量子力学期末复习资料
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学复习重点
1 e 2
2 2
x
e
i Px
dx
e
1 2 x2 2
e
i Px
dx
1 2 1 2 1 2
e
1 ip p2 2 ( x 2 )2 2 2 2 2
dx
2 e
4 2 1 ( 3 2a0 a0
0
r 2 r / a0 (2r )e dr a0
2 2 a0 a0 4 2 2 ( 2 ) 4 2 4 4 2a0 2a0
(r , , )d (5) c( p) * p (r )
c( p ) 2
p2 ； 2
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) U
1 1 2 x 2 2 2 2
x 2 e
2
x2
dx
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 4
(2) T
4 3 a0
0
r 3 a 2 r / a0 dr
4 3! 3 a0 3 4 2 a0 2 a 0
(2) U (
e2 e2 ) 3 r a0
0 0
2
0
1 2 r / a0 2 e r sin drd d r
e2 3 a0 4e 2 3 a0
解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
量子力学期末复习
第一章绪论1.量子力学的研究对象和适用范围是什么？量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动变化规律的科学。
量子力学规律同时适用于微观世界与宏观世界，即全部物理学都是量子物理学。
2.什么是量子现象？在研究原子、分子、原子核、基本粒子时所观察到的关于微观世界的系列特殊的物理现象。
凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
3. 黑体：能够全部吸收各种波长的辐射，完全不发生反射和透射，且能发射各种波长的热辐射能的物体称为绝对黑体（黑体）。
如：空腔上的小孔、烟煤、太阳。
4.普朗克量子假说“能量子”假设：能量是分立的，不是连续的。
物体吸收或发射电磁辐射时，辐射的能量不是连续的，而是分立的，它的取值只能是能量子ε=hν的整数倍。
5.什么是光电效应？它有哪两个突出的特点？写出爱因斯坦的光电效应方程。
金属被光（紫外光）照射时，有电子从金属表面逸出，这种现象称为光电效应。
这种电子称之为光电子。
突出特点：①存在临界频率v0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
光电效应方程：其中m e为电子质量，υm为电子的最大初速度，ν为光子的频率，W0为电子挣脱原子束缚所需做的逸出功。
6.爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E =hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
7.什么是康普顿效应？为什么用X射线来进行实验？X射线投射到石墨上发生散射，在散射的X射线中，不但存在与入射光波长相同的X射线，同时还存在波长大于入射光波长的X射线，且波长增量随散射角增大而增大。
这一波长改变的散射称为康普顿效应。
因为X 射线的能量远大于原子中电子的束缚能，光子的能量只能部分地被电子吸收，能够观察到散射的X 射线。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
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量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示形式。
大学量子力学期末复习
薛定谔方程： 薛定谔方程：
六、微扰 定态微扰： 定态微扰： (1)、在未加入微扰时，能级非简并，加入微扰 (1)、在未加入微扰时，能级非简并， 后能级发生移动，上升或下降； 后能级发生移动，上升或下降； (2)、在未加入微扰时，能级简并， (2)、在未加入微扰时，能级简并，加入微扰后 能级发生分裂（部分或全部分裂）。 能级发生分裂（部分或全部分裂）。 能级简并部分或全部消除
பைடு நூலகம்En
二维 三维
ˆ ˆ H x + H y ~ ψ nx ( x)ψ ny ( y )
E = E nx + E ny
E = E nx + E ny + E nz
ˆ ˆ ˆ H x + H y + H z ~ ψ nx ( x)ψ ny ( y )ψ nz ( z )
四、氢原子 <0时 1、氢原子体系中当E<0时
ˆ ˆ 在 S 2 , S z 表象中
h 0 1 ˆ sx = 2 1 0
h 0 −i ˆy = s 2i 0
h 1 0 ˆ sz = 2 0 −1
3h 2 1 0 ˆ s = 0 1 4
2
3、全同粒子的特点：（1）固有性质完全相同； 全同粒子的特点： 固有性质完全相同； 不可区分性。 （2）不可区分性。 4、全同性原理： 全同性原理： 全同粒子所组成的体系中， 全同粒子所组成的体系中，二全同粒 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 5、全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 对称： 对称：玻色子 ， 遵循玻色统计规律 反对称： 反对称： 费米子， 费米子，遵循费米统计规律
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简答
第一章 绪论
什么是光电效应爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子
用来解释光电效应的爱因斯坦公式：22
1
mv A h +=ν
第二章 波函数和薛定谔方程
1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：
2211ψψψc c +=（1c ，
2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确
4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗为什么
答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态
1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别
答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的
几率分布；
（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观
粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；
6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)
()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数
是否描述同一态分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*
12
11x x x x W ψψψ== 2
12*
22*
22)()
()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 2
13*
33)()()()(x x x x W ψψψ==
第三章 量子力学中的力学量
2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
答：不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态
3、在量子力学中，自由粒子体系，力学量p ˆρ守恒；中心力场中运动的粒子力学量L ˆρ守
恒.
