江西省萍乡市高中数学第一章立体几何初步1.2.3.4空间图形的基本关系与公理导学案无答案北师大版必修2
4空间图形的基本关系与公理
【教学目标】
1.理解空间中点、线、面的位置关系；
2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；
3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；
4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．
【重点难点】
掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题
【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学
【教学课时】 2课时
【教学流程】
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．空间点与直线的位置关系
(1)如果点P在直线a，记作P∈a.
(2)如果点P在直线a，记作P∉a.
2．空间点与平面的位置关系
(1)如果点P在平面α，记作P∈α.
(2)如果点P在平面α，记作P∉α.
3．空间两条直线的位置关系
(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.
(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.
(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．
4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.
(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.
(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.
观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
思考3 如导引中的图(1)，空间点与平面的位置关系是怎样的？如何用字母表示它们的关系？
思考4 观察导引中图(1)中的直线a，b，c，从两直线是否共面及两直线有无交点来说明空间两直线有怎样的位置关系？
思考5 怎样通过图形来表示异面直线？
思考6 观察导引中的图(1)，你能归纳出直线和平面有怎样的位置关系？
思考7 直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交的含义是什么？如何用字母表示它们的关系？
思考8 空间中，平面和平面有怎样的位置关系？如何用字母表示它们的关系？
例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.
跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.
探究点二空间图形的公理
思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？
思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？
思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？
思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？
思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个
平面吗？为什么？
思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？
思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为
α
3．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，nα，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，nα，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条
C．1条或3条D．1条或2条或3条
5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
二、能力提升
8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )
A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定
9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )
A．共面B．不一定共面 C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；
是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共。
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第一课时 空间图形基本关系的认识及
公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2的全部内容。
系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分,共20分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：不共线的三点可以确定一个平面，排除A;四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C。
答案: C2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析: 公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．答案：A3．两个不重合的平面可把空间分成( ）A．3部分B．4部分C．3或4部分D．2或3部分解析：当两个平面平行时把空间分成3部分;当两个平面相交时把空间分成4部分．答案: C4．有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中,正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错;平面外的直线可能和平面相交，故④错．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分）5．如果三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________．解析：由于三个平面把空间分成六部分,那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．答案: 三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交6．如图,在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④三、解答题（每小题10分，共20分)7．已知a,b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明．解析：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1）（2)（3）．8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1，BB1,CC1两两相交，求证:三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.证明：设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α，β,γ，AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β,BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第2课时 空间图形的公理4及等角定
第2课时 空间图形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角.(难点)[基础·初探]教材整理1 公理4阅读教材P 25“公理4”部分，完成下列问题. 1.条件：两条直线平行于同一条直线. 2.结论：这两条直线平行. 3.符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .已知a ，b 是平行直线，直线c ∥直线a ，则c 与b ( ) A.不平行 B.相交 C.平行D.垂直【解析】 若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不与b 平行. 【答案】 C教材整理2 等角定理阅读教材P 26“等角定理”部分内容，完成下列问题. 1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行. 2.结论：这两个角相等或互补.空间中一个角A 的两边分别与另一个角B 的两边对应平行，若A ＝70°，则B ＝______. 【解析】 若A 的两边与B 的两边方向均相同或均相反，则B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B ＝110°.【答案】 70°或110° 教材整理3 异面直线所成的角阅读教材P 26有关部分，完成下列问题.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与BC 1所成的角的大小为________. 