2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．2． 212i 1i +(-)＝( )． A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x± D ．y ＝±x解析：∵2e =，∴c a =，即2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an解析：11211321113nn n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D 7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s max ＝4，s min ＝3.∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为( )． A ．2 B．．．4解析：利用|PF |＝P x =x P＝∴y P＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝9．)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C.10．)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125.∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0. ∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt△OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98. ∴S 球＝4πR 2＝9π2.16． 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.解析：∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ＝，cos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭， 从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L ＝12n n-.18． (本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19． (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1.又A1C，则A1C2＝OC2＋21OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．(本小题满分12分 已知圆M (x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝±当k＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±， 所以|AB |x 2－x 1|＝187. 当k＝-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)解析版
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I （ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ） （A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案最全面(精华版)
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类( 全国卷I新课标)第Ⅰ卷5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目一、选择题：本大题共12小题，每小题要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}2 ，n∈A} ，则A∩B＝( ，B＝{ x| x＝n) ．A．{1,4}．{1,2}．{2,3}B．{9,16}C D1 1 2ii＝( ) ．2．21 1 1 11 i 1+ i 1+ i 1 iA．2中任取2 2 22 的概率是．．．B C D3．从1,2,3,41A．22 个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为) ．2(131 14 6B C D．．．2 2 52，则 C 的渐近线方程为() ．x y4．( ，文4) 已知双曲线C：=12 2( a＞0，b＞0) 的离心率为a b1 14 1 2x x x3．y＝．y＝B CA．y＝5．( ，文5) 已知命题D．y＝±xp：? x∈R,2x＜3 x；命题q：?x∈R，x3 ＝1－x2，则下列命题中为真命题的是q() ．A．p∧q B．p ∧q C．p∧q D ．p∧2的等比数列3 S n，则) ．6．(，文6)设首项为1，公比为a n}的前n 项和为({A．Sn ＝2an－1 B ．Sn＝3an －2 C ．Sn＝4－3an ．Sn ＝3－2anD7．( ，文7) 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[ －1,3] ，则输出的s 属于( ) ．A．[ －3,4] C．[ －4,3]．[ －5,2]．[ －2,5] BD2＝4则△2xPOF＝4 2为上一点，若| PF|，8．( ，文为坐标原点， F 为抛物线C：y P(C 8) O的焦点，的面积为) ．．2 2 2 3A．29．( ，文．4－π，π]的图像大致为B C Dx 在[．9) 函数 f ( x) ＝(1 －cos x)sin ) ．(10．(，知锐角文△10) 已ABC 2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝() ．的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c, 23cosA．10 ．9 C ．8 D ．5B11 ．( ，文11) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为) ．(A．16 ＋8πB．8＋8 πC．16 ＋16πD．8＋16 π****2 , x x 0,2若| f ( x)| ≥ax ，则 a 的取12 ．(，文12) 已知函数 f ( x) ＝xln( x 1), x 0.值范围是() ．A．( －≦，C．[ －2,1]．( －≦，1]0] BD．