多元正态分布教学文稿
第二章多元正态分布
第二章多元正态分布（一）教学目的通过本章的学习，要求对多元分布的基本概念有所了解，掌握多元正态分布数字特征及其参数估计,尤其是多元正态分布的假设检验。
（二）基本要求要求了解多元分布的基本概念，掌握多元正态分布的参数估计和假设检验。
（三）教学要点1、多维随机向量的边缘密度、条件分布、数字特征2、多元正态分布数字特征及其参数估计3、三个常用的抽样分布4、正态分布总体均值向量的检验（四）教学时数3课时(五）教学内容1、多元分布的基本概念2、多元正态分布数字特征及其参数估计3、三个常用的抽样分布及多元正态分布的假设检验第一节多元分布的基本概念多元统计分析主要方法是建立在多元正态分布的假设之上的。
而多元正态分布又是多元分布中应用最广泛的一种.为此，在介绍多元统计分析方法之前，首先有必要介绍多元正态分布的有关内容.另外，多元统计分析涉及到的都是随机向量或着将多个随机向量放在一起组成的随机矩阵。
为此，学习多元正态分布还需要首先从随机向量的基本概念开始。
多元统计分析，简称多元分析，是指当总体的分布是多维（多元）概率分布时，处理该类总体的数理统计理论和方法的总称，是统计学中的一个重要的分支学科。
早在19世纪就出现了处理二维正态总体的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体的统计分析问题，则开始于20世纪。
人们常把1928年维希特（Wishart）分布的导出作为多元分析成为一个独立学科的标志。
20世纪30年代,R。
A。
费希尔、H。
霍特林、许宝騄以及S.N。
罗伊等人做出了一系列奠基性的工作,使多元统计分析在理论上得到了迅速的进展。
20世纪40年代，多元分析在心理、教育、生物等方面获得了一些应用。
由于应用时常需要大量的计算,加上第二次世界大战的影响，使其发展停滞了相当长的时间。
50年代中期，随着电子计算机的发展和普及，它在地质、气象、标准化、生物、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用,也促进了理论的发展。
一、随机向量我们知道，所谓随机变量通俗理解就是“其值随机会而定”的变量.比如,在某厂大批产品中随机地抽取出100个，其中所含废品数X 就是一个随机变量。
第一章多元正态分布演示文稿
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15
第15页，共65页。
§1.1.4 随机向量的数字特征
4、随机向量X 的相关阵
若随机向量 X (X1, X 2,, X p )' 的协差阵存在,且每
D( AX ) AD( X ) A' AA' cov( AX , BY ) Acov( X ,Y )B'
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第14页，共65页。
§1.1.4 随机向量的数字特征
n （3）设X为 维随机向量，期望和协方差存在记
μ E(X), Σ D(X) , A为n n常数则阵，
E(X' AX) tr(AΣ) μ ' Aμ
密度 f 并称 X 为连续型随机向量。 R P
(i) f (x) 0 x R p
(ii) f (x)dx 1 Rp
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P(X x, Y y) P(X x)P(Y y) (1.3)
9
第9页，共65页。
§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X ~ F(X ) = F (x1, x2 ,, x p ) ,若存在一个
非负的函数 f ,使得
F(x)
x1
xp
f (t1,t p )dt1 dt p ,
(1.2)
对一切 x R p 成立，则称 X（或 FX ）有分布
而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数）
多元统计分析第二章 多元正态分布
第2章 多元正态分布多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。
多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。
虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。
所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。
限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard （2003），朱道元（1999）等。
现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。
2.1随机向量2.1.1随机向量定义2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。
类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。
设()1,,p X X X '= 是1p ⨯随机向量，其概率分布函数定义为：(){}111,,,,p p p F x x P X x X x =≤≤ ，1,,p x x 为任意实数多元分布函数()1,,p F x x 有如下性质： （1）()10,,1p F x x ≤≤ ；（2）()1,,p F x x 是每个变量,1,2,,i x i p = 的非降右连续函数； （3）(),,1F ∞∞= ；（4）()()()211,,,,,,,0p p F x x F x x F x -∞=-∞==-∞= 。
多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。
