广东省深圳市罗湖区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(无答案)
2019-2020学年深圳 罗湖区高一第一学期期末考试
高一数学试题
一、选择题
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 所有的正方形
B. 方程210x -=的整数解
C. 我国较长的河流
D. 出席十九届四中全会的全体中央委员 2. 1000︒是以下哪个象限的角（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3. 一元二次不等式2210x x --<的解集是（ ） A. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ B. 1(1,)2- C. 1(,1)(,)2-∞-+∞ D. 1(,1)2
- 4. (8)x x -的最大值是（ ）
A. 4
B. 22
C. 42
D. 16 5. “0xy >”是“0,0x y >>”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 6. 已知4213332,3,25a b c ===，则（ ）
A. a b c >>
B. a c b >>
C. c a b >>
D. c b a >> 7. 如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）
A. 2sin()3y t ππ=+
B. 2sin()3y t ππ=-
C. 2sin()3y t ππ=-
D. 2sin()3y t ππ=+ 8. 若3log 14
a <，则实数a 的取值范围是（ ） A. 304a << B. 304
a <<或1a > C. 314a << D. 314a <<或1a > 二、多选题（全对5分，部分对3分，选错0分） 9. 下列函数中，其定义域与函数12y x =的定义域相同的是（ ）
A. 2y x =
B. ()2y x =
C. 21x y =-
D. ln x y e =
10. 已知函数()sin(2)6
f x x π=-，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 关于点(,0)12π
对称
B. ()f x 关于直线6x π
=-对称
C. ()f x 的图像向左平移6
π个单位长度后可得到()sin 2f x x =的图像 D. ()sin 2f x x =的图像向右平移12π
个单位长度后可得到()f x 的图像
11. 下列函数是其定义域上的奇函数的是（ ）
A. 1lg 1x y x -=+
B. 1x x y e e =-
C. 1x x y e e =+
D. 11
x x e y e -=+ 12. 已知函数()sin sin f x x x =+，下列说法正确的是（ ）
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 最大值是2
C. ()f x 的最小值是1-
D. ()f x 的最小正周期是π
三、填空题
13. 已知集合{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,U A ==则
U A ______. 14. 命题“,0x R x x ∀∈+≥”的否定是_________.
15. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 与耗氧量x 之间满足函数关系2log 10
x v a =.若两岁燕子耗氧量达倒40个单位时，其飞行速度为10/v m s =，则两岁燕子飞行速度为25/m s 时，耗氧量达到__________单位．
16. 已知函数21,1()32,1x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则((3))f f =____.若存a b c <<，使得()()()f a f b f c ==，则
1222a b c +++=_________.
三、解答题
17. 设2
21().1x f x x
+=- （1）求()f x 的定义域；
（2）证明：当时0x ≠，1()()f f x x =-.
18. 已知α是第二象限，且1tan 3α=-
，计算： （1）sin()2
5cos sin()
π
ααπα+--； （2）2sin cos()cos .απαα++
19. 已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）在给定的坐标系中，画出()f x 在一个周期内的图像（必须写出作图过程）.
20. 已知集合{}
2210A x ax x =-+=，其中.a R ∈
（1）若A 是空集，求a 取值范围； （2）若只有一个元素，求a 的值；
（3）当{|0}B x x =>时，若A B 为非空集合，求a 的取值范围.
21. 某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016-2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额y (万元)与年份数x 的关系(为计算方便，2016年用1x =代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数2y ax bx c =++或函数x y a b c =⋅+(其中,,a b c 为常数)，若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额.
22. 已知函数2()ln(1)()x f x e ax a R =++∈是其定义域内的偶函数.
（1）求a 的值；
（2）若函数()()()2()f x x x g x e m e e m R -=+-+∈，求不等式()0>g x 的解集.。
广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角θ的终边经过点M(−√3,−1)，则cos θ=()A. 12B. −12C. √32D. −√322.△ABC中，B=120°，AC=3,AB=√3，则cosC=()A. 12B. ±√32C. √32D. ±123.已知函数f(x)满足f(x)+2f(−x)=3x，则f(1)等于()A. −3B. 3C. −1D. 14.若函数f(x)=2sin(ωx−π3)(0<ω<2π)的图象关于直线x=−16对称，则f(x)的递增区间是()A. [−16+2kπ,56+2kπ],k∈z B. [−16+2k,56+2k],k∈zC. [56+2kπ,116+2kπ],k∈z D. [56+2k,116+2k],k∈z5.函数y=sinx+1x的大致图象是()A. B.C. D.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−14，则bc=()A. 6B. 5C. 4D. 37.三角形ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a+c=2b且角B的余弦值是方程4x2−8x+3=0的一个根，角B的大小和ΔABC的形状分别为()A. π6，等腰三角形 B. π6，直角三角形C. π3，等边三角形 D. π4，等腰三角形8.已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=e x，则f(−1)=()A. 1e B. −1eC. eD. −e9.函数y=sin(2x−π6)的图像应如何变换得到y=cosx的图像()A. 先把横坐标扩大2倍，再向左平移π3个单位B. 先把横坐标扩大2倍，再向左平移2π3个单位C. 先把横坐标缩小一半，再向左平移π3个单位D. 先把横坐标缩小一半，再向右平移2π3个单位10.已知函数f(x)=|cos(ωx+π6)|(ω>0)在[0,π2]上单调递减，则ω的最大值为()A. 13B. 23C. 43D. 5311.已知α,β∈(0,π2),sinα=√5,cosβ=√10，则α−β=()A. −π4B. 3π4C. π4D. −π4或π412.已知a=log0.36，b=log26，则()A. b−2a>ab>b+2aB. b−2a>b+2a>abC. b+2a>b−2a>abD. ab>b−2a>b+2a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则______．14.已知sin(π2+θ)=45，θ∈(0,π)，则cos(5π6−θ)=______ ．15.计算：sin12°cos18°+cos12°sin18°=________．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+√2ab=c2，则C=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)已知a>0,b>0,ab=a+b+3，求ab的取值范围．(2)正数x,y满足x+y=4.若不等式1x −m+4y⩾0恒成立，求m的取值范围．18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求方程f(x)=−32在区间[0,4]内的所有实数根之和．19.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，中线AD=m，满足a2+2bc=4m2．(Ⅰ)求∠BAC；(Ⅱ)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．20.已知函数f(x)=log a(x−1)，g(x)=log a(4−2x)(a>0且a≠1)．(Ⅰ)求函数f(x)−g(x)的定义域；(Ⅱ)若f(x)>g(x)，求x的取值范围．21.某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C处31km的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20km后到达D处，此时C，D 间的距离为21km，问这人还要走多少千米可到达城A⊆22.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC=105°，AD=3，AB=7，∠BDA=60°，∠BCD=120°，求BC的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数，属于基础题．由三角函数定义即可得出结果．解：∵角α的终边经过点M(−√3,−1)，∴cosθ=√3√(−√3)2+(−1)2=−√32，故选D．2.答案：C解析：解：∵△ABC中，B=120°，AC=b=3，AB=c=√3，∴由正弦定理bsinB =csinC得：sinC=csinBb =√3×√323=12，∵c<b，∴C<B，即C为锐角，则cosC=√1−sin2C=√32．故选：C．由sin B，b，以及c的值，利用正弦定理求出sin C的值，即可确定出cos C的值．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3.答案：A解析：本题主要考查函数的解析式的求法，属于基础题．解：因为f(x)+2f(−x)=3x，①所以f(−x)+2f(x)=−3x，②①−②×2，得：f(x)=−3x，所以f(1)=−3×1=−3．4.答案：B解析：解：函数f(x)=2sin(ωx−π3)(0<ω<2π)的图象关于直线x=−16对称，则−16ω−π3=π2+kπ，k∈Z，∴ω=−5π+6kπ，k∈Z，∵0<ω<2π，故ω=π，故函数f(x)=2sin(πx−π3)，令πx−π3∈[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈z，则x∈[−16+2k,56+2k],k∈z，即f(x)的递增区间是[−16+2k,56+2k],k∈z，故选：B．由已知中函数图象关于直线x=−16对称，求出ω值，进而根据正弦函数的单调性，可得f(x)的递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，三角函数的图象和性质，难度中档．5.答案：A解析：本题考查函数的图象，利用奇偶性、单调性等据解析式确定图象，属基础题．解：函数是定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项D；当x∈(0,π)时，sinx>0，∴sinx+>0，f(x)的图象在x轴上方，排除选项B；当x=时，sin+=−1+<0，f(x)的图象在x轴下方，排除选项C；∴函数的大致图象为选项A．