湖北省省实验学校、武汉一中等六校2019-2020学年高二上学期期末联考数学试题 Word版含解析

2019～2020学年度上学期部分重点中学期末考试高二数学试卷解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知命题P ：2,10x R x x ∀∈-+>，则p ⌝为（ ）A. 2000,10x R x x ∃∈-+≤B. 2000,10x R x x ∃∉-+≤C. 2,10x R x x ∀∈-+≤ D. 2,10x R x x ∀∉-+>【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的否定即可写出非命题. 【详解】因为P ：2,10x R x x ∀∈-+>所以p ⌝为：2000,10x R x x ∃∈-+≤故选A.【点睛】本题主要考查了含全称量词命题的否定，属于中档题.2.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>5，则其渐近线方程为（ ）.A. 6y x =±B. 6y x =±C. 2y x =D. 2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线离心率求得c a ，进而求得ba，由此求得渐近线方程. 55c a =215b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2b a =，故渐近线方程为2y x =±. 故选D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 3.总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法时从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A. 4 B. 19C. 48D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法进行简单随机抽样的方法，得出结论．【详解】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字， 则抽出的数字分别为41，48，28，19， 故选：B ．【点睛】本题主要考查用随机数表法进行简单随机抽样，属于基础题． 4.若122019,,,x x x 的平数为3，为差为4，且()32i i y x =--，1,2,3,,2019i =，则新数据122019,,,y y y 的平均数和方差为（ ）A. -3 12B. -6 12C. -3 36D. -6 36【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平均数公式和方差公式计算即可． 【详解】解：∵()32i i y x =--， ∴3(2)3y x =--=-，22(3)436s =-⨯=，故选：C ．【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式，属于基础题．5.不等式10x x->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x >B. 1x >-C. 1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >【答案】A 【解析】 【分析】 易知不等式10x x->的解集为(1,0)(1,),据此确定其成立的一个充分不必要条件即可.【详解】不等式10x x ->即210x x->，等价于(1)(1)0x x x +->，由穿根法可得不等式的解集为(1,0)(1,),结合选项可知其成立的一个充分不必要条件是1x >. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.具有相关关系的两个量x 、y 的一组数据如下表，回归方程是0.6754.9y x =+，则m =（ ）A. 65B. 67C. 68D. 70【答案】C 【解析】 【分析】求出x 、y 的值，然后将点(),x y 的坐标代入方程0.6754.9y x =+，即可求出实数m 的值. 【详解】1020304050305x ++++==，6275818930755m my +++++==，将点30730,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入回归直线方程得3070.673054.95m+⨯+=，解得68m =. 故选C.【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点(),x y ”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.7.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A.25B.35C. 38D.58【答案】D 【解析】 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率．【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为4416n =⨯=，即()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,4,1,4,2,4,3,4,4，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为10m =，即()()()()()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,2,2,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4，故所求概率105168m P n ===，故选D ． 【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法． 8.已知下列说法：①事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大 ②事件A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小 ③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】对于前两个命题，要加上限制条件才正确，后两个命题是对立事件和互斥事件的关系，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，对立事件是互斥事件的子集． 【详解】解：对于①，事件A ，B 中至少有一个发生的概率包括事件A 发生B 不发生，A 不发生B 发生和A ，B 都发生：当事件A ，B 为对立事件时，事件A ，B 中至少有一个发生的概率与A ，B 中恰有一个发生的概率相等，故①错误；对于②，事件A ，B 同时发生的概率不一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小，如果事件A =B ，是相同且概率大于0的事件，②错误；对于③④，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故③错误，④正确； 故选：A ．【点睛】本题主要考查对立事件和互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件，属于基础题． 9.已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A. [)1,+∞ B. ()1,+∞C. [)0,+∞D.()1,-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案． 详解】解：∵211x x <+，∴2101x x x --<+，即101x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<， ∴:11p x -<<，由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集， 当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件； 当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件；当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<， 综上：1a ≥， 故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．10.某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球. 其中对甲、乙公平的规则是（ ） A. 规则一和规则二 B. 规则一和规则三C. 规则二和规则三D. 规则二【答案】B 【解析】 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为12时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项.【详解】对于规则一，每人发球的机率都是12，是公平的； 对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1、黑2，则随机取出2个球的所有可能的情况有（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种，其中同色的情况有2种， 所以甲发球的可能性为13，不公平； 对于规则三，记3个红球分别为红1、红2、红3，则随机取出2个球所有可能的情况有（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种，其中同色的情况有3种，所以两人发球的可能性均为12，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选B.