偏微分方程教程 Fourier变换及其应用
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10-Fourier变换及其应用
, 即(1.10)成立.由(1.10),
f ( x ) e
i x
1 2 1 2
dx d x i fˆ ( )
12
i
f ( x )e
i x
推论 7.1 则
若 f ( x ) f
m
(m )
( x ) L ( ) C ( )，
2
Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏 微分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具 有普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本 知识及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解
某些典型数学物理方程的定解问题.
3
在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过 Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的 求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分 变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类 典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我 们下面将要介绍的Fourier变换。
g
f
L
1
故 f g L1 ( )
17
再由Fubini定理
( f g)
1 2 1 2
e
i x
dx
f ( x y ) g ( y )dy
g ( y )e
i y
dy
f ( x y )e
i ( x y )
定理证毕.
8
公式(1.2)称为反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定
第二章 Fourier变换.
2 R R
2 ix t h 2 iht ˆ x f dt n f t h e 2 ixtdt . n f t e dt n f t h e R
这样，当 x 时，得到
ˆ x 1 f t f t h e 2 ihtdt 1 f h f 0 . f 1 2 R n 2
x e, e x e, x e.
那么 g C0 R 且 g 为奇函数.由于
N e
lim
N
g t t
dt lim
N
N e
dt lim log log N ， t log t N
1
因此由上述事实可知 g 不是任何 L R 函数 Fourier 变换. 定理 2.1.2:(卷积及平移与 Fourier 变换的关系)如 f , g L R
0
Rn
ˆ x e 2 ix x dx f 0 ； f
1
b 如果 的递减径向控制函数 L1 R n ，那么 f 的 Fourier 积分的 平均在 a.e.
意义下收敛到 f .即：
lim
0
Rn
ˆ x e 2 ixt x dx f t 0 f
R
由(2.1.6)，并运用定理 1.3.1 和定理 1.3.2 即有下面的 推论 2.1.7：设 f , L R
1
， ˆ L R 且 x dx 1 ，则
n 1 n Rn
a
f 的 Fourier 积分的 平均在 L1 范数意义下收敛到 f .即： lim
在本段的最后，我们给出 Fourier 变换一个非常重要的特性： 定理 2.1.6:不存在 L R
2 ix t h 2 iht ˆ x f dt n f t h e 2 ixtdt . n f t e dt n f t h e R
这样，当 x 时，得到
ˆ x 1 f t f t h e 2 ihtdt 1 f h f 0 . f 1 2 R n 2
x e, e x e, x e.
那么 g C0 R 且 g 为奇函数.由于
N e
lim
N
g t t
dt lim
N
N e
dt lim log log N ， t log t N
1
因此由上述事实可知 g 不是任何 L R 函数 Fourier 变换. 定理 2.1.2:(卷积及平移与 Fourier 变换的关系)如 f , g L R
0
Rn
ˆ x e 2 ix x dx f 0 ； f
1
b 如果 的递减径向控制函数 L1 R n ，那么 f 的 Fourier 积分的 平均在 a.e.
意义下收敛到 f .即：
lim
0
Rn
ˆ x e 2 ixt x dx f t 0 f
R
由(2.1.6)，并运用定理 1.3.1 和定理 1.3.2 即有下面的 推论 2.1.7：设 f , L R
1
， ˆ L R 且 x dx 1 ，则
n 1 n Rn
a
f 的 Fourier 积分的 平均在 L1 范数意义下收敛到 f .即： lim
在本段的最后，我们给出 Fourier 变换一个非常重要的特性： 定理 2.1.6:不存在 L R