[ －2,0]1第 Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分．13 ． ( ，文 已知两个单位向量a ， b的夹角为 1 60°， c ＝ ta ＋ (1 － t ) b . 若 b ·c ＝ 0 ，则t ＝ 13). 则z ＝ 2x － y 的最大值为．x 3, 14 ． ( ，文 14) 设 x ， y 满足约束条件 1 x y 0,AH ∶ HB ＝ 1 ∶2， AB ⊥平面 α， H α截球 15 ． ( ，文 15) 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， 为垂足， O 所得截面的面积为 π， 则 球 的表面积为 ． O 设当x ＝ θ时，函数θ＝ .16 ． ( ，文 16) f ( x ) ＝sin x － 2cos x 取得最大值，则cos三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．{ a n } 的前 n S n 满足 S 3＝ 0 ， S 5 ＝－ 17 ． ( ，文 17)( 本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 项和 5. 求 { a n } 的通项公式； (1) 1 a1 求数列(2) 的前 n 项和．a2n 2n 118 ． ( ，文 18)( 本小题满分 12 分 ) 为了比较两种治疗失眠症的药 ( 分别称为 A 药， B 药 ) 的疗效，随机地选取 20 位患者服用A 药， 20 位患者服用 下：B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间 ( 单位： h) ．试验的观测结果如服用 0.6 服用 3.2A 药的 1.2B 药的 1.720 2.7 20 1.9位患者日平均增加的睡眠时间： 1.5 2.8 1.8 2.2 2.33.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？(1) (2) ABC － A 1 B 1C 1 中， CA ＝ CB ， AB ＝ AA 1 ，∠ BAA 1＝19 ． ( ，文 19)( 本小题满分 60° . (1) 证明： AB ⊥ A 1C ；1C ＝12 分 ) 如图，三棱柱6 ABC － A，求三棱柱(2) 若 AB ＝ CB ＝ 2， A 1B 1C 1 的体积．****20 ．( ，文20)( 本小题满分12 分) 已知函数 f ( x) ＝e－x2 －4x，曲线y＝f ( x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y＝4x ＋4. x( ax＋b)(1) 求a，b 的值；(2) 讨论 f ( x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值．2＋y 2＝1，圆N：(x－1) 2 ＋y2＝9，动圆切，与圆M 外切并且与圆内P N21 ．( ，文21)( 本小题满分12 分) 已知圆M：( x＋1)圆心的轨迹为曲线P C.求C 的方程；(1)(2) l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求| AB|.4请考生在第(22) 、 (23) 、 (24) 三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂 黑． 一 个题 目计分 ，22 ． ( ，文 如图，直线22)( 本小题满分 10 分 ) 选修4— 1 ：几何证明选 讲 为圆的切线，切点为 B ，点 C 在圆上， A ∠BC 的角平分线 交圆于点 E ， DB 垂直 交圆于点 AB BE BE D .x y 4 5 5cos t, 5sin tC ( t 23 ( 23)( 分 选修— 10 ) 4 4． ，文本为参数 ) ，小题满分 ：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为1x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 C 2 的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ.以坐标原点为极点， 线 C(1)把 的参数方程化为极坐标方程；1(2) C 与 C 交点的极坐标 求 (0,0 2 ) θ＜ ρ≥ ≤ π ． 1 2510 分 ) 选修4— 5 ：不等式选讲已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| f ( x ) ＜ g ( x ) 的解集；x ＋ a | ， g ( x ) ＝ x ＋ 3. 24 ． ( ，文 24)( 本小题满分 2 时，求不等式 ＋ |2 (1) 当 a ＝－ 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ，求 a 的取值范围．a 2 12(2) 设a ＞－ x ∈1，且当 ,2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文 史类 ( 全国卷 I 新课标)第 Ⅰ卷5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 一、选择题：本1大题共2 小题，每小题 1． 答案： A解析： ≧ B ＝ { x | x ＝ n 要求的．2， n ∈A } ＝ {1,4,9,16}2． ， ? A ∩B ＝ {1,4} ． 答案： B 1 2i1 2i 1 2i i2 i 1 2解析：＝ 1+i .21 i2i223．答案： B解析：由题意知总事件数为 6，且分别为 ， (1,3) ， (1,4) ，(2,3) ， (2,4) ， (3,4) ，满足条件的事件数是 2，所以所求(1,2) 1 3的概率为 .4． 答案： C 25 ca 5 25 4c解析： ≧，即.e， ?22a 21 4 b a1 2 b2＝ a 2＋ b 2＝ a 2＋ b2，?≧c. ?.2ab a ≧双曲线的渐近线方程为 ，y x 1?渐近线方程为 yx . 故选 C.25．答案： B解析：由 0 ＝ 30 知， 2 p 为假命题．令h ( x ) ＝ x 3－ 1＋ x 2， ≧h (0) ＝－ 1＜ 0， h (1) ? x ＝ 1 ＞0， 3－ 1＋ x 2 ＝ 0 在(0,1) 内有解． ? ? x ∈R ， x 3＝ 1－ x 2 ，即命题 q 为真命题．由此可知只有p ∧q 为真命题．故选B. 6 ．答案： D＝ 3－ 2a n ，故选 D.2 nn1a aq aa q13解析：11nSn21 1 1qq37．