【解析】 ∵BB 1∥AA 1，∴∠B 1BC 1为直线AA 1与BC 1所成的角，其大小为45°. 【答案】 45°[小组合作型]如图的边AB ，BC ，CD ，DA的中点.图1411(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .【导学号：39292020】【精彩点拨】 (1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明. (2)若四边形EFGH 是矩形，则EH ⊥GH ，从而推知AC ⊥BD . 【自主解答】 (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空间中证明两直线平行的方法：借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.[再练一题]1.已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点.图1412求证：四边形MNA′C′是梯形.【证明】连接AC(图略).∵M，N为CD，AD的中点，∴MN═∥12 AC.由正方体性质可知AC═∥A′C′，∴MN═∥12A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形.如图1413，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.图1413(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.(2)利用等角定理证明两角相等.【自主解答】(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体，∴AD═∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM═∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1═∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1═∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.2.证明角相等，一般采用以下途径(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.[再练一题]2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.图1414【证明】取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A1KBQ为平行四边形，∴A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，∴∠PA1Q＝∠MCN.[探究共研型]探究1图1415【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角.探究2 a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上.如图1416，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD，BC所成角的大小.图1416【精彩点拨】 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD ，BC 平移到同一平面内解决.【自主解答】 如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM . 因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点， 所以EM ═∥12AD ，FM ═∥12BC ， 则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角. 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1， 在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度，常放在三角形内求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.[再练一题]3.如图1417，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E ，F 分别是BD 1和AD 的中点，则异面直线CD 1，EF 所成的角的大小为________.图1417【解析】 取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ， ∵E 是BD 1的中点， ∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形，∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角.又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1，∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°. 【答案】 90°1.下列结论中正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A.①②③B.②④C.③④D.②③【解析】 ①错，可以异面.②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面.④正确，由平行直线的传递性可知.【答案】 B2.如图1418所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，B 1B ，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )【导学号：39292021】图1418A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，A1B∥EF，BC1∥GH，所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】 B3.已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，命题正确的是________.【解析】①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面.【答案】①4.已知点P在直线l外，则过点P且与l成30°角的异面直线有________条.【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的所有直线都与l成30°角，其中只有两条直线与l共面，其余的异面.因此，这样的异面直线有无数条.【答案】无数5.如图1419，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.图1419(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？【解】(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2空间图形的公理(二)高一数学
取值 范围 特例
异面直线所成的角θ的取值范围：_0_°__<_θ_≤__9_0_°__ 当θ＝____9_0_°______时，a与b互相垂直，记作a⊥b
Байду номын сангаас
12/13/2021
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( × )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可
能，故选D.
12/13/2021
4．如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1A＝AB，E、F 分别是 BD1 和 AD 的中点，则异面直线 CD1，EF 所成的角的 大小为___9_0_°___．
12/13/2021
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角． 又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是 正方形，且G为CD1的中点， 所以DG⊥CD1，所以∠D1GD＝90°， 所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.
12/13/2021
关于等角定理的两点说明 (1)等角定理又常称空间等角定理，是在空间中来证明两个角 相等的，在平面中同样成立． (2)应用空间等角定理必须满足条件：一个角的两边与另一个 角的两边分别对应平行，所得结论“相等或互补”可以分为 以下三种情形： ①若角的两边对应方向相同，则两角相等； ②若角的两边对应方向相反，则两角相等； ③若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角 互补．
高中数学第一章立体几何初步1.4.1、2空间图形基本关系的认识空间图形的公理高一数学
12/12/2021
第二十六页，共六十五页。
类型二 多线共面问题 【例 2】 求证：两两相交且不共点的四条直线共面． 【思路探究】 可尝试先证明其中两条直线确定一个平面， 然后证明其他直线也在此平面内． 【证明】 ①没有三线共点情况，如图(1)所示，设 a∩d＝ M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.
12/12/2021
第三十七页，共六十五页。
【证明】 如图所示．由已知得 EH 是△ABD 的中位线，所 以 EH∥BD，EH＝12BD.在△BCD 中，CCFB＝CCGD＝23，所以 FG∥ BD，FG＝23BD.
