高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4
高中数学新人教A版选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介
四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介课
四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2,∴ρ=2.又tan θ=x y =1, ∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限). 故M 的柱坐标为(2,4π,3). 温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tan θ=x y =3-, ∴θ=32π. ∴柱坐标为(2,32π,4). 变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标. 解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4,又tan 6π=33=xy , ∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.解：由公式得r=222z y x ++=2,由rcos φ=z=2,得cos φ=222=r ,φ=4π. 又tan θ=x y =1,θ=4π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π). 类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得r=222z y x ++=2,由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3π. 又tan θ=22-, ∴θ=π-arctan 22. ∴球坐标为(2,3π,π-arctan 22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan 73). 温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan 724,θa ),B(25,π-arctan 43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan 724,∠BOO 1=π-arctan 43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO A O . ∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。
2020版高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_4
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2 2
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2.
所以点 M 的直角坐标为(-1,1,− 2).
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思当直角坐标与球坐标进行互化时,若点M的球坐标为(r,φ,θ),
4
������ -1
结合点
M
的位置可得
θ=
5π.
4
故点 M 的球坐标为
2,
π 4
,
5π 4
. 故选B.
答案:B
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直角坐标与球坐标的互化
【例 2】 已知点 M 的球坐标为 2, 3π , 3π , 求它的直角坐标.
44
������ = ������sin������cos������, 分析:利用变换公式 ������ = ������sin������sin������, 求解.
������ = ������cos������
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),
������ = 2sin 3π cos 3π = 2 × 2 ×
4
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「精品」高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4
1．柱坐标系柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .由公式求出ρ，再由tan θ＝yx求θ.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得ρ2＝x 2＋y 2，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x＝3，又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tanθ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标．直接利用公式求解．由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z即可．3．点N 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，3，求它的直角坐标．解：由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得x ＝ρcos θ＝2cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2＝2，故点N 的直角坐标为(0,2,3)．4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，1，求A ，B 两点间距离．解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝－1－2＋－2＋－2＝ 6.故A ，B 两点间的距离为 6.课时跟踪检测(五)一、选择题1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，2解析：选D ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－3，又x >0，y <0，M 在第四象限， ∴θ＝5π3，∴柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，2.2．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点P 与原点的距离为( )A.17 B ．217 C ．417 D ．817解析：选B 点P 的直角坐标为(42，42，2)． ∴它与原点的距离为：2－2＋2－2＋－2＝217.3．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )A ．(－ρ，－θ，－z )B ．(－ρ，θ，－z )C ．(ρ，π＋θ，－z )D ．(ρ，π－θ，－z ) 答案：C4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4，1 解析：选C (1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1.二、填空题5．设点Μ的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则点Μ的直角坐标为________．解析：x ＝ρcos θ＝2cos π6＝ 3.y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴直角坐标为(3，1,7)． 答案：(3，1,7)6．已知点M 的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________． 解析： ∵x ＞0，y ＝0， ∴tan θ＝0，θ＝0. ρ＝12＋02＝1.∴柱坐标为(1,0,5)． 答案：(1,0,5)7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________． 答案：中心轴为z 轴，底半径为2的圆柱面 三、解答题8．求点M (1,1,3)关于xOz 平面对称点的柱坐标． 解：点M (1,1,3)关于xOz 平面的对称点为(1，－1,3)．由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－11＝－1，又x ＞0，y ＜0，∴θ＝7π4.∴其关于xOz 平面的对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4，3. 9．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解：M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． ∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1，又x ＜0，y ＜0， ∴θ＝5π4.∴其柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5 π4，－1. ∴点M 关于原点O 对称的点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在平面BCD 上建立极坐标系．过O 点与平面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′， 则|BA ′|＝323×23＝3，|AA ′|＝32－32＝6，∠A ′Bx ＝90°－30°＝60°＝π3，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3， 6，B (0,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0.。
高中数学第一章坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A版选修4_42017062622
四 柱坐标系与球坐标系简介教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考: 在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。
高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为 ������ = ������sin������cos������, ������ = ������sin������sin������, . ������ = ������cos������
名师点拨1.球坐标的排列顺序:①r(点P到原点的距离);②φ(OP与 z轴正方向所夹的角);③θ(OP在平面Oxy内的射影与x轴正方向所成 的角). 2.求空间一点P的球坐标,先求|OP|=r,再求OP与Oz轴正方向所夹 的角φ,设OP在平面Oxy上的射影为OQ,则Ox轴按逆时针方向旋转 到OQ时所转过的最小正角为θ,则点P的球坐标确定为(r,φ,θ). 3.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系的联系与区别:柱坐标 系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中的一点在 平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系中的竖坐标 相同;在球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极 角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空 间坐标系,空间点的坐标都是三个数值组成的有序数组.
