双曲型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
双曲型偏微分方程组的数值解法研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。
双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。
有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。
下面我们将分别介绍这两类方法。
有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。
通常有限差分方法分为显式和隐式两种。
显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。
隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。
有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。
虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。
此时有限元法常被作为替代方法。
有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。
有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。
首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。
有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。
虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。
双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述
双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述一、引言双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equation，简称HPDE）在物理、工程、生物等众多领域都有广泛的应用。
这类方程的求解问题一直是数学界研究的热点和难点。
本文将对双曲型偏微分方程的求解及其应用方面的文献进行综述。
二、双曲型偏微分方程的求解方法1.分离变量法分离变量法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
该方法通过将方程中的未知函数分离成不同的变量，使方程化简为多个常微分方程，从而简化求解过程。
例如，在求解二维波动方程时，可以将未知函数分离为x和y两个方向的函数，得到一系列的一阶常微分方程，再利用初始条件和边界条件求解。
2.行波法行波法是一种基于双曲函数展开的求解方法。
该方法通过将方程的解表示为双曲函数的展开形式，利用双曲函数的性质，得到方程的通解。
例如，在求解一维波动方程时，可以将解表示为双曲正弦函数的展开形式，再利用初始条件和边界条件求解。
3.有限差分法有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法。
该方法将连续的空间离散化为有限个离散点，将偏微分方程转化为差分方程，再利用迭代或递推的方式求解。
有限差分法在求解双曲型偏微分方程时具有简单、直观、易于编程等优点。
4.变分法变分法是一种通过寻找能量泛函的极值来求解偏微分方程的方法。
该方法将偏微分方程转化为变分问题，利用变分的性质和极值条件，得到方程的近似解。
变分法在求解双曲型偏微分方程时可以获得精确的数值解。
三、双曲型偏微分方程的应用1.波动问题双曲型偏微分方程在波动问题中有着广泛的应用。
例如，在地震波传播、声波传播、电磁波传播等问题中，都可以用双曲型偏微分方程来描述。
通过求解双曲型偏微分方程，可以得到波的传播速度、传播方向、振幅等特征。
2.流体动力学问题双曲型偏微分方程在流体动力学问题中也有重要应用。
例如，在空气动力学、水动力学等问题中，可以用双曲型偏微分方程来描述流体的运动规律。
求双曲型偏微分方程组数值解的特征线法
特征线法是求解双曲型偏微分方程组数值解的一种常用方法，其基本思想是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的基本概念，特征线法的基本原理和数值求解过程，并结合实际问题进行案例分析，以便读者深入了解特征线法在实际工程和科学计算中的应用。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念1. 双曲型偏微分方程组的定义和特点双曲型偏微分方程组是指具有双曲型特征的偏微分方程组，其在数学和物理上具有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组的特点是方程中存在两个不同的特征方向，解的行为由这两个特征方向共同决定。
双曲型偏微分方程组的基本形式可以表示为：∂u/∂t + A(u)∂u/∂x = 0其中u是未知函数，t和x分别是时间和空间变量，A(u)是一个矩阵函数。
2. 双曲型偏微分方程组的物理意义和工程应用双曲型偏微分方程组描述了许多波动现象和守恒定律，因此在物理学、工程学和科学计算中有着重要的应用。
天气预报中的气象方程、弹性波动方程、流体力学方程等都可以用双曲型偏微分方程组描述，因此求解双曲型偏微分方程组的数值方法对于实际问题具有重要意义。
