步步高2015高三物理(新课标)一轮讲义：4.4万有引力与航天

第4课时 万有引力与航天

考纲解读1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．

1．[对开普勒三定律的理解]火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运

动定律可知( )

A ．太阳位于木星运行轨道的中心

B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C

解析 火星和木星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，速度的大小不可能始终相等，因此B 错；太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此A 错； 在相同时间内，某个确定的行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，因此D 错，本题答案为C.

2．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F ＝G m 1m 2

r

2，以下说法中正确的是( )

A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体

B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大

C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律

D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 答案 C

解析 万有引力公式F ＝G m 1m 2

r ，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它

推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.

3．[第一宇宙速度的计算]美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗

类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒—22b ”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于( ) A ．3.3×103 m/s B ．7.9×103 m/s C ．1.2×104 m/s D ．1.9×104 m/s 答案 D

解析 由该行星的密度和地球相当可得M 1R 31＝M 2

R 32，地球第一宇宙速度v 1＝

GM 1

R 1

，该行星的第一宇宙速度v 2＝

GM 2

R 2

，联立解得v 2＝2.4v 1＝1.9×104 m/s ，选项D 正确． 4．[对人造卫星及卫星轨道的考查]a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗

人造卫星．其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示．下列说法中正确的是( )

图1

A ．a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度

B ．b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度

C ．a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度

D ．a 、c 存在在P 点相撞的危险 答案 A

解析 由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2

T

2＝ma ，可知B 、C 、D 错误，A 正确．

一、万有引力定律及其应用

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与

物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－

11 N·m 2/kg 2.

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 二、环绕速度

1．第一宇宙速度又叫环绕速度．

推导过程为：由mg ＝m v 21R ＝GMm

R 2得：

v 1＝

GM

R

＝gR ＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．

特别提醒 1.两种周期——自转周期和公转周期的不同

2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度 3．两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度

1．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2

r ＝m 4π2r T

2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表

面的重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2

G ，

天体密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3g

4πGR

.

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3

GT 2；

②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3πr 3

GT 2R 3

；

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π

GT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心

天体的密度．

例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称

出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( ) A ．地球的质量m 地＝gR 2

G

B ．太阳的质量m 太＝4π2L 32

GT 22 C ．月球的质量m 月＝4π2L 3

1

GT 21

D ．可求月球、地球及太阳的密度

解析 对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G ，

选项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 32

GT 2

2，B 项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误． 答案 AB

突破训练1 (2012·福建·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为

v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( ) A.m v 2GN B.m v 4GN C.N v 2Gm D.N v 4

Gm 答案 B

解析 设卫星的质量为m ′