答案： A解析：当－ 1≤ t s ＝ 3t ，则s ∈[ ＜ 1 时， － 3,3) ． 当 1≤ t ≤ 3 时， s ＝ 4t － t2.≧该函数的对称轴为 t ＝ 2，?该函数在[1,2] 上单调递增， 在 [2,3] 上单调递减． s max ＝ 4， s min ＝? 3. ? s ∈[3,4] ．－ 3,4] ．故选 综上知 s ∈[ A.****8． 答案： Cx2 4 2 x P ＝ 32 解析：利用 | PF | ，可得＝ .P12 2 6 23 .SP ＝. ?P| y＝ ? y △POF＝ OF | ·| | 故选 C.9 ． 7答案： Cπ 2解析：由 f ( x ) ＝ (1 － cos x )sin x 知其为奇函数．可排除 B ．当 x ∈时， f ( x ) ＞ 0，排除 A.0,2x ＋ cos x (1 － cos x ) ＝－ 2cos 2x ＋ cos x ＋ 1.当 x ∈(0 ，π) 时， f ′( x ) ＝ sin 2 令 f ′( x ) ＝ 0，得x.π32 故极值点为 x，可排除 πD ，故选 C.10 ． 答案： D31 252A＋ cos 2 A解析：由 23cos ＝ 0，得 cos 2A ＝2A ＋ cos 2 .A ＝ 0，得 cos 2A ＝π 21 5，? cos A ＝.≧A ∈0,213 36 b 49 ，? b ＝ 5 或≧cos A ＝ b( 舍 ) ．2 6b5故选 11 ． 答案： AD. 解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．1V ＝π×2半圆柱2×4＝ 8π，V2＝ 4×2×2＝ 16.长方体所以所求体积为 12 ． 答案： D解析：可画出16 ＋ 8π. 故选 A. | f ( x )| 的图象如图所示．当 a ＞ 0 时， y ＝ ax 与 y ＝ | f ( x )| 恒有公共点，所以排除 B ， C ；当 a ≤ 若 x ≤ 时，若 x ＞ 0，则 | f ( x )| ≥ ax 恒成立． y ＝ ax 与 y ＝ | － x2＋ 2x | 相切为界限，0 0，则以 y ax,2x得 x2－ ( a ＋ 2) x由＝ 0.y 2x,2－ ( a ＋ 2) x ＝ 0.2＝ 0，? a ＝－ 2.≧Δ＝ ( a ＋ 2)a ∈[ － 2,0] ．故选 ? D.第 Ⅱ卷第 13 题～第 本卷包括必考题和选考题两部 分 ．生根据要求做答． 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题， 考二、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分．13 ．答案： 21 21 2a ·b ＝ 1 1解析： ≧ b ·c ＝ 0， | a | ＝ | b | ＝ 1，〈 a ， b 〉＝ 60 °， ? .? b ·c ＝ [ ta ＋ (1 － t ) b ] ·b ＝ 0 ， 即 ta ·b ＋ (1 － t ) b2＝ 0.2＝ 0.1t ＋ 1 －t ＝ 0. ?2? t ＝ 2.14 ．答案： 3解析：画出可行域如图所示．****时，画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3) z 取最大值，且最大z＝2×3－3＝3.值为89 2π15 ．答案： 解析：如图，设球 O 的半径为R ， 2R 3， 则A H ＝ROH ＝.3 又≧π·EH2＝ π，? EH ＝ 1.2R 398 2+1，? 2＝R ≧在 2 ＝Rt △OEH 中， R . 2＝2＝9 π? 球＝ 4πRS2＝.2 2 516 ．答案：5解析： ≧ f ( x ) ＝ sin x － 2cos 5 5 5x ＝ x － φ) ，sin( 2 5 φ＝φ＝其中 sin ， cos .5π( k ∈Z) 2πx － φ＝ 2k π＋当 时， f ( x ) 取最大值．π＋ φ( k ∈Z) ．2即 θ－ φ＝ 2k π＋( k ∈Z) ， θ＝2k π＋ 2π 22 5 φ＝? cos θ＝＝－ sin cos.5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或 17 ．演 算步骤． n(n 1) 解： (1) 设 { a n } 的公差为d ，则S n ＝nad .123a5a3d 10d0, 5,由已知可得11解得 a 1 ＝ 1， d ＝－ 1.故 { a n } 的通项公式为a n ＝ 2－ n .1 a 2n 1 2n 1a1 12 1 2n3 12n ＝ ，(2) 由 (1)知 a3 2n 1 2n11从而数列的前 n 项和为a2 n 12 n 11 21 1 n1 1 1 1131 1 2n 32n 1＝.1 2n18 ．A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y 解： (1) 设 . 由观测结果可 得****1 20 (0.6 ＋1.2 ＋1.2 ＋1.5 ＋1.5 ＋1.8 ＋2.2 ＋2.3 ＋2.3 ＋2.4 ＋2.5 ＋2.6 ＋2.7 ＋2.7 ＋2.8 ＋2.9 ＋3.0 ＋3.1 ＋3.2 ＋x ＝90.7)＝ 2.3 ，1 20( 0.5 ＋ 0.5 ＋ 0.6 ＋ 0.8 ＋ 0.9 ＋ 1.1 ＋ 1.2 ＋ 1.2 ＋ 1.3 ＋ 1.4 ＋ 1.6 ＋ 1.7 ＋ 1.8 ＋ 1.9 ＋ 2.1 ＋ 2.4 ＋ 2.5 ＋ 2.6 ＋ 2.7 ＋y ＝3.3)＝ 1.6.x ＞ y 由以上计算结果可得A 药的疗效更好．，因此可看出(2) 由观测结果可绘制如下茎 叶图：的叶集中在茎 0,177 从以上茎叶图可以看出， A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 上，而 药疗效的试验结果有 2,3 B 1010上，由此可看出 19 ．A 药的疗效更好．(1) 证明：取 AB 的中点 O ，连结 OC ， OA 1 ， A 1B . 因为 由于 CA ＝ CB ， 所以 OC ⊥AB . AB ＝ AA 1，∠BAA1 ＝ 60°， 故△AA 1B 为等边三角形，所以 OA 1⊥AB . 因为 OC ∩OA 1＝ O ，所以 AB ⊥平面OA 1 C . 又 A 1 C ? 平面 OA 1C ，故 AB ⊥A 1 C .(2) 解：由题设知 △ ABC 与△AA 1 B 都是边长为 所以 OC ＝ OA2 的等边三角形，3 1＝.2＋22＝ OCOA6 1C ＝，则A ，又 A 1C1故 OA 1⊥OC .因为 OC ∩AB ＝ O ，所以 OA 1 ⊥平面 ABC ， OA 1 为三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的高．