即可解答.【详解】解：设小长方形的宽为a ，长为b ，由题意得：5a=3b ，所以b=53a ，m=a+b= a+53a =83a ，因为1020m <<，所以10<83a <20，解得：154<a< 152，又因为小长方形的边长为整数，a=4、5、6、7，因为b=53a ，所以5a 是3的倍数，即a=6，b=53a =10，m= a+b=16. 故答案为：16.【点睛】本题考查整式的列式、取值，解题关键是根据矩形找出小长方形的边长关系.15．A 3（299,44）【解析】【分析】设直线y=1455x +与x 轴的交点为G ，过点A 1，A 2，A 3分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，由条件可求得312A F A D A E GD GE GF ==，再根据等腰三角形可分别求得A 1D 、A 2E 、A 3F ，可得到A 1，A 2，A 3的坐标.【详解】设直线y=1455x +与x 轴的交点为G ，令y=0可解得x=-4，∴G点坐标为（-4，0），∴OG=4，如图1，过点A1，A2，A3分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，∵△A1B1O为等腰直角三角形，∴A1D=OD，又∵点A1在直线y=x+上，∴=，即=，解得A1D=1=（）0，∴A1（1，1），OB1=2，同理可得=，即=，解得A2E==（）1，则OE=OB1+B1E=，∴A2（，），OB2=5，同理可求得A3F==（）2，则OF=5+=，∴A3（，）；故答案为（，）【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和直线上点的坐标特点，根据题意找到点的坐标的变化规律是解题的关键，注意观察数据的变化．16．九【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n-2）进行求解即可．【详解】由题意可得：180°⋅(n−2)=140°⋅n，解得n=9，故多边形是九边形.故答案为9.【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是熟练的掌握多边形的内角和定理.17．150【解析】【分析】根据题意可得等量关系：不超过a千瓦时的电费+超过a千瓦时的电费=105元；根据等量关系列出方程，解出a的值即可.【详解】∵0.5×200=100<105，∴a<200.由题意得：0.5a+0.6(200-a)=105，解得：a=150.故答案为：150【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确找出题目中的等量关系，列出方程.18．【解析】【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为2cm，∴AB＝2cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC2＝22+32＝13，∴AC，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝．故答案为【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）12yx=，y=2x﹣1；（2）133,42M⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解答；（2）作MD⊥y轴,交y轴于点D，设点M的坐标为（x，2x-1），根据MB=MC，得到CD=BD,再列方程可求得x的值，得到点M的坐标【详解】解：（1）把点A（4，3）代入函数a=yx得：a=3×4=12，∴12yx =．∵A（4，3）∴OA=1，∵OA=OB，∴OB=1，∴点B的坐标为（0，﹣1）把B（0，﹣1），A（4，3）代入y=kx+b得：∴y=2x﹣1．（2）作MD⊥y轴于点D.∵点M在一次函数y=2x﹣1上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣1）则点D（0，2x-1）∵MB=MC，∴CD=BD∴8-(2x-1)=2x-1+1解得：x=13 4∴2x﹣1=32,∴点M的坐标为133,42⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．20．（1）点M（1，2）不在直线y=﹣x+4上，理由见解析；（2）平移的距离为1或2；（1）2＜n＜1．【解析】【分析】（1）将x=1代入y=-x+4，求出y=-1+4=1≠2，即可判断点M（1，2）不在直线y=-x+4上；（2）设直线y=-x+4沿y轴平移后的解析式为y=-x+4+b．分两种情况进行讨论：①点M（1，2）关于x 轴的对称点为点M1（1，-2）；②点M（1，2）关于y轴的对称点为点M2（-1，2）．分别求出b的值，得到平移的距离；（1）由直线y=kx+b经过点M（1，2），得到b=2-1k．由直线y=kx+b与直线y=-x+4交点的横坐标为n，得出y=kn+b=-n+4，k=23nn-+-．根据y=kx+b随x的增大而增大，得到k＞0，即23nn-+-＞0，那么①2030nn-+⎧⎨-⎩＞＞，或②2030nn-+⎧⎨-⎩＜＜，分别解不等式组即可求出n的取值范围．【详解】（1）点M不在直线y=﹣x+4上，理由如下：∵当x=1时，y=﹣1+4=1≠2，∴点M（1，2）不在直线y=﹣x+4上；（2）设直线y=﹣x+4沿y轴平移后的解析式为y=﹣x+4+b．①点M（1，2）关于x轴的对称点为点M1（1，﹣2），∵点M1（1，﹣2）在直线y=﹣x+4+b上，∴﹣2=﹣1+4+b，∴b=﹣1，即平移的距离为1；②点M（1，2）关于y轴的对称点为点M2（﹣1，2），∵点M2（﹣1，2）在直线y=﹣x+4+b上，∴2=1+4+b，∴b=﹣2，即平移的距离为2．综上所述，平移的距离为1或2；（1）∵直线y=kx+b经过点M（1，2），∴2=1k+b，b=2﹣1k．∵直线y=kx+b与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n，∴y=kn+b=﹣n+4，∴kn+2﹣1k=﹣n+4，∴k=23nn-+-．∵y=kx+b随x的增大而增大，∴k＞0，即23nn-+-＞0，∴①2030nn-+⎧⎨-⎩＞＞，或②2030nn-+⎧⎨-⎩＜＜，不等式组①无解，不等式组②的解集为2＜n＜1．∴n的取值范围是2＜n＜1．故答案为2＜n＜1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式组，都是基础知识，需熟练掌握．21．（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析：（1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒. 22．（1）14；（2）16. 【解析】【分析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形， ∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B 、C 共有2种情况，所以，P （抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）21126=．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）16；（2）平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）1．【解析】【分析】（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%，即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级的个数，进而补全条形统计图；（2）将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．【详解】解：（1）该校的班级数是：2÷2.5%=16（个）．则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．条形统计图补充如下图所示：故答案为16；（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+2×2）÷16=3将这组数据按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，10，2，2．故这组数据的众数是10，中位数是（8+10）÷2=3．即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×3=1（名）．答：该镇小学生中共有留守儿童1名．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．24．（1）x≥-1；（2）x≤1；（3）见解析；（4）－1≤x≤1．【解析】【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集.【详解】解：（1）x≥-1；（2）x≤1；（3）；（4）原不等式组的解集为－1≤x≤1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．25．（1）说明见解析；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由见解析．【解析】试题分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．在△AEC和△EAF中，∵∴△EAF≌△AEC（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定．26．证明见解析【解析】试题分析：通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应角相等证得∠AED=∠CFB，则由平行线的判定证得结论．证明：∵平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF．∵在△ADE与△CBF中，AD=BC，∠ADE=∠CBF，DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴∠AED=∠CFB．∴AE∥CF．27．官有200人，兵有800人【解析】【分析】设官有x人，兵有y人，根据1000官兵正好分1000匹布，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设官有x人，兵有y人，依题意，得：10001410004x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：200800xy=⎧⎨=⎩．答：官有200人，兵有800人．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.。

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题理(含解析)

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=，可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称，又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分）已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。

