二、光纤传输基本理论..

（1）几何光学射线法 当光线芯径远大于光波波长 0 时，可近似认为 0 0 , 从而将光波近似看成由一根光线所构成。因此，可以用几何 光学的方法来分析光线的入射、传播(轨迹)，以及时延(色散) 和光强分布等特性。 优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较 精确的结果； 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光 场分布等现象。而且当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误 差较大。
霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令 x, y, z x, y eiz
•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得
2 2 2 2 2 2 x , y x , y x , y x, y 0 t 2 z
2 6
上式就是光纤波导中光传播时遵从的波导场方程。这是波动 理论方法的最基本方程。显然，它也是一个典型的本征方程。 当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应
的本征值。通常将本征解定义为“模式”.
• 模式和基本特征
a) 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波; b) 每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件; c) 模式具有确定的相速群速和横场分布. d) 模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定 的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界 激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改 变模式的固有性质。
• 当导模的本征值 n1k0 时，导模场紧紧束缚于纤芯中
传输，称之为导模“远离截止”。每一个导模都对应于 一合适的V值使其远离截止，称之为导模的“远离截止条
件”。
• 直观的理解：光纤包层中出现辐射模，则导波“截
止”，不出现辐射模，则导模“远离截止”。
• 程函方程与射线方程
从亥姆霍兹还可以导出几何光学理论的基本方程－程函方程和射
二、光纤传输基本理论
我们知道光有波粒二重性，就是说即可以 将其看成光波，也可以将其看成是由光子组成 的粒子流。 因此，在描述光的传输特性时相应的也有 两种理论，即波动理论和射线理论（几何光学 方法）。前者描述起来比较复杂，需要麦克斯 韦方程求解，但它可以精确的描述光的传播特 性；后者描述起来比较简单直观，易于理解。
由纵向分量 Ez和 H 来表示 . z （通过将麦克斯韦方程在相应坐标系中按分量形 式展开比较后就可以得到模式各分量间的关系）
模式命名
• 根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命
名为: (1)横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0; (2)横电模(TE): (3)横磁模(TM): • Ez＝0, Hz≠0; Ez≠0,Hz＝0;
光纤中的一般问题均可用标量波动方程解决。
• 时、空坐标分离：亥姆霍兹方程
如果在光纤中传播的是单色波，即电磁波具有确定的 振荡频率f，角频ω=2πｆ，则可时、空坐标分离，令
x, y, z, t x, y, z eit
式中， 可代表 E 和 H 的任一分量。
再将上式代入标量波动方程(2-3)式，可得
基本理论涉及内容
• 光纤模式的激励(或光的入射)
• 光纤中的模式分布(或光纤传播轨迹)
• 模式的传播速度(或光线的时延)
• 模式沿光纤横截面场分布；
• 光信号的传输损耗； • 光信号的畸变； • 模式的偏振特性； • 模式的耦合；
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
• 光纤是一种介质光波导，这种波导有如下特点：
• 电矢量与磁矢量分离：波动方程
H D / t E B / t D 0 B 0
D E B H
对麦克斯韦方程第2式取旋度，并利用矢量关系，可得
2 E E E 1 D 1 E E D D
• U和W是场的横向传播常数；
• U反映了导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率； • W值则反映了导模在包层中的消逝场的衰减速度，其 值越大衰减越快。 • 还可以看到U，W和V满足如下关系
V 2 U 2 W 2
• 归一化频率
模式分析时的一个重要参量：光纤的归一化频率
V 2
2 a n12 n2 k0 an1 2




可得到只与电场强度 E 有关的方程式
2 E 2 E E t 2
2 1
• 同样的过程对麦克斯韦方程的1式进行处理，可以得到只与磁场强
度 H 有关的方程式
2 H 2 H H 2 t
模式场分量与纵横关系式
模式的场矢量 Ex, y, z 和 H x, y, z 具有六个场分量:
Ex , Ey , Ez 和 H x , H y , H z (或 Er , E , Ez 和 Hr , H , H z )。只
有当这六个场分量全部求出方可认为模式的场分布唯
一确定。 但实际上这并不必要。因为场的横向分量可
a). 无传导电流；b). 无自由电荷；c). 线性各向同性；
则其中传播的电磁波遵从下列麦克斯韦方程： H D / t E B / t D 0 B 0 同时各量满足物质方程： D E B H
• 光纤中电磁场传播的另一个重要特性是：两种介质交 界处(光纤纤壁)处电磁场满足边界条件，即 E 与 H 的 切向分量以及 D与 B 的法向分量均连续，其数学表达 E1t E 2 t 式为 H H 1t 2t B1t B 2 t D1t D 2 t 电磁场的规律是电场和磁场的交替变化，可以发现麦 克斯韦方程中，一方面，既有电场的量，也有磁场的量； 另一方面，既有空间坐标，又有时间坐标，两者相互影 响。求解的基本思路，利用分离变量法进行电、磁矢量
• 几何光学中，光线定义为等相面的法线。一般情况下， 麦克斯韦的试探解可以写成振幅与相位的形式


