湘教版八年级上数学1.1《分式》第2课时分式的基本性质

3 ( 3x 3y ) y2 1 ⑴ ⑵ 2 4y 4y(x y) y 4 ( y2 )
（其中 x+y ≠0 ）
像例 1（3）这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分 .
5x 5 分式 2 经过约分后得到，其分子与 x 3x x3 分母没有公因式. 像这样，分子与分母没有公因式的
约分一般是将一个分式化成最简分式. 约分可以使求分式的值比较简便.
5xy 在化简分式时，小颖和小明的做法 2 出现了分歧： 20 x y
5xy 5x 小颖： 2 2 20x y 20x
对于分数而言，彻底约分后的分数叫什么？
5xy 5xy 1 小明： 2 20x y 4x 5xy 4x
分式叫作最简分式 .
例题讲解例2 约分：
24ab (1) ; 2 4ab
3
(2)
a 2 2a . 2 a 4a 4
先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分.
24ab3 4ab 2 6b 6b. 解:(1) 2 2 4ab 4ab
a 2 2a （ a a 2） a . (2) 2 2 a 4a 4 （a 2） a 2
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！
分数的分子、分母都乘同一个不为0的数，分数的值不变. 分数的分子、分母都除以它们的一个公约数，分数的值不变.
类比分数的基本性质，得到：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等.
f 即对于分式，有 g f f h , (h 0). g g h
33 1 3 解： 63 2 6 2 4 与相Fra bibliotek吗 ? 5 10
分数的基本性质
分数的分子、分母都乘同一个不为0的数，分数的值不变.
分数的分子、分母都除以它们的一个公约数，分数的值不变.
a 1 你认为分式“ ”与“ ”；分式 2a 2 2 n n “ ”与“ ”相等吗？ mn m
1.1 分式
复习提问
１、下列各式中，属于分式的是（ A、 x 1 2
B
）
a 1 2 C、 x y D、 2 2 x 1 2 ２、当x＝＿＿＿＿＿时，分式没有意义. 2 x a 1 a=1 3. 分式的值为零的条件是______. b 1
2 B、 x 1
把3个苹果平均分给6个小朋友，每个小朋友得到几个苹果？
你对他们俩的解法有何看法？说说看！ •一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. •彻底约分后的分式叫最简分式.
约分：（1）
3 3a 3 = . 4 a a
2
2 4a（ x-y） = . 9
12a 3 y x （ 2） 27ax y
注意：
x+1 x2 1 = . （ 3） 2 x 2 x 1 x-1
5x 5 (3)因为 2 ，所以括号中应填 x 3 . x 3x x 3
下列分式的右边是怎样从左边得到的？
⑴
b by 2x 2xy
(y 0)
⑵
ax a xb b
答：（1）.分式的分子和分母同时乘以y，便可得到右边的式子；（2）.分式的分子和分母同时除以x，便可得到右边的式子.
下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
a a(a b) (1) 与 2 2 ab a b
(2)
答：（1）能，分式的分子和分母同时乘以（a+b）即可.
x 3y
x( x 1) 与 2 3y( x 1)
2
答：（2）能，分式的分子和分母同时乘以（x2+1）即可.
填空，使等式成立.
当分子分母是多项式的时候，先进行分解因式，再约分.
例题讲解
例3 先约分，再求值：
x 2 2 xy y 2 ，其中x=5，y=3. 2 2 x y
2 x 2 2 xy y 2 （x y） x y = . 解: 2 2 x y （x y）（x y） x y
当x=5，y=3时，
对于上述公式，从左到右看表明：分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与
原分式相等. 对于上述公式，从右到左看表明：分式的
分子与分母都除以它们的一个公因式，所得分
式与原分式相等.
议一议
下列等式是否成立？为什么？ f f f f ， . g g g g
答：成立.理由：根据等式的性质2，分子和分母同时除以-1，等式不变.上述等式即可成立.
2
3(a b) = . 5
x 2 y xy 2 (x y) （2） = . 2 xy 2
m 3m （3） 2 9m
2
m = . (3 m)
x y 53 2 1 = = = . x y 53 8 4
练习
1. 填空:
9mn 2 m (1) 3 36n ( 4n ) x xy x y (2) 2 x (x) a b a(a b) (3) 2 ab a b
2
．
练习
2.约分
15(a b) （ 1 ） 25(a b)
例题讲解
例1 根据分式的基本性质填空.
1 a2 ( ) ; (1) a a
x ( ) (2) y xy ;
5x 5 . (3) x 2 3x ( )
1 a2 a2 1 2 解: (1)因为，所以括号中应填 a 1 . a a
x x2 2 (2)因为，所以括号中应填 x . y xy