天津市河东区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析

天津市河东区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．通州区大运河森林公园占地面积10700亩，是北京规模最大的滨河森林公园，将10700用科学记数法表示为（）A．10.7×104B．1.07×105C．1.7×104D．1.07×1042．下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b23．天气越来越热，为防止流行病传播，学校决定用420元购买某种牌子的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为( )A．4200.5x+-420x=20 B．420x-4200.5x+=20C．4200.5x--420x=20 D．420420200.5x x-=-4．下面的统计图反映了我市2011﹣2016年气温变化情况，下列说法不合理的是（）A．2011﹣2014年最高温度呈上升趋势B．2014年出现了这6年的最高温度C．2011﹣2015年的温差成下降趋势D．2016年的温差最大5．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．15 B．17 C．19 D．246．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5B．2 C．52D．257．6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C．16D．16-8．如图，在⊙O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①AB⊥CD；②∠AOB=4∠ACD；③弧AD=弧BD；④PO=PD，其中正确的个数是（）A．4 B．1 C．2 D．39．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．AD DC AB AC=10．某班体育委员对本班学生一周锻炼(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是( )A．10 B．11 C．12 D．1311．下列实数中，在2和3之间的是（）A ．πB ．2π-C ．325D ．32812．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．33二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知a+1a ＝2，求a 2+21a＝_____． 14．某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB 的长为1.74m ，后拉杆AE 的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN 到立柱BC 的水平距离BH=1.74m ，在篮板MN 另一侧，与篮球架横伸臂DG 等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH 的标准高度为3.05m ．则篮球架横伸臂DG 的长约为_____m （结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈45， cos53°≈35，tan53°≈43）．15．因式分解23a a +=______.16．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 17．如图，在等边△ABC 中，AB=4，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，连接DE 交AC 于点F ，则△AEF 的面积为_______．18．规定用符号[]m 表示一个实数m 的整数部分，例如：203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]3.143=．按此规定，101⎤+⎦的值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）雅安地震，某地驻军对道路进行清理．该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍．通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数．20．（6分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象.根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程.21．（6分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．23．（8分）先化简，再求代数式（22222x y x x xy y x xy ---+-）÷2y x y-的值，其中x=sin60°，y=tan30°． 24．（10分）计算：2112(1)6tan 303π-︒⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭解方程：544101236x x x x -++=-- 25．（10分）已知点O 是正方形ABCD 对角线BD 的中点．(1)如图1，若点E 是OD 的中点，点F 是AB 上一点，且使得∠CEF=90°，过点E 作ME ∥AD ，交AB 于点M ，交CD 于点N ．①∠AEM=∠FEM ； ②点F 是AB 的中点；(2)如图2，若点E 是OD 上一点，点F 是AB 上一点，且使，请判断△EFC 的形状，并说明理由；(3)如图3，若E 是OD 上的动点(不与O ，D 重合)，连接CE ，过E 点作EF ⊥CE ，交AB 于点F ，当时，请猜想的值(请直接写出结论)．26．（12分）楼房AB 后有一假山，其坡度为i=1：3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=18米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．（注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）27．（12分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30°方向上．求∠APB 的度数；已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：10700=1.07×104，故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；故选：B．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．C【解析】关键描述语是：“结果比用原价多买了1瓶”；等量关系为：原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1．【详解】原价买可买420x瓶，经过还价，可买4200.5x-瓶．方程可表示为：4200.5x-﹣420x=1．故选C．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化．4．C【解析】【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【详解】A选项：年最高温度呈上升趋势，正确；B选项：2014年出现了这6年的最高温度，正确；C选项：年的温差成下降趋势，错误；D选项：2016年的温差最大，正确；故选C．【点睛】考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．5．D【解析】【分析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n＝4（n﹣1）是解题的关键．6．C【解析】【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=1.当点F从D到B时，用5∴5Rt△DBE中，()2222=521 BD DE--=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a1=11+（a-1）1.解得a=5 2 .故选C．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．7．A试题分析：1是正数，绝对值是它本身1．故选A．考点：绝对值．8．D【解析】【分析】根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．【详解】∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．故正确的是：①②③．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.9．C【解析】【分析】结合图形，逐项进行分析即可.【详解】在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②AD DC AB AC，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的条件，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.10．B【解析】【分析】根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决．由统计图可得，本班学生有：6+9+10+8+7=40（人），该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11，故选B．【点睛】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．11．C【解析】【详解】分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.详解：A、3<π<4，故本选项不符合题意；B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、<4，故本选项不符合题意；故选C.点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.12．D【解析】【分析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴CE =33，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．1【解析】试题分析：∵21()a a +=2212a a ++=4，∴221a a +=4-1=1．故答案为1．考点：完全平方公式．14．1.1．【解析】【分析】过点D 作DO ⊥AH 于点O ，先证明△ABC ∽△AOD 得出AB AO =CB DO，再根据已知条件求出AO ，则OH=AH-AO=DG .【详解】解：过点D 作DO ⊥AH 于点O ，如图：由题意得CB ∥DO ，∴△ABC ∽△AOD ，∴AB AO =CB DO， ∵∠CAB=53°，tan53°=43, ∴tan ∠CAB=CB AB =43, ∵AB=1.74m ，∴CB=1.31m ，∵四边形DGHO 为长方形，∴DO=GH=3.05m ，OH=DG ，∴1.74AO=2.323.05，则AO=1.1875m，∵BH=AB=1.75m，∴AH=3.5m，则OH=AH-AO≈1.1m，∴DG≈1.1m.故答案为1.1.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用. 15．a（3a+1）【解析】3a2+a=a（3a+1），故答案为a（3a+1）．16．3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】分析：利用关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．17．2【解析】【分析】首先，利用等边三角形的性质求得△ADE 为等边三角形，则DE=AD ，便可求出EF 和AF ，从而得到△AEF 的面积.【详解】解：∵在等边△ABC 中，∠B=60º，AB=4，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=30º，∴AD=ABcos30º 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30º，AD=AE ，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60º，∴△ADE 的等边三角形，∴，∠AEF=60º,∵∠EAC=∠CAD∴EF=DF=12DE =，AF ⊥DE∴AF=EFtan60º，∴S △AEF =12EF×AF=12×.故答案为：2. 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△ADE 是等边三角形是解题的关键．18．4【解析】【分析】1的整数部分即可.【详解】∵3<4，∴4<5∴整数部分为4.【点睛】本题考查无理数的估值，熟记方法是关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．1米．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程，即可得到结论．试题解析：解：设原来每天清理道路x 米，根据题意得：600480060092x x-+= 解得，x=1．检验：当x=1时，2x≠0，∴x=1是原方程的解．答：该地驻军原来每天清理道路1米．点睛：本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确分式方程的解答方法，注意分式方程要验根． 20．（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，加满油时，油量为70升；（2）已行驶的路程为650千米.【解析】【分析】（1）观察图象，即可得到油箱内的剩余油量,根据耗油量计算出加满油时油箱的油量；()2用待定系数法求出一次函数解析式，再代入进行运算即可.【详解】（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，304000.170.+⨯=即加满油时，油量为70升.（2）设()0y kx b k =+≠，把点()0,70，()400,30坐标分别代入得70b =，0.1k =-，∴0.170y x =-+，当5y =时，650x =，即已行驶的路程为650千米.【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征等，关键是掌握待定系数法求函数解析式.21．（1）y=2x 2﹣3x ；（2）C （1，﹣1）；（3）（4564，316）或（﹣316，4564）．【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B 点坐标，由A 、B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C 作CD ∥y 轴，交x 轴于点E ，交OB 于点D ，过B 作BF ⊥CD 于点F ，可设出C 点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得OMOP的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由OM MG OGOP PH OH==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．【详解】（1）∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：4229342a ba b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：23ab=⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为223y x x=-；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=12CD•OE+12CD•BF=12（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．设MB交y轴于点N，如图2，∵B （2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB 和△NOB 中，∵∠AOB=∠NOB ，OB=OB ，∠ABO=∠NBO ，∴△AOB ≌△NOB （ASA ），∴ON=OA=32， ∴N （0，32）， ∴可设直线BN 解析式为y=kx+32，把B 点坐标代入可得2=2k+32，解得k=14， ∴直线BN 的解析式为1342y x =+，联立直线BN 和抛物线解析式可得：2134223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或384532x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴M （38-，4532）， ∵C （1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B （2，2），∴OB=，∵△POC ∽△MOB ， ∴2OM OB OP OC==，∠POC=∠BOM ，当点P 在第一象限时，如图3，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图3∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH ，且∠PHO=∠MGO ，∴△MOG ∽△POH ， ∴2OM MG OG OP PH OH=== ∵M （38-，4532）， ∴MG=38，OG=4532， ∴PH=12MG=316，OH=12OG=4564，∴P（4564，316）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH=12MG=316，OH=12OG=4564，∴P（﹣316，4564）；综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（4564，316）或（﹣316，4564）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．22．木竿PQ的长度为3.35米．【解析】【分析】过N点作ND⊥PQ于D，则四边形DPMN为矩形，根据矩形的性质得出DP，DN的长，然后根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的长，即可得出PQ的长．试题解析：【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D，则四边形DPMN为矩形，∴DN＝PM＝1.8m，DP＝MN＝1.1m，∴AB QD BC DN，∴QD ＝AB DN BC⋅＝2.25， ∴PQ ＝QD ＋DP ＝ 2.25＋1.1＝3.35（m ）．答：木竿PQ 的长度为3.35米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，作出辅助线，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键．23．-【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x 和y 的值并代入进行计算即可【详解】原式()()22,2x y x x y x x y y x y ⎡⎤--=-⋅⎢⎥--⎢⎥⎣⎦112,2x y x y x y y ⎛⎫-=-⋅ ⎪--⎝⎭()()()()22,22x y x y x y x y x y x y x y y ⎡⎤---=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦()()22,2x y x y x y x y x y y--+-=⋅-- ()()2,2y x y x y x y y --=⋅-- 1,x y=--sin60tan30x y =︒==︒=Q∴原式===- 【点睛】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.24． (1)10;(2)原方程无解.【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝323169+-⨯+＝10；（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，解得：x＝2，经检验：x＝2是增根，原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．25．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）△EFC是等腰直角三角形．理由见解析；（3）．【解析】试题分析：(1)①过点E作EG⊥BC，垂足为G，根据ASA证明△CEG≌△FEM得CE=FE，再根据SAS 证明△ABE≌△CBE 得AE=CE，在△AEF中根据等腰三角形“三线合一”即可证明结论成立；②设AM=x，则AF=2x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，DE=DN=x，DO=2DE=2x，BD=2DO=4x．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=BD·sin45°=4x，又AF=2x，从而AF=AB，得到点F是AB的中点．；(2)过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，再证明△AME≌△FME(SAS)，从而可得△EFC是等腰直角三角形．(3)方法同第(2)小题．过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，再证明△AEM≌△FEM (ASA)，得AM=FM，设AM=x，则AF=2x，DN =x，DE=x，BD=x，AB=x，=2x:x=．试题解析：(1)①过点E作EG⊥BC，垂足为G，则四边形MBGE为正方形，ME=GE，∠MFG=90°，即∠MEF+∠FEG=90°，又∠CEG+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠FEM．又GE=ME，∠EGC=∠EMF=90°，∴△CEG≌△FEM．∴CE=FE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE．∴AE=CE，又CE=FE，∴AE=FE，又EM⊥AB，∴∠AEM=∠FEM．②设AM=x，∵AE=FE，又EM⊥AB，∴AM=FM=x，∴AF=2x，由四边形AMND为矩形知，DN=AM=x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，∴DE=DN=x，∴DO=2DE=2x，∴BD=2DO=4x．在Rt△ABD 中，∠ADB=45°，∴AB=BD·sin45°=4x·=4x，又AF=2x，∴AF=AB，∴点F是AB的中点．(2)△EFC是等腰直角三角形．过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG，设AM=x，则DN=AM=x，DE =x，DO=3DE=3x ，BD=2DO=6x ．∴AB=6x ，又，∴AF=2x ，又AM=x ，∴AM=MF=x ，∴△AME ≌△FME(SAS)，∴AE=FE ，∠AEM=∠FEM ，又AE=CE ，∠AEM=∠CEG ，∴FE=CE ，∠FEM=∠CEG ，又∠MEG=90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG+∠FEG=90°，即∠CEF=90°，又FE=CE ，∴△EFC 是等腰直角三角形．(3)过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ，延长ME 交CD 于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，垂足为G ．则△AEM ≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG ． ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC =90°，∴∠CEG+∠FEG=90°．又∠MEG =90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠MEF ，∵∠CEG =∠AEF ，∴∠AEF=∠MEF ，∴△AEM ≌△FEM (ASA)，∴AM=FM ．设AM=x ，则AF=2x ，DN =x ，DE=x ，∴BD=x ．∴AB=x ．∴=2x:x=．考点：四边形综合题.26．（39+93）米．【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，根据CE=20米，坡度为i=1：3，分别求出EF 、CF 的长度，在Rt △AEH 中求出AH ，继而可得楼房AB 的高．【详解】解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵3EF i CF ===tan ∠ECF ， ∴∠ECF=30°，∴EF=12CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米， HE=BF=BC+CF=（3在Rt △AHE 中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（3AB=AH+HB=（3）米．答：楼房AB的高为（35+103）米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题；坡度坡角问题，掌握概念正确计算是本题的解题关键．27．（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．【解析】【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30°（2）过点P作PH⊥AB于点H在Rt△APH中，∠PAH=30°，3PH在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=33PH∴AB=AH-BH=33PH=50解得325，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全. 考点：解直角三角形。

