2021届安徽省江淮十校高三第一次联考数学(文)试题
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题理 含答案
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e e x xx f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782-B ．9π784-C ．78π-D ．9π452-7．若6(1)2x x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ）A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件 B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件 C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。
安徽省江淮十校2025届高三年级第一次联考语文试卷(含答案)
江淮十校2025届高三第一次联考语文试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将答题卡上交。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，18分)阅读下面的文字，完成1-5题。
传统纹样作为优秀的艺术资源，凝聚着中华民族特有的审美理想和造物智慧，具备无限转化的可能性。
在新时代，如何实现传统美学在当代语境下的创新发展，显得尤为重要。
“天人合一”的审美观念古代的艺术家和匠人将关于哲学与美学的思考以及对于生命的理解，以纹样的形式融入各类器物之上，造型艺术也正是从这些图案花纹中脱胎而出。
传统装饰纹样代表了古人的审美情趣，反映了不同时期的社会习俗和文化思想。
东方哲学体系下的艺术思维模式既追求空灵充实的气韵，又讲究虚实相生的意境。
“天人合一”强调人与自然的统一性，其朴素的观念中包含了对于天地自然之美的论述，也是历来中国艺术家遵循的根本创作原则。
受这种自然审美观影响，古代纹样中体现的祥瑞美学特质格外突出，进而延展到更广阔的天地万物之美，将自然美学推向极致。
这种美学思想贯穿于当代设计艺术之中。
原中央工艺美术学院副院长庞薰琴在《论艺术设计美育》中指出：“早在新石器时代，中国的图案已经相当成熟。
到殷周时，在图案画中，已能充分地表现出民族的精神。
其后，不论每个时代或每个地方，他们的工艺美术都有其特殊的个性。
”庞薰琴将古代青铜器纹样、玉器纹样、汉代画像石纹样、陶器纹样、织锦纹样等运用到图案设计之中，其作品既具有浓厚的民族风格，又具有清新典雅的工艺特点。
艺术设计家、原中央工艺美术学院院长常沙娜，长期从事传统装饰图案研究，善于从大自然的花卉形态中不断汲取丰富多样的图案造型素材，将自然花卉作为图案造型、构成及色彩的补充，形成独有的装饰图案风格。
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
在中国历史语境中，什么是“天下”？人们多倾向于从政治层面为其定性，如邢义田所言：“天下观是指人们对这个世界政治秩序的概念。
”但是，当中国人以美学视野规划他的生存境域时，天下不仅是空间性的，也是时间性的。
时间为人的世界经验植入了运动和过程，它的价值则在于为主观经验建构的天下秩序增添了变量，使其由井然有序的状态，变化为活泼生动的状态。
中国传统天下观念从河洛中原出发，相关时间观念的形成也必然受这一区域的土壤以及气候和物候条件影响。
在传统农业社会，中国人对时间的认识起于对土地生命特质的体认。
这是一种农业时间，即“农时”或“农历”，与农业生产有关的自然物候乃至天象变化成为时间的标识。
同时，这种时间观念起于河洛中原，然后不断向外扩大它的描述疆域，直至成为一种与中国人的天下观齐平的概念。
这种时间观念之所以是审美的，一个根本原因是它并非来自自然界先天的给予，而是来自人后天的感性经验。
更具体地讲，在传统中国，时间不过是处于世界一隅的黄河中游的乡土经验，居住在这里的人们虽然因自认为居于天下中心而赋予它普遍价值，但它毕竟受到了特定生产方式和地理区域的限定，是人基于区域性经验的主观建构。
它得以成立的美学理由要远远大于科学的理由。
在传统中国，时间的审美化是天下观念审美化的重要组成部分，它使被“天下”一词规划的世界呈现出活态化的审美特征。
首先，在这一地带，中国早期农事活动对土地生命特质的发现，为中国人的自然审美提供了一个奠基形式。
以此为基点，从大地上的植被到天空的飞鸟，再到遥远天际的斗转星移，形成了一个连续性的时空放大模式。
在这一界域之内，既潜隐于泥土又四散洋溢的自然生命感，使人栖息的世界成为一个气韵生动、大化流行的审美世界。
其次，自然生命总是在运动中表现为过程，并通过大地上的花开花落、草木枯荣使时间获得感性表征，这种自然性的时间运动被中国人规划为四季、十二月、二十四节气等，从而为人的农事活动建立规律。
安徽省江淮十校2021-2022学年高三上学期第一次联考文科数学试题
安徽省江淮十校2021-2022学年高三上学期第一次联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数1iz i=+在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{|(21)(1)0}A x x x =+->，{}2|log (1)B x y x ==-，则A B 等于（ ） A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(1,)+∞D ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭3．已知双曲线C ：2213y x -=，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．44．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数14,1()2,1x x x f x a x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若7 88ff ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a =（ ） A ．12 B ．34C ．1D ．26．已知两个等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项积分别为n A ，n B ，若333a b =，则55A B =（ ） A ．3B ．27C ．81D ．2437．已知函数()xf x e =，()sing x x =，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）A ．()()y f x g x =+B ．()()y f x g x =-C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =8．将函数π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴方程是（ ） A ．π8x =B ．π8x =-C ．3π16x =D ．5π16x =9．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）A ．1B 1C 2D 110．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）．干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一．今年（2021年）是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ） A ．辛酉年B ．辛戊年C ．壬酉年D ．壬戊年11．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 3tan A C ，2ac =，则ABC面积的最大值为（ ）A ．12B C ．1 D ．212．若(0,)x ∀∈+∞，ln()xe ax a≤恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1e -B ．1C ．eD ．2e二、填空题13．若x ，y 满足约束条件10101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为____________．14．在ABC 中，已知点D 满足3BC CD =，若43AD mAB AC =+，则m =____________． 15．已知点P 为抛物线C ：2yx 上的动点，过点P 作圆M ：22(2)1x y +-=的一条切线，切点为A ，则PA PM ⋅的最小值为____________．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为底面1111D C B A 的四条棱上的动点，则PB PD +的取值范围为______．三、解答题17．已知函数2()sin cos f x x x x = （1）求()f x ()f x 的单调递减区间；（2）设锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知()0,f A a ==b 的取值范围．18．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在[)80,90，[]90,100两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，12n S n t n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（t 为常数）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()1(1)lg nn n n b a a +=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，22CD AB ==．（1）在棱PC 上是否存在点E ，使得//BE 平面PAD ？说明理由；（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，BC BD ==2PC PD ==，求点A 到平面PBC 的距离．21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在E 上．（1）求E 的方程；（2）已知过定点(0,)M m 的动直线l 交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，若OA OB OM ON ⋅-⋅为定值，试求m 的值．22．已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a >，关于x 的方程()f x ax =有唯一解，求a 的值．参考答案1．