圆锥曲线知识点汇总精讲
高中数学知识点精讲精析 圆锥曲线
2.1 圆锥曲线1．涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；2．涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
3.思维方式：等价转换思想，数形结合特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系4．距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行转换5．以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．1．抛物线x y 22=上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a ∈R)的距离的最小值记为)(a f ，求)(a f 的表达式【解析】由于x y 22=,而===其中x 0≥(1)a ≤1时,当且仅当x=0时, )(a f =|PA|min =|a|.(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, )(a f =|PA|min.所以)(a f =||,11a a a ≤⎧⎪> 2 求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程 【解析】设双曲线方程为x 2-4y 2=λ. 联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么：=解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -= 21 已知直线y=ax+1与双曲线3x 2-y 2=1交于A B 两点，（1）若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值 （2）是否存在这样的实数a ，使A B 两点关于直线12y x =对称？说明理由【解析】（1）联立方程223x -y =11y ax ⎧⎨=+⎩，消去y 得：（3-a 2）x 2-2ax-2=0.设A(11,x y ),B(22,x y ),那么：122122222323(2)8(3)0a x x a x x a a a ⎧+=⎪-⎪⎪=-⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA OB ⊥，即12120x x y y += 所以：1212(1)(1)0x x ax ax +++=，得到：222222(1)10,633a a a a a a-+⨯+⨯+=<--，解得a=1± (2)假定存在这样的a ，使A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x = 那么：221122223x -y =13x -y =1⎧⎨⎩，两式相减得：222212123(x -x )=y -y ，从而12121212y -y 3(x +x )=.......(*)x -x y +y 因为A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x =对称，所以 12121212y +y 1x +x =222y -y 2x -x ⎧⨯⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入（*）式得到：-2=6 也就是说：不存在这样的a ，使A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x 对称。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
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圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若 M为椭圆上任意一点，则有|MF 1 I |MF 2 I 2a 。
0的条件，要分清焦点的位置，只要看 X 2和y 2的分表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;X 0，得y b ，则B 1（0, b ）， B 2（0,b ）是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令 y 0得X a ，即A （ a,0），A 2（a,0）是椭圆与X 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于IF 1F 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆上）。
椭圆的标准方程为:22Xy22a b0）（焦点在 x 轴上）2y a 2XP 1 （ a b 0 ）（焦点在y 轴b 2注：①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2母的大小。
例如椭圆2y nn ）当m n 时表示焦点在X 轴上的椭圆；当 m n 时1两个方程中都有aX 2①范围：由标准方程a1知|X| a ，|y| b ，说明椭圆位于直线 X a ，b 所围成的矩形里; ②对称性：在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变，所以若点（X, y ）在曲线上时,（X, y ）也在曲线上, 所以曲线关于X 轴对称，同理，以X 代替X 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。
若同时以X 代替X ， y 代替y③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令焦距。
（2）双曲线的性质同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
圆锥曲线知识点总结(经典版)
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圆锥曲线的方程与性质1．椭圆1）椭圆概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a>b>0）（焦点在x轴上）或x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1（a>b>0）（焦点在y轴上）。
2）椭圆的性质①范围：由标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1知|x|≤a，|y|≤b，说明椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里；②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，则B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
同理令y=0得x=±a，即A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率e=c/a，其中c是焦距。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
椭圆的离心率是一个重要的概念，它表示椭圆的扁平程度。
由于椭圆的长轴a大于短轴c，所以离心率e小于1.当离心率e接近1时，短轴c就越接近于长轴a，椭圆变得越扁。
相反，当离心率e接近于0时，短轴c就越接近于0，椭圆变得越接近于圆。
当长轴a等于短轴b时，离心率e等于0，椭圆的两个焦点重合，变成了一个圆，其方程为x+y=a。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线专题1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
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？思考一个问题:把“焦点在y轴程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法：所求曲线方程的类型已知， 则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定 型，再定量”.
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1)平面上----这是大前提 (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a (3)常数 2a 要大于焦距 2c
MF MF 2 a 2 c 1 2
4
定
义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径。 焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的基本元素 y2=2px Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定抛物线 开口大小）
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2
典例分析
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线：x =－
2 3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程 x 2 =－8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 y 2 =－ 4 x 线的标准方程 看图 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，c2=a2-b2
范围
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 （-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
|x| ≥ a，yR
c2=a2+b2
看 x 2 , y 2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
典例分析 (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 >6,
PF1 PF2 6
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2－c2=52－42=9
x y 2 1(a b 0) 2 a b
F1
2
2
y
M
o
F2
x
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9 1
例2. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为（ - 2，0）， 5 3 （2，0）并且经过点（ ， - ），求它的标准方程. 2 2
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2、双曲线的简单几何性质：
§2.2
双曲线
1、双曲线的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考： （1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
(c,0)、(-c,0)
e c a
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
离心率 a、b、c的关 系
(0<e<1)
c2=a2-b2
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
圆锥曲线与方程知识点汇总
§2.1
椭圆
1、椭圆的定义：
F1
M
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。 椭圆形成演示 MF1 MF2 2a 椭圆定义.gsp
F1 F2 2c
2a 2c 0时, 为椭圆
双 曲 线
2 2
性 质 图象
y
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0) y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
xa
x
o
x a
ya
或
或
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0）
e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径： y 通过焦点且垂直对称轴的直线， P ( x0 , y0 ) 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 通径的长度：2P O F x
P越大,开口越开阔
H
d
M
·
C
·
F
焦 点
准线
l
直线l 叫抛物线的准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d
y 2 px
2
p 0是焦准距
－－抛物线标准方程
图 l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
l
O
x
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
解 : 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 x y + =1(a > b > 0). a b
2 2 2 2
由椭圆的定义知 2a = 5 3 + 2 + - + 2 2
2 2 2
5 3 2 + - = 2 10 2 2
p ( ,0 ) 2 p ( ,0 ) 2 p (0， ) 2
x
四种抛物 p 线的对比
2
y
F
x
p P的意义:抛物 x 2 线的焦点到准
线的距离
y
F
O
l
x
p 方程的特点: y 2 (1)左边是二次 p y 2
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.
2、椭圆的简单几何性质：
标准方程 图象 范围 对称性
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2 y P x2 y2 2 1(a b 0) 2 b a y
F1 OF2
x
F2 P
F1
O
x
-a≤x≤a, -b≤y≤b
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
-b≤x≤b, -a≤y≤a
y P y F2 x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P
x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
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例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程.
y x 1 解：把方程化为标准方程 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
2
2
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
4 渐近线方程为 y x 3
18
c 5 离心率e a 4
5 例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方