相关分析与回归分析及曲线估计
相关性分析回归分析
Sig. .000a
a. Predictors: (Constant), j3 b. Dependent Variable: s1
定量变量的线性回归分析
和刚才简单的回归模型类似，一般的有k 个（定量）自变量x1, x2…, xk的对因变量 y的线性回归模型为（称为多元回归）
y 0 1 x1 2 x2 k xk e
定量变量的相关
Kendall t 相关系数（Kendall’s t）这里的 度量原理是把所有的样本点配对（如果每 一个点由x和y组成的坐标(x,y)代表，一对 点就是诸如(x1,y1)和(x2,y2)的点对），然后 看每一对中的x和y的观测值是否同时增加 （或减少）。比如由点对(x1,y1)和(x2,y2)， 可以算出乘积(x2-x1)(y2-y1)是否大于0；如 果大于0，则说明x和y同时增长或同时下 降，称这两点协同（concordant）；否则 就是不协同。如果样本中协同的点数目多， 两个变量就更加相关一些；如果样本中不 协同（discordant）的点数目多，两个变量 就不很相关。
a. Predictors: (Constant), j3
ANOVAb Sum of Squares Regression Residual Total 4307.206 2502.794 6810.000
Model 1
df 1 48 49
Mean Square 4307.206 52.142
F 82.606
问题的提出
该数据中，除了初三和高一的成 绩之外，还有一个定性变量（没 有出现在上面的散点图中）。它 是学生在高一时的家庭收入状况； 它有三个水平：低、中、高，分 别在数据中用1、2、3表示。
统计学中的相关分析与回归分析的关系
统计学中的相关分析与回归分析的关系统计学是一门研究如何收集、整理、描述和解释数据的学科。
在统计学中，相关分析和回归分析是两个重要的方法，用于了解和探究变量之间的关系。
尽管相关分析和回归分析在某些方面有相似之处，但它们在目的、数据类型和结果解释方面存在一些差异。
相关分析是一种用于衡量和描述两个或多个变量之间关联关系的方法。
相关分析可以帮助我们确定变量之间的线性相关程度，即一个变量的变化伴随着另一个变量的变化。
通过计算相关系数，我们可以了解这种关系的强度和方向。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
与此不同，回归分析旨在建立一个数学模型，以描述和预测因变量与自变量之间的关系。
回归分析可以通过拟合曲线或平面来表示变量之间的关系，并用方程式来描述这种关系。
回归分析使用的模型可以是线性回归、多项式回归、对数回归等。
通过回归分析，我们可以根据自变量的值来估计因变量的值，并评估自变量对因变量的影响程度。
虽然相关分析和回归分析在某些情况下可互相转化，但它们具有不同的目标和应用范围。
相关分析主要用于探索变量之间的关系，确定它们之间的关联强度和方向，但不提供因果关系。
而回归分析则旨在建立一个模型，通过这个模型可以对未知的因变量进行预测，并且可以评估自变量对因变量的影响。
此外，相关分析和回归分析适用于不同类型的数据。
相关分析通常用于分析连续变量之间的关系，而回归分析可以应用于连续变量、二分类变量和多分类变量之间的关系。
在实际应用中，相关分析和回归分析常常结合使用。
首先，我们可以通过相关分析来初步检验变量之间是否存在关系。
如果相关分析结果显示两个变量之间存在显著相关性，我们可以进一步使用回归分析来建立一个模型，以更好地理解和预测这种关系。
在总结中，统计学中的相关分析和回归分析是两个相互关联的方法。
相关分析用于探究变量之间的关系和相关性，而回归分析则用于建立一个数学模型，描述和预测因变量与自变量之间的关系。
第七讲 相关分析与回归分析
DW检验。（零假设：总体的自相关系数ρ与0无显著差异。）
当随机扰动项存在序列相关时，进行Durbin-Watson检验：
2 ( e e ) i i 1 i 2 2 e i i 2 n n
DW
0<DW<dL:随机扰动项存在一阶正序列相关； 4-dL<DW<4：随机扰动项存在一阶负序列相关；
调整的可决系数： R 2 1 SSE /(n k 1) （多元线性回归方 SST /(n 1) 程） ① 解释变量增多时，SSE减少，R2增加；
② 有重要“贡献”的解释变量出现。
2）回归方程整体显著性检验