故选A．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．解：已知asinA −bsinB =4csinC ，由正弦定理得a 2−b 2=4c 2， cosA =−14，由余弦定理得b 2+c 2−a 22bc=−4c 2+c 22bc=−3c 2b=−14，即cb =16，则b c =6． 故选A ．7.答案：C解析：本题考查了正弦定理，辅助角公式的运用，由题意先求得cos B = 12，再由正弦定理得sin A +sin C =2sin B ，故可得sin A +sin (2π3−A)=√3，再展开由辅助角公式可解得C ，故可得答案．解：由题意得，4cos 2B −8cosB +3=0， 即(2cosB −1)(2cosB −3)=0， 解得cos B = 12 或cos B = 32 (舍去)， ∵0<B <π，∴B = π3， ∵a +c =2b ．由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin π3 =√3， ∴sin A +sin (2π3−A)=√3，∴sin A +sin 2π3 cos A −cos 2π3 sin A = √3，化简得 32 sin A + √32cos A = √3 ，∴sin (A +π6) =1， ∵0<A <π，∴A + π6 = π2 ． ∴A = π3 ，C = π3 ，∴△ABC是等边三角形．故选C．8.答案：D解析：解：函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=e x，则f(−1)=−f(1)=−e．故选：D．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．9.答案：B解析：本题主要考查诱导公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：把函数的图象的横坐标变为原来的2倍，可得的图象，再把所得图象再向左平移个单位，可得的图象.故选B.10.答案：B解析：先求出角的范围，结合y=|cosx|的单调性进行转化求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合y=|cosx|单调性的性质，建立不等式组是解决本题的关键．考查学生的转化能力，难度中等．解：当0≤x≤π2时，0≤ωx≤π2ω，π6≤ωx+π6≤π2ω+π6，∵y=|cosx|在[0,π2]上为减函数，∴要使f(x)在[0,π2]上单调递减，则π2ω+π6≤π2得π2ω≤π3，即0<ω≤23，即ω的最大值为23，故选：B．11.答案：A解析：本题考查同角三角函数之间的关系，两角和与差公式，属于基础题．要求解α−β的值，利用两角和与差公式求解的值即可．解：因为α,β∈(0,π2),sinα=1√5,cosβ=1√10，所以cosα=√5,sinβ=√10．所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=2√5×1√10+1√5×3√10=√22．又sinα<sinβ，所以−π2<α−β<0．故α−β=−π4．故选A．12.答案：B解析：本题主要考查了对数的性质，以及对数的运算，属于中档题．根据对数的性质，判断a<0，b>0，得到ab<0，再判断b+2aab<1，得b+2a>ab，再由(b−2a)−(b+2a)=−4a>0得到b−2a>b+2a，得出结果．解：因为，，所以ab<0，因为，即b+2aab<1，又ab<0，所以b+2a>ab，又(b−2a)−(b+2a)=−4a>0，所以b −2a >b +2a ， 所以b −2a >b +2a >ab ， 故选B ．13.答案：−17解析：本题主要考查两角和的正切公式，属于基础题.关键在于将转化为．解：，将代入， 得．故答案为−17．14.答案：3−4√310解析：解：∵sin(π2+θ)=45，θ∈(0,π)， ∴可得cosθ=45，sinθ=√1−cos 2θ=35，∴cos(5π6−θ)=cos[π−(π6+θ)]=−cos(π6+θ)=−(cos π6cosθ−sin π6sinθ)=3−4√310． 故答案为：3−4√310． 先求出sinθ=35，再由两角和与差的余弦函数公式展开cos(5π6−θ)即可求值． 本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基础题．15.答案：12解析：本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题． 解：sin12°cos18°+cos12°sin18°=sin(12°+18°)=sin30°=12． 故答案为12．16.答案：3π4解析：解：∵a 2+b 2+√2ab =c 2， ∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=−√2ab 2ab=−√22， C ∈(0,π)， ∴C =3π4．故答案为：3π4．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：(1)解：∵a >0,b >0,ab =a +b +3，∴ab =a +b +3≥2√ab +3，当且仅当a =b 时取等号， 即(√ab)2−2√ab −3≥0， ∴(√ab −3)(√ab +1)≥0， ∴√ab ≥3，∴ab ≥9，即ab 的取值范围[9,+∞)． (2)解：1x −m +4y ≥0即m ≤1x +4y ， 不等式1x −m +4y ⩾0恒成立，即m ≤(1x +4y )min，∵正数x,y 满足x +y =4，∴1x +4y =14(x +y )(1x +4y )=14(1+4+y x +4x y) ≥14(5+2√yx ·4xy)=94， 当且仅当yx =4xy，即x =43，y =83时取等号， ∴m ≤94，即m 的取值范围(−∞,94]．解析：(1)本题考查由基本不等式求最值，考查解一元二次不等式，考查计算能力，属于基础题． 由ab =a +b +3≥2√ab +3，解不等式(√ab)2−2√ab −3≥0，求解即可． (2)本题考查不等式恒成立，以及由基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．不等式1x −m +4y ⩾0恒成立，即m ≤(1x +4y )min，由乘“1”法得1x +4y =14(x +y )(1x +4y )，展开后利用基本不等式求解即可．18.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A =2，12⋅2πω=76−16，∴ω=π． 再根据五点法作图可得π⋅16+φ=π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(πx +π3).(2)由方程f(x)=−32，求得sin(πx +π3)=−34，f(x)的周期为2ππ=2，故区间[0,4]包含函数的2个周期． 在区间[0,4]上，πx +π3∈[π3,4π+π3]，故方程f(x)=−32在区间[0,4]内的有2个实数根有4个，设这4个根从小到大分别为：x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1与x 4 关于直线x =9π4对称，x 2与x 3 关于直线x =9π4对称，故有(πx 1+π3)+(πx 4+π3)2=9π4，(πx 2+π3)+(πx 3+π3)2=9π4，∴x 1+x 4=236，x 2+x 3=236，∴方程f(x)=−32在区间[0,4]内的所有实数根之和为：x 1+x 2+x 3+x 4=233．解析：(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得方程f(x)=−32在区间[0,4]内的所有实数根之和． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)在△ABD 和△ACD 中c 2=m 2+14a 2−macosADB ，b 2=m 2+14a 2−macosADC ， 因为∠ADB +∠ADC =π，所以cos∠ADB +cos∠ADC =0，b 2+c 2=2m 2+12a 2，m 2=12b 2+12c 2−14a 2，由已知a 2+2bc =4m 2，得a 2+2bc =2b 2+2c 2−a 2，即b 2+c 2−a 2=bc ，cosBAC =b 2+c 2−a 22bc=12，又0<A <π，所以∠BAC =π3．(Ⅱ)在△ABC 中有正弦定理得a sin π3=b sinB =csinC ，又a =2，所以b =4√33sinB ，c =4√33sinC =4√33sin(2π3−B)，故b +c =4√33sinB +4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB +√32cosB)=4sin(B +π6)，因为0<B <2π3，故π6<B +π6<5π6，所以12<sin(B +π6)≤1，b +c ∈(2,4]， 故△ABC 周长的取值范围是(4,6]．解析：本题考查了余弦定理．属中档题．(Ⅰ)根据余弦定理求出cos∠ADB ，cos∠ADC ，以及∠ADB +∠ADC =π，所以cos∠ADB +cos∠ADC =0可解得；(Ⅱ)根据正弦定理将b ，c 转化为B 角得b +c =4sin(B +π6)，根据B 角范围求得取值范围，再加上a =2即为周长的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)由题意可知{x −1>04−2x >0，解得：1<x <2，∴函数f(x)−g(x)的定义域(1,2)．(Ⅱ)当a >1时，满足{x −1>4−2x1<x <2，解得：53<x <2，当0<a <1时，满足{x −1<4−2x1<x <2，解得：1<x <53，所以当a >1时，x ∈(53,2)； 当0<a <1时，x ∈(1,53).解析：本题考查了函数的定义域问题，对数函数的性质以及分类讨论思想，是一道基础题． (Ⅰ)根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；(Ⅱ)通过讨论a 的范围，根据函数单调性得到关于x 的不等式组，解得即可．21.答案：解：由已知得CD =21，BC =31，BD =20，在△BCD 中，由余弦定理得cos∠BDC =212+202−3122×21×20=−17，设∠ADC =α，则cosα=17，sinα=4√37， 在△ACD 中，由正弦定理得ADsin(π3+α)=21sin π3，AD =√3(π3+α)=√3(√32×17+12×4√37)=15,故此人还要走15千米可到达A ．解析：先求出cos∠BDC ，进而设∠ADC =α，则sinα，cosα可求，在△ACD 中，由正弦定理求得AD 即可．本题主要考查了解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理，属于中档题．22.答案：解：在△ABD 中，由余弦定理：AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos∠ADB ，得：72=BD 2+32−6BDcos60°， 解得：BD =8．又在△BCD 中，由正弦定理：BCsin∠CDB =BDsin∠BCD ， ∴BCsin45°=8sin120°， 解得：BC =8√63．解析：在△ABD 中，由余弦定理：AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos∠ADB ，解得：BD =8.又在△BCD 中，由正弦定理：BCsin∠CDB =BDsin∠BCD ，即可解出．本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
广东深圳罗湖区2019--2020学年八年级(上)期末统考数学试卷(含答案)
