量子力学总结

量子力学总结第一部分 量子力学基础（概念）量子概念所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。

描述对象：微观粒子微观特征量以原子中电子的特征量为例估算如下：○1“精细结构常数”（电磁作用常数），1371~10297.732-⨯==c e α○2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~0224222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即：数10eV 数量级○3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~220mea =Å，一般原子的半径1Å○4速率：26~~ 2.210/137e c V c m s c ⋅-⨯ ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期秒1600105.1~2~-⨯v at π秒角频率160102.4~~⨯a v c ω，即每秒绕轨道转1016圈（电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ）○6角动量：=⋅⋅2220~~em me mv a J基本概念：1、光电效应2、康普顿效应3、原子结构的波尔理论波尔2个假设：定态轨道定态跃迁4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。

Ph =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。

称Ph h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。

说明其物理意义。

答：动量v p μ=波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--⨯=⨯⨯===μλ晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。

5、波粒二象性（1）电子衍射实验1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ0.167nmh hpλ===汤姆逊（G·P·Thomson）用高速电子穿过金属衍进行实验，也获得了电子衍射的图样。

如错误！未找到引用源。

是电子在Au多晶的衍射图样。

（2）电子干涉实验干涉实验说明：◆大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行为表现出同样的波动性。

◆干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。

结论：◆干涉、衍射现象是波动本质的体现，波动是无条件的，干涉、衍射现象的观测是有条件的。

◆干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。

◆粒子的波粒二象性，从量子观点看，所谓粒子性是它具有质量、能量、动量等粒子属性。

所谓波动性是指其具有频率、波长，在一定条件下，可观察出干涉和衍射，波和粒子性是物质同时具有的两个属性（但是不能同时观测），如同硬币的两面。

备注：宏观粒子（如子弹）仍然具有波动的属性（“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动），但是，观察不到干涉现象。

6、波函数及波函数的统计诠释（1）波函数：表示一个体系的粒子状态，即用粒子坐标和时间为变量的波函数作为体系粒子状态全面的数学描述。

（2）几率密度|ψ|2：解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率（或在一定空间间隔内的几率密度）（3）几率|ψ|2d τ：空间d τ体积内的几率 备注：波函数的统计诠释：|E|2解释为“光子密度的几率量度”首先考察光的双缝干涉图样。

由波动图像，屏幕上某点的强度I 由下式给出20||I c ε=E (2-13)式中：E 为该点的电场强度；ε0为真空介电常数；c 为光速。

另一方面，由光子图像，屏幕上一点的强度为I hvN =式中：hv 是一个光子的能量；N 为打在屏幕上该点的光子通量（单位时间通过单位面积的光子数），虽然单个光子到达屏幕什么地方无法预测，但亮带光子到达的几率大，暗带光子到达的几率小，在屏幕上一点的光子通量N ，便是该点附近发现光子几率的一个量度。

因为20||I c hvN ε==E ，所以2||N ∝E 上式说明，在某处发现一个光子的几率与光波的电场强度的平方成正比。

这就是爱因斯坦早在1907年对光辐射的量子统计解释。

|ψ|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率由于电子也产生类似的干涉条纹，几率大的地方，出现的电子多，形成明条波；在几率小的地方，出现的电子少，形成暗条纹。

与爱因斯坦把|E|2解释为“光子密度的几率量度”相似，玻恩把|ψ|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率。

玻恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率”。

玻恩由此获得了1954年诺贝尔物理奖。

（4）微观物体任意运动状态（任意态）的描述（非定态波函数）及普遍物理诠释按照态迭加原理，非征态ψ可以表示成本征态的迭加： n n C ψψ=∑2||n C ∑代表总的几率，可见2||n C 就是ψ态中本征态ψn 的相对强度（成分），也就是ψ态部分地处于ψn 的相对几率。

2||n C ＝在态ψ中力学量F 的取值λn 的几率，这就是对波函数ψ的普遍物理诠释。

备注：可以认为ψ是部分地处于ψ1，部分地处于ψ2，因此F 的取值可以是λ1，也可以是λ2……总之，只要n n C ψψ=∑中存在ψn 项，相对应的本征值λn 就是F 的一个取值。

由（4-22）式C n 的公式知*n n C d ψψτ=⎰对（4-21）取共轭后：***n n C ψψ=∑（4-23）（4-21）与（4-23）相乘，再积分*****2||n n m m n m nm n n n n m n m n nd d C C C C C C C ψψττψψδ====∑∑∑∑∑∑⎰⎰（本征态的正交归一性*nm nm d ψψτδ=⎰） 如果ψ是归一化的，即*1d ψψτ=⎰，则2||1n C =∑ （4-24）如果ψ没有归一化，则2*||1n n C d ψψτ=∑⎰ （4-25）由（4-24）式和（4-25）式得出2||n C ∑代表总的几率，可见2||n C 就是ψ态中本征态ψn 的相对强度（成分），也就是ψ态部分地处于ψn 的相对几率。