包含回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验两个部 分。 回归方程的显著性检验：检验线性关系是否显著
，
服从自由度为n-2的t分布。
定序变量的相关分析-Spearman
ui和vi分别表示变量 x和 y的秩变量，用di=ui-vi表示第i个样 n 本对应于两变量的秩之差。 2 Spearman秩相关公式：
rs 1 6 d i
i 1 2
n( n 1)
两变量正相关，秩变化有同步性，r趋向于1；
一般步骤： 1. 确定回归方程中的解释变量和被解释变量 2. 确定回归模型 3. 建立回归方程 4. 对回归方程进行各种检验 5. 利用回归方程进行预测
线性回归
数学模型： yi 0 1 xi1 2 xi 2 k xik i 使用最小二乘法对模型中的回归系数进行估计，得到样本 ^ ^ ^ ^ 回归函数：yi 0 1 xi1 2 xi 2 k xik ei
简述数学中的回归分析与相关性检验
简述数学中的回归分析与相关性检验回归分析和相关性检验是数学中常用的两种统计方法，用于研究变量之间的关系和进行预测分析。
本文将简要介绍回归分析和相关性检验的基本概念和应用。
一、回归分析回归分析是一种用于研究自变量和因变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型，来描述自变量对因变量的影响程度和趋势。
回归分析常用于预测和解释变量之间的关系，同时还可以用于控制其他因素对因变量的影响。
在回归分析中，自变量通常是独立变量，而因变量是被解释或预测的变量。
回归分析的基本原理是找到最佳拟合的直线或曲线，使得因变量的观测值与预测值之间的误差最小。
常见的回归分析方法包括线性回归、多元回归、非线性回归等。
线性回归是最常见的回归分析方法之一，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
通过最小二乘法可以估计出回归系数的值，进而进行预测和推断。
多元回归是一种包含多个自变量的回归分析方法。
它可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并控制其他因素的影响。
多元回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中X1、X2、...、Xn表示多个自变量。
非线性回归是一种用于研究非线性关系的回归分析方法。
它通过拟合非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
非线性回归模型的形式可以根据具体问题进行选择，例如指数模型、对数模型、幂函数模型等。
回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
它可以帮助研究人员理解变量之间的关系，预测未来趋势，以及进行决策和政策制定。
二、相关性检验相关性检验是一种用于判断两个变量之间关系强度和方向的统计方法。
它可以帮助研究人员确定变量之间是否存在相关性，以及相关性的程度。
常用的相关性检验方法包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数等。
皮尔逊相关系数用于度量两个连续变量之间的线性相关性，取值范围在-1到1之间。
【毕业论文】相关分析和回归分析
相关分析和回归分析客观事物之间的关系分为函数关系和统计关系，函数关系也就是我们通常所说的一一对应的关系，而统计关系是指两事物之间的一种非一一对应的关系，即当一个变量x取一定值时，另一变量y无法依确定的函数取唯一确定的值。
事物之间的统计关系是普遍存在，且有的关系强，有的关系弱。
相关分析和回归分析都是以不同方式测度事物之间统计关系的有效工具。
实际应用中。
这两种分析方法经常互相结合渗透。
一、相关分析相关分析通过图形和数值两种方式，能够有效的揭示事物之间统计关系的强弱程度。
1、散点图能直观的显示数据之间的相关关系,可以利用曲线将点散布的主要轮廓描述出来，使数据的主要特征更突出。
如下图：研究04年四层金指的报废面积与入仓面积的相关关系上图看出：数据集中分布在直线周围，说明是高度正相关的。
2、相关系数散点图能直观的展现变量之间的统计关系，但并不精确。
相关系数以数值的方式精确的反映了两个变量间线形相关的强弱程度。
➢ R=yyxx xy L L L ，其中xx L =∑=--ni ix x12)(，∑=----=ni i i xy y y x x L 1))((，∑=--=ni i yy y y L 12)(.➢ 相关系数R 的取值在-1~+1之间。
