高中数学椭圆的知识总结(含答案)

高中数学椭圆知识总结一、选择题1．(09·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12 [答案] D[解析] 由题意知：F (－c,0)，A (a,0)．∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2，∴e ＝c a ＝12.故选D. 2．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53 [答案] D[解析] 由PF 1→·PF 2→＝0知∠F 1PF 2为直角，设|PF 1|＝x ，由tan∠PF 1F 2＝12知，|PF 2|＝2x ，∴a ＝32x ，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2得c ＝52x ， ∴e ＝c a＝53. 3．(文)(北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)(浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为 ( )A ．4B ．8C ．12D ．16 [答案] B [解析] 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c ，0)和(c,0)(c >0)．若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12[答案] D [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝am (1)2n 2＝2m 2＋c 2(2)c 2＝m 2＋n 2 (3)，由(2)(3)可得m ＝c2，代入(1)得椭圆的离心率e ＝c a ＝12.故选D.5．(文)椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是 ( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.(理)已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为 ( )A ．6B ．15C ．20D ．12 [答案] D[解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.6．(2010·山东济南)设F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，c ＝a 2－b 2，若直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，33[答案] B[解析] ∵直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过F 2，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线x ＝a 2c 与x 轴交于Q 点，则易知|PF 2|≥|QF 2|，即|F 1F 2|≥|QF 2|，∴2c ≥a 2c－c ，∵c ＝a 2－b 2>0，∴3c 2≥a 2，即e 2≥13，∴e ≥33，∴33≤e <1. 7．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32B.12C.22D.3－1[答案] D[解析] 连结AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°，∴AF1＝c，AF2＝3c，∴e＝ca＝2c2a＝2cc＋3c ＝3－1.故选D.8．(文)(辽宁沈阳)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫14，49B.⎝⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12[答案] C[解析] 点B的横坐标是c，故B的坐标⎝⎛⎭⎪⎫c，±b2a，已知k∈⎝⎛⎭⎪⎫13，12，∴B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a.斜率k＝b2ac＋a＝b2ac＋a2＝a2－c2ac＋a2＝1－e2e＋1.由13<k<12，解得12<e<23.(理)椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a>c>0)．静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是( ) A．2(a－c) B．2(a＋c)C．4a D．以上答案均有可能[答案] D[解析] 如图所示，本题应分三种情况讨论：当光线沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当光线沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c )；在其它情况下，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选D.9．(杭州五校)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] A[解析] 由题意y 21m＋x 2＝1，且1m＝2，∴m ＝14.故选A.10．(宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为 ( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C. 二、填空题11．(文)已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．[答案]33[解析] 令x ＝－c ，∴c 2a 2＋y 2b2＝1.∴y ＝±b 2a .∴|F 1M |＝b2a.∵∠F 1MF 2＝60°，∴|MF 2|＝2|MF 1|＝2b2a.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴3b2a＝2a .∴a 2＝3c 2.∴e 2＝13，∵0<e <1，∴e ＝33.(理)(08·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．[答案] 22[解析] 设切点为Q 、B ，如图所示．切线QP 、PB 互相垂直，又半径OQ 垂直于QP ，所以△OPQ 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c， ∴e ＝c a ＝22.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. [答案] 54[解析] ∵x 225＋y 29＝1的焦点是A (－4,0)、C (4,0)，点B 在椭圆上，∴BA ＋BC ＝2a ＝10，∵AC ＝8，∴由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝54.13．设椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.[答案] 3[解析] 设右焦点F ′，由定义|PF |＋|PF ′|＝10， |PF ′|10＝e ＝35，∴|PF ′|＝6， ∵OM →＝12(OP →＋OF →)，∴M 为PF 的中点，∴|OM →|＝12|PF ′|＝3.14．若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案] 22<e <1[解析] 在椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得 (a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. 