2021届安徽省江淮十校高三第一次联考数学(文)试题

绝密★启用前

数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合2{12},1⎧⎫

=+<=<⎨⎬⎩⎭

A x x

B x x ，则()⋂=R A B （ ）

A ．[0,1)

B ．(3,1)-

C ．[1,2]

D ．(0,2] 2．已知复数5

12=

+-z i i

，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3-i C ．3 D ．3-

3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01<

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A ，B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）

A ．

sin

2=d l

θ

θB ．

2sin

2=d l

θ

θC ．

cos

2=d l

θ

θD ．

2cos

2=d l

θ

θ

5．已知抛物线2

2(0)=>y px p 的焦点与椭圆

22154

+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）

A ．1=-x

B ．1=x

C ．3=-x

D ．3=x

6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 7．函数2

ln ||=-y x x 的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

9．要得到函数2cos 26⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

y x π的图象，只需将函数2cos 2=-y x x 的图象（ ） A ．向左平移

2π个单位 B ．向左平移4π

个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6

π

个单位

10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒

，当点P 满足120

︒

∠=∠=∠=APB APC BPC 时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ） A

．2- B

．2+ C

1- D

1

11．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．

，,tan ≠=a c B ABC

的面积为2

||

-b a c 的最小值为（ ）

A

． B

． C

． D

．12．在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为1

的等边三角形，

2===PA PB PC ，则三棱锥-P ABC

外接到的表面积为（ ）

A ．4π

B ．5πC

．6

D

． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数()13

log ,3()3,3

≥⎧⎪=⎨⎪<⎩x

x x f x f x 则(1)=f _____．

14．已知2=x 是函数

()2()2=-+x f x xe a x x 的一个极值点，则实数=a _____．

15．设数列{}n a 满足()()111,111+=+-=n n a a a ，则数列{}1+n n a a 的前2020项和为______．

16．已知点P 是双曲线22

221(0,0)-=>>x y a b a b

上任意一个点，若点P 到双曲线两条渐近线的距离乘积等

于23

b ，则双曲线的离心率为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）

已知数列{}n a 满足112,2+==+n n a a a n ，设1=++n n b a n ． （1）证明：数列{}n b 是等比数列；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18．（12分）

2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下列联表：

（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关？

（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，N95、R95、P95是三种不同材质的口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．

附：22

()()()()()

-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．

19．（12分）

在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知2

2

2()=+-S b c a ，其中S 为ABC 的面积．

（1）求cos A ；

（2）若cos cos 2+=b C c B ，求ABC 周长的最大值． 20．（12分）

如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，2=AB ，侧棱1AA 上有且仅有一点E 使得1⊥BE EC ．