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湘教版八年级数学上册知识点七篇

湘教版八年级数学上册知识点【七篇】分式知识点1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

2、通分：利用可分的基本性质，或使分子和核酸分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个定出分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般数学模型数学方法是：(1)如果各分母都是合数，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的次幂、所有各异字母及指数的积。

(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母辩证法的基本原理，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子组分和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式分式变形叫做分式的约分便。

在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的公约数，并不相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式尚须就更须分解因式，然后看清它们认清的公因式再约分;(3)约分以一定要把公因式约完。

实数知识点1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上点一一对应.3、相反数：符号各不相同的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a，0的相反数是0.(若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个近似值，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.)实数，是有理数和无理数的泛指。

湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点

湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点教学目标1 使学生系统了解本章的知识体系及知识内容；2 进一步了解分式的基本性质、分式的运算法则以及整数指数幂，会熟练地进行分式的运算。

重点、难点重点：梳理知识内容，形成知识体系。

难点：熟练进行分式的运算。

教学过程一知识结构与知识要点1浏览第2章目录，阅读p 61---63 复习与小结 2 这章学习了哪些内容？（学生交流）教师投影本章知识结构图 3 你还记得下面知识要点吗？（1）什么叫分式？设f 、g 都是整式，且g 中含有字母，我们把f 除以g 所得的商记作f g ，把f g叫做分式。

（2）分式基本性质设h ≠0,则f f hg g h⋅=⋅即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。

（3）分式的符号变换法则是什么？,f f f f fg g g g g−−===−−− 形象的理解为：分式的分子分母的符号可以移动 ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用（4）分式的运算法则①分式的乘法：f u f ug v g v⋅⋅=⋅可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。

②分式的除法：f u f v f vg v g u g u⋅÷=⋅=⋅，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式加减法：同分母：f h f hg g g±±=，分母不变，分子相加减。

异分母:先通分，化为同分母的分子然后相加减。

怎样找最简公分母？系数：取各分母的系数最少公倍数。

字母因式：取所有的，指数最高的。

（5）整数指数幂的运算法则①同底数的幂的除法：(n m n m n a a a m −÷=≠、都是正整数，m>n,a 0) ②零次幂和负整数指数幂：01(0)a =≠a ，1(0,n n a a n a−=≠是正整数），11(0a a a−=≠）③整数指数幂有哪些运算法则：设a ≠0,m,n 都是整数,则：()(),nnm n m n m mn n n a a a a a ab a b +⋅===，二例题精讲w W w .x K b 1.c o M 例1 填空：当x=_____,分式()3(5)(1)2x x x −−+无意义。

湘教版八年级数学上册第2课时分式的基本性质

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义务教育教科书（湘教版）八年级数学上册
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新湘教版八年级上册初中数学课时2 分式的基本性质教学课件