2 5
式中， t2是横向拉普拉斯算符， 与 分别是横向与纵向传 播常数。 (2-5)式中的 x, y 可以分别代表 E 和 H 的横向场分布，即 有 2 E x, y 2 E x, y
t 0 H x, y H x, y
波动理论法 ~d 模式 波导场方程
研究方法
主要特点
折射/反射定理
约束光线
边值问题
模式
分析思路
• 光纤传输基本理论的分析，主要是为光纤技 术的应用奠定基础。分析手段上，首先，利 用光线理论来分析光在光纤中的传播特性， 并对光纤中的模式及其基本性质进行初步讨
论；然后，用波动理论来进一步深入分析光
纤中的导波场的特性，依据光纤波导的边界 条件求解波导场方程，导出本征值方程，并 根据导模的截止和远离截止条件对光纤中的 模式特性进行详细讨论。
是K在z轴上的投影。
导模β的值是分立的，每一个β值代表着一个导模 (有时几个导模具有相同的β值，称之为“简并”)。
• C) 横向传播常数 横向传播常数即波矢K的横向分量
2 2 j n2 j k0
j 1,2
n1k0， 这里，j取1和2分别对应于纤芯和包层。纤芯中，
n2， k0 为实数；在包层中， 为虚数。为方便起见， 1 2
• 光纤波导中，电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存
在，在横向以“驻波”的形式存在。其特征是：场分
布沿轴向的变化只体现在相位上，场强度不随轴向传 播距离而变化(假设光纤中无模式耦合，也不存在损耗 与增益)。
z 若数学处理上，规定光纤轴向为 z坐 e zj方向，则场分布与 标的关系可用指数形式表示为 ，可进一步对亥姆
线方程, 它描述光线在任意光纤波导中传播的光线轨迹。
需要说明的是，光学发展史上，几何光学基本概念的形成，包括 直线传播，以及反射、折射等，都远远早于光学的波动理论。程
函数方程也完全可以从费马原理得到，而不必借助麦克斯韦的电
磁波理论。 为说明方法的统一性和理论的自洽性，可以从波动理论推导出几 何光学的基本方程。 需要注意的是，几何光学理论物理概念清晰，易于理解，但仅仅 是波动理论的零波长近似，其结果仅适用于多模光纤，不适合单 模光纤。
(4)混杂模(HE或EH):Ez≠0, Hz≠0。
光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出 TE(TM)模。
• 模式分析的基本参数
a) 场分布 场分布就是指六个场分量 Ex , Ey , Ez 和 H x , H y , H z 它们是波导场方程满足条件条件的本征解；、 b) 纵向传播常数 纵向传播常数即与本征解对应的本征值β，其意义 是导模的相位在z轴单位长度上的变化量，也就是β
分离和时、空坐标的分离。
分离变量
• 电矢量与磁矢量分离: 波动方程，是只与 电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与 磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式； • 时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于 E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式； • 空间坐标纵、横分离：波导场方程，是 关于E(x,y)和H(x,y)的方程式； • 边界条件：在两种介质交界面上电磁场 矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。
0
V包含了光纤的结构及光波的工作波长，它是一个直
接与光的频率成正比的无量纲的量。光纤的很多特性 与之都有关。它定量表示了光纤支持横模的能力。
• V越大，允许存在的导模数就越多。所谓导模“截止”，
是指除基模外，其他导模都可能在某一V值下不允许存在，
这时导模转化为辐射模。而使某一导模截止的频率值，
称为导模的“截止条件”。
2 x, y, z 2 x, y, z 0
2 4
这就是亥姆霍兹方程，该方程对任何电磁波的传播都 适用。加上边界条件后，即可求出任意波导结构中光波