连续型随机向量()1,,pX X X '= 的分布函数可以表示为 ： ()()1111,,,,px x p p p F x x f t t dt dt -∞-∞=⎰⎰，()1,,pp x x R ∈ (2.1)称()1,,p f x x 是()1,,p X X X '= 的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。
多元概率密度()1,,p f x x 有以下性质： （1）()1,,p f x x 非负； （2）()11,,1p p f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ；（3）()()111,,,,p p p nF x x f x x x x ∂=∂∂2.1.2边缘分布、条件分布和独立性 边缘分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，由其q 个分量组成的向量()1X （不妨设()()11,,q X X X '= ）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：()()()1111,,,,X q p q p f x x f x x dx dx ∞∞+-∞-∞=⎰⎰ (2.2)条件分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，()()11,,q X X X '= ,()()()()2112,,,,,0q p X q p X X X f x x ++'=> ,在给定()2X 的条件下,()1X 的条件概率密度函数为：()()()()21111,,,,,,,,p q q p X q p f x x f x x x x f x x ++=(2.3)独立性设()1,,n X X 是连续型随机向量,则1,,n X X 相互独立当且仅当()()()111,,n n X X n f x x f x f x = 对任意1,,n x x 成立。
多元统计分析-第三章 多元正态分布
第三章 多元正态分布多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。
多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。
第一节 一元统计分析中的有关概念多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。
一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。
随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。
(二)随机变量的概率分布函数随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为：)()(x X P x F ≤=随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。
1、离散型随机变量的概率分布若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。
设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ，…，记为k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ）称k k p x XP ==)(（Λ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。
离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1）0≥k p ，Λ,2,1=k（2）11=∑∞=k k p2、连续型随机变量的概率分布若随机变量X 的分布函数可以表示为dt t f x F x⎰∞-=)()(对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率分布密度函数，简称为概率密度或密度函数。
结构方程模型的多元正态分布
结构方程模型的多元正态分布多元正态分布是结构方程模型中的一种常见假设。
本文将从多元正态分布的概念、性质和应用等方面进行阐述，旨在为读者提供对该主题的全面了解。
第一部分：多元正态分布的概念多元正态分布是指多个随机变量同时服从正态分布的情况。
在结构方程模型中，我们通常假设观测变量和潜变量都服从多元正态分布。
这种假设使得我们能够对变量之间的关系进行推断和建模。
第二部分：多元正态分布的性质多元正态分布具有许多重要的性质。
首先，多元正态分布的边际分布也是正态分布。
这意味着每个变量的边际分布可以独立地进行分析。
其次，多元正态分布的协方差矩阵可以用来描述变量之间的线性关系。
协方差矩阵可以通过样本数据的协方差矩阵估计得到。
最后，多元正态分布的联合分布可以通过均值向量和协方差矩阵来确定。
第三部分：多元正态分布的应用多元正态分布在许多领域都有广泛的应用。
在社会科学中，多元正态分布可以用来建立结构方程模型，研究变量之间的因果关系。
在金融学中，多元正态分布可以用来建立投资组合模型，评估不同投资资产之间的相关性。
在医学研究中，多元正态分布可以用来分析多个生物标志物之间的关系。
第四部分：多元正态分布的优缺点多元正态分布具有许多优点，如易于推断和建模、具有丰富的数学性质等。
然而，多元正态分布也有一些局限性，如对数据的要求较高、对大样本量的依赖性等。
因此，在应用多元正态分布时，需要考虑这些因素。
第五部分：结论多元正态分布作为结构方程模型的基本假设之一，在数据分析和建模中具有重要的应用。
通过对多元正态分布的概念、性质和应用的介绍，本文希望读者对该主题有更深入的理解。
同时，也提醒读者在实际应用中要考虑到多元正态分布的优缺点，并结合具体情况进行分析和建模。
通过合理的应用和推广，多元正态分布将为各个领域的研究提供有力的工具和方法。
第三章多元正态分布-PPT文档资料
f x ,x 1 2 2 2 1 1 2