第二十一页，共三十六页。
新课讲解
知识点4 分式的通分
确定最简公分母的一般方法：（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
）C
A. 1 2 x 1 x 1 x2 -1
C.
1 x 1
x 1 (x 1)2
D. 1 -1 x 1 x -1
解析：A选项中分式的分子、分母同时加上1，不符合分式的基本性质，变形不一定成立；B选
项中分式的分子和分母是同时乘以(x-1)，但是不能保证 x-1≠0，变形不一定成立；C选项中
（2）（3）中分子、分母都是多项式，应先将分子、分母分别分解因式，再约分.
第三十页，共三十六页。
当堂小练
约分：
（1） 6a2b3c
- 8abc2
（2） mx 2 - my 2
nx + ny
（3）
4- a2 a2b - 4ab+4b
解析：（1）6a 2b3c
- 8abc2
- 2abc 3ab2 2abc 4c
分式的分子、分母同时乘以(x+1)，x+1≠0，符合分式的基本性质，变形一定成立；D选项
中不满足分式的符号法则，变形不一定成立.
第二十九页，共三十六页。
当堂小练
约分：
（1） 6a2b3c - 8abc2
（2） mx 2 - my 2 nx + ny
（3）
4- a2 a2b - 4ab+4b
解析：（1）中分子、分母都是单项式，可直接约分（注意：分母中含有负号，可以将负号提到分式的前面）；

湘教版数学八年级上册1.1《分式的基本性质》教学设计

湘教版数学八年级上册1.1《分式的基本性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册1.1《分式的基本性质》是本册教材的第一课时，主要介绍了分式的概念和分式的基本性质。

本节课的内容是学生学习分式的基础，对于学生理解分式的本质和后续学习分式的运算具有重要意义。

教材通过例题和练习题引导学生理解和掌握分式的基本性质，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但是，对于分式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。

此外，学生在学习过程中可能存在对分式概念理解不深、对分式性质记忆不牢的问题，需要在教学过程中加以引导和纠正。

三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2.能够运用分式的基本性质进行简单的分式运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.分式的概念和基本性质的理解。

2.分式基本性质的运用和分式运算的技巧。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和练习法进行教学。

通过设置问题引导学生思考和探索，通过案例教学使学生理解和掌握分式的基本性质，通过练习巩固所学知识，提高学生的运算能力。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.课件和教学素材。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问实数、代数式的相关知识，引导学生进入新的学习内容，引出分式的概念。

2.呈现（15分钟）讲解分式的定义，通过实例使学生理解分式的概念。

接着呈现分式的基本性质，引导学生思考和探索，通过讲解和示范使学生理解和掌握分式的基本性质。

3.操练（10分钟）根据分式的基本性质，让学生进行一些简单的分式运算，引导学生运用所学的知识，巩固对分式基本性质的理解。

4.巩固（10分钟）让学生解答一些有关分式的练习题，检验学生对分式基本性质的理解和掌握程度，对学生的错误进行纠正和指导。

5.拓展（10分钟）引导学生思考分式的基本性质在实际问题中的应用，通过实例使学生认识到分式基本性质的重要性，培养学生的应用能力。

2022年新版湘教版八年级上册数学教案全册资料

2022年新版湘教版八年级上册数学教案全册资料第一章分式1.1分式1.1.1分式的概念（第1课时）教学目标1了解分式的概念。

2通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。

3理解分式有意义的条件。

教学重点、难点：重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。

教学过程一创设情境，导入新课探究：1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论）（1）每位小朋友分（2）分法：3①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的434②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块6占一个苹果的。

8363326=）由此表明了什么？想想这两种分法分得的是否一样多？（=，即：=484428分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。

分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。

这就是分数的基本性质。

2(1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？333用除法表示：3n，用分数表示为：，3n、相等吗？（3n=）这里的n可以nnn是实数吗？（n不能为0）33(2)与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，4n什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？这节课我们来学习-----分式的基本性质。

（板书课题）二合作交流，探究新知1分式的概念填空：（1）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。

（2）一个梯形木板的面积是6m2，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m.(3)两块面积分别为a亩，b亩的稻田mkg，nkg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg.a12mn、观察多项式：、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，babab分母含有字母）一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f叫分式。