二、特征线法的基本原理和数值求解过程特征线法是一种求解双曲型偏微分方程组数值解的有效方法，其基本原理是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
特征线法的基本步骤包括确定特征线方程、构造数值格式、进行离散化和求解差分方程等。
1. 确定特征线方程双曲型偏微分方程组的特征线方程可以通过对方程进行特征分解得到，一般形式为：dx/∂t = λ1(u)du/∂t = λ2(u)其中λ1(u)和λ2(u)分别为特征线方程的两个特征方向，通过求解特征线方程可以确定数值方法的稳定性和收敛性。
2. 构造数值格式特征线法利用特征线方程构造数值格式，一般采用有限差分法或有限体积法进行离散化。
特征线法的数值格式应该满足守恒性、稳定性和收敛性等基本要求。
双曲型偏微分方程数值解法研究
双曲型偏微分方程数值解法研究双曲型偏微分方程的概述偏微分方程是数学中重要的一个分支领域，它研究物理上的现象和数学表达之间的关系。
在数学的偏微分方程领域中，双曲型偏微分方程是一个重要的问题，在工程和自然科学中都存在广泛的应用。
振动和波动问题都可以被形式化为双曲型偏微分方程，因此双曲型偏微分方程的求解方法具有广泛的意义。
双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations）通常可以被描述为：∂u/∂t + a∂u/∂x = 0其中a表示波在介质内的传播速度（速度）。
重要的双曲型偏微分方程有：·波动方程·热传导方程·输运方程数值解法的概述求解双曲型偏微分方程，最传统的方法是建立数值算法，实现离散化（discretization），得到有限差分方程（FINITEDIFFERENCE EQUATION）。
在有限差分方法中，偏微分方程从一个连续的域中转化为一个离散的域。
有限差分公式（The finite difference approximation formula）是求解双曲型偏微分方程的核心部分，这是从双曲型偏微分方程得到的一组离散版本，使用这些公式直接求解偏微分方程的数值解。
更具体地，有限差分可以分为以下几个步骤：将区域离散化为一个网格，对于每一个时间步长和空间网格的节点，确定每一个节点的状态，这样可以使用离散版本的微商对方程进行离散化。
方法的选择研究方法的选择是建立数值解法的关键，这取决于几个因素，例如应用领域，数值精度和求解时间。
在双曲型偏微分方程的数值解法中，最常用的方法是有限差分法（FINITE-DIFFERENCE METHODS），它是一种通用的求解方法。
另一种方法是谱方法（SPECTRAL METHODS），这种方法使用特殊处理模式的微分算子来处理偏微分方程。
近几年，更多的人开始使用有限元法（FINITE ELEMENT METHODS），这是一种更为灵活的方法，但计算成本相对较高。
双曲型偏微分方程数值求解方法研究
双曲型偏微分方程数值求解方法研究双曲型偏微分方程在物理学、工程学、数学等领域都有广泛应用，其数值求解方法的研究一直是人们关注的热点之一。
本文将从数学基础、数值求解方法等多个方面进行探究。
一、数学基础双曲型偏微分方程最基本的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0\tag{1}$$其中，$u(x,t)$为未知函数，$t>0$为时间，$x$为空间坐标。
该方程描述了波动、电磁场传播等现象。
对于双曲型偏微分方程，其初值问题的形式为：$$u(x,0)=f(x),\ \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)\tag{2}$$初值问题的解存在唯一性，同时还有能量守恒等性质。
二、数值求解方法双曲型偏微分方程的数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种被广泛采用的数值求解方法，其原理是将连续的求解区域离散化成有限个点，之后通过有限差分公式求出该点的近似解。
对于双曲型偏微分方程，可以使用中心差分公式进行离散化，即$$\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta t^2}-\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}=0\tag{3}$$其中，$u_{i,j}$表示在坐标$(i,j)$处的近似解。
2. 有限元法有限元法是一种更加广泛的数值求解方法，其原理是将求解区域划分为一系列小块，通过对每个小块内的方程进行求解，得到整个求解区域的近似解。
对于双曲型偏微分方程，可以采用时间-空间分离技术，先将时间离散化后，再对空间进行离散化，通过有限元法求解离散化后的方程。
3. 谱方法谱方法是一种基于函数逼近的数值求解方法，其原理是通过一组基函数对未知函数进行逼近，然后通过数值解法求解得到基函数系数，从而得到函数的近似解。
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
双曲型偏微分方程组的数学模型及算法研究
双曲型偏微分方程组的数学模型及算法研究双曲型偏微分方程组是数学中的一个重要分支，其广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学以及计算机科学等多个领域。
本文将介绍双曲型偏微分方程组（以下简称双曲型PDE）的基本概念，数学模型及其算法研究。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念双曲型偏微分方程可以简单地表示为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t)$$其中，$u(x,t)$是待求函数，$f(x,t)$是已知函数，$a$是常数。