1.5 Fourier变换的应用
例如一根细长杆上的温度分布问题和声波在介 质中传播的问题等， 质中传播的问题等，研究这些物理量的变化规律就 会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式， 会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式， 即称之为偏微分方程或数学物理方程； 即称之为偏微分方程或数学物理方程；还要说明的 偏微分方程或数学物理方程 是，如果要确定一个物理模型中某一物理量的具体 的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件，因 的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件， 为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律， 为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律，而 实际中提出的物理模型都有特定的“环境” 实际中提出的物理模型都有特定的“环境”和“初 始状态” 这在数学上就称为边界条件 初始条件， 边界条件和 始状态”，这在数学上就称为边界条件和初始条件， 它们统称为定解条件。 它们统称为定解条件。 定解条件
变换公式可得， 变换公式可得，
利用Fourier变换，解积分方程： 变换， 例 利用 变换 解积分方程： ，其中 解
例2 求解积分方程 为已知函数， 其中 h (t)，f (t) 为已知函数，且 g (t)，h (t) 和 f (t) ， ， 变换都存在。 的Fourier变换都存在。 变换都存在 解 设 由卷积定义知， 由卷积定义知，积分方程右端第二项等于 f (t ) ∗ g(t ) 因些上述积分方程两端取 Fourier 变换，由卷积定理 变换， 可得
§1.5 Fourier变换的应用 变换的应用
1 微分、积分方程的Fourier变换解法 微分、积分方程的 变换解法 2* 偏微分方程的 偏微分方程的Fourier变换解法 变换解法
对一个系统进行分析和研究， 对一个系统进行分析和研究，首先要知道该系 统的数学模型， 统的数学模型，也就是要建立该系统特性的数学表 达式。所谓线性系统，在许多场合下， 达式。所谓线性系统，在许多场合下，它的数学模 型可以用一个线性的微分方程、积分方程、 型可以用一个线性的微分方程、积分方程、微分积 分方程（这三类方程统称为微分、积分方程） 分方程（这三类方程统称为微分、积分方程）乃至 于偏微分方程来描述，或者说凡是满足叠加原理的 于偏微分方程来描述， 一类系统可称为线性系统。 一类系统可称为线性系统。这一类系统无论是在振 动力学、电工学、无线电技术、 动力学、电工学、无线电技术、自动控制理论或其 它学科及工程技术领域的研究中， 它学科及工程技术领域的研究中，都占有很重要的 地位。本节将应用 变换来求解这类线性方程。 地位。本节将应用Fourier变换来求解这类线性方程。 变换来求解这类线性方程
Fourier变换及其应用
∫k( x - ∞
+ ∞
y ) f ( y ) d y , - ∞ < x < ∞ , 其中 g , k 是已知函数,
并假设它们具有足以使以下推导能成立的条件。 解 : 用 F , G , K 分别表示 f , g , k 的 F ourier 变换。 将求解的积分方程表成 f ( x ) = g ( x ) + k * f ( x ) , G( # ) 两端作 Fo ur ier 变换 , 由上述定理得到 F ( # ) = g( # ) + K(# ) F( # ) F(# ) = 1K(# ) + ∞ 1 G ( # ) - i# x 对上式作 F ourier 逆变换 , 得到: f ( x ) = 2∀ - ∞ 1 - K ( # ) e d# + ∞ 1 - , 0 ≤ ≤ 1 例 4 解积分方程 f ( x ) co s x d x = 0 0 , > 1 解 : 由于 f ( x ) 只定义在 ( 0, + ) 上 , 所以对 f ( x ) 作偶延拓, 则 f ( x ) 的傅氏变换
+ ∞ d + ∞ d d +∞ 证明: d ! ( ) = d - ∞f ( t) e - i t d t = - ∞ d [ f ( t) e - i t ] d t = - ∞( - it) f ( t) e- i t d t = - i F [ t f ( t ) ] 在上述证明过程中, 我们把求导和积分运算交换了次序 , 当然 , 这需要满足一定条件, 在这类问题 dn F ( ) = ( - i ) n F [ tn f ( t) ] , 这个性质表明 , 若已知 f ( t ) 的 Fo urier 中 , 总假定可以交换次序。 一般地, 有 d n n 变换, 则 t f ( t) 的 F our ier 变换也可求出。
第六章 第3节 Fourier变换性质及应用