【点睛】本题考查利用规则的公平性问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，正确理解题意是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，甲：2124p x x =；乙：212y y p =-；丙：234OA OB p ⋅=-； 丁：112FA FB p+=. 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2220y pmy pt --=，由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-.对于甲条件，()()22222122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±， 甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2pt =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ， 乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件； 对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ⋅=+=-=-，即223204t pt p -+=， 解得2p t =或32pt =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222p p p pFA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222222pm t ppm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⋅++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得224p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有1个，故选B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.12.设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )【答案】A 【解析】 【分析】设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，则02(,)33x aG ．设(,)I I I x y ，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得I x a =，于是3x a =，03x a =，所以()3,2P a a ．然后由点P 在双曲线上可得2212b a =，于是可得离心率．【详解】画出图形如图所示，设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ FQ F M F N F M ===． 不妨设点()0,2P x a 在第一象限内， ∵G 是12PF F ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =， ∴G 点坐标为02(,)33x a． 由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a FQ F N F M F M -==-=-， 又12||||2F M F M c +=，∴12||,||F M c a F M c a =+=-， ∴M 为双曲线的右顶点． 又I 是12PF F ∆的内心， ∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =． 由题意得GI x ⊥轴， ∴3x a =，故03x a =， ∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ====． 故选A ．【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点P 的坐标，考查转化和计算能力，难度较大． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.投掷两颗质地均匀的骰子，向上点数之和为10以上（不包括10）的概率是________. 【答案】112【解析】 【分析】本题是古典概型的概率计算，先求出基本事件总数以及符合条件的基本事件个数，再根据公式求出概率．【详解】解：“向上点数之和为10以上”包含的基本事件有：()5,6，()6,5，()6,6， 投掷两颗质地均匀的骰子所出现不同的结果数是6636⨯=， 故事件“向上点数之和为10以上”的概率是313612=， 故答案为：112． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．14.某校高一年级有学生850人，高二年级950人，高三年级1400人，现采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为______. 【答案】28. 【解析】 【分析】根据分层抽样的公式求解即可得到.【详解】解：因为采用分层抽样抽取容量为64的一个样本， 所以1400140064642885095014003200⨯=⨯=++，故在高三年级应抽取的人数为28人.【点睛】本题考查了分层抽样的问题，理解分层抽样的公式是解题的关键. 15.已知下列命题： ①“1a >”是“11a<”的充分必要条件； ②设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件； ③设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件. 其中正确命题的序号是________. 【答案】③ 【解析】 【分析】110a a<⇔<或1a >，从而可判断①；2x ≥且224y x ≥⇒≥且24y ≥224x y ⇒+≥，而224x y +≥时，4x =-，4y =-时也成立，可判断②；0ab ≠0a ⇔≠且0b ≠，可判断③．【详解】解：∵11100a a a a -<⇔<⇔<或1a >， 则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故①错；∵2x ≥且224y x ≥⇒≥且22244y x y ≥⇒+≥， 而224x y +≥时，4x =-，4y =-时也成立，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，故②错； 当0ab ≠时，0a ≠，但0b =且0a ≠时，0ab =， 故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故③对； 故答案为：③．【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断以及不等式的性质，属于基础题．16.已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围． 【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m +=====-+--++ 1211tan θtan θ=-+，由ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈， 则()1t 2,4t+∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+， 则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分17.已知命题p ：方程222128x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：椭圆222133x y m +=+()0m >的离心率1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若命题p ，q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(][)0,12,+∞【解析】 【分析】由命题p 为真命题可得2820m m ->>，命题q 为真命题可得21123m <<+，由题意有p真q 假或p 假q 真，从而可求出答案．【详解】解：∵方程222128x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴2820m m ->>，解得02m <<，∵椭圆2221(0)33x y m m +=>+的离心率1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴21123m <<+解得1m ，∵命题p ，q 中有且仅有一个为真命题，∴p 真q 假或p 假q 真， ∴01m <≤或2m ≥， 综上：实数m 的取值范围是(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查椭圆及其简单几何性质，属于基础题．18.已知抛物线()220y px p =>过点()02,,A y 且点A 到其准线的距离为4.（1）求抛物线的方程；（2）不过坐标原点的直线y x m =+与抛物线交于两个不同的点,P Q ,若OP OQ ⊥,求实数m 的值.【答案】(1) 28y x =． (2) 8-． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义22p+=4，求出p ，即可得到抛物线的方程． （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩，得()22280x m x m +-+=， 令0∆>，得2m <.由()21212•2OP OQ x x m x x m =+++，由韦达定理，可得()222820m m m m +-+=，解出m 验证即可.【详解】（1）已知抛物线()220y px p =>过点()02,A y ，且4AF =则242p+=， ∴4p =， 故抛物线的方程为28y x =． （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩，得()22280x m x m +-+=，∴∆= ()222840,2m m m --><则且2121282,x x m x x m +=-=，由OP OQ ⊥，则()()()2121212121212•2OP OQ x x y y x x x m x m x x m x x m =+=+++=+++()222820m m m m =+-+=∴80m m =-=或，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不合题意， 由82m =-<知综上，实数m 的值为8-．【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属基础题. 19.某校从参加某次知识竞赛测试得学生中随机抽取60名学生，将其成绩（百分制均为整数）分成6段[)40,50，[)50,60，…，[)90,100后得到如下部分频率直方分布图，观察图形得信息，回答下列问题：（1）求分数在[)70,80内的频率；（2）若用样本估计总体，已知该校参加知识竞赛一共有300人，请估计本次考试成绩不低于80分的人数；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分. 【答案】（1）0.3；（2）90；（3）71 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1可得小矩形面积之和为1，由此可求出答案；（2）根据“频数=样本容量×频率”可求得答案； （3）直接根据平均数的计算公式计算即可．【详解】解：（1）设分数在[)70,80内的频率为x .根据频率直方分布，则有 (0.010.01520.0250.005)101x +⨯++⨯+=，解得0.3x =，∴分数在[)70,80内的频率为0.3；（2）数学成绩大于80分的人数为()3000.0250.0051090⨯+⨯=（人）； （3）估计本次考试的平均分为450.1550.15x =⨯+⨯650.15750.3+⨯+⨯850.25950.0571+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图估计总体的分布，属于基础题．20.已知袋中装有红球，黑球共7个，若从中任取两个小球（每个球被取到的可能性相同），其中恰有一个红球的概率为47. （1）求袋中红球的个数；（2）若袋中红球比黑球少，从袋中任取三个球，求三个球中恰有一个红球的概率. 【答案】（1）3个或4个 （2）1835P = 【解析】 【分析】（1）设袋中红球的个数为x ，黑球个数为7x -，根据分步计数原理求出基本事件总数以及恰有一个红球包含的基本事件数，解方程即可求出答案；（2）根据计数原理求出恰有一个红球的基本事件数与基本事件总数，再根据概率计算公式求解即可．【详解】解：（1）设袋中红球的个数为x ，黑球个数为7x -，则： 总的基本事件个数7642⨯=，取出一个红球的基本事件个数为()27x x -， ∴2(7)4427x x -=，化简得214224x x -=， 解得3x =或4x =，∴袋中红球的个数为3个或4个；（2）由（1）可知袋中有3个红球，4个黑球， 基本事件总数为765210⨯⨯=，①第一次取红球包含的基本事件数为：34336⨯⨯=， ②第二次取红球包含的基本事件数为：43336⨯⨯=， ③第三次取红球包含的基本事件数为：43336⨯⨯=， ∴所求概率3631821035P ⨯==． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．21.已知抛物线C 的焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为2，且对称轴为y 轴. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）当抛物线C 的焦点为(0,1)F 时，过F 作直线交抛物线于，A 、B 两点，若直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线:2l y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.【答案】（1）24x y =±；（2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出抛物线方程；（2）由题意可得抛物线C 的方程为24x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得12x x -=点M 、N 的横坐标，则MN |43|k =-，利用换元法求最值即可得出答案．【详解】解：（1）当焦点在y 轴正半轴时，设抛物线C 标准方程为22(0)x py y =>，则2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =，当焦点在y 轴负半轴时，设抛物线C 标准方程为22(0)x py y =-<， 则2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =-；（2）依题意，抛物线C 的方程为24x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理可得：2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-，∴12x x -=由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得点M 的横坐标为1121111122844M x x x x x y x x ===---， 同理可得点N 的横坐标为284N x x =-，∴284M N MN x x =-=--=|43|k =-， 令43k t -=，0t ≠，则34t k +=， 当0t >时，||MN =>， 当0t <时，||MN =≥ 此时535t =-即253t =-，则43k =-， 综上：MN． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．22.已知椭圆2222+=1(>>0)x y a b a b经过点(2,P -离心率=3e . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线(不经过点P 且不与x 轴重合)与椭圆交于A B 、两点，与直线l :3x =-交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为1233,,0k k k k ≠（）.则是否存在常数λ，使得向量m =123(,),(,1)k k n k λ+=共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点2,3P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，离心率e =，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）直线AB的方程为()2y k x =+， 代入椭圆方程整理得()222231121260k x k x k +++-=，求得M的坐标为()3,k --，求出()1212121242324x x k k k x x x x +++=-+++ ,利用韦达定理化简可得1232k k k+=，从而可得结果.【详解】（1）由2,3P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，∴224213a b +=.① 由已知e =得3c a =，∴2223c a = 又222c a b =-，∴223a b .②②代入①解得226,2a b ==.∴椭圆C 的方程为22162x y +=.（2）假设存在常数λ，使得向量()()123,,,1m k k n k λ=+=共线，∴()12310k k k λ+⨯-⨯=，即123k k k λ+=.由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()2y k x =+，③代入椭圆方程22360x y +-=并整理，得()222231121260k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+.④ 在方程③中令3x =-得，M 的坐标为()3,k --.从而11132y k x =+，22232y k x =+，3313k k k -==+-.∴()()12121212112233332222y y k x k x k k x x x x --+-+-+=+=+++++ ()12121242324x x k x x x x ++=-+++ , ⑤④代入⑤得22122222124312221262433343131k k k k k k k k k k k -+⎛⎫++=-⨯=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭-+++， 又30k k =+≠，∴1232k k k +=. 故存在常数2λ=符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.。