A 【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数1i i +=11112i i i i i-+⨯=-+,∴复数对应的点的坐标是（11,22）,∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．B 【分析】解不等式得集合A ，由对数函数性质得集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】解：∵(21)(1)0x x +->，∴1,(1,)2A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭，∵10x ->，∴(,1)B =-∞，∴A B =1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故选：B ． 3．C 【分析】根据双曲线方程求出,a c ，即可求出离心率. 【详解】双曲线方程2213y x -=，1,a b ∴==2c ∴==，2ce a∴==.故选：C. 4．C 【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C 5．D 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】解：77143882f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则37(3)8f ff a ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得38a =，解得2a =． 故选：D 6．D 【分析】 由题设得512345512345A a a a a a B b b b b b =，再利用等比中项的性质可得55A B 、33a b 的关系，进而求值.【详解】()()535123453551234553533243a A a a a a a a B b b b b b b b ⎛⎫===== ⎪⎝⎭， 故选：D ． 7．C 【分析】结合函数的奇偶性及特值可判断 【详解】对于A ，()()sin xy f x g x e x =+=+为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，，()()sin xy f x g x e x =-=-为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于D ，()()sin x g x xy f x e==，当2x =时，01y <<，与图象不符，排除D ，故选C ． 8．B 【分析】根据伸缩、平移变换的原则，可得()g x 的解析式，令π2π4x k +=，k ∈Z ，即可求得对称轴方程，对k 赋值，即可得答案. 【详解】将π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得cos 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可得121πππ()c 2os 2cos 24g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令π2π4x k +=，k ∈Z ，解得π1π82x k =-+，k ∈Z ．所以当0k =时，解得π8x =-．故选：B 9．B 【分析】通过三视图，还原几何体，即可求出表面积. 【详解】解：如图，1111ABCD A B C D -上取四面体11A BB D -即为所求四面体，1111ABB BB D ABD SSS，，均为直角三角形，11AB D S为等边三角形,1112ABB S ==,11122BB D S =1122ABD S ==11212sin 6032AB D S=⨯⨯=1． 故选：B.10．A 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】解：中题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，且1001010=⨯，1008124=⨯+， 因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”， 可得到1921年为辛西年． 故选：A 11．A 【分析】 根据题意得到2tan tan()13tan lan B A C C C=-+=+，结合基本不等式，求得π0,6B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，结合面积公式，即可求解. 【详解】在ABC 中，满足tan 3tan A C ，且()B A C π=-+，可得2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 13tan 3tan lan A C CB AC A C CC C+=-+=-==≤=-++，当且仅当tan C =π0,6B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得1sin 2B ≤，所以1111sin 22222ABC S ac B =≤⨯⨯=△． 故选：A. 12．C 【分析】根据题设可得0a >、ln()ln x x ax ax e e ≤，当01ax <≤易知1x ax e ≤<，当1ax >时构造()ln f x x x =，利用导数研究单调性可得x ax e ≤，即可知xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，构造()xe g x x=并研究求其最小值即可得a 的最大值.【详解】由0x >，00ax a >⇒>，由ln()ln()ln()ln()ln xx x x x e ax a ax e ax ax xe ax a ax e e ≤⇒≤⇒≤⇒≤，①若01ax <≤，ln()0xe ax a≤<，此时满足1x ax e ≤<；②若1ax >，令()ln f x x x =，()ln 10f x x '=+>在(1,)+∞恒成立， ∴()y f x =在(1,)+∞单调递增，而ln()ln x x ax ax e e ≤，∴()()xf ax f e ≤在(1,)+∞恒成立x ax e ⇒≤，综上，xax e ≤在(0,)+∞恒成立，xxe ax e a x≤⇒≤，令()x e g x x =，22(1)()x x x e x e e x g x x x --'==， ()y g x =在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，∴min ()(1)g x g e ==，即有a e ≤． 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据恒成立得到0a >、ln()ln x x ax ax e e ≤，讨论01ax <≤、1ax >判断,x ax e 的大小关系，进而求a 的最值. 13．5 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2z x y =+化为122z y x =-+，则数形结合可得当直线122zy x =-+过点(1,2)A 时，2z x y =+取得最大值为5． 故答案为：5.14．13-【分析】根据向量对应线段的几何关系及向量加减、数乘的几何意义有AD AC CD =+、13CD BC =、BC AC AB =-，即可确定参数m . 【详解】∵1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴13m =-．故答案为：13-15．34【分析】由题设易知△PAM 为直角三角形且90PAM ∠=︒，可得2||1PA PM PM ⋅=-，由P 在抛物线C 上，设()2,P x x 再由向量模的坐标表示得22233||124PM x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即可求最小值.【详解】由已知得：22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点()2,P x x ，则()42222222333||12133244PM x x x x x ⎛⎫-=+--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当232x =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值34． 故答案为：3416． 【分析】由于对称性，不妨设点P 在棱11A B 上，设1PA x =，则11PB x =-，由勾股定理可得：PD PB +=x 轴上一动点(),0M x （01x ≤≤）到两定点(S 与()1,1T 的距离之和，即可得解.【详解】由于点P 在底面各棱上相对点B 、D 位置相同，不妨设点P 在棱11A B 上，设1PA x =，则11PB x =-，由勾股定理可得：PD PB +=其几何意义为x 轴上一动点(),0M x （01x ≤≤）到两定点(S 与()1,1T 的距离之和．易知其最小值即为(0,S '到()1,1T 的距离，即()min PB PD S T '+==在平面几何中，PB PD +的最大值在0x =或1x =处取得，当0x =时，PB PD +=1x =，1PB PD +<故PB PD +的取值范围为．故答案为：. 17．（1）π7π[π,π],1212k k k Z ++∈；（2）(2,4)． 【分析】（1）化简函数()sin(2)3f x x π=+，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由()0f A =，得到πsin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得π3A =，再由正弦定理4sin b B =，进而求得实数b 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数211cos 2()sin cos sin 222x f x x x x x +==+1sin 2sin(2)23x x x π==+， 令ππ3π2π22π,232k x k k Z +≤+≤+∈，可得π7πππ,1212k x k k Z +≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为π7π[π,π],1212k k k Z ++∈. （2）由()0f A =，可得πsin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πππ2π333A <+<+，可得π2π3A +=，解得π3A =，由正弦定理得sin sin a bA B=，即4sin b B =， 因为ABC 为锐角三角形，可得ππ62B <<，所以实数b 的取值范围为(2,4). 18．（1）0.020a =；平均成绩为76.2；（2）35．