2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第1页（共19页）页）2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x ||x |＜3，x ∈Z }，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A ∪（C I B ）=（） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2}2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +2y 的最小值为（的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（为（）A ．9B ．10C ．11D ．4．在△ABC 中，b=5，∠B=，tanA=2，则a 的值是（的值是（）A ．10B ．2C ．D ．5．已知p ：函数f （x ）=﹣m 有零点，q ：|m |≤，则p 是q 的（的（）A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．2D ．7．已知f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，规定：当，规定：当||f （x ）|≥g （x ）时，h （x ）=|f （x ）|；当|f （x ）|＜g （x ）时，h （x ）=﹣g （x ），则h （x ）（） A ．有最小值﹣1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值﹣1，无最大值D ．有最大值﹣1，无最小值8．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，的值为（）若=15，则的值为（A．13 B．14 C．15 D．16二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则是虚数单位，则||a+bi|= ．10．的展开式中x3的系数是．的系数是11．如图是一个程序框图，则输出的S的值是的值是．12．如图，P A切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为的长为．13．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为截得的弦长为． 14．已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为的最大值为．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．设函数f（x）=cosx•cos（x﹣θ）﹣cosθ，θ∈（0，π）．已知当x=时，f（x）取得最大值．（1）求θ的值；）在[[0，]上的最大值．（2）设g（x）=2f（x），求函数g（x）在16．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD=O ，△P AC 是边长为2的等边三角形，，AP=4AF ．（Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．18．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存直线l ，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．理由．19．已知函数f （x ）=，数列，数列{{a n }满足a 1=1，a n+1=f （），n ∈N *，（1）求数列）求数列{{a n }的通项公式；（2）令T n =a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…﹣a 2n a 2n+1，求T n ；（3）令b n =（n ≥2），b 1=3，S n =b 1+b 2+…+b n ，若S n ＜对一切n ∈N *成立，求最小正整数m ． 20．已知函数．（1）求f （x ）的极值；（2）求证：且n ∈N *．2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x ||x |＜3，x ∈Z }，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A ∪（C I B ）=（） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】把集合A 用列举法表示，然后求出C I B ，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x ||x |＜3，x ∈Z }={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A ∪（C I B ）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D ．2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +2y 的最小值为（的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x +2y ，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B （1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3，故选：B ．3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（为（）A．9 B．10 C．11 D．棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（的值是（）A．10 B．2 C． D．【考点】正弦定理．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，再由正弦定理求得a的值．【解答】解：∵在△ABC中，b=5，∠B=，tanA==2，sin2A+cos2A=1，∴sinA=．再由余弦定理可得=，解得 a=2，故选B．5．已知p：函数f（x）=﹣m有零点，q：|m|≤，则p是q的（的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】令x=2cos θ，θ∈[0，π]，g （x ）=∈．由于函数f （x ）=﹣m 有零点，可得m ∈．即可得出．【解答】解：令x=2cos θ，θ∈[0，π]，则g （x ）===∈．∵函数f （x ）=﹣m 有零点，∴m ∈．∴p 是q 的充要条件．故选：A ．6．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．双曲线的简单性质．【分析】由，可得△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得（2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|=4a 2﹣4ac ，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得，△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得（2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|=4a 2﹣4ac ， ∴c 2﹣ac ﹣a 2=0， ∴e 2﹣e ﹣1=0， ∵e ＞1，∴e=．故选：D ．7．已知f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，规定：当，规定：当||f （x ）|≥g （x ）时，h （x ）=|f （x ）|；当|f （x ）|＜g （x ）时，h （x ）=﹣g （x ），则h （x ）（） A ．有最小值﹣1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值﹣1，无最大值，无最大值 D ．有最大值﹣1，无最小值，无最小值【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】可以画出f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，的图象，根据规定分两种情况：在A 、B 两侧，两侧，||f （x ）|≥g （x ）；在A 、B 之间，从图象上可以看出最值；【解答】解：画出y=|f （x ）|=|2x ﹣1|与y=g （x ）=1﹣x 2的图象，它们交于A 、B 两点．由“规定”，在A、B两侧，两侧，||f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，之间，||f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．8．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若=15，则的值为（的值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，设AB∩DC=O，根据向量加法及数乘的几何意义便可得到，，从而得出，根据条件，，根据条件，两边平方即可两边平方即可求出．而，从而根据便可以得到，从而便可以求得==14．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O， =，；∴；∵，平方得，；∴；又；即=；∴=；∴=======15﹣1=14．故选B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则是虚数单位，则||a+bi|= ．【考点】复数求模．然后由复数模的公式即可求出||a+bi|的值．【分析】由（1+2ai）i=1﹣bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出【解答】解：由（1+2ai）i=1﹣bi，得﹣1﹣2a+（1+b）i=0．∴．解得：．设z=a+bi（a、b∈R），则z=﹣﹣i，∴|a+bi|=．故答案为：．10．的展开式中x3的系数是24 ．的系数是【考点】二项式系数的性质．【分析】求出的通项公式为 T r+1=，令，求出r 的值，即可求得x3的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 T r+1==，令，解得 r=2，故 T4=24 x3，故展开式中x3的系数是24，故答案为：24．11．如图是一个程序框图，则输出的S的值是的值是 63 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值为63．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，n=2，S=7不满足条件S≥33，n=3，S=15不满足条件S≥33，n=4，S=31不满足条件S≥33，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故答案为：63．12．如图，P A切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．【解答】解：法一：∵P A切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO2﹣2PO•DOcos∠POD=．∴．法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵∠POD=120°，∴∠DOC=60°，可得，，在Rt△PED中，有．13．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为截得的弦长为 4 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．简单曲线的极坐标方程．【分析】先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．【解答】解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：∴截得的弦长为： 2×=．故答案为：．14．已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4﹣x ，x ≥1，则的最大值为的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．【解答】解：由x ，y 满足2≤y ≤4﹣x ，x ≥1，画出可行域如图所示．则A （2，2），B （1，3）．==，令k=，则k 表示可行域内的任意点Q （x ，y ）与点P （﹣1，1）的斜率．而k P A =，，∴，令f （k ）=k +，则≤0．∴函数f （k ）单调递减，因此当k=时，f （k ）取得最大值，．故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．设函数f （x ）=cosx •cos （x ﹣θ）﹣cos θ，θ∈（0，π）．已知当x=时，f （x ）取得最大值．（1）求θ的值；（2）设g （x ）=2f （x ），求函数g （x ）在）在[[0，]上的最大值．上的最大值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=cos （2x ﹣θ），由三角函数的最值可得；（2）由（1）知f （x ）=cos （2x ﹣），可得g （x ）=2f （x ）=cos （3x ﹣），由0≤x ≤和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得： f （x ）=cosx （cosxcos θ+sinxsin θ）﹣cos θ =cos 2xcos θ+sinxcosxsin θ﹣cos θ =cos θ+sin2xsin θ﹣cos θ=cos2xcos θ+sin2xsin θ=cos （2x ﹣θ）由[f （x ）]max =f （）=可得cos （﹣θ）=1又∵θ∈（0，π），∴θ=；（2）由（1）知f （x ）=cos （2x ﹣）， ∴g （x ）=2f （x ）=cos （3x ﹣） ∵0≤x ≤，所以﹣≤3x ﹣≤，∴当3x ﹣=0，即x=时，时，[[g （x ）]max =116．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙取胜的乙取胜的概率．（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B ，A ，B 互斥，由此能求出比赛打满七局的概率．（3）随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．分布列和数学期望．【解答】解：（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．在第一种情况下，乙取胜的概率为（）4=，在第二种情况下，乙取胜的概率为•=，所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为+=．（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B ．则P （A ）==，P （B ）==，又A ，B 互斥，所以比赛打满七局的概率为P （A ）+P （B ）=．（3）随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7P （X=4）=（）2=，P （X=5）=C （）2（）=，P （X=6）=C （）3（）+（）4=，P （X=7）=C（）4（）+C（）4•（）=，所以X 的分布列为 X 4 5 6 7P故随机变量X 的数学期望EX=4×+5×+6×+7×=．17．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD=O ，△P AC 是边长为2的等边三角形，，AP=4AF ．（Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明PO⊥底面ABCD，只需证明PO⊥AC，PO⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP的方向向量，平面BDF的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）设=λ（0≤λ≤1），若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．由△P AC是边长为2的等边三角形，，可得．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，．由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为cos =﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：设=λ（0≤λ≤1），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若使CM ∥平面BDF ，需且仅需=0且CM ⊄平面BDF ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ．此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；的方程；（Ⅱ）是否存直线l ，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M 代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a 2=b 2+c 2可得到a ，b ，c 的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k （x ﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y 得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k 的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出、、，再代入关系式可确定k的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4•（3+4k2）•（16k2﹣16k﹣8）＞0．整理得32（6k+3）＞0．解得．又，，且，即，所以．即．所以，解得．所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．19．已知函数f（x）=，数列，数列{{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，的通项公式；）求数列{{a n}的通项公式；（1）求数列（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n= （n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．，进而计算可得结论；【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知a n+1=a n+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n ﹣a2n+1），进而计算可得结论；（a2n﹣1（3）当n≥2时裂项可知b n=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而可知＜，进而问题转化为解不等式≥，计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n+1==a n+，∴数列{{a n}是以为公差的等差数列，∴数列又∵a1=1，∴a n=n+；（2）由（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣a2n+1）﹣1=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣•=﹣（2n2+3n）；（3）当n≥2时，b n===（﹣），又∵b1=3=×（1﹣）满足上式，∴S n=b1+b2+…+b n=×（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵S n＜对一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）递增，且＜，∴≥，即m≥2019，∴最小正整数m=2019．20．已知函数．（1）求f（x）的极值；）的极值；（2）求证：且n∈N*．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的定区间，从而求出函数的极值即可；（2）根据（1）取a=1，得到lnx≤x﹣1，令x=n，得到，从而证出结论．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，解得：x=e1﹣a，当f'（x）＞0时，x＜e1﹣a，f（x）在（0，e1﹣a）是增函数，当f'（x）＜0时，x＞e1﹣a，f（x）在（e1﹣a，+∞）是减函数，=f（e1﹣a）=e a﹣1，无极小值．∴f（x）在x=e1﹣a处取得极大值，f（x）极大值（2）证明：由（1）≤e a﹣1，取a=1，∴lnx≤x﹣1，当x=1时取等号，令x=n，∵n≥2，故∴=故；；…；＜∴．2019年7月30日。