dn n n F ( w ) ( j) [ t f (t )] ℱ n dw
(1.23)
§1.4
卷积
一.卷积的概念 1.定义 若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
f1 ( ) f 2 ( t - ) d - 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),即
-
f1 ( )F2 ( t - )d
f1 ( t - v )* f 2 ( t - v ) f 3 (v )d v -
f1 (v )* f 2 (v ) f 3 ( t - v )d v -
4)不等式
| f1 (t ) f 2 (t ) || f1 (t ) | * | f 2 (t ) |
例6
若F(w)= ℱ [f(t)], 证明
1 f ( t )dt F (w ) F (0) (w ) jw
t
-
特别地,若t lim
u
u -
f (t )dt 0
则(积分性质)
t f ( t )d t 1 ℱ [ f (t )]. (1.24) - jw
-
w0 (w - )d
(w - ) | w0 (w w0 )
1 1 1 F (w ) (w - w0 ) (w w0 ) 2 j(w - w0 ) j(w w0 )
iw 2 (w - w0 ) (w w0 ) 2 w0 - w 2
0
1 u( t ) (w ) jw
e jw0t e - jw0t f ( t ) u( t ) 2 1 1 1 F (w ) (w - w0 ) (w w0 ) 2 j(w - w0 ) j(w w0 )
(1.23)
§1.4
卷积
一.卷积的概念 1.定义 若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
f1 ( ) f 2 ( t - ) d - 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),即
-
f1 ( )F2 ( t - )d
f1 ( t - v )* f 2 ( t - v ) f 3 (v )d v -
f1 (v )* f 2 (v ) f 3 ( t - v )d v -
4)不等式
| f1 (t ) f 2 (t ) || f1 (t ) | * | f 2 (t ) |
例6
若F(w)= ℱ [f(t)], 证明
1 f ( t )dt F (w ) F (0) (w ) jw
t
-
特别地,若t lim
u
u -
f (t )dt 0
则(积分性质)
t f ( t )d t 1 ℱ [ f (t )]. (1.24) - jw
-
w0 (w - )d
(w - ) | w0 (w w0 )
1 1 1 F (w ) (w - w0 ) (w w0 ) 2 j(w - w0 ) j(w w0 )
iw 2 (w - w0 ) (w w0 ) 2 w0 - w 2
0
1 u( t ) (w ) jw
e jw0t e - jw0t f ( t ) u( t ) 2 1 1 1 F (w ) (w - w0 ) (w w0 ) 2 j(w - w0 ) j(w w0 )
Fourier级数与Fourier变换的概念及应用
Fourier级数与Fourier变换的概念及应用Fourier级数与Fourier变换是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。
本文将为大家详细介绍这两个概念的含义、性质以及应用。
一、Fourier级数Fourier级数是一种将周期函数用三角函数的和表示的方法。
它的基本思想是，将任意一个周期为T的函数f(x)展开成如下的三角级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，T = 2π/ω是函数f(x)的周期；an和bn是函数f(x)的各阶余弦和正弦系数；a0是函数f(x)在一个周期内的平均值。
这个级数称为Fourier级数，其中n为奇数或偶数正整数。
其中，an和bn系数可以由如下公式计算：an = (2/T) ∫f(x)cos(nωt)dxbn = (2/T) ∫f(x)sin(nωt)dx其中∫表示积分。
这个公式被称为Fourier系数公式。
Fourier级数是一种十分常见的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、声学等领域。
例如，我们可以用Fourier级数分析音乐，找出其中的各个音调和音高。
此外，Fourier级数也在计算机图形学中被广泛使用，用于图像压缩等方面。
二、Fourier变换Fourier变换是一种将非周期函数分解成各个频率分量的方法。
它的基本思想是，将任意一个函数f(x)在全实数轴上分解成各个频率的复指数的和：F(ω) = ∫f(x) e^-iωxdx其中，F(ω)是函数f(x)的频率域表示。
它表示的是不同频率的分量在该函数中所占的权重，即振幅和相位信息。
如果知道了F(ω)，我们可以通过它还原函数f(x)。