根据公理 4，知 EH∥FG，又 FG>EH，所以四边形 EFGH 有 一组对边平行但不相等．
12/12/2021
第三十四页，共六十五页。
在三棱锥 S－ABC 的棱 SA，SC，AB，BC 上分别取点 E，F， G，H，若 EF∩GH＝P，求证：EF，GH，AC 三条直线交于一 点．
证明：如图，∵E∈SA，SA 平面 SAC，F∈SC，SC 平面 SAC，∴E∈平面 SAC，F∈平面 SAC.∴EF 平面 SAC.∵G∈AB， AB 平面 ABC，H∈BC，BC 平面 ABC，
12/12/2021
第十三页，共六十五页。
知识点三 定理 [填一填]
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补．
这个定理实质上是由如下两个结论合成的： (1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相 同，那么这两个角 相等． (2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对 边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角 互补．
12/12/2021
第三十二页，共六十五页。
江西省萍乡市高中数学第一章立体几何初步1.2.3.4空间图形的基本关系与公理导学案
4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？思考3 如导引中的图(1)，空间点与平面的位置关系是怎样的？如何用字母表示它们的关系？思考4 观察导引中图(1)中的直线a，b，c，从两直线是否共面及两直线有无交点来说明空间两直线有怎样的位置关系？思考5 怎样通过图形来表示异面直线？思考6 观察导引中的图(1)，你能归纳出直线和平面有怎样的位置关系？思考7 直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交的含义是什么？如何用字母表示它们的关系？思考8 空间中，平面和平面有怎样的位置关系？如何用字母表示它们的关系？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为AB3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面 C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共。
高中数学 第一章 立体几何初步 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2.1 空间图形基本关系的认识
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)[学习目标] 1.理解空间中点、线、面的位置关系． 2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念． 3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题． 4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.【主干自填】1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a□01上，记作P∈a.(2)如果点P在直线a□02外，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α□03内，记作P∈α.(2)如果点P在平面α□04外，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有□05公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有□06一个公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在□07任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有□08无数个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有□09一个公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有□10公共点，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有□11公共点，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有□12公共点，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理113不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定经过□一个平面．7．公理1的推论推论1：经过一条直线和这条□14直线外一点，有且只有一个平面；15相交直线，有且只有一个平面；推论2：经过两条□16平行直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条□8．公理217两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即如果一条直线上的□直线在平面内)．9．公理318不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直如果两个□线．【即时小测】1．思考下列问题(1)照相机支架只有三个脚支撑，为什么？提示：不在同一直线上的三点确定一个平面．(2)教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？提示：这些公共点在同一直线上．(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？提示：平行．2．下列表述中正确的是( )A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故A错．C中A、B、C、D四点可在α与β的交线上．D显然错误．故选B.3．若点M在直线a上，且a在平面α内，则M，α间的关系为________．提示：M∈α例1 (1)已知α，β是两个不同的平面，a，b，l是三条不同的直线，若aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，lβ，那么α与β的位置关系是________．(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？[解析](1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα，又lβ，则α∩β＝l.(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线．[答案](1)相交(2)见解析类题通法1判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断.2对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定平面的条件.“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交.[变式训练1](1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是( )A．4 B．6 C．8 D．10答案 C解析解法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共8条．解法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共面，其余8条棱都与EF异面．(2)已知a，b，c是三条不同的直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．解直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．例2 如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交，求证：a，b，c三线共面．[证明] ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．类题通法证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．[变式训练2]已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l 共面．证明证法一：如图，∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线lα，∴a，b，l共面．即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则bα.同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内．∴a，b，c，l共面．证法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.∵c∥b，∴c，b确定一个平面β，而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面.