统计学概率及概率分布
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
高中数学中的概率分布与统计分析
高中数学中的概率分布与统计分析概率分布和统计分析是高中数学中重要的概念和工具，对于理解和应用概率和统计学的原理和方法具有重要意义。
本文将介绍概率分布、统计分析的概念及其应用，并探讨其中的数学原理和推导方法。
一、概率分布的概念及应用1.1 概率分布的定义概率分布是指随机变量各取值的概率及其对应的频率分布情况。
在概率问题中，我们通常需要计算随机事件发生的概率，而概率分布则是描述随机事件发生概率的一种方式。
1.2 常见的概率分布常见的概率分布包括：1) 均匀分布：指随机变量在给定区间内各取值的概率相等的分布。
2) 二项分布：指在给定的试验中，成功次数满足二项分布的情况。
3) 正态分布：是一种常见的连续型概率分布，它的概率密度函数具有钟形曲线的形状。
1.3 概率分布的应用概率分布在现实生活中有着广泛的应用，例如：1) 在金融领域，概率分布可用于分析和估计股票价格的变动，从而进行投资决策。
2) 在医学领域，概率分布可用于分析疾病的发生率、病人的存活率等问题，为医学研究提供重要参考。
3) 在工程领域，概率分布可用于分析产品的可靠性和寿命，指导产品设计和质量控制。
二、统计分析的概念及应用2.1 统计分析的定义统计分析是指对数据进行收集、整理、处理、分析和解释的过程。
通过统计分析，我们可以从大量数据中提取有效信息，探究数据的规律和特征，并作出相应的结论。
2.2 统计分析的步骤统计分析一般包括以下几个步骤：1) 数据收集：收集研究对象的相关数据，可通过调查问卷、实验观测等方式进行。
2) 数据整理：将收集到的数据进行归类、整理、汇总和清洗，以便后续的分析和处理。
3) 数据描述性统计：通过制表、绘图等手段对数据进行描述和展示，包括均值、中位数、众数、方差等指标。
4) 数据推断性统计：根据样本数据对总体参数进行估计和推断，包括假设检验、置信区间、相关分析等方法。
2.3 统计分析的应用统计分析广泛应用于各个领域，例如：1) 在市场调研中，统计分析可用于分析客户需求、市场竞争情况、产品销售趋势等，为企业决策提供依据。
生物统计学课件1、概率及概率分布
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
概率与统计学中的基本概念和分布
概率与统计学中的基本概念和分布概率与统计学是一门研究随机现象的学科，它涉及到许多基本概念和分布。
本文将介绍概率与统计学中的一些基本概念和常见的分布。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，有三种常用的概率定义：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率是指在一个试验中，所有可能结果的数量是确定的，且它们是等可能发生的情况下，某个事件发生的概率。
例如，抛硬币的结果只有两种可能，正面和反面，它们的概率都是1/2。
几何概率是指通过实验或观察来确定一个事件发生的概率。
例如，投掷一个骰子，出现一个特定的数字的概率为1/6。
统计概率是根据大量实验或观察数据计算得出的概率。
例如，根据历史数据统计，某个城市明天下雨的概率为30%。
二、随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能出现的结果。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量只能取有限个或可列个值，例如掷硬币的结果只有正面和反面两种可能，这是一个离散型随机变量。
连续型随机变量可以取任意实数值，例如测量一个人的身高，它可以是任意的实数值，这是一个连续型随机变量。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
在概率论中，有许多常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
三、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，各个取值的概率相等。
例如，在一个骰子的试验中，每个数字出现的概率都是1/6，这是一个均匀分布。
2. 正态分布正态分布，又称为高斯分布，是自然界中许多随机现象的分布模型。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
例如，人的身高和体重通常符合正态分布。
3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内某个事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在给定时间或空间内发生的概率。
例如，某个地区每天发生的交通事故数量就可以使用泊松分布进行建模。
四、概率与统计学的应用概率与统计学在各个领域都有广泛的应用。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
统计学中的概率理论与分布函数
统计学中的概率理论与分布函数概率理论和分布函数是统计学中的重要概念和工具。
概率理论是研究随机现象的发生规律和可能性的数学理论，而分布函数则是用来描述和计算随机变量的概率分布情况的函数。
本文将介绍概率理论和分布函数的基本概念、性质和应用。
一、概率理论的基本概念与性质1.1 随机现象与样本空间随机现象是指在一定条件下可以出现多种结果的现象，其结果是不确定的。
样本空间是对随机现象所有可能结果的全体描述。
1.2 事件与概率事件是样本空间的子集，即可能发生的某一种或某几种结果。
概率是用来描述事件发生可能性大小的数值，其取值范围在0到1之间。
1.3 概率的性质概率具有以下基本性质：（1）非负性：任意事件的概率值大于等于0；（2）规范性：样本空间的概率等于1；（3）可列可加性：对于互不相容的事件，其概率等于各事件概率的和。
二、概率分布函数的基本概念与性质2.1 随机变量与概率分布随机变量是函数，用来将样本空间中的每个元素与一个实数相对应，用来描述随机现象的数值特征。
概率分布是随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
2.2 离散型随机变量与概率质量函数离散型随机变量的取值是有限或可数无限个的，概率质量函数用来描述和计算各个取值的概率。
2.3 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量的取值是无限多个的，概率密度函数用来描述和计算取值范围内的概率。
2.4 分布函数与分位点分布函数是描述随机变量取值小于等于某个值的概率。
分位点是描述概率分布中某个百分比位置的值。
三、常见的概率分布函数3.1 二项分布二项分布描述的是一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
3.2 正态分布正态分布是最常见的概率分布之一，其形状呈钟形曲线，被广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
3.3 泊松分布泊松分布用来描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布，常用于事件的计数或故障的预测。
3.4 均匀分布均匀分布是指在一定区间内各个取值的概率相等的概率分布。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
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7
事件的概率
事件A的概率是对事件A在试验中出现的可 能性大小的一种度量
表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主
观概率定义
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8
概率的古典定义
如果某一随机试验的结果有限，而且各个 结果在每次试验中出现的可能性相同，则 事件A发生的概率为该事件所包含的基本 事件个数 m 与样本空间中所包含的基本 事件个数 n 的比值，记为
P(A)样事本件 A空 所间 包所 含包 的含 基 事的 本 件基 事 个＝ 本 件 数 m n个数
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9
概率的古典定义--实例
【例4.1】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。 从 该公司中随机抽取1人，问：
（1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率
表4-1 某钢铁公司所属企业职工人数
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3