三、解答题 15．(文)点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)、F (4,0)，设点P 的坐标为(x ，y )， 则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6.由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523. (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2. 设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15，∵－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取最小值15.(理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0即3＋4k 2－m 2>0x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k2，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)， ∴k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.所以，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 16．(文)已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，求该椭圆的方程．[解析] 若椭圆的焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，两焦点F 1(－c,0)、F 2(c,0)，短轴的一个端点为B (0，b )，长轴的一个端点为A (a,0)(c ＝a 2－b 2)．由△BF 1F 2为正三角形知，|BF 1|＝|BF 2|＝|F 1F 2|，所以a ＝2c . 又焦点到椭圆上的点的最短距离为a －c ＝ 3. 由⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝ 3.解得a ＝23，c ＝3，b ＝3. ∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1.同理，若椭圆的焦点在y 轴上，椭圆方程为y 212＋x 29＝1.[点评] (1)上述求解中，利用了结论：焦点到椭圆上的点的最短距离为a －c .这是因为设P (x ，y )是椭圆上任一点，则x ∈[－a ，a ]，所以|PF 2|2＝(x －c )2＋y 2＝(x －c )2＋(b 2－b 2a 2x 2)＝c 2a 2(a 2c －x )2≥c 2a 2(a 2c－a )2＝(a －c )2，即|PF 2|≥a －c ，于是|PF 2|min ＝a －c .(2)此结论还可以用焦半径证明如下：椭圆焦点F ，椭圆上任一点P (x 0，y 0)，离心率e ，则|PF |＝a ±ex 0(左焦点取“＋”号，右焦点取“－”号)∵－a ≤x 0≤a ，∴a －c ≤|PF |≤a ＋c . 还可以用椭圆的参数方程证明从略．(理)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B (0，－1)，且其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆方程；(2)是否存在斜率为k (k ≠0)，且过定点Q (0，32)的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且|BM |＝|BN |？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则b ＝1.令右焦点F (c,0)(c >0)，则由条件得3＝|c －0＋22|2，得c ＝ 2.那么a 2＝b 2＋c 2＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在直线l ：y ＝kx ＋32(k ≠0)，与椭圆x 23＋y 2＝1联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋9kx ＋154＝0，由Δ＝(9k )2－4(1＋3k 2)·154>0，得k 2>512；设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，由|BM |＝|BN |，则有BP ⊥MN ，由韦达定理代入k BP ＝－1k ，可求得k 2＝23.满足条件k 2>512，所以所求直线存在，其方程为y ＝±63x ＋32. 17．(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[解析] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63a ＝3，∴c ＝2，b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)， 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∵k ≠0，∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值， S ＝12×|AB |max ×32＝32. (理)如图，在椭圆C 中，点F 1是左焦点，A (a,0)，B (0，b )分别为右顶点和上顶点，点O 为椭圆的中心．又点P 在椭圆上，且OP ∥AB ，点H 是点P 在x 轴上的射影．(1)求证：当a 取定值时，点H 必为定点； (2)如果点H 落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆的离心率的取值范围；(3)如果以OP 为直径的圆与直线AB 相切，且凸四边形ABPH 的面积等于3＋2，求椭圆的方程．[解析] (1)证明：由k AB ＝－b a ，OP ∥AB 得，l OP ：y ＝－b a x ，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1得，x 2＝a22，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22b 或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，－22b . ∵PH ⊥x 轴，∴H ⎝⎛⎭⎪⎫－22a ，0或H ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0. ∵a 为定值，∴H 为定点．(2)∵点H 落在左顶点与左焦点之间，∴－a <－22a <－c ，∴0<e <22.(3)以OP 为直径的圆与直线AB 相切等价于点O 到直线AB 的距离等于12|OP |.由条件设直线AB ：x a ＋y b＝1，则点O 到直线AB 的距离d ＝aba 2＋b2， ∵|OP |＝2a 2＋2b 22，∴ab a 2＋b 2＝2a 2＋2b24， ∴a 2＋b 2＝22ab .①∵S 四边形ABPH ＝S △ABO ＋S 四边形OBPH ＝12ab ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＋b 22a ＝3＋24ab ＝3＋2， ∴ab ＝4，②由①②解得a 2＝4(2＋1)，b 2＝4(2－1)， 所以所求椭圆方程为x 24(2＋1)＋y 24(2－1)＝1.。