➢ R>0表示两变量之间存在正的线性相关关系；R<0表示两变量之间存在负的线性相关关系。
➢ R=1表示两变量存在完全正相关；R=-1表示两变量存在完全负相关；R=0表示两变量不存在线性相关关系。
➢ |R|>0.8表示两变量之间具有较强的线性关系；|R|<0.3表示两变量之间的线性相关关系较弱。
上例中，R=0.974,说明报废面积与入仓面积之间是强正相关的。
二、一元线性回归在实际应用中，我们常常需要考虑某一现象与影响它的最主要因素的关系，回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
一元线性回归是最简单的回归模型。
spss教程第三章--相关分析与回归模型的建立与分析
第三章相关分析与回归模型的建立与分析相关分析和回归分析是统计分析方法中最重要内容之一，是多元统计分析方法的基础。
相关分析和回归分析主要用于研究和分析变量之间的相关关系，在变量之间寻求合适的函数关系式，特别是线性表达式。
◆本章主要内容：1、对变量之间的相关关系进行分析（Correlate）。
其中包括简单相关分析（Bivariate）和偏相关分析（Partial）。
2、建立因变量和自变量之间回归模型（Regression），其中包括线性回归分析（Linear）和曲线估计（Curve Estimation）。
◆数据条件：参与分析的变量数据是数值型变量或有序变量。
§3.1 相关分析在SPSS中，可以通过Analyze菜单进行相关分析（Correlate），Correlate菜单如图3.1所示。
图3.1 Correlate 相关分析菜单§3.1.1 简单相关分析两个变量之间的相关关系称简单相关关系。
有两种方法可以反映简单相关关系。
一是通过散点图直观地显示变量之间关系，二是通过相关系数准确地反映两变量的关系程度。
§3.1.1.1 散点图SPSS软件的绘图命令集中在Graphs菜单。
下面通过例题来介绍具体操作方法。
例1：数据库SY-8中的变量X表示山东省人均国内生产总值，Y表示山东省城镇居民的消费额（资料来源：山东省2003年统计年鉴），现画出散点图来观察两个变量的关联程度。
具体操作步骤如下：首先打开数据SY-8，然后单击Graphs Scatter,打开Scatter plot散点图对话框，如图3.2所示。
然后选择需要的散点图，图中的四个选项依次是：Simple 简单散点图Matrix 矩阵散点图Overlay 重叠散点图3-D 三维散点图图3.2 散点图对话框如果只考虑两个变量，可选择简单的散点图Simple，然后点击Define，打开Simple Scatterplot对话框,如图3.3所示。
相关分析和线性回归分析
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Spearman 等级相关系数
❖用来度量定序变量间的线性相 关系数。
❖该系数的设计思想与Pearson简 单相关系数完全相同，只是应 用的范围不一样。
❖对数据没有严格的要求。
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❖局部平均：样本足够大时 ❖函数拟合：模型拟合（广泛采用）
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回归分析的一般步骤
❖ 确定解释变量和被解释变量 由于回归分析用于分析一个事物是如何
随着其他事物的变化而变化的，因此回归分 析的第一步应确定哪个事物是需要被解释的， 即哪个变量是被解释的变量（记为y），哪 些事物是用于解释其他变量的，即哪些变量 是解释变量（记为x）。回归分析是要建立y 关于x的回归方程，并在给定x的条件下，通 过回归方程预测y的平均值。
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❖ 2、后退法（Backward），将已纳入方程的变 量按对因变量的贡献大小由小到大依次剔除， 每剔除一个自变量，即重新检验每一自变量对 因变量的贡献。
❖ 3、前进法（Forward），对已纳入方程的变量 不考察其显著性，直到方程外变量均达不到入 选标准。
标准回归方程：ZY=ß1Zx1+ ß2Zx2
❖ 此时的ß是标准偏回归系数。
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多元线性回归的条件