例3 已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P、Q、R三点共线．[证明] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．类题通法证明点共线问题的方法证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．[变式训练3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.例4 已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[证明] 如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.类题通法证明三线共点的方法证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．[变式训练4]已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．∵E，F不与A′，B重合，∴EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.易错点⊳公理及推论的应用中忽略重要条件[典例] 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解] ∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因分析] 在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到，B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．课堂小结1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系.2.公理1,2,3是在生活实际中，人们对经验和客观实际的总结.公理1的主要作用是论证共面问题；公理2的主要作用是判断直线是否在平面内；公理3是判断两平面是否相交的重要依据.1．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点答案 C解析由公理1知：不共线的三点确定一个平面，而三角形的三个顶点一定不共线，故三角形可以确定一个平面．2．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条答案 D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．3．若a表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是( )①直线a在平面α内，即a与α有无数个公共点；②直线a不在平面α内，即直线a与α有一个公共点；③直线a不在平面α内，即直线a与α没有公共点；④a与α的关系可分为a在α内或a不在α内．A．①② B．①③ C．①④ D．②③答案 C解析直线a不在平面α内，即直线a与α平行或相交，无公共点或有一个公共点，故②③错误，显然①④正确．4．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．答案0解析命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.。
高中数学第一章立体几何初步44.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(1)高一数学
D．A b∈β
第三十五页，共四十四页。
解析：点与直线、平面之间的关系用符号“∈”或“∉”；直 线在平面内用符号“ ”．
答案：B
第三十六页，共四十四页。
2．如果直线 a 平面 α，直线 b 平面 α，M∈a，N∈b，M
∈l，N∈l，则( ) A．l α
B．l⃘α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
解析：∵M∈a，a α，∴M∈α，同理，N∈α，又 M∈l，N
第二十三页，共四十四页。
【规律总结】 证明线共面问题，一种思路是先确定一个平 面，再证明其他直线都在这个平面内；另一种思路是先由一部分 直线确定一个平面 α，另一部分直线确定平面 β，再证明 α 与 β 重合即可．
第二十四页，共四十四页。
已知 A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证： 直线 AD，BD，CD 共面．
答案：共线
第四十页，共四十四页。
5．给出下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④空间四点不共面，则任意三点不共线． 其中正确命题的序号是________．
第四十一页，共四十四页。
解析：①错，空间四点共面，未必有三点共线；②正确；③ 错，此四点可能共面；④正确，若任意三点共线，则四点必共面， 与已知矛盾．
第五页，共四十四页。
练一练 (1) 点 P 在直线 l 上，直线 l 在平面 α 内，用符号表 示为( )
A．P l，l α
B．P∈l，l∈α
C．P l，l∈α 答案：D
D．P∈l，l α
第六页，共四十四页。
3．空间图形的公理及推论
文字语言
图形语言
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大必修2
[核心必知] 一、空间图形的基本位置关系
二、空间图形的3条公理
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
[问题思考] 1．三点确定一个平面吗？ 提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当
法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∴B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC 又∵Q∈直线 BC， ∴Q∈平面 APR.又 Q∈α，∴Q∈PR. ∴P，Q，R 三点共线． 平面 APR.
证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平
则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定 共面．
1．下列图形中不一定是平面图形的是( A．三角形 B．菱形
)
C．梯形
D．四边相等的四边形
解析：四边相等不具有共面的条件，这样的四 庆 高 考 )设 四面 体 的六 条棱 的 长分 别 为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a 的取值范围是 A．(0， 2) C．(1， 2) ( ) B．(0， 3) D．(1， 3)
解析：如图所示的四面体 ABCD 中，
设 AB＝a，则由题意可得 CD＝ 2，其他边的长都为 1， 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形，显然 a>0.取 CD 中点 E，
连接 AE，BE，则 AE⊥CD，BE⊥CD 且 AE＝BE＝
1－
2 2 2 ＝ ，显然 A、B、E 三点能构成三角形，应 2 2
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理(一)高一数学
课堂达标
1．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )
A．黑板面
B．乒乓球桌面
C．篮球的表面
D．平静的水面
解析 平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面
的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面和平
静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个
曲面，不能作为平面的一部分．
12/13/2021
12/13/2021
4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经 过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直 线DE的位置关系是________． 解析 因为P∈AB，AB 平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE. 答案 P∈直线DE
经过不在同一 公 条直线上的三 理 点，有且只有 一 2 个平面(即可以
确定一个平面)
12/13/2021
一是确定平 A，B，C三 面；二是证 点不共线⇒ 明点、线共 存在唯一的 面问题；三 平面α，使A， 是判断两个
B，C∈α 平面重合的 依据
如果两个不重合 的平面有一个公 公 共点，那么它们 理 有且只有一条 3 通过这个点的 公共直线
12/13/2021
知识点二 平面的基本性质及作用
公 内容
理
如果一条直线上 的 两点 在一个平 公 面内，那么这条 理1 直线上所有的点 都在这个平面内 (即直线在平面内)
图形
符号
作用
既可判定直线
A∈l，B∈l，和点是否在平
且A∈α， 面内，又能说
B∈α⇒
明平面是无限
lα
延展的
12/13/2021