3 ，故三棱柱△ABC＝ABC － A1 B 1C 1 的体积V ＝ S △ABC ×OA 1＝ 3.又△ABC 的面积S 20 ．解： (1) f ′( x ) ＝ ex( ax ＋ a ＋ b ) － 2x － 4.由已知得 f (0) ＝ 4， f ′(0) ＝ 4. 故 b ＝ 4， a ＋ b ＝ 8. 从而 a ＝ 4 ，b ＝ 4.(2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝ 4ex( x ＋ 1) － x 2－ 4x ，e 1x( x ＋ 2) － 2x － 4＝ 4( x ＋ 2) ·. f ′( x ) ＝ 4ex2 － 当 故 当 令 f ′( x ) ＝ 0 得， x ＝－ ln 2 或 x ＝－ 2. 从而当 x ∈( －≦，2) ∪( － ln 2 x ∈( － 2，－ ，＋ ≦) 时， f ′( x ) ＞ 0； 时， f ′( x ) ＜ 0.2) ， ( － ln 2 ，＋ ≦) 上单调递增，在 ln 2) f ( x ) 在 ( －≦，－ ( － 2 ，－ 上单调递减．ln 2) － 2) ． x ＝－ 时，函数f ( x ) 取得极大值，极大值为2 f ( －2) ＝ 4(1 － e****21 ．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1,0) ，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0) ，半径r 2 ＝3. 设圆P 的圆心为P( x，y) ，半径为R.(1) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以| PM | ＋| PN | ＝( R＋r 1 ) ＋( r2－R)＝r 1＋r 2＝4.3由椭圆的定义可知，曲线是以M，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为C 的椭圆( 左顶点除外) ，其方程为2 2x 4 y3(x≠－．=1 2)10(2) 对于曲线 C 上任意一点 P ( x ， y ) ，由于 2，| PM | － | PN | ＝ 2 R － 2 ≤ 所以 R ≤ 2 ，当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0) 时， R ＝ 2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为( x － 2)2＋ y 2 ＝ 4. 23 若 的倾斜角为 l 90 °，则 l 与 y 轴重合，可得 | AB | ＝ .|QP | | QM R r1若 的倾斜角不为90°，由 l r1≠R 知 不平行于 x 轴，设l 与 轴的交点为Q ，则l x ，可求得 Q ( － 4,0) ，所以|可设l ： y ＝k ( x ＋4) ． |3k | 2 4由 与圆 相切得＝ 1，解得 k ＝l M .21 k222 42 4 6 72 x 4y 32＋ 8x － 8＝ 0 ，解得 x时，将 ，当 k ＝=1yx 21,2＝4，并整理得 7x182所以 | AB | ＝.1 k| x7 2－ x 1| ＝2 418 7当 k ＝时，由图形的对称性可 知 | AB | ＝.1823 AB | 或 | AB | ＝综上， | ＝ .7请考生在第(22) 、 (23) 、 (24) 三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂 黑． 22 ．一 个题 目计分， (1) 证明：连结DE ，交BC于点 G .由弦切角定理得， ∠ ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝ ∠BCE ， BE ＝ CE . 又因为 DB ⊥BE ，所以 DE 为直径， ∠ DCE ＝ 90°， 由勾股定理可得(2) 解：由 (1) DB ＝ DC .知， ∠CDE ＝ ∠BDE ， DB ＝DC ， 故 DG 是 BC 的中垂线，3所以 BG ＝.2设D E 的中点为 O ，连结BO ，则 ∠BOG ＝ 60 °. 从而 ∠ABE ＝ ∠BCE ＝ ∠CBE ＝ 30 °， 所以 CF ⊥BF ，3 2故 Rt △BCF 外接圆的半径等于 .23 ． 2＋ ( y － 5) 2＝ 25，x y 4 5 5cost , 5sin t解： (1) 将消去参数 t ，化为普通方程( x － 4)即 C1 ： x 2＋ y 2－8x － 10 y ＋ 16＝ 0. x ycos sin, 得 ρ2 － 8ρcos θ－ 10 ρsin θ＋ 16＝将代入 0.x 2 ＋ y 2 － 8 x － 10 y ＋ 16 ＝ 0 2＋ y 2 － 8x － 10 y ＋ 16 ＝ 0 得 ρ2 － 8ρcos θ－ 10 ρsin θ＋ 16＝ 0.所以 C1的极坐标方程为 2－ 8ρcos θ－ 10 ρsin θ＋ 16 ＝ 0. ρ****(2) C 2 的普通方程为x2＋ y 2 － 2y ＝ 0.22xy8x 10y 16 0,由22xy1, 12 yx y0, 2.x y 解得或11π 4π 2，所以 C1 与 C .2,2, 24 ．2交点的极坐标分别为 解： (1) 当 a ＝－ 2 时，不等式f ( x ) ＜g ( x ) 化为|2 x － 1| ＋ |2 x － 2| － x － 3＜ 0.设函数y ＝ |2 x － 1| ＋ |2 x － 2| － x － 3，15x, x ,2 1 则y ＝x 2, x 1,2 6,x3x1.x ∈(0,2) y ＜ 0.其图像如图所示．从图像可知，当且 仅当 时， 所以原不等式的解集是 { x |0 ＜ x ＜ 2} ． 时， f ( x ) ＝ 1＋a .a 2 12(2) 当 x ∈, 不等式 f ( x ) ≤ g ( x ) 化为1＋ a ≤ x ＋ 3. a 2 4 3 12都成立．所以 x ≥ a － 2 对x ∈, a 2故. ≥ a － 2，即 a ≤4 3从而 a 的取值范围是 .1,12。
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2013课标全国Ⅰ，文1）已知集合A ＝｛1，2，3，4｝，B ＝｛x ｜x ＝n 2，n ∈A ｝，则A ∩B ＝（ ）．A ．｛1,4}B ．{2，3｝C ．{9，16｝D ．{1,2｝ 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9，16｝， ∴A ∩B ＝{1,4｝．2．（2013课标全国Ⅰ,文2）212i1i +(-)＝（ ）．A 。