❖ 1、线性走势：自变量与因变量之间的关系是 线性的。
❖ 2、独立性：因变量的取值必须独立。 ❖ 3、正态性：就自变量的任何一个线性组合，
因变量均服从正态分布。 ❖ 4、方差齐性：就自变量的任何一个线性组合，
相关 分析与回归分析
第二节 相关关系的判断
2.相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表
格。如某地区工业劳动者人数和增加值的历史资料对应排列 如表8-1所示。 相关表中的两行数据叫相关数列，它有别于变量数列。相关 表中的数值是变量的观测值，是实际资料，是样本数据，它 是判别相关关系的基础。在相关表中，如果观测值的分布呈 现一定的规律性，则表明现象间存在相关关系。如随着一个 变量数值的增加或减少，另一个变量的值也大致以某一固定 的速率和数量增加或减少，这就可以初步判别现象间存在相 关关系。如果两个变量的观测值不表现出任何规律性，则可 以判定现象间不存在相关关系。
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第一节 相关分析的一般问题
2.判定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间
确实存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对社 会经济现象进行预测、推算和决策。因此，判定现象间存在相 关关系后，需要进一步确定相关关系的表现形态和密切程度。 统计上，一般是通过编制相关表、绘制相关图和计算相关系数 来做出判断的。根据相关图表可对相关关系的表现形态和密切 程度做出一般性的判断，依据相关系数则能做出数量上的具体 分析。在我们判断中学生的学习成绩和身高之间有无相关性时， 如果我们发现有部分相关联的点，我们还要进行相关程度的判 断，看两种现象之间的相关程度的高低，以此来判定其是否具 有研究相关性的必要。
除上例外，在其他方面也都可以编制类似的双变量分组相关 表。如工业企业按产量和成本水平同时分组；对同行业的商 业企业，按企业规模和流通费水平同时分组等。这种双变量 分组相关表，可作为探寻最佳方案、提高经济效益的一种工 具。但是，根据双变量分组表的资料来计算相关分析指标比 较复杂，所以，在相关分析中较少使用。
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关关系，设计思想与Pearson简单相关系数相同，只是数
据为非定距的，故计算时并不直接采用原始数据( x i , y i )，
而是利用数据的秩，用两变量的秩(U i , V i ) 代替 ( x i , y i ) 代
入Pearson简单相关系数计算公式中，于是其中的
x
和
i
yi
的取值范围被限制在1和 n之间，且可被简化为：
❖ 3、根据所选择的散点图的类型，按Define按 钮对散点图作具体定义。不同类型的散点图其具 体的定义选项略有差别。
❖ 三、相关系数
❖ （一）相关系数的概念和分析步骤
❖
相关系数能够以数字的方式准确描述变量间的
线性关系程度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方向。
❖
相关系数的分析步骤：
❖
1、计算样本相关系数 r
❖
对不同类型的变量应采用不同的相关系数指标，
❖ ❖
r (xix)(yiy) (xix)2•(yiy)2
(7.1)
❖ Pearson 简单相关系数的检验统计量为统计量，其数 学定义为：
❖
t r n2
1 r2
❖
(7.2)
❖ SPSS将自动计算Pearson 简单相关系数、检验统计量 的观察值和对应的概率值。
❖ 2、Spearman等级相关系数
❖ Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性相
❖ （二）散点图在SPSS中的实现 ❖ 1、建立或打开数据文件后，进入“Graphs”
→“Legacy Dialogs”→“Scatter/Dot”主对话框，如图71所示。
❖ 图7-1 散点图主对话框
❖ 2、选择散点图的类型。SPSS中提供了四种散 点图，分别是简单散点图（Simple）、重叠散点 图（Overlay）、矩阵散点图（Matrix）和三维 散点图（3-D）。