4.1 概率基础知识
随机事件 随机事件的概率
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4
随机事件的几个基本概念
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5
事件的概念
事件：随机试验的每一个可能结果 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
(任何样本点集合)
随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数
必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
n
pi 1
i 1
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连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量可以取某一区间或整个实 数轴上的任意一个值
它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描
述
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22
概率密度函数
设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的 概率密度函数记为f(x)，它满足条件
解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试
验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有
P(A)超试 过验 用的 电天 指数 标 13天 20数 0.4
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13
（三）概率的公理化定义及性质 在随机试验样本空间Ω 上对每个时间A都有对应的实数P
（A），如果这样的P（A）满足： 1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；（P(A)≥0）
以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子
试验
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
随机变量
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
可能的取值
0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
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18
连续型随机变量
随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取
不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
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6
事件与样本空间
基本事件
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数
样本空间
一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
第四章 概率与概率分布
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1
4 概率与概率分布
掌握随机变量及其概率分布的含义，为 推断统计的学习作准备
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2
学习目标
在概率部分，复习样本空间与事件的概念、 事件的概率及计算
在概率分布部分，复习随机变量的定义、离 散型和连续型随机变量的概率分布、概率分 布的数量特征，几种典型的概率分布如0-1分 布、二项分布、正态分布等，以及典型概率 分布的应用
数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子
试验
抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度
随机变量
使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)
可能的取值
X0 0 X 100 X0
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19
4.2.2 随机变量的概率分布
• 随机变量可能的取值范围和取这些值相应 的概率称为随机变量的概率分布
P(A) m p n
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11
事件的概率
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右
正面 /试验次数
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00 0
25
50
75
100 125
试验的次数
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12
概率的统计定义--实例
【例4.2】某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。 按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标， 若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超 过指标的概率。
工厂
男职工
女职工
合计
炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂
4400 3200 900
1800 1600 600
6200 4800 1500
合计
8500
4000
12500
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10
概率的统计定义
在相同条件下进行n次随机试验，事件A 出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频 率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P 上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向于 稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率， 记为
• 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布
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20
离散型随机变量的概率分布
列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示
X = xi P(X =xi)=pi
x1 ，x2 ，… ，xn p1 ，p2 ，… ，pn
• P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 ▪ pi0
2、必然事件的概率为1，即P（Ω）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。（-）
4、A1，A2，……Ai为互斥事件，则P（A1+A2+……+Ai）= P（A1）+ P（A2）+……+ P（Ai） 则称P（A）为事件A的概率
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14
全概率公式和贝叶斯公式
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15
4.2 随机变量及其概率分布
随机变量的概念 随机变量的概率分布
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16
4.2.1 随机变量的概念
一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量
和连续型随机变量编Fra bibliotekppt17
离散型随机变量
随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 ， X2，…