答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。
自由粒子体系，0]ˆ,ˆ[=H p
ϖ所以力学量p ˆρ守恒 中心力场中运动的粒子0]ˆ,ˆ[=H L ϖ所以力学量L ˆρ守恒.
1、量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，电子在均匀电场)0,0,(E E =ρ
中
运动，哈密顿量为x eE m
p H ˆ2ˆˆ2-=ϖ，试判断x p ˆ，y p ˆ，z p ˆ各量中哪些是守恒量，并说明原因。
答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。
y p 和 z p 是守恒量
因为：[]
0]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[0]ˆ,[0ˆ,22====z y z y
p p
p p p
x P x ρρ
则有： 0]ˆ,ˆ[=H p
y 0]ˆ,ˆ[=H p z 且y p
ˆ、z p ˆ不显含时间。
所以，z p 、y p 是守恒量 3、量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的
守恒量定义有什么不同
答：力学量守恒的条件：（1）力学量不显含时间，即 0ˆ=∂∂t
F
（2） 0]ˆ,ˆ[=H F
经典力学中如果物理量不随时间变化则称这个物理量为守恒量。
3、在量子力学中，自由粒子体系，力学量p ˆρ守恒；中心力场中运动的粒子力学量L ˆρ守
恒；在定态条件下，守恒的力学量是能量 。
答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。
自由粒子体系，0]ˆ,ˆ[=H p
ϖ所以力学量p ˆρ守恒 中心力场中运动的粒子0]ˆ,ˆ[=H L ϖ所以力学量L ˆρ守恒. 在定态条件下，0]ˆ,ˆ[=H H
所以能量守恒
第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论
第七章 自旋与全同粒子
2、什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系
答：全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变，全同粒子在重叠区的不可分性 泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。
它是全同性原理的自然推论。
2、 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么表明电子有自旋的实验事实有哪些 答：乌伦贝克关于自旋的的基本假设是
每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2
η
±
每个电子具有自旋磁矩s M ˆ
ρ，它和自旋角动量S ˆρ的关系是S e M s ˆˆρρμ
-=
实验事实有：（1）斯特恩－盖拉赫实验 （2）（碱金属）原子光谱的精细结构 （3）反常塞曼效应
3、 表明电子有自旋的实验事实有哪些自旋有什么特征
答：实验事实有：（1）斯特恩－盖拉赫实验 （2）（碱金属）原子光谱的精细结构 （3）反常塞曼效应 自旋特性：① 内禀属性
② 量子特性，不能表示为
③满足角动量的一般对易关系，
证明：
0]ˆ,ˆ[2=x L L
证明：
]ˆ,ˆ[2x L L []
x
z y x L L L L ˆ,ˆˆˆ222++=
[][][][]
z x z x z z y x y x y y L L L L L L L L L L L L ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ+++=
z y y z y z z y L L i L L i L L i L L i ˆˆˆˆˆˆˆˆηηηη++--=
0=
0]ˆ,ˆ[2=y L L
证明：
]ˆ,ˆ[2y L L []y z
y
x
L L L L
ˆ,ˆˆˆ222
++=
[][][][]
z
y z y z z x y x y x x L L L L L L L L L L L L ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ+++= z x x z y z z x L L i L L i L L i L L i ˆˆˆˆˆˆˆˆηηηη--+= 0=
z i y L x
η=],ˆ[ 证明：
y y z z y z x
p y z y p z p y y y p y y p z p y y L ˆ],[],ˆ[ˆ],[],ˆ[],ˆˆ[],ˆ[--+=-=
]ˆ,[y p
y z =z i η= i z y x =σσσ
ˆˆˆ
证明：0}ˆ,ˆ{ˆ2]ˆ,ˆ[==y x z y x i σσ
σσσ
Θ 即：z x y y x i σσσσσ
ˆ2ˆˆˆˆ=- 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ
（1）式+（2）式得：z y x i σσσ
ˆ2ˆˆ2= 等式两端同乘z σˆ得：i i z z y x 2ˆ2ˆˆˆ22
==σσσσ 故：i z y x =σσσ
ˆˆˆ 2．厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
设l k φφ,是厄米算符F
ˆ的本征函数，相应的本征值分别是k λ和l λ，并且 l k λλ≠
则 k
k k F φλφ=ˆ （1） l
l l F φλφ=ˆ （2） 因为F
ˆ是厄米算符，所以下式成立 τφφτφφ
d F d F l k l k
**
⎰⎰=)ˆ()ˆ(
由（2）式 左边=τφφλd l
k l
⎰*
由（1）式 右边=⎰*
*
τφφλd l k k
由左边等于右边得
τφφλτφφλd d l k l l k k ⎰⎰*
**=
即0)
(=-⎰*
*τφφλλd l k l k
又因为F
ˆ是厄米算符，所以它的本征值都是实数，即k k λλ=*
所以0)
(=-⎰*τφφλλd l k l k
又因为l k λλ≠ 所以
0=⎰*
τφφd l k
即厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。