【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1即可得a 的值，由平均数的计算公式可求平均数； （2）求出成绩分别在[)80,90，[]90,100两组学生的人数，求出总的基本事件的个数以及这2人来自不同小组包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图得：(0.0040.0060.0300.0240.016)101a +++++⨯=， 解得：0.020a =，平均成绩为：()450.004550.006650.020750.030850.024950.0161076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=； （2）来自[)80,90小组的有3人记为1a ，2a ，3a ， 来自[]90,100小组的有2人记为1b ，2b ， 从5人中随机抽取2人，基本事件为12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，23a a ，21a b ，22a b ，31a b ，32a b ，12b b 共10个，这2人来自不同组的有11a b ，12a b ，21a b ，22a b ，31a b ，32a b 共6个， 所以这2人来自不同小组的概率为63105P ==． 19．（1）n a n =；（2）(1)lg(1)nn T n =-+．【分析】 (1)令1n =,解得:12t =,再由-1n n n a S S =-,即可求出n a , (2)根据(1)的结论,再利用并项求和,即可求解. 【详解】解：（1）令1n =，1112S a t ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得12t =，所以1122n S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2n ≥时，111(1)(1)22n S n n -⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，可得2211(1)22n a n n n ⎡⎤=--+=⎣⎦ 所以n a n =（2n ≥），又因为11a =满足上式，所以n a n =（2）因为()()11(1)lg (1)lg lg n nn n n n n b a a a a ++=-⋅=-+()()()()n 1223341lg lg lg lg lg lg (1)lg lg n n n T a a a a a a a a +=-+++-+++-+11(1)lg lg (1)lg(1)n n n a a n +=--=-+所以n (1)lg(1)nT n =-+20．（1）存在；理由见解析；（2． 【分析】（1）取PC ，PD 的中点E ，F ，连接BE ，EF ，AF ，易证四边形ABEF 为平行四边形，再由线面平行的判定证//BE 平面PAD .（2）由等体积法有A PBC P ABC V V --=，取CD 的中点O ，连接PO ，BO ，易得PO ⊥面ABCD ，求出PO 、PBCS 、ABCS，进而可求A 到平面PBC 的距离．【详解】（1）存在PC 的中点E ，使得//BE 平面PAD ，证明如下：分别取PC ，PD 的中点E ，F ，连接BE ，EF ，AF ，则//EF CD ， ∵//AB CD ， ∴//AB EF ，∵112EF CD ==，1AB =，∴AB EF =，故四边形ABEF 为平行四边形，即//BE AF ， 又∵BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， ∴//BE 平面PAD ．（2）取CD 的中点O ，连接PO ，BO ， ∴PC PD =，则PO CD ⊥，∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，设点A 到平面PBC 的距离为d ，则A PBC P ABC V V --=， ∴1133PBC ABC S d S PO ⋅=⋅△△，又OB ⊂面ABCD ，∴PO OB ⊥，BC BD ==2CD =，可得1OB =，易知PO =∴2PB =，2PC =，BC =∴12PBCS=111122ABCS=⨯⨯=，∴111332d =⨯d ==A 到平面PBC． 21．（1）22143x y +=；（2）m =．【分析】（1）由椭圆的定义可得2a =，再由1c =，结合2223b a c =-=即可求解.（2）讨论直线l 的斜率是否存在，当直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，将直线与椭圆联立，1212122y y OA OB OM ON x x y y m +⋅-⋅=+-⋅，利用韦达定理即可求解. 【详解】解：（1）由题意可知12532422a TF TF =+=+=，∴2a =，而1c =， ∴2223b a c =-=，∴椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在，易得3OA OB OM ON ⋅-⋅=-， ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2224384120kx kmx m +++-=，且222843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，1212122y y OA OB OM ON x x y y m +⋅-⋅=+-⋅()()()1212122mx x kx m kx m kx m kx m =+++-+++ ()()()22212121212kmk x x km x x m x x m =++++-+- ()()()222121222412811243243km m km km k x x x x k k k --=+⋅++=++⋅++ ()222222223434312412433434343k m k m m k k k -++--+--===-++++要使上式为常数，必须且只需2430m -=，即m =， 此时易知0∆>恒成立，且3OA OB OM ON ⋅-⋅=-，符合题意．综上所述，m =． 22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】（1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）设()()g x f x ax =-，求出导函数()'g x ，由()0g x '=在(0,)+∞上解得2x =得()g x 的极小值2()g x ，按222()0,()0,()0g x g x g x >=<分类讨论确定()g x 零点个数得结论． 【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x af x x x x-'=-=①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数 综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数 （2）由题意，可得21()ln 2f x x a x ax =-= 令21()()ln 2g x f x ax x a x ax =-=--， 方程()f x ax =有唯一解，即()y g x =有唯一零点； ()21()a g x x a x ax a x x='--=--， 令()0g x '=，得20x ax a --=．因为0a >，0x >，所以10x =（舍去），2x = 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 是减函数； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上是增函数．当2x x =时，()20g x '=，()min 2()g x g x =．若()20g x >，则()0>g x 恒成立，不存在零点（舍） 若()20g x =则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，即22222221ln 020x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=设()12ln h x x x =--，因为在0x >时，()h x 是减函数，所以()0h x =至多有一解． 又因为(1)0h =，所以21x =，从而解得12a =． 若()20g x <，则2212ln 0x x --<，可得21>x因为211x e <<，2211111ln 022a g a a a e ee e e e ⎛⎫=--=+-> ⎪⎝⎭所以()y g x =在21,x e⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点；设()()ln 1x x x ϕ=+-，0x >，则()11011x x x x ϕ-'=-=<++，即()x ϕ在()0,∞+上单调递减，则()()0x ϕϕ<，即()ln 10x x +-<，()ln 1x x +<.因为2141x a a =<=+<+，所以22111(41)(41)ln(41)(41)(41)(4)(41)30222g a a a a a a a a a a a a +=+-+-+>+--+=+>所以()y g x =在()2,41x a +存在一个零点； 因此()y g x =存在两个零点（舍）． 综上所述，12a =． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数研究方程根的个数问题，解题方法把方程根的个数转化为函数零点个数，通过研究函数的单调性，极值确定零点个数．。
精品解析江淮十校协作体高三上学期第一次联考数学(文)试题解析(解析版)