2019年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）

2019年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|-1＜x＜0}C. {x|1＜x＜2}D. {x|-1＜x＜2}2.若f（x），g（x）均是定义在R上的函数，则“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）？g（x）是偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A. 2B. 3C. 5D. 74.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A. 7B. 15C. 31D. 635.设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），则下列结论中错误的是（）A. f（x）的一个周期为2πB. f（x）的最大值为2C. f（x）在区间（）上单调递减D. f（x+）的一个零点为x=6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（）A. 108石B. 169石C. 237石D. 338石7.已知离心率为的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A. =1B. =1C. =1D. =18.已知函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，当x∈（0，π）时，f（x）=πln x-f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（logπ3），b=f（log9），c=f（），则a，b，c的大小关系是（）A. b＞a＞cB. a＞b＞cC. c＞b＞aD. b＞c＞a二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为______．10.在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为______．（用数字填写答案）11.已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．12.已知直线l的参数方程是（t为参数），若l与圆x2+y2-4x+3=0交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的斜率为______．a-1|恒成立，则实数a的取值范围为______．13.若对任意的x∈R，不等式|x-1|-|x+2|≤|214.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E，F分别在边AD，DC上，=（），=，则=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，c=3，cosA=．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16.某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A，B，C，D四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在B，C，D三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所．（i）求甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率；（ii）记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD=PD=2QA=2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C-PB-Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=a n+2（n∈N*），a3+a4=12，数列{b n}为等比数列，且b1=a2，b2=S3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（-1）n a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点P（-2，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F的直线（不经过点P且不与x轴重合）与椭圆交于A、B 两点，与直线l：x=-3交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3（k3≠０），则是否存在常数λ，使得向量=（k1+k2，λ），=（k3，1）共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由．20.设函数f（x）=ax-2-ln x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a=1时，若对?x∈（1，+∞），都有（4k-1-ln x）x+f（x）-1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．答案和解析1.【答案】 D【解析】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|-1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|-1＜x＜2}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】 A【解析】解：若f（x）和g（x）都是偶函数，则f（x）?g（x）是偶函数，即充分性成立，当f（x）和g（x）都是奇函数时，满足f（x）?g（x）是偶函数，即必要性不成立，（x）?g（x）是偶函数”充分不必要条件，（x）和g（x）都是偶函数”是“ｆ即“ｆ故选：A．根据函数奇偶性关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3.【答案】 C【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，-1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3-1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.【答案】 C【解析】解：当n=5时查询终止，则程序的功能是计算S=1+2+22+23+24=1+2+4+8+16=31，故选：C．寻找程序终止是n的值，了解程序功能进行计算即可．本题主要考查程序框图的应用，了解程序终止的条件是解决本题的关键．5.【答案】 D【解析】解：f（x）=sinx+cosx=．f（x）的一个周期为2π，故A正确；f（x）的最大值为2，故B正确；由＜x＜，得＜＜π，∴f（x）在区间（）上单调递减，故C正确；f（x+）=，取x=时，函数值为，故D错误．故选：D．利用辅助角公式化积，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．6.【答案】 A【解析】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，这批米内夹谷约为：1536×=108（石）．故选：A．利用概率的性质能求出结果．本题考查米内夹谷的数量的求法，考查概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】 C【解析】解：离心率为的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）可得，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x-3y=0，抛物线y2=12x的准线：x=-3，可得P（-3，-4），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），满足PF1⊥PF2，（3-c，4）?（3+c，4）=0，解得c=5，则a=3；b=4；舍去的双曲线方程为：=1．故选：C．求出抛物线的直准线方程，双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出关系式，求出a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.【答案】 A【解析】解：函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）=πlnx-f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）=-f′（）cosx，令x=，则f′（）=2，∴f′（x）=-2cosx，当x∈时，≥２，2cosx≤２．∴f′（x）=-2cosx＞0．当x∈时，＞0，2cosx≤０．∴f′（x）=-2cosx＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）=-2cosx＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a=f（logπ3），b=f（log9）=f（-2）=f（2），c=f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：A．函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，可得函数f（x）为（-π，π）0上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）=πlnx-f′（）sinx （其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）=-f′（）cosx，令x=，可得f′（）=2，于是f′（x）=-2cosx，可得：x∈（0，π）时，f′（x）＞0．利用其单调性奇偶性即可得出大小关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的奇偶性、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.【答案】-2【解析】解：∵=是纯虚数，∴，即a=-2．故答案为：-2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】20【解析】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=?x12-3r，令12-3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.【答案】2π【解析】解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V=2×=2π．故答案为：2π．将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，由此能求出其体积．本题考查几何体的体积的求法，考查旋转体的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】±【解析】解：根据题意，直线l 的参数方程是（t 为参数），圆的方程为x 2+y 2-4x+3=0，若l 与圆x 2+y 2-4x+3=0交于A ，B 两点，则有（tcos α）2+（tsin α）2-4tcos αx+3=0，变形可得t 2-4tcos αx+3=0，则有t 1+t 2=4cos α，t 1t 2=3，又由|AB|=，则有（t 1+t 2）2-4t 1t 2=16cos 2α-12=3，解可得cos 2α＝，则有sin 2α＝，则有tan α=±，则直线l 的斜率tan α=±；故答案为：±．根据题意，将直线的参数方程与圆的方程联立，则有（tcos α）2+（tsin α）2-4tcos αx+3=0，变形可得t 2-4tcos αx+3=0，由根与系数的关系分析可得t 1+t 2=4cos α，t 1t 2=3，又由|AB|=，则有（t 1+t 2）2-4t 1t 2=16cos 2α-12=3，解可得cos 2α的值，由三角函数的基本关系式可得tan α的值，结合直线参数方程的意义分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的参数方程，属于基础题．13.【答案】（-∞，-1]∪[2，+∞）【解析】解：由|x-1|-|x+2|=|x-1|-|-2-x|≤｜（x-1）+（-2-x ）|=3，∴不等式|x-1|-|x+2|≤|2a -1|恒成立转化为|2a-1|≥３成立，即2a-1≥3或2a-1≤-3，可得a ≥２或a ≤-1，故答案为（-∞，-1]∪[2，+∞）．根据绝对值不等式即求解；本题考查了绝对值不等式的应用和解法．属于基础题．14.【答案】【解析】解：由=（），=，可得点E为线段AD的中点，点F为线段DC的三等分点靠近点D处，由菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，得：||=2，∠ABD=30°，则=（）?（）=-+=×12-+×=，故答案为：．由平面向量的线性运算及平面向量数量积的性质及其运算得：=（）?（）=-+=×12-+×=，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，又a=4，c=3，cosA=，2b2+3b-14=0，解得b=2；（Ⅱ）由cosA=-，所以sinA=，由正弦定理得：，得sinB=，又0，所以cosB=，所以sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B-1=，所以sin（2B+）=+=，故答案为：．【解析】（Ⅰ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，又a=4，c=3，cosA=，2b2+3b-14=0，解得b=2（Ⅱ）由正弦定理得：，得sinB=，又0，所以cosB=，由二倍角公式得：sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B-1=，由两角和的正弦公式得：sin（2B+）=+=，得解．本题考查了余弦定理、正弦定理及二倍角公式、两角和的正弦公式，属中档题．16.【答案】解：（I）设甲、乙、丙三名同学分别选D高校的概率为P i（i=1，2，3）．则P1=P2=P3=，∴甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率P==．（II）（i）设乙、丙未选D高校的概率都为：=．∴甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率==．（ii）X的取值为0，1，2，3．P（X=0）=（1-）××=，P（X=1）=+2×（1-）××=，P（X=2）=++（1-）×=．P（X=3）=×=．∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=．【解析】（I）设甲、乙、丙三名同学分别选D高校的概率为P i（i=1，2，3）．可得P1=P2=P3=，再利用相互独立概率计算公式即可得出．（II）（i）设乙、丙未选D高校的概率都为：．利用相互独立概率计算公式即可得出甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率．（ii）X的取值为0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件概率计算公式即可得出概率及其分布列．本题考查了相互独立概率计算公式、互斥事件概率计算公式、随机变量的概率计算公式及其分布列与期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，AB∩QA=A，CD∩PD=D，∴平面ABP∥平面DCP，∵QB?平面ABQ，∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），=（2，2，-2），=（0，2，-2），=（2，0，-1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），设平面PBQ的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），设二面角C-PB-Q的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ＝-==-，∴θ＝，∴二面角C-PB-Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，设DH=t，则H（0，0，t），A（2，0，0），=（-2，0，t），=（2，2，-2），∴|cos＜＞|===，解得t=，∴线段DH的长为．【解析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而平面ABP∥平面DCP，由此能证明QB∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-Q的大小．（Ⅲ）设DH=t，利用向量法能求出线段DH的长．本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n+2，则数列{a n}是公差为2的等差数列，又由a3+a4=12，则a3+a3+d=12，解可得a3=5，则a n=a3+（n-3）d=2n-1，又由数列{b n}为等比数列，且b1=3，b2=1+3+5=9，则数列{b n}的公比为3，则b n=3n，（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，a n=2n-1，b n=3n，则c n=（-1）n a n?b n=（-1）n×（2n-1）×3n=（2n-1）（-3）n，则T n=1×（-3）+3×（-3）2+……+（2n-1）（-3）n，①-3T n=1×（-3）2+3×（-3）3+……+（2n-1）（-3）n+1，②①-②可得：4T n=-3+2[（-3）2+（-3）3+……（-3）n]-（2n-1）×（-3）n+1=-×（-3）n-1，变形可得：T n=-×（-3）n-1．【解析】（Ⅰ）根据题意，由a n+1=a n+2分析可得数列{a n}是公差为2的等差数列，又由a3+a4=12可得a3+a3+d=12，解可得a3=5，由等差数列的通项公式可得{a n}的通项公式，进而可得b1=3，b2=9，分析可得数列{b n}的公比为3，结合等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出数列{c n}的通项公式，由错位相减法分析可得答案．本题考查数列的递推公式以及求和，关键是求出两个数列的通项公式，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=2，故椭圆的方程为+=1，（Ⅱ）假设存在常数λ，使得向量=（k1+k2，λ），=（k3，1）共线，∴k1+k2=λk3，由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+2），①代入椭圆方程并整理得（1+3k2）x2+12k2x+12k2-6=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=-，x1x2=，在方程①中，令x=-3得，M（-3，-k），从而k1=，k2=，k3==k+，∴k1+k2=+=+=2k-?=2k-×=2k+ =2（k+）=2k3，∵k3=k+≠０，∴k1+k2=2k3．故存在常数λ=2符合题意【解析】（Ⅰ）由题意可得，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）可先设出直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λｋ3即可求得参数的值；本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．20.【答案】解：（I）f′（x）=a-，（x＞0）．a≤０时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）=，（x＞0）．则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）a=1时，f（x）=x-2-ln x（x＞0）．f′（x）=，（x＞0）．则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=-1．x→０+时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a=1时，对?x∈（1，+∞），都有（4k-1-ln x）x+f（x）-1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜ln x+=g（x），g′（x）=+=．令u（x）=x-ln x-2，x∈（1，+∞），u′（x）=1-＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）=1-ln3，u（4）=2-2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）=0，即x0-ln x0-2=0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min=g（x0）=ln x0+=x0-2+=x0+-1∈（，），∵4k＜，k∈Z．∴k的最大值为0．【解析】（I）f′（x）=a-，（x＞0）．对a分类讨论，可得其单调区间．（II）a=1时，f（x）=x-2-lnx（x＞0）．f′（x）=，（x＞0）．根据单调性可得x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=-1．进而得出零点的个数．（III）当a=1时，对?x∈（1，+∞），都有（4k-1-lnx）x+f（x）-1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜lnx+=g（x），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