2019-2020学年广东深圳罗湖区八年级上学期期末统考数学卷一.选择题（每小题3分共36分）1.“2的平方根“可用数学式子表示为（）A.±2B.32C.(+2)2D.22.下列各数中是无理数的是（）B.0A.227C.64D.0.1616616661…(相邻两个1间依次增加1个6)3.根据下列表述，能确定具体位置的是（A）A.罗湖区凤凰影院二号厅6排8号B.深圳麦当劳店C.市民中心北偏东60°方向D.地王大厦25楼4.下列各式计算正确的是（）A.2+3=5B.(23)2=6C.8+2=4D.2×3=65.若中国队参加国际数学奥林匹克的参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：S2=1[x6−382+x6−6382+…(x6−38)2]，下列说法错误的是（）A.我国一共派出了六名选手B.我国参赛选手的平均成绩为38分C.参赛选手的中位数为38D.由公式可知我国参赛选手比赛成绩团体总分为228分6.如图，BD//EF,AE与BD交于点C，∠B=30°,∠A=75°，则∠E的度数为（）A.135°B.125°C.115°D.105°7.下列命题是假命题的是（）A.10是最简二次根式B.若点A(-2,a)，B(3,b)在直线y=-2x+1,则a>bC.数轴上的点与有理数一一对应D.点A(2,5)关于y轴的对称点的坐标是（-2，5）8.已知a,b,c是△ABC的三条边，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A.b2=c2−a2B.∠A:∠B:∠C=3:4:5C.∠C=∠A-∠BD.a:b:c=5:12:139.如图，设点P到原点O的距离这p，将x轴的正半轴绕O点逆时针旋转与OP重合，记旋转角为α，规定[p,α]表示点P的极坐标，若某点的极坐标为[22，135°]，则该点的平面坐标为（）A.（−2，2）B.（−2，2）C.（−2，−2）D.（2，−2）10.正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x-k的图像大致是（）11.小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了41.4元，而两个月前买同重量的这两样菜只要36元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，设两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为x元/斤，y元/斤，则可列方程为（）A.2x+y=362×1−10%+1+20%y=41.4B.2x+y=41.42×1−10%+1+20%y=36C.x+2y=41.41−10%x+2×1+20%y=36D.x+2y=361−10%x+2×1+20%y=41.412.如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1,AB=42,则下列结论一定正确的个数是（）①BC=2CD;②BD>CE;③∠CED+∠DFB=2∠EDF;④△DCE与△BDF的周长相等；A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题（每小题3分共12分）13.−8的立方根是___________14.某单位拟招聘一个管理员，其中某位职员笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占20%，面试占20%，则该名考生的综合成绩为___________分15.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的鞋面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=4m，一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为____________m(π的值为3)16.已知关于x,y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，则关于m，n的方程组a12m−6−b1n=c1+b1a22m−6−b2n=c2+b2的解是____________.三.解答题17.（8分）计算：（1）220（2）25+3+26(3−26)18.（6分）解方程组3x−4x−2y=5x+2y=119.（6分）为了解某校八年级暑期参加义工活动的时间，某研究小组随机采访了该校八年级的20位同学，得到这20位同学暑假参加义工活动的天数的统计如下：天数（天）02356810人数1248221（1）这20位同学暑期参加义工活动的天数的中位数是______天，众数是_______天，极差是_______天；（2）若小明同学把天数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数、众数、方差，极差四个指标中受影响的是___；（3）若该校有500名八年级学生，试用这20个同学的样本数据去估计该校八年级学生暑期参加义工活动的总天数。
2019-2020学年广东省深圳市龙岗区高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年广东省深圳市龙岗区高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．计算：sin 23π=（ ）A ．B ．2C ．12D ．12-【答案】B【解析】因为sin 23π=sin32π=，故选B.2．已知集合{}3A x Nx =∈≤，{,1}B a =，若AB B =，则实数的值a 为（ ） A ．0 B ．0，2 C ．0，2，3D ．1，2，3【答案】C【解析】计算得到{}{}30,1,2,3A x Nx =∈≤=，根据题意得到B A ⊆，得到答案.【详解】{}{}30,1,2,3A x N x =∈≤=，A B B =，即B A ⊆，故0,2a a ==或3a =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据集合的交集结果求参数，意在考查学生的计算能力.3．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P ，则sin α的值是（ ）A ．12B ．3C D ．2【答案】D【解析】直接利用三角函数定义得到答案. 【详解】P ，则sin α==故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数值的定义，属于简单题.4．下列函数中为偶函数且在()0,∞+上是增函数的是()A ．x1y ()2= B ．y lnx = C ．x 2y x 2=+ D ．y x x =【答案】C【解析】首先通过奇偶性排除,B D 两个选项；再通过单调性排除A ，得到正确结果. 【详解】A 选项：1122xx-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，函数为偶函数；当()0,x ∈+∞时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时单调递减；A 错误；B 选项：函数定义域为()0,∞+，为非奇非偶函数，B 错误；C 选项：()2222x x x x --+=+，函数为偶函数；当()0,x ∈+∞时，22x y x =+，此时2x 单调递增，2x 单调递增，所以函数为增函数，C 正确；D 选项：x x x x--=-，为奇函数，D 错误.本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、函数的单调性，属于基础题.5．已知3a e =，lg b e =，c e π=，则三者的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】根据函数的单调性得到3lg 1a e c e b e π>=>=>=得到答案. 【详解】根据函数单调性得到3lg 1a e c e b e π>=>=>=.故选：C . 【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数， 而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题． 7．要得到函数()sin2f x x =的图象, 只需将函数()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移3π个单位.B ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移6π个单位.C ．所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移3π个单位.D ．所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移6π个单位.【答案】D【解析】根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将函数()πg x sin x 3⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得()sin(2)3g x x π=-，再将函数()sin(2)3g x x π=-图象的各点向左平移6π个单位，可得()sin[2()]sin 263f x x x ππ=+-=，所以要得到函数()f x sin2x =的图象, 只需将函数()πg x sin x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移6π个单位，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数图象变换的原则，合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．函数()y sin ωx φ=+的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是()A ．ππω,φ24== B ．ππω,φ36== C ．π5πω,φ44==D ．ππω,φ44== 【答案】D【解析】根据对称轴和对称中心的位置确定周期，从而得到ω；再代入最大值点，求得ϕ的取值. 【详解】1x =为对称轴，()3,0为对称中心231244T πω∴==-=4πω⇒=代入()1,1点可得：sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭242k ππϕπ⇒+=+24k πϕπ⇒=+当0k =时，4πϕ= 本题正确选项：D 【点睛】本题考查已知三角函数图像求解析式，关键在于能够通过图像确定周期和最值点，通过对应关系求出参数. 9．已知函数()()e a,031,0x x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()1，-∞- B ．()1，-∞ C ．()1,0- D ．[)1,0-【答案】D 【解析】函数()(),031,0x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩在R 上有两个零点，可转化为0x e a +=在0x ≤上有一个实根，即y a =-与y x e =在0x ≤上有一个交点，求出y x e =在0x ≤的值域即可得出结果. 【详解】由310x -=可得103x =>，所以函数()(),0,31,0,x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩若函数在R 上有两个零点，可转化为0x e a +=在0x ≤上有一个实根，即y a =-与y x e =在0x ≤上有一个交点，因为0x ≤时，(]0,1xe ∈；又y a =-与y x e =在0x ≤上有一个交点，所以01a <-≤， 即10a -≤<. 故选D 【点睛】本题主要根据函数有零点求参数的问题，一般需要把函数有零点转化为两函数有交点来处理，属于常考题型. 10．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ=【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.11．已知函数()f x 是R 上的偶函数.若对于0x ≥都有()()11f x f x -=+，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则(2019)(2020)f f -+的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】代换得到函数周期为2，故()()(2019)(2020)10f f f f -+=+，计算得到答案.【详解】当0x ≥时，()()11f x f x -=+即()()()2f x f x f x -=+=，函数周期为2.()()(2019)(2020)(2019)(2020)101f f f f f f -+=+=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了求函数值，意在考查学生对于函数周期的灵活运用.12．