安徽省“江淮十校”第一次联考试题数学（文科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，集合{}1,3,4,5A =，集合{}2,3,6B =，则集合()U A B ⋂的子集数为（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、162.已知命题p “任意0x >，ln 1x x ≤-”，则p ⌝为 （ ） A 、存在0x >，ln 1x x ≤- B 、存在0x >，ln 1x x >- C 、任意0x ≤，ln 1x x >- D 、任意0x >，ln 1x x >-3.若1sin()33πα+=，则5cos()6πα+的值为 （ ） A 、13-B 、13C 、22D 22【答案】A ． 【解析】 试题分析：51cos()cos()sin()62333ππππααα+=++=-+=-故选A ． 考点：三角函数知值求值（诱导公式）．4.条件“存在实数λ，使得a b λ=”是a 与b 共线的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,+∞上单调递减的函数是 （ ） A 、sin y x x = B 、2y x = C 、ln y x = D 、xy e-=6.已知,a b R ∈且b a >，则下列不等式中成立的是 （ ） A 、1>baB 、22b a >C 、()ln 0a b ->D 、21a b -> 【答案】D ．试题分析：只有当0a b >>时，选项A ，B 正确；要使()ln 0a b ->，必须1a b ->，所以选项C 错误；当b a >时，00,221a b a b -->∴>=，所以D 正确，故选D ．考点：不等式的性质．7.已知函数()tan()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如图，则()9f π=（ ）A ．1B ．23--C ．23-D ．23+【答案】B ．8.已知,a b 均为正实数，定义()a b a a b ⊗=-，若20132014x ⊗=，则x 的值为（ ） A 、1 B 、2013 C 、2014 D 、1-或20149.已知函数()21f x x =+，()2sin g x x =，则()y f x =与()y g x =图像在区间[1,1]-内交点的个数为 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、310.在ABC ∆中，已知,,a b c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC ∆的面积.若向量(,),(,1)p S a b c q a b c =++=+-满足//p q ，则tan2C= （ ） A 、14 B 、12C 、2D 、4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.函数()1lg(2)f x x x =-+-的定义域为____________.12.若函数cos ,0,()(2)1,0.x x f x f x x π->⎧=⎨++≤⎩则4()3f -=____________.【答案】32．【解析】试题分析：由已知得44223()(2)1()1cos 133332f f f π-=-++=+=-+=． 考点：求分段函数的值．13.某超市中秋前30天月饼销售总量()f t 与时间(030,)t t t Z <≤∈的关系大致满足2()f t t =+1012t +，则该超市前t 天平均．．售出（如前10天的平均售出为(10)10f ）的月饼最少为____________.14.如图所示，在平面四边形OMPN 中，2OMP ONP π∠=∠=，23MON π∠=，3,4PM PN ==，则OP =____________.【答案】2393． 【解析】试题分析：由四边形内角和为2π知3MPN π∠=，在MNP ∆中，由余弦定理可得13MN =，又O M P N 、、、四点共圆，2392sin3MN OP R π===．考点：正弦定理和余弦定理．15.关于函数()(sin cos )cos f x x x x =+⋅，给出下列命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在区间(0,)8π上为增函数；③直线38x π=-是函数()f x 图像的一条对称轴； ④对任意x R ∈，恒有()()14f x f x π-+-=.其中正确命题的序号是____________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设函数2()2f x x x =--A ，函数3()lg(1)g x x=-的定义域为集合B ，已知p ：x AB ∈；q ：x 满足20x m +<，且若p 则q 为真命题，求实数m 的取值范围.{}23AB x x ∴=≤<.……………………………………………………………………………………6分记{}202m C x x m x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭，又若p 则q 为真命题，即p q ⇒，……………………………8分 A B C ∴⊆，…………………………………………………………………………………………………10分32m∴≤-，6m ∴≤-，故实数m 的取值范围为{}6m m ≤-……………………………………………12分 考点：1．函数的定义域；2．简单不等式的解法；3．命题真假与集合的包含关系．17.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )a θθ=与(3,1)b =，其中)2,0(πθ∈(Ⅰ)若//a b ，求θsin 和θcos 的值； (Ⅱ)若()2()f a b θ=+，求()f θ的值域. 【答案】(Ⅰ) 3sin 2θ=，1cos 2θ=；(Ⅱ)()f θ的值域为(7,9]．(Ⅱ)22()(sin 3)(cos 1)f θθθ=++23sin 2cos 5θθ=++ 4sin()56πθ=++…………………8分又(0,)2πθ∈，2,663πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin()126πθ<+≤，…………………………………………10分 7()9f θ∴<≤，即函数()f θ的值域为(7,9].…………………………………………………………12分考点：1．向量共线的充要条件；2．三角函数求值；3．三角函数的值域．18.（本小题满分13分）定义域为R 的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当(0,1)x ∈时，21()21x x f x -=+.(Ⅰ) 求()f x 在[]1,1-上的解析式；(Ⅱ) 若存在(0,1)x ∈，满足()f x m >，求实数m 的取值范围.(Ⅱ)由已知条件：存在(0,1)x ∈，满足()f x m >，先利用分离常数法，求出函数()f x 的值域，最后由：()m f x <，即可求得实数m 的取值范围．试题解析：(Ⅰ)当(1,0)x ∈-时，(0,1)x -∈，由()f x 为R 上的奇函数，得2112()()2121x x x x f x f x -----=-==++，∴21()((1,0))21x xf x x -=∈-+.……………………………………4分 又由奇函数得0)0(=f ，(1)(1),(1)(1)f f f f -=--=，(1)0,(1)0f f ∴-==.…………………7分⎪⎩⎪⎨⎧±=-∈+-=∴1)1,1(1212)(x x x f x x . ………………………………………………………………………………8分 (Ⅱ))1,0(∈x ，212122()1212121x x x x xf x -+-∴===-+++，………………………………………………10分∴2(1,2)x ∈，211(0,)213x ∴-∈+. 若存在(0,1)x ∈，满足()f x m >，则13m <，实数m 的取值范围为1(,)3-∞.…………………………………………………………………………………………………………13分考点：1．函数的性质；2．函数解析式的求法；3．含参数不等式中的参数取值范围问题．19.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足(2)cos cos a c B b C -=.（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）设(sin ,1),(1,1)m A n ==-，求m n 的最小值.0,3B B ππ<<∴=．………………………………………………………………………………………8分（Ⅱ）sin 1m n A ⋅=-+，……………………………………………………………………………………10分 由3B π=，得20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………………………………11分 所以，当2A π=时，m n ⋅取得最小值为0．…………………………………………………………………12分考点：1．利用正弦定理、余弦定理解三角形；2．平面向量的数量积运算；3．三角函数的最值．20.（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x x x a x =-+（其中a 为常数）. （I ）当2a =-时，求函数()f x 的最值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性.2(1)(2)()1x x f x x x x+-'=--= ．………………………………………………………………………2分 由()0f x '<，得02x <<，由()0f x '>，得2x >，()f x 在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,)+∞上单调递增，故当2x =时，()f x 取最小值(2)2ln 2f =-，()f x 无最大值. ………………………………………………………………………………………………………………4分21.（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x bx =+的图像在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为2303x y π+-=.（I ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）当02x π<<时，()(1)f x m x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（I ）1a =，1b =-；（Ⅱ）实数m 的取值范围为2,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】（Ⅱ）由（I ）知()sin f x x x =-，当02x π<<时，()(1)f x m x >-恒成立等价于sin x m x<恒成立．………………………………………………………………………………………………………………8分。
安徽省“江淮十校”2021届高三11月联考数学文试题 Word版含解析