这个过程被称为Fourier逆变换：f(x) = (1/2π) ∫F(ω) e^iωxdωFourier变换在信号处理、图像处理、物理、工程等领域有着非常广泛的应用。
例如，我们可以用Fourier变换分析信号传输中的误差和失真情况，从而优化数据传输的效果。
Fourier变换在求解一类偏微分方程中的应用
文章 编号 ：６３—２５ （０ ８０ ０４ ０ １７ ０７ ２０ ）６— ４２— ２
Ｆ ｕｉ 变 换在 求解 一 类偏 微 分 方 程 中的应 用 ｏｒ ｒ ｅ
裴 金 仙
（ 山西大学商务学院， 太原 ００ ３ ） ３０ １
摘 要： 讨论 了Ｆ ｕｉ 变换广义函数 空间中的一 些基 本性质 ， 用 Ｆｕｉ 变换给 出了线性偏微 分 ｏｒ ｒ ｅ 利 ｏｒ ｒ ｅ
＜Ｆ［ ］ ＞ ＝ ＜ ＴＦ［ ＞， ∈ Ｓ Ｒ ） Ｔ， ， ］ Ｖ （
∈ｓ ‘ 解存在的一个充要条件：
性质 １ Ｆｕ ｅ 变换将微分运算变为乘以幂函 ｏｒ ｒ ｉ 数运算 ， 反之将乘以幂函数运算变为微分运算 ， 即：
定理 设ｐｘ （）＝ ∑ ｎ ， 取线性偏微分算
一
＜Ｆ Ｔ ， ［ ］ 一皤 ＞＝＜皤， Ｔ ， ＞ ［］
１ ｌ≤ ｍ ａ
则有 ： （ ） ［ ］＝Ｆｆ ， Ｐ ｉ Ｆｇ ｘ Ｉ］
］＝ Ｆ Ｉ￣ ］ － ［ ｆ ． ５
，
设 Ｐ ）＝ ∑ ａ 。取线性偏微分算子为 （ ａ， ＰＤ ＝ ∑ 。 则我 有下面 推 （） ， 们 ａ 的 论：
推论 １ Ｆ Ｐ Ｄ Ｔ ［ （ ） ］＝ Ｐ ｉ） Ｔ ，（ Ｆ Ｔ （ ］Ｐ Ｄ） ［ ］＝Ｆ Ｐ 一 ） Ａ ［ （ ］ 定理 的证明 方法 Ｉ Ｐ Ｄ ｇ＝ 两边同时作 ： （） ， 对
Ｆｕｉｒ ｏｒ 变换 ， 义函数 Ｆｕｉｒ ｅ 由广 ｏｒ 变换的定义有 ， 任 ｅ 对
为偏 数微分 方程 理论研 究 的一 个重 要工具 。
函 ＜ 一＜， ＶＥ （ 数薏 罄＞ Ｒ Ｃ ｏ）
类似可以定义高阶偏导数 ， 对于 ｎ 重指标 有 ：
＜ Ｔ ＞ ＝（ ） ， 一１ 。＜Ｔ ａ ＞， ∈Ｃ∞ Ｒ ） ， Ｖ ｏ（ ，
Fourier分析在偏微分方程中的应用
( x, ) ( R n \ 0) 上考虑。
拟微分算子理论的发展为解决线性偏微分方程的
重大问题做出了重大贡献。例如：Cauchy问题解
的唯一性、椭圆算子的指标问题（Atiyah-Singer
指标定理）。
微局部分析－拟微分算子
以拟微分算子为代表的 微局部分析是一个很大 的理论体系，反映出微 局部分析已超出偏微分 方程的领域，成为现代 分析的重要思想。
Fourier在他的《热的解析理论》的最后一部分讨 论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分， 也就是我们后面讲到的Fourier变换。 Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。 Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数 可以分段表示。
从Fourier分析谈起
Fourier级数：
由一个函数的Fourier变换写不出原来的函数；
变系数的方程无法作Fourier变换；
…...
微局部分析
经典的偏微分方程是在 x R n 考虑，微局
部分析则在
( x, ) ( R n \ 0)
考虑。或者说
在余切丛 T * \ 0 考虑。从空间和频域两个侧
面了解一个函数。
谢谢！
f ( x)e inx dx
从Fourier分析谈起
Fourier定理告诉我们：一个周期函数总可被正 弦函数和余弦函数表出：
从Fourier分析谈起
四个不同频率
的基本波复合 成一个波； 高频，低频；
从Fourier分析谈起
示波器
从Fourier分析谈起
小提琴师演奏的一段声乐是：
y 0.06 sin 1000 t 0.02 sin 2000 t 0.01 sin 3000 t
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12
性质 7.5 (乘多项式) 若 f (x) xf (x) L1( ), 则
(xf (x)) i d fˆ( )
(1.12)
d
证：由于 f (x) xf (x) L1( ), 故 fˆ ( ) 是 的连续可微
函数, 且有
d fˆ() 1 f (x)(ix)eixdx i(xf (x))
df dx
i
fˆ
(1.9)
10
证:由假设 f (x) f (x) L1() C() 知
lim f (x) 0
x
(1.10)
事实上, 由 f (x)C() , 则
x
f (x) f (0) 0 f (t)dt
因为 f (x) L1() , 故有
lim
x
f
(x)
a
f (0)
0
f (t)dt
M sin N d M
1 M g(x)sin Nd f (x) MN sin d
M
MN
其中
g ( x )
1
0
f (x )d
是
x
的连续函数
(1.4) (1.5)
6
现在任给 0 , 首先取 M0 足够大，使得当 M M 0 时,
J1
4
J3
4
.