天津市河东区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

天津市河东区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣52．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．33B．55C．233D．2553．若x﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（）A．1 B．4 C．8 D．﹣164．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．12B．13C．310D．155．如图，不等式组1010xx+⎧⎨-≤⎩f的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．小明在一次登山活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出这块矿石的体积.如果他量出玻璃杯的内直径d,把矿石完全浸没在水中,测出杯中水面上升了高度h,则小明的这块矿石体积是( )A．24d hπB．22d hπC．2d hπD．24d hπ7．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．a3+a4＝a7D．（ab）3＝ab38．如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．30π9．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（） A ．3.82×107B ．3.82×108C ．3.82×109D ．0.382×101010．二次函数y ＝a(x ﹣m)2﹣n 的图象如图，则一次函数y ＝mx+n 的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限11．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（） A ．4B ．2C ．23D ．4312．下列计算正确的是（） A ．x 4•x 4=x 16 B ．（a+b ）2=a 2+b 2 C ．=±4 D ．（a 6）2÷（a 4）3=1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．因式分解：3a 3﹣6a 2b+3ab 2＝_____．14．如图，在△ABC 中，AB=5cm ，AC=3cm ，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于D 、E ，则△ACD 的周长为 cm ．15．如图，直线m ∥n ，以直线m 上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m ，n 于点B 、C ，连接AC 、BC ，若∠1=30°，则∠2=_____．16．函数2y x +＝﹣的图象不经过第__________象限.17．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．18．如图，直线4y x =+与双曲线ky x=（k≠0）相交于A （﹣1，a ）、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为_________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y ＝kx+b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点．求反比例函数和一次函数的解析式；求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围．20．（6分）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ？（将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号）21．（6分）如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是Rt ABC V ，棚高 1.5m AB =，长10m d =，棚顶与地面的夹角为27ACB ∠=︒．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin 270.45︒=，cos270.89︒=，tan 270.51︒=）22．（8分）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC=8cm ，BC=6cm ，∠C=90°，EG=4cm ，∠EGF=90°，O 是△EFG 斜边上的中点．如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）23．（8分）“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整；②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是______；（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2018年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．24．（10分）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO ＝30 cm ，∠OBC ＝45°，求AB 的长度．(结果精确到0.1 cm)25．（10分）如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE=90°．写出图中小于平角的角．求出∠BOD 的度数．小明发现OE 平分∠BOC ，请你通过计算说明道理．26．（12分）先化简2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 27．（12分）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明理由；若D 为AB 中点，则当A ∠=______时，四边形BECD 是正方形.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．D【解析】【详解】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=ADAB=2210=25，故选D．3．B【解析】【分析】先把原式化为2x÷22y×23的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．【详解】原式＝2x÷22y×23，＝2x﹣2y+3，＝22，＝1．故选：B．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．4．D【解析】【分析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案. 【详解】根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=210=15. 故答案为D 【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n. 5．B 【解析】【分析】首先分别解出两个不等式,再确定不等式组的解集,然后在数轴上表示即可. 【详解】解：解第一个不等式得：x ＞-1；解第二个不等式得：x≤1，在数轴上表示，故选B. 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时 “≥” ,“≤” 要用实心圆点表示; “ <“ >” 要用空心圆点表示. 6．A 【解析】圆柱体的底面积为：π×(2d)2， ∴矿石的体积为：π×(2d )2h= 2π4d h .故答案为2π4d h .7．A 【解析】分析：根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方公式即可得出答案．详解：A 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式计算正确；B 、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，原式=5a，故错误；C、不是同类项，无法进行加法计算；D、积的乘方等于乘方的积，原式=33a b，计算错误；故选A．点睛：本题主要考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方计算法则，属于基础题型．理解各种计算法则是解题的关键．8．B【解析】由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π，∴圆锥的侧面积=12lr=12×6π×5=15π，故选B9．B【解析】【分析】根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决．【详解】解：3.82亿=3.82×108，故选B．【点睛】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．10．A【解析】【分析】由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出m＞0，n＞0，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．【详解】解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0，∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．11．A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A．考点：正多边形和圆．12．D【解析】试题分析：x4x4=x8(同底数幂相乘，底数不变，指数相加）;（a+b)2=a2+b2+2ab（完全平方公式）;（表示16的算术平方根取正号）;.(先算幂的乘方，底数不变，指数相乘；再算同底数幂相除，底数不变，指数相减.）.考点：1、幂的运算；2、完全平方公式；3、算术平方根.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3a（a﹣b）1【解析】【分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解即可.【详解】3a3﹣6a1b+3ab1，＝3a（a1﹣1ab+b1），＝3a（a﹣b）1．故答案为：3a（a﹣b）1．【点睛】此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.14．8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质得，BD=CD，则AB=AD+CD，所以，△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC，解答出即可解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴AB=AD+BD=AD+CD，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm；故答案为8考点：线段垂直平分线的性质点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的周长，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 15．75° 【解析】试题解析：∵直线l 1∥l 2，∴130.A ∠=∠=o,AB AC Q =75.ACB B ∴∠=∠=o2180175.ACB ∴∠=-∠-∠=o o故答案为75.o16．三. 【解析】【分析】先根据一次函数212y x k b +＝﹣中＝﹣，＝判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论. 【详解】解：∵一次函数2y x +＝﹣中1020k b ＝﹣＜，＝＞，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：三. 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数0y kx b k +≠＝（）中，当0k ＜，0b ＞时，函数图象经过一、二、四象限. 17．73° 【解析】试题解析：∵∠CBD=34°， ∴∠CBE=180°-∠CBD=146°， ∴∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°．18．（0，52）．【解析】试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k，即k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，所以函数解析式为：y=x+52，则与y轴的交点为：（0，52）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y＝﹣x﹣2；（2）C（﹣2，0），△AOB=6，,（3）﹣4＜x＜0或x＞2.【解析】【分析】（1）先把B点坐标代入代入y＝mx，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOC+S△BOC 进行计算；（3）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【详解】解：∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝2×（﹣4）＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣8x，把A（﹣4，n）代入y＝﹣8x，得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2）．把A（﹣4，2），B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b，得4224k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得12kb=-⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）∵y＝﹣x﹣2，∴当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，∴点C的坐标为：（﹣2，0），△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积＝12×2×2+12×2×4＝6；（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．20．李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A【解析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，由得tanC=∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A21．33.3【解析】【分析】根据解直角三角形的知识先求出AC的值，再根据矩形的面积计算方法求解即可.【详解】解：∵AC=sin ABACB∠=1.5sin27︒=1.50.45=103∴矩形面积=10⨯103≈33.3（平方米）答：覆盖在顶上的塑料薄膜需33.3平方米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解题的关键.22．（1）1.5s；（2）S=625x2+175x+3（0＜x＜3）；（3）当x=52（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：1．【解析】【分析】（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO 的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD 的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．【详解】解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴EG FGAC BC=，即486FG=,∴FG=468⨯=3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC ∴OP∥AC∴x=121FG=12×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm ∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴EG EF FG AH AF FH==,∴AH=45（x+5），FH=35（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=12EG=2cm∵FP=3﹣x∴S四边形OAHP=S△AFH﹣S△OFP=12•AH•FH﹣12•OD•FP=12•45（x+5）•35（x+5）﹣12×2×（3﹣x）=625x2+175x+3（0＜x＜3）．（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：1则S四边形OAHP=1324×S△ABC∴625x2+175x+3=1324×12×6×8∴6x2+85x﹣250=0解得x1=52，x2=﹣503（舍去）∵0＜x＜3∴当x=52（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：1．【点睛】本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决．23．(1) 3.4棵、3棵；(2)1.【解析】【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得；（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，补全图形如下：②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是1223312485461 3.430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（棵），众数为3棵，故答案为：3.4棵、3棵；（2）估计该小区采用这种形式的家庭有73007030⨯=户，故答案为：1．【点睛】此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.24．37【解析】试题分析：过O 点作⊥OD AB 交AB 于D 点．构造直角三角形，在Rt ADO △中，计算出,OD AD ,在Rt BDO V 中, 计算出BD .试题解析：如图所示：过O 点作⊥OD AB 交AB 于D 点．在Rt ADO △中，15,30A AO ∠=︒=Q ，sin15300.2597.77(cm).OD AO ∴=⋅︒=⨯=cos15300.96628.98(cm).AD AO =⋅︒=⨯=又∵在Rt BDO V 中，45.OBC ∠=︒7.77(cm)BD OD ∴==，36.7537(cm)AB AD BD ∴=+=≈．答：AB 的长度为37cm ．25．（1）答案见解析（2）155°（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）根据∠BOD=∠DOC+∠BOC ，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC 和∠BOC 即可；（3）根据∠COE=∠DOE ﹣∠DOC 和∠BOE=∠BOD ﹣∠DOE 分别求得∠COE 与∠BOE 的度数即可说明．【详解】（1）图中小于平角的角∠AOD ，∠AOC ，∠AOE ，∠DOC ，∠DOE ，∠DOB ，∠COE ，∠COB ，∠EOB ．（2）因为∠AOC=50°，OD 平分∠AOC ，所以∠DOC=25°，∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°，所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°．（3）因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE ﹣∠DOC=90°﹣25°=65°．又因为∠BOE=∠BOD ﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，所以∠COE=∠BOE ，所以OE 平分∠BOC ．【点睛】本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． 26．3x x -,当x=2时，原式=2-. 【解析】试题分析: 先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化简即可．试题解析:原式=()()2x x1x12x1x1x3--⎛⎫-⋅⎪--⎝⎭-=()()2x x1x3x1x3--⋅--=xx3-当x=2时，原式=22 23=--.27．（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．【解析】【分析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【详解】(1)∵DE⊥BC，∴∠DFP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，∴DE//AC，∵MN//AB，∴四边形ADEC为平行四边形，∴CE=AD；(2)菱形，理由如下：在直角三角形ABC中，∵D为AB中点，∴BD=AD，∵CE=AD，∴BD=CE，∴MN//AB，∴BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）∴四边形BECD是菱形；(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB=45°，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，故答案为45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