B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。
【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3）从1,2,3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ）．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2）,（1，3）,（1,4），（2，3)，（2,4),（3,4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13。
4．(2013课标全国Ⅰ，文4）已知双曲线C :2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程.【解析】∵5e =5c a =，即2254c a =。
∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =。
∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±,∴渐近线方程为12y x =±。
2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)解析版
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）错误！未找到引用源。
（B ）错误！未找到引用源。
（C ）14 错误！未找到引用源。
（D ）16错误！未找到引用源。
（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2013课标全国Ⅰ,文1）已知集合A ＝{1,2，3，4｝，B ＝{x ｜x ＝n 2，n ∈A ｝,则A ∩B ＝（ )．A ．{1,4｝B ．{2，3｝C ．｛9，16}D ．｛1，2｝ 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识.【解析】∵B ＝｛x ｜x ＝n 2,n ∈A ｝＝｛1，4,9，16｝， ∴A ∩B ＝｛1，4｝． 2．（2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A.B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算. 【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．（2013课标全国Ⅰ，文3)从1，2，3，4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为（1，2），（1，3),（1，4）,（2，3)，（2，4)，(3，4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13。
4．（2013课标全国Ⅰ,文4）已知双曲线C :2222=1x y a b-（a ＞0，b ＞0）的离心率为52,则C 的渐近线方程为（ ）．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵52e =52c a =，即2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =。
∴12b a =。
∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±。
2013年高考全国卷1文科数学真题及答案
2013年高考文科数学真题及答案全国卷I第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A ．11i 2-- B ．11+i 2-C ．11+i 2 D ．11i2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．164．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x＜3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．A ．Sn ＝2an －1B ．Sn ＝3an －2C ．Sn ＝4－3anD ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，则△POF 的面积为( )．A ．2 B．．．49．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．511．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x(ax＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2． 答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4． 答案：C解析：∵e =c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5． 答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B. 6． 答案：D解析：11211321113nnn n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D. 7． 答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2. ∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A. 8． 答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P＝∴y P＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1. 令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10． 答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．故选D.11． 答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A. 12． 答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限， 由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3. 