微分方程-习题课
常微分方程二阶线性微分方程习题课
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
习题课_微分方程(解答)
有两个不相等实根 r1 , r2
有两个相等实根 r r1 r2
有一对共轭复根 r1 ,2 i
y C1e
rx
r1 x
C2 e
r2 x
y e (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
4
10. 二阶常系数线性非齐次方程 ay '' by ' cy f ( x)
0
x
解： f ( x)sinx x f (t )dt tf (t )dt ， f (0) 0 ，
0 0
x 0
x
x
f ( x)cosx f (t )dt ， f (0)1 ，f ( x ) sin x f ( x ) ，
y y sin x 得初值问题： 。 y(0) 0, y(0)1 1 求得通解为 y C1cos x C 2 sinx xcos x ， 2 1 代入初始条件 y(0)0, y(0)1 ，得 C1 0 ， C 2 ， 2 1 ∴ y f ( x ) (sin x x cos x ) 。 2
(1) α iβ
ex [ Pm ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]
(1) y ex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
(1) y xex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
2
9
三、计算题
1．求方程 yy ' (sin x y 2 )cot x 的解。
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 ( x 0) 2．求初值问题 的解。 y x1 0
二阶微分方程习题课 共16页
例1 设函数 y = y (x)满足微分方程 y3y2y2ex
且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y＝x2－x＋1在该点的切线重合，求 函数 y = y (x) .
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)
(2)
一、 f(x)exP m (x)型
0 不是根
二阶微分方程 习题课
二阶常系数线性微分方程的一般形式为
ay’’+by’+cy=f(x)
a,b,c都是实系数，a≠0,f(x)是x的函数
当f(x)≡0
为二阶常系数线性齐次微分方程
当f(x)≡0
为二阶常系数线性非齐次微分方程
ypyq y0 r2prq0
特征根的情况
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f (x)＝2ex 是 Pm(x)eλx型(其中Pm(x)＝2，λ＝1)。
原方程对应的齐次方程为 y3y2y0，其通解为 YC 1exC2e2x
由于λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0的单根，因此设原方程的一个 特解为 y* = axex ，代入方程中，求得 a＝－2，故原方程的通解为
f(x)P m (x)exsi n x型及其 型组
y x k [ Q 1 ( x ) j2 ( Q x ) e x ( ]c x j s o x i ) s
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
ex 微分方程与差分方程(习题课)讲课稿
( 3 )y f(y ,y )型
特点 不显含自变量x.
解法 令yP(x),y P d P , dy
代入原方程, 得 P dP f ( y, P ). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0
设 yxkexQ m (x),k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) sx i ] 型 n
设 y x k e x [ R m ( 1 ) ( x ) cx o R m ( 2 s ) ( x ) si x ]n ,
将之简记为
y
，
0
y
，
1
y
2，，
y
x，
称函数的改变量y x1
y
x
为
函
数
y
的
x
差
分
，
也称为一阶差分，记为Δ yx yx1 yx .
函数y f (x)的二阶差分为y函的数一阶差分的 差分,即
Δ2 yx Δ(Δyx ) Δ(yx1 yx ) (yx2 yx1) (yx1 yx ) yx2 2yx1 yx
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
二阶微分方程应用习题课
则有初值问题:
d2 h dt2
GM h2
②
h t0 R,
dh dt
t 0 v0
③
设
dh dt
v(h),
则
d2 dt
h
2
v
d d
v h
,
代入原方程②, 得
v
d d
v h
GM h2
vdv
GM h2
d
h
两边积分得
1v2 GM C
2
h
利用初始条件③, 得
C
1 2
v02
需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关
系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在 下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,
体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成
正比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的
微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 )
R
i(t)
LEm R2 2L2
e
Rt L
Em sin( t ) R2 2L2
暂态电流
稳态电流
练习题 设有一个电阻 R , 自感L,电容C 和电源E串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,
求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 .