若tanα=1+lg t ，tanβ=lg 1t ，且α+β=4π，则实数t 的值为（ ）A ．110B ．1C ．110或1 D ．1或10【答案】C 【解析】由α+β4π=，利用两角和的正切函数化简，由对数的运算性质即可解得实数t 的值． 【详解】∵tanα＝1+lgt ，tanβ＝lg 1t ，且α+β4π=，∴tan （α+β）＝tan 4π=1()111111lgt lgtan tan ttan tan lgt lg tαβαβ+++==--+⋅， ∴1＝1﹣（1+lgt ）lg 1t ，∴（1+lgt ）lg 1t =0，∴10t ＝1或1t =1，∴t 110=或1．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，对数的运算性质，是基础题．二、填空题13．210︒-弧度数为________. 【答案】76π-【解析】直接根据角度和弧度的转化公式得到答案. 【详解】21021071806ππ︒︒=⨯=-︒--.故答案为：76π-.【点睛】本题考查了角度和弧度的转化，属于简单题.14．若幂函数()ag x x =的图象经过点(4,2)P ，则(2)g 的值为________.【解析】代入点计算幂函数为()12g x x =，再代入数据计算得到答案. 【详解】幂函数()a g x x =的图象经过点(4,2)P ，即42a =，故12a =，()12g x x=.12(2)2g ==.【点睛】本题考查了求幂函数的值，意在考查学生的计算能力. 15．函数()2sin 1xf x x x =++的最大值与最小值之和等于______． 【答案】0【解析】先判断函数()f x 为奇函数，则最大值与最小值互为相反数． 【详解】解：根据题意，设函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ， 又由()()()22sin sin 11x x f x x x f x x x -⎛⎫-=+-=-+=- ⎪++⎝⎭，则函数()f x 为奇函数，则有M N =-，则有0M N +=； 故答案为0 【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用奇函数的性质求解是解题关键．16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0≥时，()2f x x =，若对于任意的[]x t,t 2∈+，不等式()()9f x t f x 4+≥恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】[)2,∞+【解析】由当x 0≥时，()2f x x =，函数是奇函数，可得当x 0<时，()2f x x =-，从而()f x 在R 上是单调递增函数，且满足()93f x f x 42⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据不等式()()93f x t f x f x 42⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭在[]t,t 2+恒成立，可得3x t x 2+≥在[]t,t 2+恒成立，即可得出答案． 【详解】当x 0≥时，()2f x x =，函数是奇函数∴当x 0<时，()2f x x =-()2x ,x 02f x x ,x 0≥⎧⎪∴=-<⎨⎪⎩，()f x ∴在R 上是单调递增函数，且满足()93f x f x 42⎛⎫= ⎪⎝⎭， 不等式()()93f x t f x f x 42⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭在[]t,t 2+恒成立， 3x t x 2∴+≥在[]t,t 2+恒成立， 即：x 2t ≤在[]t,t 2+恒成立，t 22t ∴+≤，解得：t 2≥， 故答案为：[)2,∞+． 【点睛】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题17．已知全集U =R ，集合A 为函数()2()lg 4f x x x =-的定义域.|03x m B x x m -⎧⎫=≤⎨⎬--⎩⎭. （1）若2m =，求UB 和A B ；（2）若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|2UB x x =<或5}x，{}|05A B x x ⋃=<<，（2）(][),34,-∞-+∞【解析】（1）计算{}|04A x x =<<，{}|25B x x =≤<，再计算UB和AB 得到答案.（2）计算{}3B x m x m =≤<+，根据A B =∅得到答案.【详解】（1）函数()()2lg 4f x x x =-，满足240x x->，解得04x <<，即集合{}|04A x x =<<，当2m =时，{}|25B x x =≤<， ∴{|2UB x x =<或5}x，{}|05A B x x ⋃=<<.（2）{}|033x m B x x m x m x m -⎧⎫=≤=≤<+⎨⎬--⎩⎭， 因为AB =∅，所以30m +≤或4m ≥，即3m ≤-或4m ≥，即(][),34,m ∈-∞-+∞ 【点睛】本题考查了集合的运算，根据交集结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用. 18．已知02πα<<，4sin 5α=． (Ⅰ)求tan α的值；(Ⅱ)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(Ⅲ)若02πβ<<且()1cos 2αβ+=-，求sin β的值．【答案】(Ⅰ)43；(Ⅱ)50-；(Ⅲ)410+.【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系即可求出；(Ⅱ)根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；(Ⅲ)由()βαβα⎡⎤=+-⎣⎦，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出． 【详解】(Ⅰ)02πα<<，4sin 5α=，3cos5α∴==，sin4tancos3ααα∴==.(Ⅱ24)sin22sin cos25ααα==，227cos2cos sin25ααα=-=-)724cos2cos2sin242525πααα⎛⎫⎫∴+=-=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅲ)02πα<<，02πβ<<，0αβπ∴<+<，()1cos2αβ+=-，()sin2αβ∴+=，()()()sin sin sin cos cos sinβαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+-+=⎣⎦. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．19．已知函数()log(1)2af x x=-+（0a>，且1a≠），过点(3,3).（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式()()123122x xf f+-<-.【答案】（1）2（2）{}2log5x|2<x<【解析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x+<-<-，解得答案.【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增，∴()()1123122,123122x x x x f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 20．已知函数21()f x x x =-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性； （2）若关于x 的不等式()220f x x m ++<恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）m 1≥ 【解析】（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()221212m x x x >--=-++，得到答案.【详解】（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12xx <，()()()()2221121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22110x x > ∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减；（2）()()2201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，()221212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.【点睛】本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.21．已知函数()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）求出函数()f x 的单调递增区间，对称轴，对称中心，及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围. 【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）递增区间,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴()26k x k Z ππ=+∈，对称中心,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()f x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）化简得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再计算周期得到答案. （2）根据()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，依次计算函数的单调增区间，对称轴，对称中心，值域得到答案. 【详解】（1）1()sin cos cos sin 2244222f x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos22sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭22T ππ==. （2）取222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,()36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.故()f x 的单调递增区间,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.取2,62x k k Z πππ+=+∈，得到对称轴()26k x k Z ππ=+∈， 取2,6x k k Z ππ+=∈，得到对称中心,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，单调区间，周期，对称中心，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 22．已知二次函数()223f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为()1,n -（1）解关于x 的不等式，()22411xx n m x -+>+-（2）已知实数()0,1a ∈，且关于x 的函数()[]()141,2xx y f a a x +=-∈的最小值为4-，求a 的值。
2020-2021深圳罗湖中学高中必修一数学上期末试题(附答案)