2021届江淮十校11月联考 文科数学试题【试卷综述】本套试题主要对集合、函数、平面对量、三角、导数等概念以及应用进行了考察 ，留意基础学问、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和同学的实际.同时也留意力量考查，较多试题是以综合题的形式消灭，在考查同学基础学问的同时，也考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷. 能考查同学的力量.考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 选择题 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．【题文】1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.4 B.2 C.8 D.1 【学问点】扇形面积G1【答案】【解析】A 解析：依据扇形面积公式21122S lR R α==，可求得4α=，故选择A.【思路点拨】由扇形面积公式即可求得. 【题文】2．设集合}032{2<--=x x x M ，{}1)1(log 2≤-=x x N ，则N M 等于（ ）A ．{}31<<-x x B.{}31≤<x x C.{}31<<x x D. {}31≤≤x x【学问点】集合的运算A1 【答案】【解析】C 解析:集合{}{}13,N 13M x x x x =-<<=<≤，所以{}13M N x x ⋂=<<，故选择C.【思路点拨】先求得集合,M N ，然后利用交集定义求得结果. 【题文】3．命题“存在2cos sin ,000≤+∈x x R x 使”的否定是（ ）A.任意2cos sin ,000≤+∈x x R x 都有B.任意2cos sin ,>+∈x x R x 都有C.存在2cos sin ,000>+∈x x R x 使D.任意2cos sin ,≥+∈x x R x 都有【学问点】命题的否定A3 【答案】【解析】B 解析：依据“存在量词”的否定为“全称量词”，可得原命题的否定为：任意2cos sin ,>+∈x x R x 都有，故选择B.【思路点拨】依据特称命题的否定为全称命题，进行推断，留意不能只否定结论，而遗忘了对量词的否定，也不能只否定量词，而遗忘了对结论的否定. 【题文】4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角 【学问点】同角三角函数的基本关系式C2【答案】【解析】C 解析：由于()21sin cos 12sin cos 25A A A A +=+=，所以242sin cos 025A A =-<，即cos 0A <，所以A 为钝角，故选择C.【思路点拨】依据三角形角的范围，以及同角的基本关系式即可求得.【题文】5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21AC AB AD +=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【学问点】平面对量的线性运算F1【答案】【解析】D 解析：①由于0AB BC CA AC CA ++=+=，所以正确；②由于D 为BC 边中点，所以可得)(21AC AB AD +=，正确；③由于0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，可得220AB AC -=，即AB AC =，所以ABC ∆为等腰三角形正确，故正确的有①②③，故选择D.【思路点拨】依据向量的基本加减法运算即可. 【题文】6.将函数x y 2sin 2=的图像（ ），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【学问点】三角函数的通项变换C3【答案】【解析】B 解析：由于2sin 22sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得只需将x y 2sin 2=，向左平移6π个单位，故选择B.【思路点拨】依据函数()sin y A x ωϕ=+图像的变换，以及“左加右减”的平移法则即可得到.【题文】7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【学问点】平面对量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：若向量b a ,的夹角为锐角，则需满足1.2102122a b λλ⎧=⨯-⨯>⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩解得114λλ<≠-且，所以由“向量b a ,的夹角为锐角”能推出“1<λ”，反之不成立，所以“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的充分不必要条件，故选择A.【思路点拨】 解题时留意在两个向量在不共线的条件下，夹角为锐角的充要条件是它们的数量积大于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为λ实数的取值范围．【题文】8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（ ）A.2)(x x f =B. 3)1()(-=x x fC. 1)(-=x e x fD. 3)(x x f =【学问点】函数的奇偶性B4【答案】【解析】B 解析：依据题意函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，即若函数关于(),00a a ≠对称，即可称)(x f 为“准奇函数”，而只有B 中函数关于()1,0点对称，故选择B.【思路点拨】推断对于函数)(x f 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0a ≠，使()()2f x f a x =--，则称)(x f 为准奇函数定义可得，函数关于(),0a 对称，即可称)(x f 为“准奇函数”.【题文】9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的微小值小于1281-，则参数θ的取值范围是（ ）[A. ]ππ,6( B. ⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ【学问点】导数的应用 三角函数的图像与性质B12 C3【答案】【解析】D 解析：由题意可得()sin '32f x x x θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由于πθ≤≤0，所以sin 012θ<<，可得函数θsin 43)(23x x x f -=在(),0-∞和sin ,2θ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在sin 0,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，所以在sin 2x θ=处取得微小值，即33sin sin 3sin 1.2844128f θθθ⎛⎫=-<-⎪⎝⎭，解得1sin 2θ>，又由于πθ≤≤0，所以566ππθ<<，故选择D.【思路点拨】由题意可得函数在sin 2x θ=处取得微小值，代入可得不等式1sin 2θ>，即可得到结果.【题文】10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （ ）A.0B.3C.6D.9 【学问点】函数的奇偶性B4 【答案】【解析】C 解析：由于()()()()()33332sin 33323sin 3963x x x x x x -+--=-+---=-=，()()()()()33332sin 33323sin 3363y y y y y y -+--=-+---=-=-，设函数()332sin f x t t t=+-，则函数()332sin f x t t t=+-为奇函数，而()()33,33f x f y -=-=-，所以()33,x y -=--，即6x y +=，故选择C.【思路点拨】依据已知函数的特点构造函数()332sin f x t t t=+-，且为奇函数，利用()()33,33f x f y -=-=-，结合奇函数的性质求得6x y +=.第Ⅱ卷 非选择题（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【题文】11. 设向量b a ,满足：,32==且b a ,的夹角是3π，则=-a 2_________【学问点】平面对量的数量积F3 【答案】222244.16423cos9133a b a a b b π-=-+=-⨯⨯+=，所以213a b -=【思路点拨】求向量的模一般接受先平方再开方，然后依据向量的数量积进行计算求得.【题文】12.[]=-+-21266)21(2log 12log __________【学问点】对数的运算B7【答案】解析：原式=()6666log 26log 21log 21log 21⎤⨯-+=+-=⎦，故答.【思路点拨】利用对数的运算法则进行化简即可.【题文】13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________【学问点】两角和与差的余弦开放式C5【答案】【解析】解析：由于)2,0(πα∈，所以4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，而4313cos cos cos cos sin sin 666666525210ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为310.【思路点拨】依据已知角的范围，求得4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用凑角公式可得cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用两角和的余弦开放式求得.【题文】14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________【学问点】余弦定理 基本不等式C8 E1【答案】【解析】22222cos 122b c a A bc b c bc +-=⇒=+-，整理可得()2123b c bc +-=，由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭解得b c +≤，故三角形周长的最大值为a b c ++=【思路点拨】依据已知由余弦定理可得2212bc b c =+-，再由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即可得到b c +≤，进而求得三角形周长的最大值.【题文】15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。
2025届江淮十校高三第一次联考(一模)数学试题+答案