解 设电路中电流为 i(t), 极板上
d2 dt
x
2
2n
dx dt
k
2
常微分方程习题课
y
P ( x, y)
(99.数1,6分)
Q
O
x
解 :曲线y = y( x )上点P ( x , y )处的切线为 :
Y − y = y '( x )( X − x ).
y 它 与 x 轴 的 交 点 为( x − , 0)， y'
由 于 y '( x ) > 0, y (0) = 1, 所 以 y ( x ) > 0,
所以此时间间隔内湖泊中污染物A的改变量 m0 m dm = ( − )dt。 6 3
m0 分离变量得 : m = − Ce 2
代入初始条件 m
t =0
−
t 3
,
9 = 5m0 , 得 C = − m0 . 2
− t 3
所以
m0 m= (1 + 9 e 2
).
令 m = m 0 , 得 : t = 6 ln 3。
(1 + xg ( x ))(1 + ∆ xg ( ∆ x )) − 1 − xg ( x ) = lim ∆x → 0 ∆ xg ( x )∆ xg ( ∆ x )) + ∆ xg ( ∆ x ) = lim ∆x → 0 ∆ = xg ( x ) + 1 = f ( x )，
即有 f ( x ) = f '( x ), ⇒ f ( x ) = Ce x。
12 有一盛满水的圆锥形漏斗,高为10cm,顶角
π
3
,
漏斗下面有面积为0.5cm2的孔,求水面高度 的变化规律及水流完所花时间. 解:由水力学知道:
dV Q= = 0.62 S 2 gh , dt
r
h
dh
在[ t , t + dt ]时间段内, 水面高度由 h降为
计算物理学(刘金远)第5章：微分方程(课后习题及答案)
5.1 计算物理学第５章：微分方程课后习题答案初值问题【5.1.1】采用euler 方法求初值问题'2/, 01(0)1y y x y x y =-££ìí=î【解】取0.1h =，1(,)(2/)n n n n n n n n y y hf x y y h y x y +=+=+-x0.00.10.20.3y 1.000 1.1000 1.1918 1.2774【5.1.2】用euler 预测-校正公式求初值问题22', (0)1y x y y ì=-í=î【解】取0.1h =，1(,)n n n n y y hf x y +=+111(,)n n n n y y hf x y +++=+1000(,)0.9y y hf x y =+=221011(,)10.1(0.10.9)0.92y y hf x y =+=+´-=【5.1.3】用euler 公式和梯形公式建立的预测-校正公式求初值问题'23, 0(0)1y x y x y =+£ìí=î取0.1h =，(1)求(0.1)y ;(2)编程计算0:0.01:2x =【解】1111(,)1[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y y y h f x y f x y ++++=+=++10001000110.1(23) 1.30.05[(23)(23)]1.355y y x y y y x y x y =++==++++=【5.1.4】用显式Euler 方法，梯形方法和预估-校正Euler 方法给出求初值问题1,01(0)1d y y x x dx y ì=-++<<ïíï=î的迭代公式（取步长0.1h =）【解】取0.1h =，,0,1,k x kh k ==L ，（1）显式Euler 方法12(,)(1)(1)k k k k k k k y y hf x y y h y kh y h kh h+=+=+-++=-++1911010010k k k y y +=++（2）梯形方法为1121()2(2)(21)2219112110510k k k k k k k h y y f f h y k h h y hy k +++=++-+++=+=++（3）预估-校正Euler 方法为1111(,)[(,)(,)],20,1,,1x k k k k k k k k k k k y y h f x y h y y f x y f x y k n ++++=+ìïï=++íï=-ïîL 221(1/2)(/2)0.9050.00950.1k k k y y h h kh h h hy k +=-++-+=++【5.1.5】考虑下面初值问题2'''(0)1;'(0)2y y y t y y ì=-++í==î使用中点RK2，取步长0.1h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.1t h =='y u y æö=ç÷èø，012u æö=ç÷èø，2''(,)'y u f t u y y t æö==ç÷-++èø，1002(,)1k f t u æö==ç÷èø，2001212 1.111(,)(0.05,0.05)(0.05,)21 2.0522 2.05 2.050.891.1 2.050.05k f t h u hk f f æöæöæö=++=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèøæöæö==ç÷ç÷-++èøèø102 1.2052.089u u hk æö=+=ç÷èø，1(0.1) 1.205y y ==【5.1.6】考虑下面初值问题2'''2''(0)1;'(0)0,''(0)2y y y t y y y