2020-2021深圳罗湖中学高中必修一数学上期末试题(附答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．3．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( )A ．0B ．-1C ．13D ．15．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 10．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1112．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．14．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________15．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.16．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.17．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.18．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．19．已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0xf x k -=的所有根的和的最大值是_______.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______． 三、解答题21．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．22．已知函数31()31x xf x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明. 24．已知()()122x x f x a a R +-=+∈n .（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a 的取值范围.25．已知．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围．26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型•xy p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，则x 的值为（ ） A. ±2 B. 2C. ﹣2D. ﹣4【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得x 的值．【详解】∵已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，∴82tan tan tan 333πππ==-==，则2x =-，故选C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2.在ABC ∆中，60A =︒，AC ==BC C =（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理得sin sin AC BC B A=，先求出B ，进而可得到C【详解】因为sin sin AC BC B A =，即sin B = 所以1sin 2B =因为()0,180B ∈︒所以30B =︒或150B =︒（舍） 因为180A B C ++=︒ 所以90C =︒故选：D【点睛】本题考查的是正弦定理的应用，较简单. 3.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ） A. ()f x x = B. ()f x x x =-C. ()1f x x =+D. ()f x x =-【答案】C 【解析】试题分析：A中()()2222f x x x f x ===，B中()()2222f x x x f x =-=，C中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=考点：函数求值4.函数2sin(2)3y x π=- ([0,])x π∈为增函数的区间是（ ）A. 5[0,]12π B. [0,]2πC. 511[,]1212ππ D. 11[,]12ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】Q 2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间，等价于求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间，由3222,232k x k k z πππππ+≤-≤+∈得511222,66k x k k z ππππ+≤≤+∈得511,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈当k ＝0时，5111212x ππ≤≤，即函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y =sin t 和t x ωϕ=+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间.5.函数sin cos y x x =+，x ∈R 的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可选出答案【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图像如下：所以只看0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象即可排除A 、B 、C ，选D故选：D【点睛】由函数的解析式选图象，一般采用排除法，看函数的单调性、奇偶性、函数值或某一部分图象即可.6.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则S =.若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜求积术”求得的ABC ∆的面积为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 4sin c A C =可得4ac =，然后由余弦定理可得2224b a c =+-，代入即可求出ABC ∆的面积 【详解】因为2sin 4sin c A C = 所以24c a c =，即4ac =由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c =+-=+- 所以2224a c b +-=所以S ===故选：A【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.7.ABC ∆的内角A ，C 的对边分别为a ，c ，若45C ∠=︒，c =且满足条件的三角形有两个，则a 的取值范围为（ ）A. ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.)2C. ()1,2D. (【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意的A 的范围，然后得出sin A 的范围，进而可求出a 的范围【详解】由正弦定理得：sin sin c a C A =即sin 45sin aA=︒ 所以1sin 2A a =由题意得，当45135A ︒<<︒时，满足条件的三角形有两个所以1122a <<2a << 故选:B【点睛】本题考查了正弦定理及特殊角的三角函数，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查. 8.已知函数()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，若()()xf xg x e +=，则()1f 等于（ ）A. 1e e+B. 1e e-C.122e e- D.122e e+ 【答案】C 【解析】 【分析】将()()xf xg x e +=中的x 换成x -可得()()xf xg x e--+-=，然后利用奇偶性可得()()xf xg x e--+=，从而可解出()f x【详解】因为()()xf xg x e +=①所以()()xf xg x e--+-=因为()f x 是奇函数，()g x 为偶函数所以()()f x f x -=-，()()g x g x -= 所以()()xf xg x e--+=②由①②可得()=2x xe ef x --所以1122(1)=2e e f e e-=--故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，较简单 9.已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（ ） A. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2CC. 把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD. 把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 【答案】B 【解析】对于A ，1115sin sinsin cos 22626y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ,1115sin sinsin =cos 22326y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 对于C ，215sin sin sin 2cos 3326y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对于D ，15sin sin sin 2cos 6626y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1511cos()cos sin ,2622323y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移,变换”后，根据诱导公式化简得到的.10.已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ） A.12B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ，然后由单调性建立不等式求出ω的范围. 【详解】因为()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，所以2ϕπ= 所以()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以sin y x ω=在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以242232k k ππωπππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得82()362k k Z k ωω≤-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩因为0>ω，所以0k =时得302ω<≤ 所以ω的最大值为32故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和单调性的应用，对于函数sin(y A x ωϕ=+）有关问题的处理方法是把x ωϕ+当成整体. 11.若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A.94π B.74π C.54π或74πD.54π或94π 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈Q ，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<=<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴=；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=2=又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转 化思想与综合运算能力，属于难题． 12.