江淮十校2025届高三第一次联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,,0,1,2,32xS x x T x=≥∈=−R ，则S T 等于（ ）A ．{}0,1B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位．则“1a >”是“z >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a b c ==，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．已知b a = ，若a 与b的夹角为60°，则2a b − 在b 上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b −C ．32b −D ．32b 5．定义在R 上的函数()f x 满足()()2220f x f x ++=，且()2y f x =−为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的图象关于1x =对称C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像关于3x =对称6．已知三棱锥P ABC −的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC AB BC =====，AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3B ．20πC ．27π4D ．21π27．已知函数()2ln f x x mx x =−+，若不等式()0f x >的解集中佮有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2ln23ln3,89++B ．3ln32ln2,94++C ．3ln32ln2,94++ D ．2ln23ln3,89++8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为P ．过点P 作直线与抛物线交于A B 、两点，其中点A 在点B 的右边．若120,AFP FAB ∠=°△p 等于（ ）A ．B ．1C ．2D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据12310x x x x 、、、、，满足：()12210i i x x i −−=≤≤，若去掉110x x 、后组成一组新数据，则新数据的方差为21B ．随机变量X 服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=，若()0.34P x a <=，则0.5a = C ．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i i x y i =的线性回归方程为 23y x =+，若6130i i x ==∑，则6163i i y ==∑D ．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中ππ22ϕ−<<，图象向右平移()*s s ∈N 个单位后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =在ππ,33−上单调递减，则下列说正确的是（ ）A ．1ω=±B ．π6x =−为()f x 图象的一条对称轴 C ．s 可以等于5D ．s 的最小值为211．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A B 、两点，其中点A 在第一象限．12AF F △的内心为11,I AI 与x 轴的交点为P ，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F △的内切圆2I 的半径为2r ，则下列说法正确的有（ ）A ．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2B ．若12AF AF ⊥，且112BF AF a −=C ．若1,a b==，则12r r −的取值范围是(D ．若直线l 112AI I P =，则双曲线的离心率为54三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知2πcos2cos 4x x=−，则tan x =______． 13．现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第()1,2,3,4k k =个袋中有k 个红球，4k −个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______．14．以min M 表示数集M 中最小的数．函数(){}()cos sin min cos ,2sin f x x x x x x =⋅+∈R 的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2A aC b c=−．（1）求A 的值；（2）若24,c b M ==为边BC 上一点，且23BM MC =，求AM 的长． 16．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，12,2PDPC CB BA AD AD CB =====∥，90CPD ABC ∠=∠=°，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD 中点．（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC ，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值． 17．（15分）椭圆22:14x E y +=的上顶点为P ，图222:(1)(0)C x y r r −+=>在椭圆E 内． （1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A B 、，切线PA 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．是否存在圆C ，使得直线MN 与之相切，若存在求出圆C 的方程，若不存在，说明理由． 18．（17分）南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站．第1站为双港站，第24站是瑶湖西站．如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车．假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车．在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游．他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同．若某天是张爸爸管理手机，则下一天有12的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有34的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机． （1）记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X ，求X 的分布列及期望．（2）在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系．张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点．大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方．只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找．大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为12．求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率． 19．（17分）在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法．若()f x 在包含0x 的某个开区间(),a b 中具有1n +阶导数，设()()n fx 表示()f x 的n 阶导数．则对(),x a b ∀∈有()()()()()()()()()()200000001!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+−+−++−′+′′ ．其中()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=−+，ξ是位于0x 与x 之间的某个值，它称为n 阶泰勒余项．()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x P x f x x x x x x x n ′′′=+−+−++− 叫做()f x 在0x x =处的n 阶泰勒多项式．（1）求()ln 1x +在0x =处的1阶泰勒多项式()1P x 和2阶泰勒多项式()2P x ，并证明：当0x ≥时，()()()21ln 1P x x P x ≤+≤；（2）整数2024n ≥．定义数列220011111,,,122k k k k n n a b a a b b k n−−===+=+≥−．设e 为自然对数的底数．（ⅰ）求证：e n a <；（ⅱ）求证：e n b >．江淮十校2025届高三第一次联考数学参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011答案 B A D B C A C D ABD BD ABD 解析1．【答案】B 【解析】由12xx≥−得2202x x −≤−，得12x ≤<，则[){}1,2,1S S T = ． 2．【答案】A 【解析】因为23i 3i iaz a −==−，所以z =．令z >1a >或1a <−，故“1a >”是“z >”的充分不必要条件． 3．【答案】D【解析】ln4ln1022e c a =>=，而222(ln2ln5)4ln2ln544a b +⋅=>=，且0,0a b >>．故b a c <<．4．【答案】B【解析】由题意可知，()2222cos6042a b b a b a a −⋅=°−=− ．则2a b − 在b上的投影向量为：()212a b b b b b b−⋅×=−． 5．【答案】C【解析】由题意可知，()()()42f x f x f x +=−+=，则函数()f x 的周期为4．又()()()22f x f x f x −=+=−，即函数的图象关于2x =对称，也关于()1,0对称，若()f x 的图象关于1x =对称，或关于3x =对称，则它的周期为2，由A 可知，B 、D 错误． 对于C ，由()()22f x f x −=+，可知()()()4f x f x f x −=+=，故C 正确．6．【答案】A【解析】设ABC △的外接圆的半径为r，又sin ACB ∠2sin AB r ACB=∠，故r =． 记ABC △的外心为1O ，由PA PB PC ==可知，1PO ⊥面ABC，故1PO =由题意可得外接球的球心在1PO 上，设外接球的半径为R，故222R R −+=，2R = 故球O 的表面积为40π3S =． 7．【答案】C【解析】函数()2ln f x x mx x =−+，不等式()0f x >化为：ln 1xmx x−<．分别令()1h x mx =−，()ln x g x x=． ()21ln xg x x−′=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减． 而不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1，2．故()()()()2233h g h g < ≥ ，即ln2212ln3313m m−< −≥．故3ln32ln294m ++≤<8．【答案】D【解析】易知PFB AFx ∠=∠，故60,120AFx BFx ∠=°∠=°．故21cos60pAF p ==−°，21cos1203p pBF==−° 而60AFB ∠=°．故2FAB S p ==△p =．9．【答案】ABD ．