2017年春八年级数学下册1.4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理教学课件
A
已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，且PD=PE。
O
求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明： 过点P作射线 OC ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt △PEO中 PD=PE PO=PO ∴ Rt △PDO≌ Rt△PEO
【证明】∵AD⊥OB,BC⊥OA, ∴∠BDE＝∠ACE＝90°, 又∵∠BED＝∠AEC,EB＝EA, ∴△BDE≌△ACE. ∴DE=CE. ∴EO为∠AOB的平分线.
课堂小结 1、角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
③画射线OC，射线OC即为所求的角平分线.
2.（河源·中考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ 60°，AC＝2．按以下步骤作图： ①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于 点E、D；
②分别以D、E为圆心，以大于
相交于点P； ③连接AP交BC于点F． 那么：(1)AB的长等于______ (直接填写答案)；
复习旧知 三角形三边垂直平分线定理： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
情景引入 角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到 的？ A D
O
1 2
E
P
C
B
新知探究 Ⅰ、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。 A D
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E。
A
E F B D C
合作交流 ⅱ、你会用尺规作角的平分线吗？ 已知：如图，∠AOB。 D
B
求作：射线OC，使∠AOC= ∠AOB。 作法：
1、 在OA、OB上分别截取OD=OE； 2、分别以点D、E为圆心，大于 径作弧，两弧在内部交于点C； 3、作射线OC。 ∴射线OC就是∠AOB的平分线。 你会证明吗？ DE的长为半 O
E
P
C
B
∴∠POD=∠POE
即点P在∠AOB的平分线上
新知归纳 角平分线判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
范例讲解
例1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°， 点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
求证：PD=PE。
证明： ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1=∠2 ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中 ∠1=∠2 ∠PDO=∠PEO PO=PO
O
1 2
E
P
C
B
∴△PDO≌△PEO
∴PD=PE
新知归纳 角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
合作交流 ⅰ、你能写出定理“角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。”的逆命题吗？
改写成“如果…，那么…”的形式： 如果一个点是角平分线上的点，那么这个点 到角的两边的距离相等。
逆命题为： 如果一个点到角的两边距离相等，那么这个 点在离 相等的点在这个角的平分线上”呢？ D
C
E
A
1. (凉山·中考）已知：∠AOB，求作∠AOB的角平分
线；根据图示，填写作法： ① ② ③
A M
. . .
C
O
N
B
A M C
O
N
B
【解析】由图示写出作法即可.
① 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于M、N；
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在
∠AOB内部交于点C；
1 DE 长为半径画弧，两弧 2
B P D A
F C
(2)∠CAF＝______°(直接填写答案)．
E
【解析】∵∠C＝90°，∠BAC＝60°, ∴∠B＝90°－∠BAC＝30°, ∴AB＝2AC＝4, ∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF＝30°.
答案：（1）4 （2）30
3. 如图，已知：AD⊥OB于D， BC⊥OA于C，AD、BC相交于E，且 EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
八年级数学角平分线的性质知识点总结
角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。
即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。
即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。
即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。
即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：1.判断角平分线。
当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。
2.利用角平分线的性质解决问题。
当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。
例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。
当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。
常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。
再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
求证：PD=PE.