天津市部分区2019年第一次模拟考试数学试卷及答案

2019年天津市部分区初中毕业生学业考试第一次模拟练习数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）（1）D （2）A （3）B （4）D （5）C （6）C（7）B （8）D （9）B （10）A （11）A （12）C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（13）42-x （14）34- （15）173（16）53+-=x y （17）29（18）（Ⅰ）5；（Ⅱ）如图，取格点E ，G ，H ，连接CE ，GH ，CE 与GH 交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点M ；连接DE 交AM 于点P ，则AM 和点P 即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分）（19）（本小题8分）解：（Ⅰ）3-≥x ； …………………………………………………………2分（Ⅱ）2≤x ； …………………………………………………………4分（Ⅲ）图略 …………………………………………………………6分（Ⅳ）23≤≤-x ． …………………………………………………………8分（20）（本小题8分）解：（Ⅰ）54， …………………………………………………………2分图略． …………………………………………………………4分（Ⅱ）C ， …………………………………………………………6分（Ⅲ）724085014701280690=⨯+⨯+⨯+⨯ （分） …………………8分答：抽取的这部分学生体育的平均成绩是72分．（21）（本小题10分）解：（Ⅰ）连接BD ……………………………………………………1分∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ ︒=∠+∠180BAD BCD ． ……………2分∵︒=∠148BCD ,∴ ︒=∠32BAD ． ……………3分又AB 是⊙O 的直径， ∴︒=∠90BDA ……………4分∴︒=∠+∠90ABD BAD ,∴ ︒=∠58ABD ． ……………5分∴ ︒=∠=∠58ABD APD ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知︒=∠32BAD ，又OD OA =，可得︒=∠=∠32OAD ADO …7分∵ DP 切⊙O 于点A ，∴ PA OA ⊥，即︒=∠90PAO ． ………8分则︒=∠+∠=∠122OAD PAO PAD ， ……9分在△APD 中．∵ ︒=∠+∠+∠180APD ADO PAD ，∴ ︒=∠26APD ． ………10分B。