2 2 x 1 x x x 1 1 1 1 2 2 2 2 e x p 2 2 2 1 1 1 2 2
二元正态分布的密度曲面图
, 0 . 7 5 下图是当 时二元正态分布的钟形 1 2 密度曲面图。
2 2
二元正态分布等高线
等高（椭圆）线：
2 x x x 1 1 1 1 x 2 2 2 2 2 c 1 1 2 2
0 x 2
4
§3.2 多元正态分布的性质
*（1）略。 （2）设x是一个p维随机向量，则x服从多元正态分 布，当且仅当它的任何线性函数a x 均服从一元正态 分布。 性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 （3）设x~N p (μ, Σ)，y=Cx+b其中C为r×p 常数矩阵， 则 yN C μ b , C Σ C r
则称x服从p元正态分布，记作x~Np (μ, Σ)，其中，参数μ和Σ 分别为x的均值和协差阵。
例3.1.1（二元正态分布 ）
设x~N2(μ, Σ)，这里 2 x 1 1 1 12 x , μ , Σ 2 x 2 2 12 2 易见，ρ是x1和 x2的相关系数。当|ρ|<1时，可得x的 概率密度函数为
2 2
上述等高线上的密度值
2 c f xx ,2 e x p 1 2 2 2 1 2 1 21
《多元正态分布》课件
度概率密度函数的乘积。
高维正态分布在机器学习中的应用
降维处理
高维正态分布可以用于降维处理，通过保留数据的主要特征，降低 数据的维度，提高数据的可解释性和处理效率。
特征选择
高维正态分布可以用于特征选择，通过分析特征之间的相关性，选 择与目标变量高度相关的特征，去除冗余和无关的特征。
概率模型
高维正态分布可以用于构建概率模型，通过估计数据的概率分布， 进行分类、回归和聚类等机器学习任务。
总结词
检验多元正态分布的协方差矩阵是否与预期 协方差矩阵一致。
详细描述
通过对比样本协方差矩阵与预期协方差矩阵 ，评估样本数据是否符合多元正态分布的假 设。常用的方法包括样本协方差矩阵与预期 协方差矩阵的差异检验、样本数据的散点图 和拟合曲线分析等。
多元正态分布的其他假设检验方法
总结词
其他用于检验多元正态分布的方法。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
二元正态分布
二元正态分布的定义
总结词
二元正态分布是多元正态分布在两个维度上的特例，其概率密度函数呈钟形， 且服从二维高斯分布。
详细描述
二元正态分布是一种连续概率分布，描述了两个随机变量之间的关系，当这两 个随机变量相互独立时，其联合概率分布是二元正态分布。它的概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定，呈现出钟形曲线。
多元正态分布的均值向量和协方差矩阵决定了其 分布形态。
多元正态分布的应用场景
多元统计分析
多元正态分布在多元统计分析中 广泛应用，如主成分分析、因子 分析、聚类分析等。
机器学习
在机器学习中，多元正态分布用 于描述特征之间的相关性，以及 在隐含层节点中实现特征的映射 。
多元正态分布
多元正态分布正态分布，又称为高斯分布，是概率论与统计学中最为重要的概率分布之一。
正态分布的特点是其概率密度函数呈现出钟形曲线的形状，可以描述大多数自然现象中的分布情况。
本文的主要目的是介绍正态分布的定义、性质和应用，并对其多元形式进行讨论。
一、正态分布的定义和性质正态分布的定义如下：设X是一个连续型随机变量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中μ为均值，σ^2为方差，exp为自然指数函数，那么称X服从参数为(μ,σ^2)的正态分布，记作X~N(μ,σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布是一个对称分布，其均值、中位数和众数都重合，位于分布的中心。
2. 正态分布的曲线在均值两侧呈现对称性，标准差决定了曲线的宽度，标准差越小，曲线越陡峭，反之越平缓。
3. 正态分布的累积分布函数可用标准正态分布的累积分布函数来计算。
4. 正态分布的随机变量相加仍然服从正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域中都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 自然科学：正态分布常被用来描述测量误差、物理实验结果和自然现象。
例如，在物理实验中测量的误差往往服从正态分布。
2. 金融领域：正态分布被广泛应用于金融领域的风险管理和股票价格预测中。
基于正态分布的投资组合理论和资产定价模型是金融领域中的重要工具之一。
3. 质量控制：正态分布被应用于质量控制中，用于确定产品的标准差、设定合适的控制上限和下限，从而判断产品是否合格。
4. 社会科学：正态分布在社会科学领域的人口统计、心理学实验和经济学研究中得到广泛应用。
例如，身高、体重等指标的分布往往服从正态分布。
三、多元正态分布多元正态分布是正态分布的一种拓展形式，用于描述多个随机变量之间的相关性。
多元正态分布的定义如下：设X = (X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√((2π)^n|Σ|)) * exp(-1/2(x-μ)Σ^(-1)(x-μ)^T)其中x = (x1,x2,...,xn)，μ = (μ1,μ2,...,μn)为均值向量，Σ为协方差矩阵，|Σ|为协方差矩阵的行列式，exp为自然指数函数，Σ^(-1)表示Σ的逆矩阵，那么称X服从参数为(μ,Σ)的多元正态分布，记作X~N(μ,Σ)。
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2、多元样本的数字特征 样本均值
1 n
n
(i)
i1
1
x11 x12
n
x1n
x21
x22 x2n
xn1 x12
xnn
X1 X2 X p
样本离差阵 n