对于双曲型偏微分方程中的函数$u(x,t)$，其趋势和形状通常会随着时间或空间的变化而发生变化。
这种性质决定了双曲型PDE的求解方法与其它类型偏微分方程组不同。
二、双曲型偏微分方程的数学模型在实际问题中，双曲型偏微分方程可以用来描述声波、水波、热传导等现象。
以声波方程为例，我们可以得到：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0$$此时$f(x,t)=0$。
该方程表示了声波在空气中的传播，其中$a$是声速，$u(x,t)$表示声波幅度。
可以看到，随着时间的推移，声波的幅度会发生变化，而空气中声波的传播速度$a$是固定不变的。
这种性质决定了声波传播方程是一个双曲型偏微分方程。
同样地，在热传导问题中，我们也可以得到一个双曲型偏微分方程模型：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=k\frac{\partial u}{\partial t}$$其中，$k$是热扩散系数。
这个方程描述了热传导的过程。
可以看到，随着时间的变化，温度分布图的形状和趋势也会随之改变。
双曲型偏微分方程模型的重要性在于其可以精确描述相应现象的物理过程，从而为实际应用提供基础和便利。
双曲型偏微分方程的求解及其应用
双曲型偏微分方程的求解及其应用摘要:双曲型偏微分方程是偏微分方程极其重要的组成部分。
它可以描述物体内部的振动，尤其是波动传播过程。
本文通过叙述偏微分方程以及其相关的概念定义，并且以波动方程作为双曲型偏微分方程的典型的例子来介绍其求解和应用。
文章重点讲述了用分离变量法来求解波动方程的的具体过程，并简单介绍了达朗贝尔方法以及积分变换方法。
关键词:双曲型；分离变量；积分变换Solution of hyperbolic partial differential equations and itsapplicationAbstract：Hyperbolic partial differential equations is partial differential equation of the most important components. It can describe object interior vibration, especially wave process. This article through narrative partial differential equation and its related concepts in wave equation is defined, and hyperbolic partial differential equations as the typical example to introduce its solution and the application. This paper tells the method of separation of variables to solve with the specific process of wave equation, and briefly introduces the method of lang bell and integral transform method.Keywords: hyperbolic type ; separation of variables ; Integral transform目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景、意义 (1)1.1.1 背景 (1)1.1.2 意义 (2)2 双曲型偏微分方程的基本概念 (3)2.1 偏微分方程的基本概念 (3)2.1.1 定义 (3)2.1.2 定解条件和定解问题 (3)2.1.3 定解问题的适定性 (3)3 双曲型偏微分方程的求解 (5)3.1 基本概念 (5)3.1.1 双曲型 (5)3.1.2 分离变量法 (5)3.1.3 一些方程的通解 (5)3.2 分离变量法 (6)3.3 达朗贝尔方法 (12)3.4 积分变换法 (15)4 双曲型偏微分方程的应用 (17)4.1 定解问题的求解 (17)4.2 弦自由振动的求解 (18)4.3 求解定解问题 (19)5 结论 (21)致谢 (22)参考文献 (23)1 绪论1.1 问题的背景、意义1.1.1 背景扩展微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，成为18世纪数学的鲜明特征之一，产生的新思想使数学本身大大受惠，一系列新的数学分支在18世纪成长起来。
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双曲型偏微分方程的求解及其应用
一、前言部分
在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。
这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。
介质的温度也是这样。
这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。
而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。
随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程.