15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt△OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98.∴S 球＝4πR 2＝9π2.16．答案：解析：∵f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φ＝5，cos φ＝5.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭＝12n n-. 18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6.由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好． 19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ， 所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形， 所以OC ＝OA 1又A 1C，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABCABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3. 20．解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k ＝4±.当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝，所以|AB ||x 2－x 1|＝187.当k ＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
2013年高考文科数学真题及答案全国卷12013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )． A. −1−12i B ．11+i 2- C ．1+12i D ．1−12i 【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。
【解析】212i12i 12i i 2i1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ． y =±14xB ．y =±13xC ．12y x =± D ．y =±x 【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵e =c a =，即2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．⌝p∧q C．p∧⌝q D．⌝p∧⌝q【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
1 的前 n 项和 a2 n −1a2 n +1
2
令8 (以代令3 课标全 文 令8)(本小题满 令以 )为了比较两种治疗失 症的药( 别 为 ∪ 药 B 药)的 疗效 随机地选取 以代 位患者服用 ∪ 药 以代 位患者服用 B 药 这 4代 位患者在服用一段时间后 记录他们日 均增加的睡 时间(单位 h) 试验的观测结果如 服用 ∪ 药的 以代 位患者日 均增加的睡 时间 代.6 令.以 以.7 令.5 以.8 令.8 以.以 以.3 3.以 3.5 以.5 以.6 令.以 以.7 令.5 以.9 3.代 3.令 以.3 以.4 服用 B 药的 以代 位患者日 均增加的睡 时间 3.以 令.7 令.9 代.8 代.9 以.4 令.以 以.6 令.3 令.4 令.6 代.5 令.8 代.6 以.令 令.令 以.5 令.以 以.7 代.5 (令) 别计算两组数据的 均数 从计算结果看 哪种药的疗效更好 (以)根据两组数据完成 面茎 从茎 看 哪种药的疗效更好
文 4)已知双曲线 叶
x2 y2 5 − 2 =1 (a 代 b 代)的离心率为 2 a b 2
1 ± x 2
则 叶 的渐近线方程
∪ y 5 (以代令3 课标全 命题的是( ) ∪ p∧q 6 (以代令3 课标全 ) 以an 令
1 ± x 4
B y 叶 y 号 y ±x x x 3 文 5)已知命题 p ∀x∈R,以 3 命题 q ∃x∈R x 令 B
以
以
以
以
4
请考生在第(以以)、(以3)、(以4) 题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的 第一个题目计 做答时请用 以B 铅笔在答题卡 将所选题 后的方框涂黑 以以 (以代令3 课标全 文 以以)(本小题满 令代 )选修 4—令 几何证明选讲 如 直线 ∪B 为圆的 线 点为 B 点 叶 在圆 ∠∪B叶 的角 线 B∵ 交圆于点 ∵ 号B 垂直 B∵ 交圆于 点 号.
2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)解析版(1)
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I （ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ） （A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ， 则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16． 解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分 解得a 1=1，d =-1. …4分 故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分 从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分 从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高． 又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0， 解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分 当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ， 则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25， 将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。