❖ 5、Flag significant Correlations 复选项，p如果 选中此项，输出结果中除显示统计检验的概率 值 以外，还输出星号标记，相关系数右上方使用“*”表 示显著水平为5%；用“**”表示其显著水平为1%。
❖ 图7-4 相关分析主对话框
❖ 2、选择参加计算相关系数的变量到Variables框。
❖ 3、Correlation Coefficients分析方法选择项，有 三种相关系数，如Pearson复选项、Spearman复选 项、Kendall’s tau-b 复选项，对应于三种分析方法。
❖ 4、Test of Significance选择显著性检验类型。 Two tailed 双尾检验选项，One tailed 单尾检验选 项。
❖ （二）相关关系的类型 ❖ 1、按相关关系的程度，分为完全相关、不完全相
关和零相关。 ❖ 2、按相关变量的变化方向，分为正相关和负相关。 ❖ 3、按相关关系的表现形式，分为线性相关和曲线
相关。 ❖ 4、按变量多少，分为单相关、复相关和偏相关。 ❖ 5、按相关性质，分为“真实相关”和“虚假相关” ❖ 绘制散点图和计算相关系数是相关分析最常用的工
i1
i1
❖ 在小样本下，在零假设成立时， Spearman等级相关系数
服从Spearman分布；在大样本下， Spearman等级相关系
数的检验统计量为Z统计量，定义为：
Z r n1
❖ Z统计量近似服从标准正态分布。
❖ SPSS将自动计算Spearman等级相关系数，Z检验统计量 的观察值和相伴概率 p值。
❖ 3、Kendall τ相关系数
❖ Kendall τ相关采用非参数检验方法用来度量定序变量
间的线性相关关系。它利用变量秩数据计算一致对数目U
和非一致对数目V 。
❖ Kendall τ相关正是要对此进行检验。Kendall τ统计 量的数学定义为
（UV） 2
❖
n(n1)
(7.5)
❖ 在小样本下Kendall τ服从Kendall分布。在大样本下
但它们的取值范围和含义都是相同的，即相关系
数 没有r单位，其值在-1~+1 之间。
❖
❖ 2、对样本来自的两总体是否存在显著的线性关 系进行推断。
❖ （1）提出原假设：总体中两个变量间的相关系 数为0，即两总体无显著的线性相关关系。
❖ （2）选择检验统计量。对不同类型的变量应采 用不同的相关系数，对应也应采用不同的检验统计 量。
相关分析与回归分析及 曲线估计
本章内容
❖ 第一节 相关分析 ❖ 第二节 线性回归分析 ❖ 第三节 曲线估计
第一节 相关分析
❖ 一、相关分析的概念与类型 ❖ （一）相关分析的基本概念 ❖ 相关关系是指变量之间存在的不确定的依存关
系，即当一个变量取一定值时，另一变量无法依 确定的函数取唯一确定的值，然而它仍按某种规 律在一定的范围内变化。
具，它们的相互结合能够达到较为理想的分析效果。
❖ 二、散点图
❖ （一）散点图的特点
❖ 绘制散点图是相关分析过程中极为常用且非常直 观的分析方法，它将数据以点的形式画在直角平面 上。通过观察散点图可以比较直观地看出变量之间 的相关关系以及它们的强弱程度和数据的可能走向。 通常橄榄球和棒状代表了数据对的主要结构和特征， 可以利用曲线将这种主要结构的轮廓描述出来，使 数据的主要特征更突显。
n
6
D
2 i
r 1 i1 n(n 2 1)
❖ 式中：
n
n
Di2 (Ui Vi)2
i1
i1
❖ 如果两变量的正相关性较强，它们秩的变化具有同步性，
于是
n
Di2
n
(Ui
Vi)2
的值较小，r趋向于1；
i1
i1
❖ 如果两变量的正相关性较弱，它们秩的变化不具有同步性，
于是
n
Di2
n
(Ui
的Vi)值2 较大，r趋向于0；
采用的检验统计量为
❖
Z 9n(n1)
❖
2(2n 5)
(7.6)
❖ 在公式（7.6）中，Z 统计量近似服从标准正态分布。
❖ SPSS将自动计算Kendall τ相关、 Z检验统计量的观测
值和相伴概率 p值。
❖ （三）相关系数在SPSS中的实现
❖
1、建立或打开数据文件后，进入
Analyze→Correlate→Bivariate主对话框，如图7-4所示。
❖ （3）计算检验统计量的观测值和相伴概率 p值。
❖ （4）给定显著性水平 ，并作出决策。如果相 伴概率值小于或等于给定的显著性水平，则拒绝原 假设；如果相伴概率值大于给定的显著性水平，则 不能拒绝原假设。
❖ （二）相关系数的种类
❖ 1、Pearson 简单相关系数
❖ Pearson 简单相关系数用来度量定距型变量间的线性 相关关系，它的数学定义为：