湘教版八年级数学上册知识点总结

湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1分式1.2分式的乘法和除法1.3整数指数幕1.4分式的加法和减法1.5可化为一元一次方程的分式方程J本章复习与测试第2章三角形2.1三角形2.2命题与证明2.3等腰三角形2.4线段的垂直平分线2.3全等三角形2.6用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1平方根3.2立方根3.3实数第4章一元一次不等式（组）4.1不等式4.2不等式的基本性质4.3一元一次不等式的解法4.4一元一次不等式的应用4.5—元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式3.1二次根式3.2二次根式的乘法和除法3.3二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P IT回顾相关知识:—分式的走义4—分式的概念一—分式的性质2分式_—分式的运算一—分式方程a一分式无意义+j—分式的值为零4—乘’除运算a—整数指数幕的运算A—加、减运算厂二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1：分式的定义：f 一个空成/除以一个 ______________ （___________ ）,所得的商®叫做分乙1S例1、下列式子竿竽,±⅛叵中,是分式的是__________________ 。

“2x 5 K X姑点2汾式无意义:*jf⅛5>X-屮，当g ______ 时.分Λt⅛⅛: g_______ 时.÷1S例2、令二_____ 亦分式上没有意凫争__________ 陥分式厶有意矢2兀+1 工+1姑点3汾式的值为象亠f⅛5>X-屮，⅛/ ________ JLg ______ 叭分貞的½⅛0BSIY-I例氐若分式J的動岔则询勵_____________ O ÷'A-+1知识点二：分式的性质★考点4：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 _________ ,所得分式与原分式相等。

即 ___________ （其中A ≠ O）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

新湘教版八年级数学上册第一章分式小结与复习

X+1
X2-2x+3
<-2
≥7
>-1
7.要使分式的值为正数,则x的取值范围是
x-1
-2
x<1
二、分式的基本性质：
1.分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘以(或除以) 分式的值用式子表示: (其中M为的整式)
x２＋y２
１0．已知分式的值为５／３，若a，b的值都扩大到原来的５倍，则扩大后分式的值是
３a
２a＋b
C
5/3
二、分式的约分与通分：
1.约分
2.通分 (1) (2)
x
6a2b
与
y
9ab2c
a-1
a2+2a+1
与
6
a2-1
(1) (2) (3)
12:15 D x≠－1
THANKS FOR WATCHING
The End
A
B
4.分式 > 0 的条件:
A
B
A
B
形如 ,其中 A ,B 都是整式, 且 B 中含有字母.
1.下列各式(1) (2) (3) (4) (5) 是分式的有( )个。
3
2x
3
2x
x
2x2
x
∏
分式的加减
同分母相加
异分母相加
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。
（6）计算：
解：
（7）当 x = 200 时，求的值. 解: 当 x = 200 时,原式=
（8）已知求A、B
３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（）

2022最新湘教版初中数学八年级上册数学知识点大全

第3章实数
要点梳理
一、平方根
1. 平方根的概念及性质 a (1)定义：若r2=a，则r叫作a的一个平方根. (2)性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 算术平方根的概念及性质 a (1)定义：a的正平方根叫作a的算术平方根. (2)性质：0的算术平方根是0，只有非负数才有算术平
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3. 线段垂直平分线的作法
五、全等三角形 1.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等
2.全等三角形的判定 SAS ASA AAS SSS
3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
方程；（2）解：解这个整式方程；（3）验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去；
（4）写根：写出原方程的根.
3.列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系；（2）找：找出题目中的等量关系；（3）设：根据题意设出未知数；（4）列：列出分式方程；（5）解：解这个分式方程；（6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程
分式的除法
（1）同分母分式相加减
分式的乘方
（2）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减.这个相同的分母叫公分母.
(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为公分母)
三、整数指数幂
1.同底数幂除法：a m an
amn
(a≠0, m、n为正整数且m>n)

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