【解析】对于A 选项，去掉110,x x 后的平均数为23911872988x x x x x ++++==+ ，方差为()()()222213191999218x x x x x x −−+−−++−−= 故A 选项正确；对于B 选项，由于随机变量X 服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P X σ>=， 则()( 1.5)0.34P X a P X <=>=，则0.5a =故B 选项正确；对于C 选项，因为6130ii x==∑，所以5x =，又因为回归方程为 23y x =+，所以25313y =×+=，所以6113678ii y==×=∑，故C 选项错误；对于D 选项，对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故2χ越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D 选项正确． 10．【答案】BD【解析】由图象可知，35π2π3π4632T =+=，故1ω=±．又图象过点5πππ,1,622ϕ −<< ，故π1,3ωϕ==−．所以()πsin 3f x x=−，故A 错误，B 正确． ()πsin 3g x x s =−− ，因为n 在ππ,33 − 上单调递减，故πππ2π332,ππ3π2π332s k k s k −−−≥+ ∈ −−≤+ Z ．解得3π7π2π2π,26k s k k −−≤≤−−∈Z ． 当2k =−时，5π17π26s ≤≤，而5π52>，故s 不可能等于5，故C 错误． 当1k =−时，π5π26s ≤≤，又*s ∈N ，故min 2s =，故D 正确． 11．【答案】ABD 【解析】对于A，b a =2e =．或者be a = 对于B ，设1AF x =，则221,2,2BF x AF x a BF x a ==−=+．故222(22)(2)x x a x a +−=+，解得3x a =．又222(2)4x x a c +−=，故e =对于C ，渐近线的斜率为设直线AB 的倾斜角为2θ，因为A B 、均在右支上，故602120θ°<<°． 如图所求，()1211tan tan tan tan r r c a θθθθ −=−−=−∈．对于D ，1211212122AI AF AF AF AF I P F P F P c+====，故124AF AF c +=，而122AF AF a −=．故122,2AF a c AF c a =+=−，由余弦定理可知()222(2)(2)422c a c a c c c a +=−++⋅−，故54e =． 12．【答案】1−或13． 【解析】()()2222π1cos2cos cos sin (cos sin )cos sin cos sin 42x x x x x x x x x x=−⇒−=+=+⋅−，当cos sin 0tan 1x x x +=⇒=−；当1cos sin 0tan 3x x x +≠⇒=．13．【答案】38． 【解析】设i A =“取出第i 个袋子”，1,2,3,4i B =⋅=“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球” 则124ΩA A A =⋅⋅⋅ ，且1234A A A A 、、、两两互斥． ()()14,44i i iP A P B A −==，所以()()()416i i i i P A B P A P B A −==， 所以，()()()()()12343213168P B P A B P A B P A B P A B ++=+++==．14．． 【解析】()()222cos sin cos cos 1sin cos sin cos sin 2222x x x x f x x x x x x ≤⋅+=⋅+=−⋅+．令cos sin ,cos sin 2222x x x xm n =−=+，则222m n +=．而()2223cos sin cos sin 2222xx x x f x m n ≤−⋅+=⋅令()()32g t t t =−⋅，其中[]20,2t n =∈，则由()23640g t t t =−>′，可知302t <<即()g t 在30,2上为增函数，在3,22上为减函数．故()327216g t g ≤=，即()f x ≤当且仅当2231sin 211sin 22sin cos n x m x x x =+==−=≥，即1sin ,cos 2x x ==时等号成立．故()f x15．【解析】（1）由题意知，cos sin cos 2sin sin A AC B C=−， 故()2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A C A C A C B ⋅⋅+⋅+． 又sin 0B ≠，故1cos 2A =，而()0,πA ∈，则π3A =．（2）在ABC △中，222222cos a b c bc A b c bc =+−⋅=+−，故222cos 22b c a bcAC cb A AB +−⋅=⋅== ． 2355AB AC AM =+ ，故222224912496437||.252525c b AB AC c b bc AM ++⋅++×===故AM =16．【解析】（1）由题意：2,90,BC AB ABC AC ==∠=°∴=，同理CD =，又2224,,AD CD AC AD CD AC =∴+=∴⊥．而CD =，即PC PD ⊥又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD AC =⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面,PCD PD ⊂平面,PCD PD AC ∴⊥，又PC PD ⊥，且PC ⊂面,PCA AC ⊂面,,PCA PC AC C PD =∴⊥ 平面PCA ．（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,,,C A D P，()(,,CD CP PA ∴ ，设(01)PQ PA λλ=<<，有)))11CQ CP PA λλλ=+−− ，取面PCD 的一个法向量()0,1,0m =故CQ = ．令(),,n x y z =是平面CDQ 的一个法向量，则00n CD n CQ ⋅=⋅=，即00x z =+= 令1y =，有()0,1,2n=−，则cos ,n m n m n m⋅〈〉==14分故平面PCD 与平面CDQ． 17．【解析】（1）设()00,T x y 为椭圆E 上任意一点，022x −≤≤，则()222200003||1224TC x y x x =−+=−+． 则22200min 3348222244333r x x<−+=×−+=．故0r <<． （2）由题意可知()0,1P ，设()()1122,,M x y N x y 、．因为1r <，故切线PM PN 、的斜率都存在． 又直线PM 的方程为1111y yx x −+，即为()11110y x x y x −−+=．直线PN 的方程为()22210y x x y x −−+=．r =，故()()()2222221111112111x x y y r x r y +−+−=+−．而()221141x y =−，故()()()()()22222111114112111r y x yy r y −−+−+−=−，又因为11y ≠．故()()2211233510x r y r +−+−=，同理()()2222233510x r y r +−+−=． 故直线MN 的方程为()()22231510x r y r +−+−=．若直线MN 与圆Cr =，令220,3t r=∈ ．故329434390t t t −+−=，即()()2193490t x x −−+=．故1t =，或t =．故存在满足条件的圆C ，其方程为22(1)x y −+ 【备注】本题还有其它方法，可以酌情给分 我们可以得到221,1PM PN PM PN k k k k r ⋅=+=−．然后设直线MN的方程为y kx m =+，得到53m =−，再通过相切解出r ．我们在得到221,1PM PN PM PN k k k k r ⋅=+=−后，也可以用PM PN k k 、表示出M N 、的坐标，再得到直线MN 的方程，得到它过定点50,3−，再设直线MN 为53y kx =−，通过相切解出r ． 18．【解析】（1）由题意可知，X 的取值为123、、．()3114P X == 1分当2X =时，张爸爸管理手机的情况分为：在第3天、第4天、第5天三种情况． 若张爸爸在第3天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为1131134242416p =××××=； 若张爸爸在第4天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为2113134244216p =××××=． ； 若张爸爸在第5天管理手机，不同的手机管理方法有2种，其概率为3111332244464p =××××=； 故()27264P X ==． 当3X =时，张爸爸管理手机的情况为：第3天和第5天．此时，不同的手机管理方法有4种． 故()1313934242416P X ==××××=． 故X 的分布列为则X 的期望为()16364E X =． （2）由题意可知，大张和小张有12的概率乘车的方向相同．当大张和小张都乘车寻找对方时，我们可以视为大张在第13站不乘车，在某个站点，小张以12的概率不乘车，以14的概率正向乘车两站，以14的概率反向乘车两站．现求小张在五步内，第一次回到起点的概率．若小张经过一步，第一次回到起点，相当于小第在第一步选择了停留，其概率为12p =． 若小张经过两步，第一次回到起点，其概率为2121148p C ==． 若小张经过三步，第一次回到起点，则小张只能在第2步时停留，其概率为2121112416p C=×=． 若小张经过四步，第一次回到起点，则小张有2种选择，每站都不停留；或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留，其概率为4221111152242412832128p=×+××=+=若小张经过五步，第一次回到起点，则小张有2种选择，停留1次，且只能在第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留，其概率为4321111317322242425664256p=×××+××=+=故满足条件的概率为111571932816128256256p =++++=． 19．【解析】（1）由题意可知，()()212,2x P x x P x x ==−． 令()()1ln 1,0f x x x x =+−≥则()11101f x x′=−≤+，故()1f x 在()0,+∞上递减，则()()1100f x f ≤=． 即()()1ln 1x P x +≤．令()()22ln 1,02x f x x x x =+−+≥．则()'211112011f x x x x x =−+=++−≥++，故()2f x 在()0,+∞上递增，则()()2200f x f ≥=，即()()2ln 1x P x +≥．（2）令11,22n n rs n=−． 由题意可知，111a r =+>，故2211a a r +>，一直下去有1,k a k ≥∈N ．