设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ）A. 322ab a b ab >+> B. 322ab a b ab <+<C. 32ab a b ab <+< D. 32ab a b ab >+>【答案】B 【解析】 【分析】0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b ==，然后运用对数的运算性质分别判断出2a b ab +-和32a b ab +-的符号即可.【详解】由对数的性质得：0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b == 所以22221log 122log 0.1log 0.1log 3030a b ab -+-=+⨯2222222log 0.1log 3log 0.1log 30log l 0.1log 32og 302+==⨯-⨯-因为222log 32,log 0.10,log 300<<> 所以20a b ab +->，即2a b ab +>22221log 3132log 0.12log 0.1log 3300a b ab -+-=+⨯22222222log 0.122log 32log 0.1log 302log l 0.1log 33og 303-+==⨯⨯-因为2223log 9log 802log 3-=->所以302a b ab +-<，即32a b ab +< 综上：322ab a b ab <+<故选：B【点睛】作差法是比较大小常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，将三个相同的正方形并列，则AOB AOC ∠+∠=______.【答案】4π 【解析】 【分析】由图可得出tan AOB ∠和tan AOC ∠，然后算出()tan AOB AOC ∠+∠即可 【详解】由图可知1tan =3AOB ∠，1tan =2AOC ∠ 所以()11tan +tan 32tan =111tan tan 16AOB AOC AOB AOC AOB AOC +∠∠∠+∠==-∠∠- 因为()0AOB AOC π∠+∠∈， 所以=4AOB AOC π∠+∠故答案为：4π 【点睛】本题考查的是两角和的正切公式，较简单. 14.若三角形的一内角θ满足sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】17【解析】 【分析】由sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin cos 5θθ+=，然后利用()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±即可求出sin cos θθ-【详解】因为sin sin 42210πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以1sin cos 5θθ+= 所以112sin cos 25θθ+=，即12sin cos 25θθ=- 所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-= 因为sin cos 0θθ<，所以,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 所以7sin cos 5θθ-= 所以1sin cos 157sin cos 75θθθθ+==- 故答案：17【点睛】本题考查的是同角的基本关系，较简单，但要注意符号的判断.15.已知sin10cos102cos140m +=o o o ，则m =__________．【答案】【解析】【分析】先将已知等式中m 分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得m 的值.【详解】由题可得2cos140sin102cos40sin10cos10cos10m ---===o o o oo o()2cos 3010sin10cos10-+-==o o oo 【点睛】本小题主要考查方程思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列命题：①若222a b c +<，则2C π>； ②若2ab c >，则3C π>；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2ab a b c >+，则2C π>； ⑤若()222222a b c a b +<，则3C π<.其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号）【答案】①③⑤【解析】【分析】①直接可以用余弦定理得出cos 0C <，②用余弦定理和222a b ab +≥可求出cos C 的范围，③中将333a b c +=变形为331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222a b c +>，可得出2C π<，④和⑤运用基本不等式可向②进行转化.【详解】①因为222a b c +< 所以余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=< 所以2C π>，故正确②因为2ab c > 所以2222221cos 2222a b c ab c ab ab C ab ab ab +---=≥>= 所以03C π<<，故错误③因为333a b c += 所以331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以01,01a b c c<<<< 所以33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222a b c +>，故2C π<，故正确④因为()2ab a b c >+，所以2ab c a b <+ 所以222222242ab a b c a b a b ab ⎛⎫<= ⎪+++⎝⎭因为222a b ab +≥， 所以22222224424a b a b c ab a b ab ab <≤=++ 由②知03C π<<，故错误 ⑤因为()222222a b c a b +< 所以222222a b a c b <+，因为222a b ab +≥ 所以2222222222a b a b a b c ab ab <=+≤ 由②知03C π<<，故正确故答案为：①③⑤【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=.（1）求lg lg u x y =+的最大值；（2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1) 求lg lg u x y =+的最大值即求xy 的最大值， 2520x y +=≥(2)先求出101x y +的最小值为94，然后解不等式2944m m +≤即可【详解】(1)因为0x >，0y >，由基本不等式，得25x y +≥.又因为2520x y +=，所以20≤，10xy ≤，当且仅当252025x y x y +=⎧⎨=⎩，即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 此时xy 的最大值为10.所以lg lg lg 1g101u x y xy =+=≤=.所以当5x =，2y =时，lg lg u x y =+的最大值为1；(2)因为0x >，0y >， 所以101101251502252020x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1925204⎛≥+= ⎝， 当且仅当2520502x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即20343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 所以101x y +的最小值为94. 不等式21014m m x y+≥+恒成立， 只要2944m m +≤，解得9122m -≤≤. 所以m 的取值范围是91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】1.运用基本不等式需满足三个条件：一正二定三相等2.恒成立问题一般转化为最值问题处理.18.已知函数()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式和对称中心；（2）设()()28sin g x f x x =+，求()7g x ≤的解集. 【答案】（1）()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】 （1）由图象观察出()f x 的最大值、周期和过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，即可分别求出、、A ωϕ，然后再把对称中心解出来（2）先将()g x 化成基本型，然后解出来即可 【详解】(1)由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T π=，所以2ω=. 当6x π=时，()2f x =，可得2cos 226πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以函数()f x 的解析式为()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()232x k k Z πππ-=+∈，则()512x k k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称中心为()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()()228sin 2cos 28sin 3x g x f x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=()12cos 2241cos 222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 24x x =-+243x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ()7g x ≤即为sin 232x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 所以()4222333k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈ 所以()23k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()7g x ≤的解集为()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查的是三角函数的综合知识，要求我们要掌握三角函数的公式、图象及其性质. 19.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sinsin 2A C a b A +=. （1）若2b ac =，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若b ，求ABC ∆周长l 取值范围. 【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）(【解析】【分析】（1）由sinsin 2A C a b A +=可推出3B π=，然后2b ac =结合余弦定理可得a c =，从而可推出ABC ∆是等边三角形 （2）法一：知道角B 和边b ，由余弦定理得226a c ac =+-，然后利用基本不等式可求出a c +的范围；法二：用正弦定理可得sin sin sin a c b A C B===)sin sin l a b c a c A C =++=+=+，然后利用三角函数的知识求出范围即可【详解】（1）由题设sin sin 2A C a b A +=，及正弦定理得 sin sinsin sin 2A C AB A +=， 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=，由A BC π++=， 可得sin sin cos 222A C B B π+-==， 故cos 2sin cos 222B B B =. 