其次再固定
M ,取
N 充分大, 由黎曼-勒贝格
N 2
N
(1.2)
4
证：由于 f (x) L1(,因此 含) 参变量的积分
对一致收敛, 且为的连续函数. 从而有
f (x)eixdx
1 N fˆ ( )ei xd 1 f ()d N ei (x )d
2 N
2
N
1 f () sin N (x ) d
x
1 f ( x) sin N d
的变换称为Fourier逆变换, 记为 ( fˆ ( )),
因此(1.2)亦可写成 ( fˆ ) f 即一个属于 L1() C1()
的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换, 就回到这个函数本身．
注:在以后应用Fourier变换的反演公式求解问题时, 我们先不必 深究上述定理的条件是否满足, 而是直接应用它导出问题的形式解, 然后再通过直接验证, 以确定这个形式解就是“真解”.
3
1.1．Fourier变换
定义 7.1 若 f (x) L1( ), 则对任意的
1 f (x)ei xdx fˆ ( )
2
有意义, 我们称它为的Fourier变换,或记为
, 积分
(1.1)
定理 7.1 (Fourier积分定理)若 f (x) L1( ),则 C1( )
lim 1 N fˆ ( )ei xd f (x)
d
2
由此即知(1.12)成立.
13
推论 7.2 若 f (x)L xm f (x) L1( ), 则
(xm f (x))
im
dm
(Riemann-Lebesgue)引理, 有
1 M g(x) sin Nd
M
4
此外
sin x x
dx
,当
N
f (x) MN sin d f (x)
MN
4
将它们代入(1.3)立即可得当 N N0 时
1 N fˆ ( )eixd f (x)
2 N
定理证毕. 7
公式(1.2)称为反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定义
§1 Fourier变化及其性质
【知识点提示】 Fourier变换的定义与性质及其逆变换。
【重、难点提示】 求解函数的Fourier变换及其逆变换，特别是逆变
换。 【教学目的】
熟练掌握Fourier变换的定义和性质，能熟练地求 解某些特殊函数的Fourier变换及其逆变换 。
1
Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏微 分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具有 普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本知识 及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解某些典 型数学物理方程的定解问题.
8
1.2.基本性质 在运用Fourier变换求解定解问题之前, 我们先介绍Fourier变换
的一些基本性质. 性质 7.1(线性性质)若
f (x) g(x) L1( ) , 则对任意常数
12 ，有 (1 f 2g) 1 fˆ 2gˆ
(1.6)
性质 7.2(平移性质)若 f (x) L1( ) ，则对任意常数a, 有
2
在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过 Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的 求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分 变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类典 型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我们 下面将要介绍的Fourier变换。
又因f (x) L1() , 由反证法亦知 a 0 , 即(1.10)成立.由(1.10),
利用分部积分公式, 有
df dx
1
2
f (x)ei xdx
1 i f (x)eixdx i fˆ ( )
2
11
推论 7.1 若 f (x)L f (m) (x) L1( ) C( )，
( f (x a)) eia fˆ ( ) (1.7)
9
性质 7.3(对称性质)若 f (x) L1( ) , 则
( f (x)) fˆ ( )
(1.8)
以上三条性质的证明均可由Fourier变换及其逆变换的定义直接 推出. 请读者自己完成 .
性质 7.4(微商性质)若 f (x) f (x) L1() C() , 则
则
dm f
dxm
(i )m
fˆ ( ) m 1
(1.11)
注： 这个性质表明微商运算经Fourier变换后转化为乘积运算,因 此利用Fourier变换可把常系数的常微分方程简化为函数方程,也可 把偏微分方程简化为常微分方程.正由于这个原因,Fourier变换成为 解常系数线性偏微分方程的重要工具.
1
M
M
M
M
J1 J 1 23)的极限. 易知
J1
1
M f ( x) sin N d 1
M
f (x) dx
同理可证
J3
1
M
f (x) dx
另一方面, 我们有
J2
1
M M
f (x ) f (x) sin Nd f (x)