故当2k ≥时，()21111110k k k k k k a a a a ra a r r −−−−−−=−+=−+≥>，即{}k a 为增数列，且当*k ∈N 时，1k a >．同理{}k b 为增数列，且当*k ∈N 时，1k b >．（ⅰ）由题意可知，()212ln ln 2ln ln 1k k k k r a a r a a +=+=++， 故1112121ln ln 1ln ln ln 12222222k k k k k k k k k k k k k a a r a r a ra a +++++ =+⋅+≤+<+ ⋅ ． 即11111001ln ln ln 1212222212n n n k k n k k k n k k r a a a r r −−+++== =−<<== −∑∑，则有ln 1n a <，即n a e <． （ⅱ）同（ⅰ），我们有1112121ln ln 11ln 122222k k k k k k k k k b b s s sb b +++++ −=⋅+<⋅< ，则对任意的11100ln ln 1,12222m m m k m k k m k k b b s m s ∗−−+=∈=−<=−⋅ ∑∑N ， 故()()21ln 21,1ms mm m b s b e−⋅<−⋅<<，即()2221111m smb e⋅−⋅≤<，对任意的m ∈N 成立． 而()222211112124121ln ln 111ln 1222222222k s k k k k k k k k k k k k b b s s s s s s s e b b b b −−⋅++++++−=⋅+>−≥−≥⋅− ⋅()11112313122112222222k k k k k k ss s s s s s s s +++++ ≥⋅−−⋅−=⋅−⋅+⋅=⋅−+故111112100ln ln ln 13133122222222n n n k k n k k k k n n k k b b b s s s s s s n s −−+++++===−>⋅−+=⋅−−⋅+− ∑∑ 故()()()()222331ln 21221222122nn nnn n n n b s n s s n s s n s −>−⋅−⋅⋅+−⋅=−⋅+⋅⋅+−+()()()()2231312211212211222n n n n s n n n s n n n=+⋅⋅+−+−−=+⋅⋅+−−−>．即n b e >．。
安徽省江淮十校2021届高三数学第一次联考试题文
A．
B．
C．
D．
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日
自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a,b分别为 8，2，则输出的 n 等
于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．要得到函数
y
2
cos
2x
6
的图象，只需将函数
b2 (a c)2 8 | a c | 8 4
|ac| |ac|
|ac|
2
，当且仅
|
a
c
|
|
a
8
c
|
等号成立．
12．答案：B 解析：由勾股定理可得 PBA 和 P C A 是两个全等的直角三角形，且有公共的斜边 PA ，所以 PA 的中点即
为三棱锥外接球的球心，外接球的半径 R PA 2
和最小？现已证明：在 A B C 中，若三个内角均小于120 ，当点 P 满足 APB APC BPC 120
时，则点 P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 P 被人们称为费马点根据以上性质，已知 a 为平面内任
意一个向量，b
和 c
是平面内两个互相垂直的单位向量，则 | a
b
|
| a
b
3
则
f
(1)
_____．
f 3x , x 3
14．已知 x 2 是函数 f (x) xex a x2 2x 的一个极值点，则实数 a _____．
15．设数列 an 满足 a1 1, 1 an 1 an1 1 ，则数列 anan1 的前 2020 项和为______．
3．答案：D
解析：由等比数列的通项公式 an a1qn1 ，可知an 的单调性由首项和公比决定，故选 D．
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绝密★启用前
数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合2{12},1⎧⎫
=+<=<⎨⎬⎩⎭
A x x
B x x ，则()⋂=R A B （ ）
A ．[0,1)
B ．(3,1)-
C ．[1,2]
D ．(0,2] 2．已知复数5
12=
+-z i i
，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3-i C ．3 D ．3-
3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01<<q ”是“10+-<n n a a ”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A ，B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）
A ．
sin
2=d l
θ
θB ．
2sin
2=d l
θ
θC ．
cos
2=d l
θ
θD ．
2cos
2=d l
θ
θ
5．已知抛物线2
2(0)=>y px p 的焦点与椭圆
22154
+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）
A ．1=-x
B ．1=x
C ．3=-x
D ．3=x
6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 7．函数2
ln ||=-y x x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．要得到函数2cos 26⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
y x π的图象，只需将函数2cos 2=-y x x 的图象（ ） A ．向左平移
2π个单位 B ．向左平移4π
个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6
π
个单位
10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒
，当点P 满足120
︒
∠=∠=∠=APB APC BPC 时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ） A
．2- B
．2+ C
1- D
1
11．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．
，,tan ≠=a c B ABC
的面积为2
||
-b a c 的最小值为（ ）
A
． B
． C
． D
．12．在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为1
的等边三角形，
2===PA PB PC ，则三棱锥-P ABC
外接到的表面积为（ ）
A ．4π
B ．5πC
．6
D
． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数()13
log ,3()3,3
≥⎧⎪=⎨⎪<⎩x
x x f x f x 则(1)=f _____．
14．已知2=x 是函数
()2()2=-+x f x xe a x x 的一个极值点，则实数=a _____．
15．设数列{}n a 满足()()111,111+=+-=n n a a a ，则数列{}1+n n a a 的前2020项和为______．
16．已知点P 是双曲线22
221(0,0)-=>>x y a b a b
上任意一个点，若点P 到双曲线两条渐近线的距离乘积等
于23
b ，则双曲线的离心率为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
已知数列{}n a 满足112,2+==+n n a a a n ，设1=++n n b a n ． （1）证明：数列{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18．（12分）
2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下列联表：
（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关？
（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，N95、R95、P95是三种不同材质的口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．
附：22
()()()()()
-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．
19．（12分）
在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知2
2
2()=+-S b c a ，其中S 为ABC 的面积．
（1）求cos A ；
（2）若cos cos 2+=b C c B ，求ABC 周长的最大值． 20．（12分）
如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，2=AB ，侧棱1AA 上有且仅有一点E 使得1⊥BE EC ．
（1）求1AA 的长；
（2）若平面1BED 与1CC 交于点F ，求几何体1ABED F 的体积． 21．（12分）
已知函数cos 2()⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=x f x x
π． （1）证明：()f x 在区间(0,)π上单调递减；
（2）试比较
1311
,sin ,sin 232
π的大小关系，并按从大到小的顺序进行排列． 22．（12分）
已知动点(,)P x y 到(0,1)F 的距离比它到x 轴的距离大1，记P 得轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）直线l 与曲线(0)Γy
相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，过A 、B 分别作曲线(0)Γy 的切线相交
于点N ，直线NA 、NB 分别与x 轴相交于C 、D ．是否存在实数λ，使得对于任意的直线l ，都有
+=MC MD MN λ成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
江淮十校2021届高三第一次联考
文数试题参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案：A
解析：{31}=-<<P x x ，{0=<B x x 或2}>x ，故答案选A ． 2．答案：D。