的因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，所以3B π=， 因为2b ac =，又由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22a c ac ac +-=，即()20a c -=，所以a c =，故3A C π==，所以ABC ∆是等边三角形；（2）解法一：ABC ∆的周长l a b c a c =++=+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ()()()222226334a c a c ac a c ac a c +=+-=+-≥+-，故()224a c +≤，a c +≤所以l a b c a c =++=+≤，当且仅当a c ==.又在ABC ∆中a c b +>，所以2l a b c b =++>=，所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.解法二：因为3B π=，b ，由正弦定理，得2sin sin sin a c b R A C B ====，所以ABC ∆的周长)sin sin l a b c a c A C =++=+=+2sin sin 3A A π⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭1sin sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎭3sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为203A π<<，所以5666A πππ<+<，1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.【点睛】本题较为典型，考查了两种求周长（面积）范围的方法.20.已知函数()()1381242x x x f x λ-=-+-≤≤. （1）当32λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若方程()0f x =有解，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)令 12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()23()28t f x g t t λ=-+=，当32λ=时利用二次函数的知识即可求出值域 (2) 将23280t t λ-+=变形为342t t λ=+，求λ的取值范围即求342y t t=+的值域. 【详解】（1）()2131183284222x x x x f x λλ-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()2328t g t t λ=-+，124t ≤≤， 当32λ=时，()22129338324g t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，124t ≤≤， 所以()min 12924g g t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 214g t g ==， 所以函数()f x 的值域为29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）方程()0f x =有解等价于函数 ()2328t g t t λ=-+在124t ≤≤上有零点， 也即342t t λ=+在124t ≤≤上有解， 函数83433()22y t t t t=+=+在1,43t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递减在,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增所以当3t =时取得最小值当14t =时1318y =，当2t =时5y = 所以最大值为1318y =所以值域为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以实数λ的取值范围为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】含参的方程根的个数问题，常用分离变量法，方程()a f x =有根等价于a 要在()f x 的值域当中. 21.如图，游客从某旅游景区的景点A 处上山至景点C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处出发，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m .在甲出发1min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为100/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量得12cos 13C =，3cos 5A =. （参考数据：26013.6819≈，5209.8153≈，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB 的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min ？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）500；（2）1min 13；（3）[]49.1,68.4 【解析】【分析】（1）先求出sin B ，然后由正弦定理即可求出AB（2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得()225001325d t t =-+，即可求出最小值时t 的值（3）乙从B 出发时，甲还需走910m 才能到达C ，设出乙的步行速度，即可建立不等式.【详解】（1）在ABC ∆中，由12cos 13C =，3cos 5A =， 可得5sin 13C =，4sin 5A =， 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB AC C B=得 12605sin 50063sin 1365AC AB C B ==⨯=； （2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得，()()()()22235050100250501005d t t t t =++-+⋅⋅， 即()225001325d t t =-+，因为5000100t ≤≤， 即05t ≤≤，故当113t =时，d 最小， 所以当乙出发了1min 13时，乙在缆车上与甲的距离最短； （3）由正弦定理sin sin AB BC C A =得5004sin 10405sin 513AB BC A C ==⨯=， 乙从B 出发时，甲已经走了()50151350m ++=，还需走910m 才能到达C ， 设乙步行的速度为/min v m ，则1040910350v -≤， 故10409103350v -≤-≤，解得520260555319v ⨯≤≤⨯， 即49.168.4v ≤≤，为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[]49.1,68.4范围内.【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，将实际问题转化为数学问题是关键. 22.如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.① ②（1）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值； （2）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD AE +的取值范围.【答案】（1）()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒，理由见解析；（2）AD AE +不是定值，范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=得120BDO θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可用θ表示出BD 和CE ，然后就可得出AD +AE（2）先得出()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，然后转化为双勾函数求范围 【详解】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE CO θθ=︒-︒+ 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒.从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+ ()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+ ()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+1sin sin 43θθθ+-=-=， 从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()sin 120sin CE CO θθ=︒-， 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin 120sin CE θθ︒-=， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒. 令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-， 设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+， ()1sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==112tan 2θ=+，由()30,90θ∈︒︒，tan 3θ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,22tan 22u θ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭， 又1y u u =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增， 而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数的变换和函数的值域问题，难度较大.。
2019-2020学年高一数学苏教版必修1同步练习：2.3 映射的概念 Word版含答案
姓名，年级：时间：2.3 映射的概念1、下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是（ )①;:,,M N R f x y x M y N ==→=∈∈1x。
②2;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈ ③|:,,|;M N R f x y x M y N +==→=∈∈1x x。
④3;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈.A.①② B 。
②③ C.①④ D 。
②④2、已知:f A B →是集合A 到B 的映射，又A B ==R ，对应法则2:23,f x y x x k B →=+-∈且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是（ ）A 。
(),4-∞-B 。
(1,3)-C 。
[),?-+∞4D 。
(,1)(3,)-∞-⋃+∞3、已知集合A 中元素(),x y 在映射f 下对应B 中元素(),x y x y +-,则B 中元素()4,2-在A 中对应的元素为( ） A. ()1,3 B 。
(1,6) C 。
()2,4 D 。
()2,64、设集合{|02},{|12}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A 。
B.C. D 。
5、下列对应不是映射的是( ）A. B 。
C 。
D 。
6、图中各图表示的对应能构成映射的个数有（ )A.3个 B 。
4个 C 。
5个 D 。
6个 7、在下列各对集合M 和Y 中，使对应法则21:1f x x →-可以作为集合M 到Y 的映射的是（ ) A 。