【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(理科)+答案

2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）集合M ＝{y |y ＝ln （x 2+1）}，N ＝{x |2x ＜4}，则M ∩N 等于（） A ．[0，2]B ．（0，2）C ．[0，2）D ．（0，2]2．（5分）设变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0，则目标函数z ＝x ﹣2y 的最大值为（）A ．−6639B ．−135C ．﹣2D ．23．（5分）下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ＞0； ②命题p ：|2x ﹣1|≤1，命题q ：11−x＞0，则p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝±4；其中真命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，则φ等于（） A ．π3B ．π6C ．π2D ．π46．（5分）已知a =log 130.60.3，b =log 1214，c =log 130.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a7．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为（） A ．y =±√22xB ．y =±√2xC ．y =±√33xD ．y =±√3x8．（5分）已知函数f(x)={|log 3(2−x)|，x ＜2−(x −3)2+2，x ≥2，g(x)=x +1x −1，则方程f （g （x ））＝a 的实根个数最多为（） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）若z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，则a •b ＝．10．（5分）已知a =∫ π0sinxdx ，则(ax x )5的二项展开式中，x 2的系数为．11．（5分）已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为． 12．（5分）直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数），圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，则实数a ＝．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则1x+xy 的最小值．14．（5分）在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45°，高为m ，Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，AC →+AD →=2AE →设AE →⋅AQ →的最小值为f （m ），若关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S △ABC =25√34，且a ＝5，求b +c ． 16．（13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）用X 表示抽取的4人中B 组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB =π3，AD ＝2，AM ＝1，E 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）设数列{a n }满足a 1＝2，且点P(a n ，a n+1)(n ∈N ∗)在直线y ＝x +2上，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝3b n ．（Ⅰ）数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ⋅(b n −(−1)n )}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（14分）已知椭圆W ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点P(√2a ，√3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ． ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |．20．（14分）函数f(x)=(n −mlnx)x 1n ，其中n ∈N *，x ∈（0，+∞）．（Ⅰ）当n＝2时，f（x）在[1，e]上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝1时，①n为定值，求f（x）的最大值；②若n＝2，lna≥1，求证：对任意k＞0，直线y＝﹣kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：M ＝{y |y ≥0}，N ＝{x |x ＜2}； ∴M ∩N ＝[0，2）．故选：C ．2．【解答】解：变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0的可行域如下图所示：由图可知，由{2x +3y −6=03x −2y +6=0得A （−613，3013），由{2x +3y −6=0x −y +1=0解得B （35，85）目标函数z ＝x ﹣2y 化为y =12x −z2，平移直线经过的B 时，目标函数取得最大值：z ＝x ﹣2y 取最大值：−135．故选：B ．3．【解答】解：①：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ≥0，故①错误， ②由|2x ﹣1|≤1，得﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1，由11−x＞0，得1﹣x ＞0得x ＜1，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件，故②错误，③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝b 5q 2；即b 7与b 7同号，则b 7＝4，故③错误，故真命题的个数为0个，故选：A ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝1，k ＝1 S ＝2，不满足条件S ＞10，k ＝2，S ＝6 不满足条件S ＞10，k ＝3，S ＝15满足条件S ＞10，退出循环，输出k 的值为3．故选：B ．5．【解答】解：将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，可得y ＝cos （2x +2φ−π6）的图象，根据已知得到函数y =cos(2x +π3)的图象， ∴2φ−π6=π3，∴φ=π4，故选：D ．6．【解答】解：a =log 130．60.3=0.3log 130.6，b =log 1214=2，c =log 130．50.4=0.4log 130.5； ∵0＜log 130.6＜log 130.5＜1；∴0＜0.3log 130.6＜0.4log 130.5＜1；∴a ＜c ＜b ．故选：C ．7．【解答】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，由题意可得AC ⊥BC ，可得四边形F ABC 为矩形，即有|AF |＝|BC |，设|AC |＝m ，|BC |＝n ，可得n ﹣m ＝2a ，n 2+m 2＝4c 2，12mn ＝2a 2，即有4c 2﹣8a 2＝4a 2，即有c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±√2x ．故选：B ．8．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：由z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，得（a +bi ）（1﹣2i ）＝（a +2b ）+（b ﹣2a ）i ＝8﹣i ， ∴{a +2b =8b −2a =−1，解得a ＝2，b ＝3． ∴ab ＝6．故答案为：6．10．【解答】解：已知a =∫ π0sinxdx =−cos x |0π=2，则(ax +x )5=(2x x)5 的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 5r •25﹣r•x 5−3r2，令5−3r 2=2，求得r ＝2，可得展开式中x 2的系数为C 52•23＝80，故答案为：80．11．【解答】解：圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为r =12√42+22=√5． ∴该圆柱的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π．故答案为：20π．12．【解答】解：直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数）化为普通方程，得：2ax +y −1=0，圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)化为普通方程，得：（x +2）2+（y ﹣2）2＝8，圆心C （﹣2，2），半径r ＝2√2，∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，∴圆心C （﹣2，2）到直线2ax +y −1=0的距离：d =|−2×2a +2−1|√4a2+1=√2，解得实数a ＝﹣4±2√6．故答案为：﹣4±2√6．13．【解答】解：x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则2x •4y ＝2， ∴x +2y ＝1， ∴1x +x y=x+2y x+x y=1+2y x +x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2，当且仅当2y x =x y时，即x =√2−1，y =2−√22取等号，故答案为：2√2+114．【解答】解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以AB 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，由已知可得：A （﹣2，0），B （2，0），D （m ﹣2，m ），C （2﹣m ，m ）， ∵AC →+AD →=2AE →， ∴E 为DC 的中点， ∴E （0，m ），由Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，故当Q 落在D 点时，AE →⋅AQ →取最小值f （m ）， ∵AE →=（2，m ），AD →=（m ，m ）即f （m ）＝（2，m ）•（m ，m ）＝m 2+2m ，（0＜m ＜2）；关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，即m 2+（2﹣k ）m +3＝0在（0，2）上有两个不等式相等的实根，∴{△=(2−k)2−12＞00＜−2−k 2＜24+2(2−k)+3＞0解得：k ∈（2+2√3，112）∴实数k 的取值范围是（2+2√3，112）．故答案为：（2+2√3，112）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2， ∴2b(2b−c)cosA2ab=a 2+b 2−c 22ab，………（1分）∴（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，………（2分）∴由正弦定理得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，………（3分） ∴即：2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin B ，………（4分） ∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0，………（5分） ∴cosA =12，………（6分） ∵0＜A ＜π，∴A =π3．