ì=++í===-î使用中点RK2，取步长0.2h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.2t h ==取表示符号'''y u y y æöç÷=ç÷ç÷èø，2''(,)''2''y u f t u y y y t æöç÷==ç÷ç÷++èø，0102u æöç÷=ç÷ç÷-èø，010002000'()0(,)''()262()''()y t k f t u y t y t y t t æöæöç÷ç÷===-ç÷ç÷ç÷ç÷++èøèø200121011(,)(0.1,00.12)2226 10.20.2(0.1,0.2) 1.4 1.41.4 3.9721( 1.4)0.1k f t h u hk f f æöæöç÷ç÷=++=+-ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøæö--æöæöç÷ç÷ç÷=-=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-´+-èøèøèø1020.960.281.206u u hk æöç÷=+=-ç÷ç÷-èø，(0.2)0.96y =【5.1.7】采用Rk4编程求下列微分方程的初值问题：（1）23'1, (0)0y y x y =++=（2）2'2(1), (1)2y y x y =+--=（3）'', ()0,'()3y y y y p p =-==【5.1.8】求下面微分方程组的数值解2323'2'4(0)1,(0)0x x y t t t y x y t tx y ì=-+--ï=+-+íï==î补充题【5.1.1】对微分方程'(,)y f x y =用Sinpson 求积公式推出数值微分公式【解】{}111111111'(,)4(,)(,)3n n x n n n n n n n n x y dx y y h f x y f x y f x y +-+---++=-=++ò【5.1.2】用标准的4阶龙格库塔方法求初值问题',(0)1y x y y =+ìí=î，取0.1h =，计算出(0.2)y 【解】()1123422/6i i y y h k k k k +=++++1213243(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)i i i i i i i i k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ==++=++=++'(,)y f x y x y ==+，00(,)(0,1)x y =100200130024003(,)1(/2,/2) 1.1(/2,/2) 1.105(,) 1.2105k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()10123422/6 1.1103y y h k k k k =++++=，11(,)(0.1,1.1103)x y =111211*********(,) 1.2103(/2,/2) 1.3208(/2,/2) 1.3263(,) 1.4429k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()2112342(0.2)22/6 1.2428y y y h k k k k y ==++++==然后由22(,)(0.2,1.2428)x y =计算3(0.3)y y =，。
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A x2ex 2
不 是 特 征 方 程 的 根 是 特 征 方 程 的 单,根 是 特 征 方 程 的 重 根
2020/6/9
15
2、 fx e x P lx c o sx P n x s i n x
特解形式为 y * x k e x R m 1 c o sx R m 2 sinx
若 是k重 共 轭
复根 j
[(C0C1xLCk1xk1)cosx (D 0D 1xLD k1xk1)sinx]ex
二阶常系数非齐次线性方程 y p y q y f(x )
对应齐次方程 y p y q y 0 ,
通解结构 yYy,
求特解的方法 待定系数法.
2020/6/9
13
1、 fxexPmx型
设 y p 则ydpdypdP,
dydx dy
代 入 原 方 程 得 到 新 函 数 P 的 一 阶 方 程
2020/6/9
10
二阶常系数齐次线性方程
ypyq y0
r2prq0
特征方程法
特征根的情况
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
2020/6/9
11
n阶常系数齐次线性方程
y ( n ) P 1 y ( n 1 ) L P n 1 y P n y 0 特征方程为 rn P 1 rn 1 P n 1 r P n 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C 0 C 1 x L C k 1 x k 1 )e rx
2020/6/9
3
齐次方程. 形如 dy ( y)
dx x
解法
作变量代换 u
y x
dy uxdu,
dx
dx
uxdu f(u), dx
即duf(u)u. dx x
2020/6/9
可分离变量的方程
4
一阶线性微分方程.
dyP(x)yQ(x) dx
解法 1.齐次线性方程
dyP(x)y0. dx
通解为 yCeP(x)dx.