S p p ( X(i) X )( X(i) X )
i1
xi1 X1
n xi2 i1
X
2
二元正态分布曲面(11=2,22=4,12=0.75)
二、多元正态分布的性质
性质1：若 X (X1, X p) ~ Np(μ,，) 是对角矩阵，则 X1, X p
相互独立。 性质2：若 X ~ Np(μ,) A为s p阶常数矩阵， d为s维常数向量
则
AX d ~ Ns ( Aμ d , AA)
第一章多元正态分布及其参数估计
多元正态分布的重要性： （1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接
地建立在正态分布 基础上的，许多统计量的极限分布往往和 正态分布有关。 （2）许多实际问题涉及的随机向量服从多元正态分布或近似 服从正态分布。因此多元正态分布是多元统计分析的基础。
一、多元正态分布的定义 定义1：若p维随机向量 X (X1, X p) 的密度函数为：
xi1
x1
xip X p
xi2 x2
xip xp
(xi1 x1)2
n (xi2 x1)(xi1 x2)
i1
(
xip
xp )(xi1
x1)
(xi1 x1)(xi2 x2) (xi2 x2)2
(xip xp )(x2 x2)
(
xi1
x1)(xip
x
p
)
(xi2 x1)(xip xp )
f (x1, xp )
1
(2 ) p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)1( x
μ)
其中， x (x1, xp ), μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为 X ~ N p(μ,)
定义2：独立标准正态变量 X1, X p 的有限线性组合
Y1
X1
Y
Yp
Apm
X m
μ
称为m维正态随机变量，记为 Y ~ Np(μ,) 其中 AA 但是 AA 的分解一般不是唯一的。
定其义中3t为：实若向随量机，向则量称X的X服特从征p函元数正为态：分布(t。) 特exp征it函μ 数12 t定t义的优
点在于可以包含 0 的情况。
二元正态分布曲面(11=1,22=1,12=0)
(2 )p
n
2
exp[
1
n
t
r
(
1
(
x
)(x
)')]
2 i1
(i)
(i)
(2 )p
n
2
exp[tr
(
1
1
n
(x
)(x
)']
2
i1
(i)
(i)
对数似然函数为：
ln L(,) np ln 2 n ln | | 1 tr(1 n
2
2
2
i1
(x(i) )(x(i) )')]
X1, X 2
的边缘密度函数为：
f1(x1)
1
2
11
exp
(
x1 1)2 2121
f2(x2)
1
2
22
exp
(x2 2)2
2
2 22
三、正态分布数据的变换
若一批多元数据不满足正态分布时，一般要对数据进行正态变换。 一般来说常采用幂变换，如果想使值变小可以采用变换：
11
x1, ln x, x 4 , x 2
(xip xp )2
s11 s12 s1p
s21
s22
s2
p
(sij
)
p
p
s p1 s p2
s
pp
样本协方差矩阵
V 1S n
或
V 1 S n 1
二、多元正态总体的最大似然估计及其性质
利用最大似然法求出 μ和 的最大似然估计为：
μˆ X
ˆ 1 S n
求解过程 似然函数为：
2
2
2
np ln 2 n[ln | | tr(1 S )]
2
2
n
np ln 2 n[ln | S | ln | 1 S | tr(1 S )]
2
2n
n
n
np ln 2
n[ln |
S
|
ln
|
1 2
S
1 2
|
tr
(
1 2
S
1 2
)]
2
2n
n
n
np ln 2 np n ln | S |
性质3：若 X ~ Np(μ,) ，将 X , μ, 作剖分：
X (1) q
(1) q
X , ,
X (2) pq
(2) pq
11 21
12 q
22
pq
则
X (1) ~ Nq ((1),11), X (2) ~ Nq ((2),22)
特别地，二元正态分布： X (X1, X2) ~ N2(μ,),
L(,) f (x(1)) f (x(2)) f (x(n))
n
(2 )p 2 1 2 exp[ 1 (x
)1(x
)]
i1
2 (i)
(i)
(2 )p
n
2
exp[
1
n
(x
)1 (x
)]
2 i1
(i)
(i)
(2 )p
n
2
exp[
1
n
tr
(
x
)1 (x
)]
2 i1
(i)
(i)
如果想使值变大，则采用变换： x2, x3
不管使用哪种幂变换，还应该对变换后的数据的正态性做检验 （如Q-Q图方法）
§2多元正态分布的参数估计
一、多元样本及其样本数字特征
１．多元样本
x11 x12
X
x21
x22
xn1
xn2
x1p
x2
p
xnp
记
X (i) (xi1, xi2 , xip ) i 1,2 n
np ln 2 n ln | | 1 tr(1S n1(X )( X )')
2
2
2
np ln 2 n ln | | 1 tr(1S) n (X )'1(X ))
2
2
2
2
np ln 2 n ln | | 1 tr(1S)
2
2
2
仅当 X时等号成立
ln L( X ,) np ln 2 n ln | | 1 tr(1S)
2
22 n
（引理：设A为p阶正定矩阵，则 tr(A) ln A p
当A=I
等号成立。
A
1/
2
S n
1/
2
I
p时等号成立，即
S n
最大似然估计的性质
1. E( X ) μ ，即 X 是 μ 的无偏估计 。
(1, 2 ),
11 11 22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11 22
22
EX1 1, EX 2 2, DX1 11 DX1 22, cov(X1, X 2) 11 22
(1 0,2 0, 1)
为X1和X2的相关系数。
当 0 时X1与X2不相关，对于正态分布来说不相关和独立
等价。因为：