2||n C ＝在态ψ中力学量F 的取值λn 的几率，这就是对波函数ψ的普遍物理诠释。

7、波函数的性质波函数及其一次微商在全部分布空间中都必须有限，单值、连续的，平方可积。

◆ “有限”的要求是从波函数的几率诠释产生出来的，因为，ψ*ψ代表几率，而几率总是有限的。

◆ “单值”是从波函数作为状态的全面 数学描述提出的要求，如果波函数“连续”的要求是多值函数，状态性质就无法确定了。

◆ “连续”可以从定态一维薛定谔方式：ψψψE x V dx d m =+-)(2222 中直接得出，则上式变为：ψψ])([2222E x V m dx d -= ，积分一次⎰-=dx E V m dx d ψψ)(22 不管被积函数（V-E ）ψ是否连续，（有时V(x)不连续，在个别点有跃变），只要它是有限的，则其积分总是连续的，因此dx d ψ是连续的。

◆ “平方可积”：为了计算方便，常引入一些不是平方可积的波函数（相当于粒子运动范围实际上没有限制，粒子可以达无限远处），这时只要作合理数学处理，仍可用⎰=有限值τψd 2||，归一化几率。

8、波函数的叠加原理从经典物理中波的概念知，波具有干涉、衍射现象，满足叠加原理，微观粒子具有波粒二象性，即具有波动的特性，因此，微观粒子的波函数也同样具有叠加性，称之为态叠加原理。

叠迭加性表现在：任何一个态（波函数ψ）总可以看成是由其他某些态（ψ1，ψ2……）线性叠加而成：ψ＝C 1ψ1+C 2ψ2+……C 1，C 2……为复数如果波函数ψ1，ψ2，…是可以实现的态时，则它们的线性叠加式∑=n n nC ψψ总是一个可以实现的态。

当粒子处于叠加态ψ时，可以认为它是部分地处于ψ1态，部分地处于ψ2态，……部分地处于ψn 态.9、几率密度与几率流密度几率密度w ：2),(),(t r t r w ψ= （2-17） 几率流密度)(2**ψψψψ∇-∇-=m i j 0=⋅∇+∂∂j w t（2-22） 几率连续性方程，其积分形式为 ⎰⎰⎰⋅-=∂∂S V dS j wd t s τ （2-23） j 的物理意义：（几率流密度）（2-23）式中：左边代表在封闭区域V s 中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增量，右边（注意符号!）内通过则应代表单位时间V s的封闭表面S 而流入V s 的内的几率（粒子数），所以j 具有几率流（粒子流）密度的意义，是一个矢量。

这个表达式的物理意义是十分清楚的，即单位时间内空间某一区域V s 中增加的几率等于该区域边界流入的几率。

9、定态（几率）、束缚态（波函数为零）、本征态 10、本征方程、本征函数、本征值 11、算符的对易性12、常用力学量算符（能量 Ei t∂=∂ 、哈密顿算符22()2H V r m =-∇+ 、动量 P i →-∇ 、动能 222T m →∇ 、势能 ()()Vr V r →、坐标r r → 、角动量、角动量z 轴分量），，，13、力学量算符的性质（线性、厄米） 14、线性算符的性质 15、厄米算符的性质(1)、厄米量算符的本征值为实数(2)、厄米量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一。

(3)、厄米算符在一定条件下，厄米算符的本征函数组成完备系。

13、14、15结论：(1)、力学量算符的本征值为实数(2)、力学量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一。

(3)、在一定条件下，力学量算符的本征函数组成完备系。

16、隧道效益、塞曼效益、史塔克效益17、微扰的含义18、全同粒子、费米子、波色子、洪特法则、泡利不相容原理19、海森堡测不准关系（两个物理量同时测量测不准） 20、两个物理量同时测准的条件第二部 基本公式1、 薛定谔方程量子波动方程，称薛定谔方程。

三维情况：2222222x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ 称拉普拉斯算符定义： 22ˆ()2h H V r m=-∇+ 称为哈密顿算符 三维薛定谔方程：22[(,)]2h ih V r t t m ψψ∂=-∇+∂ˆih H t ψψ∂=∂ 2、定态薛定谔方程在势能项V 中不含时间t 时，哈密顿算符ˆH也不显含时间。