1
D
3
P E
Ｃ B
O
2
4
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A D P 1 2 E
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且 OD=2米
求证：点P在∠MNO的平分线上
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
B
交换定理的条件和结论得到的命题为：合Fra bibliotek探究′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上. B 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
A
基本应用
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2 E D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
思 考 分 析
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D O E P C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
M
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O
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挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
E B D C
例:已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
思 考 分 析
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D O E P C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
24.8角平分线的性质定 理及其逆定理
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线的性质定理及其逆定理
提示：过点 分别向 分别向△ 三边作垂线， 提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角 三边作垂线 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。
2 .在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点， 边的中点， 在 中 ∠ ， 为 边的中点 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 ，F。求证： ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是E， 。求证： 的平分线上。 点D在∠A的平分线上。 在 的平分线上
A
B E
H
C G
P
图2
已知：如图3， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 例3 已知：如图 ，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝ PC，D是AP上 一点 ， 是 上 求证： 求证：∠BDP＝∠CDP ＝
A
D B C
P 图3
尺规作角的平分线 步骤一：以点 为圆心 为圆心， 步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画 弧与角的两边分别交于A， 两点 两点。 弧，弧与角的两边分别交于 ，B两点。
步骤二：分别以点 ， 为圆心 以固定长(大 为圆心， 步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长 大 长的一半)为半径画弧 于AB长的一半 为半径画弧，两弧交于点 长的一半 为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线 就是∠ 步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的 ， 就是 的 平分线。 平分线。
练习 1 .已知：如图，△ABC的角平分线 已知： 的角平分线BM，CN相 已知 如图， 的角平分线 ， 相 交于点P。求证， 到三条边AB， ， 的 交于点 。求证，点P到三条边 ，BC，CA的 到三条边 距离相等。 距离相等。
已知：如图1， 的角平分线BM、CN 例1 已知：如图 ，△ABC的角平分线 的角平分线 、 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步骤。
一、复习：角平分线具有什么性质呢？二、探索新知：（1）角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论： 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS ） 1、如何证明三角形全等判定公理的推论？2、利用上面已证明的推论对角平分线的性质定理做出证明。
AD C 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上任意一点 1 P _______________，_________________，垂足分别为D 、E 。
2 求证：____________________。
O E B 证明：（2）角平分线性质定理的逆定理： 1、请写出角平分线性质定理的逆命题。
2、根据逆定理的内容，画出图形，并结合图形写出已知和求证。
A 已知：如图，已知∠AOB ，点P 是∠AOB 内一点。
D __________________，___________________， P _____________________________。
求证：___________________________。
O E B 证明：角平分线性质定理的逆定理：角的内部到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（3）角平分线的尺规作图1、你能用直尺和圆规作出角平分线吗？动手试一试。
2、说一说你的作图步骤。
3、你的作图依据是什么？三、课堂练习 完成课本习题。
的周长D ，。
角的平分线的定理和逆定理
角的平分线的定理和逆定理一、角的平分线的定理角的平分线的定理是几何学中的一个重要定理，它指出：如果一条直线通过一个角的顶点，并且把这个角分成两个相等的部分，那么这条直线就是这个角的平分线。
简而言之，角的平分线将一个角分为两个相等的角。
具体来说，设有一个角AOC，直线OB通过角的顶点O，并且将角AOC分成两个相等的角AOB和BOC。
那么我们可以得出结论：直线OB就是角AOC的平分线。
为了证明这个定理，我们可以使用等角的性质。
首先，根据等角的定义，我们可以得出两个角AOB和BOC相等。
其次，根据角的定义，我们可以得出AOB+BOC=BOC+COA，即AOB=COA。
因此，直线OB平分了角AOC。
角的平分线定理在解决几何问题时非常有用。
通过找到角的平分线，我们可以将一个角分成两个相等的部分，从而简化问题的求解过程。
这个定理在证明其他定理时也经常被使用。
二、角的平分线的逆定理角的平分线的逆定理是角的平分线定理的逆命题，也就是说，如果一条直线通过一个角的顶点，并且将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线就是这个角的平分线。
具体来说，设有一个角AOC，直线OB通过角的顶点O，并且将角AOC分成两个相等的角AOB和BOC。
那么我们可以得出结论：直线OB是角AOC的平分线。
为了证明这个逆定理，我们可以使用等角的性质。
首先，根据等角的定义，我们可以得出两个角AOB和BOC相等。
其次，根据角的定义，我们可以得出AOB+BOC=BOC+COA，即AOB=COA。
因此，直线OB 平分了角AOC。
角的平分线的逆定理在解决几何问题时也非常有用。
通过已知角的两个相等的部分，我们可以确定角的平分线的位置，从而进一步求解其他相关问题。
三、应用实例下面我们通过一个实例来应用角的平分线定理和逆定理。
例题：在平面上，给定三个点A、B和C，要找到一个点P，使得角APB和角BPC相等。
解题思路：根据题目中的要求，我们需要找到一个点P，使得角APB 和角BPC相等。