π 故点 M 的柱坐标为 1, ,5 . 2 π 答案：(1)(1,1,1) (2) 1, ,5 2 2
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2.球坐标系 (1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连 接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射 影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
2018-2019学年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介讲义含解析新人教A版选修
四 柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标．[思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx＝3，又x ＞0，y ＞0. ∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ x 2＋y 2＝ 02＋12＝1. ∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2.2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0.解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得，x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－22， 故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4.由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝z r来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3.解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，92，3为所求． 4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2.由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝yx ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3， ∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3.(2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2.由z ＝r cos φ，得cos φ＝zr ＝－22，∴φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4， ∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面． 2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z ＝3，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3.3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( )A ．(－6,23，4)B ．(6,23，4)C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4，又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6， ∴点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6.故选A.二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，37．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝yx＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.9．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·c os θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2， ∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
2019_2020学年高中数学第1讲坐标系4柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版选修4_4
四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)教材整理1 柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0) B．(1,0,1)C．(0,1,1) D．(1,1,1)[解析] ∵x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案] B教材整理2 球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)[解析] ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝3×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. [答案] B【例1(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究] (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z即可．[自主解答] (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π，因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，2.[解] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－1，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝1，z ＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).【例2】 已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π，4π，求它的直角坐标．[思路探究] 球坐标――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标[自主解答] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ，转化为三角函数的求值与运算．2．若例2中“点M 的球坐标改为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π，53π”，试求点M 的直角坐标．[解] 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332，∴因此M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－334，－332.【例3】 已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．[思路探究] 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[自主解答] 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ， 得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(2)2＋12＝2. 由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4， 又tan θ＝yx＝1， ∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝yx ，cos φ＝z r，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．3．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． [解] 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，因此点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0.(2)由于r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.又cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，故点C 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.柱、球坐标系—⎪⎪⎪—柱坐标系—球坐标系—柱坐标、球坐标的互化1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q点的坐标为( )A ．(2,0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D ．(2，π4，0) [解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. [答案] B2．柱坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5转换为直角坐标为( ) A ．(5,8,83) B ．(8,83，5) C ．(83，8,5)D ．(4,83，5)[解析] 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5，即P 点的直角坐标为(8,83，5)．[答案] B3．已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4，则它的高低角为( )A ．－π4B.3π4C.π2D.π3[解析] ∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.[答案] A4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．[解析] 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π45．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．[解] 设点P 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)， 则x 1＝2cos π4＝1，y 1＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x 2，y 2，z 2)，则x 2＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y 2＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z 2＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.。
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1．柱坐标系
柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为
Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有
之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点
R.
∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P
(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.
由公式求出ρ，再由tan θ＝y
x 求θ.
由公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z ，
得ρ2＝x 2＋y 2
，
即ρ2
＝12
＋(3)2
＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y
x
＝3，
又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π
3
，
∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π3，5.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan
θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π3，8，
求
它的直角坐标．
直接利用公式求解．
由变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z
得
x ＝4cos π
3
＝2，y ＝4sin π3
＝23，z ＝8.
∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z
即可．
3．点N 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2，3，求它的直角坐标．
解：由变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z ，
得
x ＝ρcos θ＝2cos π
2
＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2
＝2，
故点N 的直角坐标为(0,2,3)．
4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2，1，求A ，B 两点间距离．
解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1.
由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0.
∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)．
∴|AB |＝
－1－
＋－
＋
－
＝ 6.
故A ，B 两点间的距离为 6.
课时跟踪检测(五)
一、选择题
1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，5π3，2。