的解，求x的表达式.
例 求微分方程
x2 1 dy2xycosxdx0
满足初始条件y0 1的解.
例 设曲线L位于xoy平面的第一象限内， L上任一点M处的切线与y轴总相交， 交点记为A，已知 MA = OA，且L过
点
3 2
,
3 2
，求L的方程
.
例 设对任意x0，曲线y f(x)上点
x, f(x)处的切线在y轴上的截距
设非齐方程特解为
yQ (x)ex= xkexQ m (x)
Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) P m ( x )
Q m x 的 系 数 代 入 方 程 确 定
2020/6/9
14
特别地 ypyq yAx e
y 22AAppxqeexx,
解法 将 y (n )f(x )连 续 积 分 n 次 , 可得通解.
2020/6/9
8
2、 yf(x,y) 型
特点 不 显 含 未 知 函 数y.
解法
令 y p
则y p.
代入原方程, 得
pf(x,p).
p(x)的一阶方程Biblioteka 2020/6/99
3、 yf(y,y') 型
特点 解法
右 端 不 显 含 未 知 函 数 y.
0 i不是特征根 k1 i是特征根
R m 1 ， R m 2 的 系 数 代 入 方 程 确 定
2020/6/9
16
二、典型例题
例 设y f x 是方程y 2 y 4 y 0的解，
若f x0 0，f x0 0，则f x 在点x0
A 取得极大值 B 取得极小值 C 某个邻域单调递增 D 某个邻域单调递减.
微分方程 习题课
（一）主要内容 （二）典型例题
一、主要内容
一阶微分方程
高阶微分方程
可分离变量
可降阶的高阶
微分方程
齐次
高阶线性
一阶线性 伯努利
高阶常系数齐次 （非齐次）线性
可分离变量的微分方程
g (y)d yf(x )dx
解法 g(y)dyf(x)dx
G (y)F (x)C 得到隐式通解，尽可能显化.
y
x
满足的微分方程，并求其满足 y 1， x0
y 3的特解. x0 2
方程y py qy e3x满足初始条件
y 0 y 0 0的特解，
ln 1 x2
求 lim x0
y x
例 求 微 分 方 程 y6y9a2 y1
的 通 解 ， 其 中 常 数 a0.
例 将x x y 满足的微分方程 0 t
d2x dy 2
y
sin
x
dx dy
0化为y
等于1 x
x
0
f
tdt，求f
(x)的表达式.
例 具 有 特 解 y1ex， y22xex， y33ex 的 三 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 .
例 用变量替换xcost0t 化简
微分方程1-x2 y-xyy0，
并求其满足y 1，y 2的特解.
x0
x0
例 设y y x 是二阶常系数线性微分
例 已 知 函 数 yyx在 任 意 点 x处 的 增 量 y1yx x2ox， 且 y0， 求 y1.
例 若连续函数f x满足关系式
f x
2x 0
f
t 2
dt
ln2
求f x
例 求初值问题
y x2 y2 dx xdy 0
y 0 x1
的解
x 0
例 已知ylnxx是微分方程yxyxy
5
2020/6/9
2. 线性非齐次方程 dyP(x)yQ(x). dx
通解为 y [Q (x )eP (x)dd x x C ]e P (x)dx
C P e (x )d xe P (x )dxQ (x )e P (x )dd x x
对应齐次方程通解 非齐次方程特解
6
2020/6/9
伯努利方程. dyP(x)yQ(x)yn (n0,1)
dx
解法 令z y1n
d z(1n )P (x)z(1n )Q (x), dx y1 nz
e(1 n )P (x)d(xQ (x)1 (n )e(1 n )P (x)dd x x C ).
7
2020/6/9
可降阶的高阶微分方程
1、 y(n) f(x) 型
特点 不 显 含 未 知 函 数 y 及 y ,L ,y (n 1 ).