………（7分）（Ⅱ）∵S △ABC =12bcsinA =25√34，………（8分） ∴bc ＝25，………（9分）∵cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−252×25=12，………（10分） ∴b 2+c 2＝50，………（11分）∴（b +c ）2＝b 2+c 2+2bc ＝100，………（12分）即：b +c ＝10．………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数n =C 94，事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，则事件A 包含的基本事件个数m =C 31C 21C 42，∴事件A 发生的概率P(A)=C 31⋅C 21⋅C 42C 94=36126=27⋯⋯⋯（3分）（列式（2分），结果1分）（Ⅱ）X 可能取值为0，1，2，3………（4分） P(X =0)=C 64⋅C 30C 94=15126=542⋯⋯⋯（5分）（列式（1分），结果1分） P(X =1)=C 63⋅C 31C 94=60126=1021⋯⋯⋯（7分）（列式（1分），结果1分） P(X =2)=C 62⋅C 32C 94=45126=514⋯⋯⋯（9分）（列式（1分），结果1分） P(X =3)=C 61⋅C 33C 94=6126=121⋯⋯⋯（11分）（列式（1分），结果1分）∴X 的分布列为X 0123P 5421021514121EX =0×542+1×1021+2×514+3×121=43⋯⋯⋯（13分）（列式（1分），结果1分）（本题得数不约分不扣分） 17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………（1分）又EF ⊂平面MEC ，………（2分）AN ⊄平面MEC ，………（3分）所以AN ∥平面MEC ………（4分）解：（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =π3，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ．又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM ∩平面ABCD ＝AD ， ∴DN ⊥平面ABCD ………（5分）如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），E(√3，0，0)，C （0，2，0），M(√3，−1，1)，B(√3，1，0)，N （0，0，1）设平面MBC 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)， MB →=(0，2，−1)，BC →=(−√3，1，0)，{MB →⋅n 1→=0BC →⋅n 1→=0，∴{2y −z =0−√3x +y =0，∴n 1→=(1，√3，2√3)⋯⋯⋯（6分）ME →=(0，1，−1)⋯⋯⋯（7分）cos ＜ME →，n 1→＞=ME →⋅n 1→|ME →||n 1→|=−√32⋅4=−√68⋯⋯⋯（8分） ∴ME 与平面MBC 所成角的正弦值√68⋯⋯⋯（9分）（Ⅲ）设P(√3，−1，ℎ)，CE →=(√3，−2，0)，EP →=(0，−1，ℎ) 设平面PEC 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)则，{CE →⋅n 1→=0EP →⋅n 1→=0∴{√3x −2y =0−y +ℎz =0令y =√3ℎ，∴n 1→=(2ℎ，√3ℎ，√3)⋯⋯⋯（10分）又平面ADE 的法向量n 2→=(0，0，1)，cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√3√7ℎ+3=12⋯⋯⋯（11分）解得，ℎ=3√77⋯⋯⋯（12分）， ∵3√77＞1， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3．………（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知：对于数列{a n}：∵点P(a n，a n+1)(n∈N∗)在直线y＝x+2上，∴a n+1＝a n+2∴a n+1﹣a n＝2（n∈N*）．∴{a n}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝a1+（n﹣1）2＝2n．对于数列{b n}：∵b1＝3，b n+1＝3b n，∴{b n}是以b1＝3为首项，3为公比的等比数列．∴b n=3n．（Ⅱ）由题意及（1）知：对于一般项：a n⋅(b n−(−1)n)=2n⋅(3n−(−1)n)=2n⋅3n−(−1)n⋅2n．由题意，可设{2n•3n}的前n项和为T n′=2⋅31+4⋅32+6⋅33+⋯+2(n−1)⋅3n−1+ 2n⋅3n①3T n′=2⋅32+4⋅33+6⋅34+⋯+2(n−1)⋅3n+2n⋅3n+1②①﹣②得−2T n′=2⋅31+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−2n⋅3n+1，∴−2T n′=6(1−3n)1−3−2n⋅3n+1=−3+(1−2n)⋅3n+1，∴T n′=32+(n−12)⋅3n+1．同理，可设{（﹣1）n•2n}的前n项和为T n''，∴当n为偶数时，T n″=−2+4−6+8−⋯−2(n−1)+2n=2⋅n2=n，当n 为奇数时，n +1为偶数，则：T n +1″＝2+4﹣6+8﹣…﹣2n +2（n +1）=2⋅n+12=n +1． ∴T n ''＝T n +1''﹣2（n +1）＝n +1﹣2n ﹣2＝﹣n ﹣1． ∵T n ＝T n ′﹣T n ″．∴T n ={32+(n −12)⋅3n+1−n(n 为偶数)52+(n −12)⋅3n+1+n(n 为奇数)．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知e =c a =√22，a 2＝b 2+c 2，得b ＝c ，a =√2c ， ∵△PF 1F 2为等腰三角形， ∴|F 1F 2|＝|F 2P |，则(2c)2=(√2a −1)2+(√3)2解得c ＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆W 方程为x 22+y 2=1（Ⅱ）①由题意可得直线l 1的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立，由{y =x +1x 22+y 2=1可求B(−43，−13)．②当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |．当l 2不与x 轴垂直时，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1）．由{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，整理得（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0．则x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1．由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令x ＝﹣1，得点E 的纵坐标y E =x 2−y 2+1x 2．把y 2＝k （x 2+1）代入得y E =(x 2+1)(1−k)x 2．由已知，x 1≠−43，则直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，令x ＝﹣1，得点G 的纵坐标y G =y 1−x 1−13(x 1+43)．把y1＝k（x1+1）代入得y G=(x1+1)(k−1)3x1+4．y E+y G=(x2+1)(1−k)x2+(x1+1)(k−1)3x1+4=(1−k)[(x2+1)(3x1+4)−x2(x1+1)]x2⋅(3x1+4)=(1−k)[2x1x2+3(x1+x2)+4]x2⋅(3x1+4)把x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4=2×2k2−22k2+1+3×(−4k22k2+1)+4=0．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|．20．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，f(x)=(2−mlnx)x 12，f′(x)=(2−2√x−m x√x=2−mlnx−2m2√x≤在[1，e]恒成立．即2﹣mlnx﹣2m≤0在[1，e]恒成立，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，∴m≥22+lnx，令u（x）=22+lnx，u′（x）=−2x(2+lnx)2＜0．∴u（x）=22+lnx在[1，e]单调递减，∴φ（x）max＝φ（1）＝1，∴m≥1．（Ⅱ）①当m＝1时，f(x)=(n−lnx)⋅x 1 n，f′(x)=−1x⋅x 1n+(n−lnx)1nx1n−1=−x1n−1+(n−lnx)1nx1n−1=−1n⋅lnx⋅x1n−1．∵x＞0，∴令f′（x）＝0，x＝1．x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）↗极大值↘∴f（x）max＝f（1）＝n．②要证明当a≥e，k＞0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g（t）＝kt2+2t﹣2tlnt﹣a有唯一零点．我们先证三个引理【引理1】x（1﹣lnx）≤1…（由第1问取n＝1即可）【引理2】lnx≥1−1x⋯（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x﹣1…（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1．证毕！．下面我们先证明函数g（t）存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a．令t=√a−2k，可知g（t）≤0．再由【引理3】得到lnx＜x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)＞t√t(k√t−4)(2t−a)．令t＞16k2，且t＞a2，可知g（t）＞0．由连续性可知该函数一定存在零点．下面我们开始证明函数g（t）最多只能有一个零点．我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lntt)．令ℎ(t)=lntt，则ℎ′(t)=1−lntt2，则h（t）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，即ℎ(t)max=1e．当k≥1e时，有g'（t）≥0恒成立，g（t）在（0，+∞）上递增，所以最多一个零点．当0＜k＜1e时，令g'（t1）＝g'（t2）＝0，t1＜e＜t2，即lnt1＝kt1，于是g（t1）＝t1lnt1+2t1﹣2t1lnt1﹣a＝t1（2﹣lnt1）﹣a．再令t1＝eT（0＜T＜1），由【引理1】可以得到g（t1）＝eT（1﹣lnT）﹣a＜e×1﹣a≤0．因此函数g（t）在（0，t1）递增，（t1，t2）递减，（t2，+∞）递增，t＝t1时，g（t）有极大值但其极大值g（t1）＜0，所以最多只有一个零点．综上，当k＞0，a≥e时，函数y＝f（x）与y＝﹣kx+a的图象有唯一交点．。

2019年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2B 3C ．2D 56．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2C 2D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

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