{}111,3,5,0,,824M Y ⎧⎫=---=⎨⎬⎩⎭B.{}1113,5,7,0,,,82448M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭C 。
{}111,2,3,0,,38M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭D 。
{}110,2,4,6,1,,315M Y ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭8、下列对应关系不是映射的是（ )A 。
B. C. D.9、集合{04},{02}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ) A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →= C.2:3f x y x →=D.:f x y x →=10、已知映射:,f A B →其中,A B R ==对应法则221:().3xxf x y +→=若对实数,m B ∈在集合A 中存在元素与之对应,则m 的取值范围是（ ) A 。
2020-2021深圳市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021深圳市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．510．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．411．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2） 12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___． 14．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 15．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______16．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42xx f x =-+，则此函数的值域为__________. 17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.19．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 20．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}24A x x =-≤≤，函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B ；(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅---.25．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值． 26．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ．本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-（）（），当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x ===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0；∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.9．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
【数学】2020深圳罗湖区高一第一学期期末考试数学试卷
2019－2020 学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1． 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有的正方形
B．方程 2x－1＝0 的整数解
C．我国较长的河流
D．出席十九届四中全会的全体中央委员
22．(12 分) 已知函数 f(x)＝ln(e2x＋1)＋ax(a∈R)是其定义域内的偶函数． （1）求 a 的值； （2）若函数 g(x)＝ef(x)＋m(ex－e－x)＋2(m∈R)，求不等式 g(x)＞0 的解集．
2． 1000°是以下哪个象限的角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3． 一元二次不等式 2x2－x－1＜0 的解集是（ A．(－∞，－ 1 )∪(1，＋∞) 2 C．(－∞，－1)∪( 1 ，＋∞) 2
）
B．(－1， 1 ) 2
D．(－ 1 ，1) 2
4． x 8 x 的最大值是（ ）
20．(12 分) 已知集合 A＝{x|ax2－2x＋1＝0}，其中 a∈R． （1）若 A 是空集，求 a 的取值范围； （2）若 A 中只有一个元素，求 a 的值； （3）当 B＝{x|x＞0}时，若 A∩B 为非空集合，求 a 的取值范围．
21．(12 分) 某网购店从 2016 年起参与“双十一”促销活动，已知 2016－2018 年“双十一”期间该网购店的销售 额分别为 10 万元、12 万元、13 万元，为了估计以后每年“双十一”期间的销售额，以这三年的销售 额为依据，用一个函数模拟该网购店的销售额 y(万元)与年份数 x 的关系(为计算方便，2016 年用 x ＝1 代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数 y＝ax2＋bx＋c 或函数 y＝a·bx＋c(其中 a，b，c 为常 数)，若已知 2019 年“双十一”期间该网购店的销售额为 13.4 万元，请问以上哪个函数作为模拟函 数较好?请说明理由，并根据以上结果预测 2020 年“双十一”期间该网购店的销售额．
广东省深圳罗湖区2019-2020学年八年级第一学期学业水平阳光评价数学卷(PDF 有答案)
罗湖区2019—2020学年第一学期学业阳光评价八年级数学试卷一．选择题（每小题3分，共36分）1．下列实数：，，﹣0.，3.14，，0，10.12112111211112…，π，中，属于无理数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下面哪个点在函数y =x +1的图象上（ ） A ．（2，1）B ．（－2，1）C ．（2，0）D ．（－2，0）3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A 所代表的正方形的边长为（ ）A ．64B ．16C ．8D ．44．已知点P （m +3，2m +4）在x 轴上，那么点P 的坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（－2，0）D ．（2，0）5．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5 B ．a ＝5，b ＝12，c ＝13C ．∠A ＝∠B +∠CD ．a 2+b 2＝c 26．下列各式的计算中，正确的是（ ）ABCD7．在函数y＝中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ≤1且x ≠0C ．x ≥0且x ≠1D ．x ≠0且x ≠18．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12B ．7+C ．12或7+D ．以上都不对9．如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点，则橡皮筋被拉长了（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm12====-x -110．化简二次根式）A B ．CD ．11．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P ，PA ＝1，PD ＝2，PC ＝3，现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C 与A 重合，P 与G 重合，D 与D 重合），则∠APD 的度数为（ ）． A ．150°B ．135°C ．120°D ．108°12．如图1，点G 为BC 边的中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2cm 的速度沿图1的边运动，运动路径为G →C →D →E →F →H ，相应的△ABP 的面积y （cm 2）关于运动时间t （s ）的函数图象如图2，若AB ＝3cm ，则下列结论正确的个数有（ ）①图1中BC 长4cm ；②图1中DE 的长是6cm ；③图2中点M 表示4秒时的y 值为24cm 2； ④图2中的点N 表示12秒时y 值为15cm 2．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题（每小题3分，共12分）13．－27的立方根为______________，_______．14．已知函数y=(k +1)x +k 2－1，当k________时，它是一次函数；当k________时，它正比例函数．15．如图，△ABC 的边BC 在数轴上，AB ⊥BC ，且BC ＝3，AB ＝1，以C 为圆心，AC 长为半径画圆分别交数轴于点A ′、点A ″，那么数轴上点A ′、点A ″所表示的数分别是 、 ．16．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝x 上，OA 1＝1，且△B 1A 1A 2，B 2A 2A 3，B 3A 3A 4，…，△B n A n A n +1，…分别是以A 1，A 2，A 3，…，A n ，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B 10A 10A 11的面积是 ．三．解答题17．（4分）18．（419．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形EFGC 面积分别为64和16． （1）请写出点A ，E ，F 的坐标； （2）求S △BDF ．|1+(2019-0-(-12)-2+--220．（723，∴2，小数部分为2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．（1）规定用符号[m ]表示实数m 的整数部分，例如：[]＝0，[π]＝3， 填空：＝ ；[5＝ ．（2）如果a ，5b ，求 的值．21．（8分）如图，在长方形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，点E 为BC 上一点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处，且DF ＝6． （1）试说明：△ADF 是直角三角形； （2）求BE 的长．22．（10分）（1）如图1，长方体的长为4cm ，宽为3cm ，高为12cm ．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm ，宽为3cm ，高为12cm ．现有一只蚂蚁从点A 处沿长方体的表面爬到点G 处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？4523．（12分）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a 2+b 2＝c 2；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写（3）当a ＝3，b ＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两两直角边a ，b 分别与x 轴、y 轴重合（如图4中Rt △AOB 的位置）．点C 为线段OA 上一点，将△ABC 沿着直线BC 翻折，点A 恰好落在x 轴上的D 处 ①请写出C 、D 两点的坐标②若△CMD 为等腰三角形，点M 在x 轴上，请直接写出符合条件的所有点M 的坐标．图4。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。