双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有
着广泛的应用。
这两类方程一般可转化为常微分方程（组）。
它们在解的结构形式和解的稳定性研究方面都有共同之处。
求解双曲型方程边值问题的方法有很多,诸如变分原理,分离变量,有限差分法,有限元法等，各有其特色和弊端。
依赖于时间的物理过程，例如，热传导、分子扩散、机械振动、声波和气体与流体的运动等，均可归结为发展方程（包括双曲与抛物型偏微分方程等）的初值问题或初边值问题。
二、主题部分
偏微分方程的起源[3]
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
另外，解析几何是代数与几何相结合的产物，它把变量引入数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，同时也为微积分的创立奠定了基础。
微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一，也是科学技术发展史上最重大的事件之一[4、5]。
双曲型偏微分方程的求解及其应用
首先，我们解释一下定解条件和定解问题的概念问题[6、7]。
弦振动方程、热传导方程、拉普拉斯（Laplace）三种典型的方程，分别描述了各种物理状态的规律。
但是，仅有方程还不足以确定在特定条件下，某个具体的规律。
例如，端点固定和端点不固定的情形，尽管弦的振动规律满足同一方程，但振动显然是不同的。
又如物体表面绝热和物体表面与外界有热交换，物体的温度分布是不会相同的。
说明研究对象的边界状态对物理规律是有影响的。
因此，描述某个物理规律，除方程外，还需要附加描述初始状态的条件，即初始条件。
另外，物理规律还与初始状态有关。
如弦在开始时是平衡状态还是有位移，开始时具有初速度还是初速度为零，必然影响弦的振动情况。
所以，还需要附加描述初始状态的条件，即初始条件。
初始条件和边界条件统称为定解条件。
一个偏微分方程连同与它相应的定解条件组成一个定解问题。
所有含未知函数偏导数的方程统称为偏微分方程。
当所研究的自然现象需用多元函数描述的时候，往往就会遇到偏微分方程。
求解偏微分方程的问题，由于区域的复杂性，要比求解常微分方程的问题困难的多，求精确解一般是不可能的，因此近似解尤为迫切、重要。
用数字电子计算机的工具解偏微分方程问题，一般地采用数值方法。
当今，应用于解偏微分方程的主要数值方法是差分法和有限元法。
我们用差分法（如Euler方法）去解常微分方程的初值问题，实际上它也是求解各类型偏微分方程的传统数值方法，早在1928年，Courant、Friedrichs与Lewy就对差分方法作过很好的论述。
有限元法是20世纪中后期发展起来的解偏微分方程问题的一类新型数值方法。
另外，网域G h 和网点的概念[8、9]。
以二维Poission 方程的第一边值问题
-∆u = f （x,y ）， （x,y ）∈G （1）
u = α（x,y ）， （x,y ）∈Γ
为例来介绍边值问题的差分解法。
这里G 是（x,y ）平面上的一个有界区域，其边界Γ=∂G 为分段光滑的简单闭曲线。
构造边值问题（1）差分逼近的第一步，是用一个离散点集去近似代替区域G =G ⋃Γ。
一个简单作法是：取定正数h 和l （称为网格步长），用两族平行直线
x = x 0
+ ih ， i=0，±1，±2，… y =y 0
+jl ， j=0，±1，±2，… 将（x,y ）平面分割成小矩形。
两族直线的交点（x 0+ ih ，y 0
+jl ）称为网点，简记为（i ，j ）。
用G h 表示属于G 的所有网点（也可以包括某些G 外但与Γ很接近的网点）的集合，称G h
为网域。
根据上述概念，我们用差分解法求解双曲型方程[10、11、12、13]。
作为二阶线性双曲型方程的一个典型，考虑如下一维波动方程
22t u
∂∂ - 222x u
c ∂∂ = 0 （2）
的初值问题：求函数u(x,t)，它在满足方程（2）的同时并适合初值条件
U(x,t) = Φ（x ）， t
u ∂∂（x,0） = ψ（x ）。
（3） 此方程描述声音在均匀媒体中的传播，c 为传播速度（依赖于媒体的正常数）。
类似于抛物型方程的初值问题的差分逼近，取定空间与时间步长：h ，τ >0，记x j =jh ，t n =n τ，则网域G h
由网点 ｛（x j ，t n
）：j=0，±1，±2，…，n=0，1，…｝ 构成。
其次，在内部网点（x j ，t n
），n ≥1上，用下述二阶中心差商近似（2）中的二阶微商
（22x u
∂∂）
),(n t j x ≅ 2121h j n u j n u j n
u -+-+， （22t u
∂∂）),(n t j x ≅ 2121
τ
j n u j n u j n u -+-+， 其中u j n
=u （x j ，t n
），此时得到差分方程 2121τj n v j n v j n v
-+-+ - c 22121h
j n v j n v j n v -+-+ = 0， （4） j=0，±1，±2，…，n=0，1，…。
利用Taylor 展开，不难验证此方程对于微分方程（3）的截断误差阶为O （τ2+h 2）。
令。