安庆师范学院高数下期中考试
安徽省安庆市、桐城市名校2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题(含答案)
安庆市、桐城市名校2023-2024学年高一下学期期中调研数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第―象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列命题正确的是（ ）A. 零向量小于单位向量B. 零向量与单位向量一定共线C. 两个向量的和的模至少大于其中一个向量的模D. 两个向量的差的模至少小于其中一个向量的模3. 下列说法正确的是（ ）A. 用一个平行于圆锥底面平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台B. 有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱C. 圆台的所有母线延长不一定交于一点D. 一个多面体至少有3个面4. 若复数z 满足，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知，，，且与垂直，则实数的值为（ ）的20232024i z =-+3i 3i z =+z z ⋅=89-109-89109a b ⊥ 5a = 6b = 4a b +r r λ2a b - λA. B. C. D. 6. 设m ，n 是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则7. 如图所示，中，，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 复数z 对应复平面内的向量是单位向量 B. 复数z 的虚部等于iC. D. z 与平面向量对应10. 下列关于平面向量的运算中，错误的是（ ）A. B. C. D. 若，则11. 在长方体中，，点P 为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）A 直线平面B. 直线与是异面直线.509950-509±950αβm α∥m β∥αβ∥m α∥n α∥m n ⊥m α⊥m β⊥αβ∥m α⊥n α⊥m n⊥ABC V 16AB AC ==BC =14BD BC = 14DE DA = BE CE ⋅= 161-232-291-300-6cm 3180πcm 3270πcm 3360πcm 3504πcm 14i 4iz +=-0z z +=()0,1a =()()()()a b c d a c b d +++=+++ ()()a b c b a c -⋅=⋅- ()()a b c b a c ⋅⋅=⋅⋅ a b a c ⋅=⋅ b c = 1111ABCD A B C D -1222AA AB AD ===1C D //PB 11AB D PB 1ADC. 三棱锥的体积为定值D. 直线与平面.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，其中，i 为虚数单位.则实数_______，_______.13. 已知平面向量，，若∥，则______.14. 如图，一块正三棱柱体形木料的上底面有一点P ，经过点P 在上底面上画一条直线与垂直，写出作该直线的方法：_______.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 复数，其中.（1）若复数z 为实数，求a 的值；（2）若复数z 为虚数，求a 取值范围；（3）若复数z 为纯虚数，求a 的值16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知（1）求；（2）若周长为的面积17. 如图，在直四棱柱中，四边形为等腰梯形，，，，点E 是线段的中点.的的11P AB D -13PB 11ABB A ()27i 15i x x y ++=-,R x y ∈x =y =()4,2a =- ()6,b λ= a b λ=1A P ()2267421i z a a a a =--+--a R ∈ABC V A B C a b c 222sin B a b c =--A a =ABC V 1+ABC V 1111ABCD A B C D -ABCD AB CD P 28AB CD ==45BAD ∠=︒AB（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.18. 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P .（1）求的值；（2）试问：当为何值时，?（3）求证：.19. 如图，将边长为2的正六边形沿对角线折起，记二面角的大小为，连接，构成多面体.（1）求证：平面；（2）问当为何值时，直线到平面？（3）在（2）条件下，求多面体的表面积.的1CC E//1ADD A BC ⊥11ADD A ABC ,E F ,BC AC 34AF AC = BE BC λ= ()01λ≤≤,AE BF BF λAE BF ⊥AE BF AB EF ⋅≥⋅ ABCDEF CF A FC E --θ()0πθ<<AE BD AB CDEF -//CF ABDE θCF ABDE AB CDEF -安庆市、桐城市名校2023-2024学年高一下学期期中调研数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】 ①. 1 ②. 【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】在平面中，画出经过点P 与垂直的直线四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）或（2）且（3）【16题答案】【答案】（1） （2【17题答案】【答案】（1）证明见略 （2）证明略【18题答案】【答案】（1（2） （3）证明略【19题答案】【答案】（1）证明略（2）（31-3-ABC AP 7a =3a =-7≠a 3a ≠-1a =-5π657λ=120θ=°6+。
安徽安庆市数学高一下期中经典练习卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 3．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥4．(0分)[ID ：12404]已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）5．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．46．(0分)[ID ：12381]对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα7．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 8．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=9．(0分)[ID ：12350]四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π 10．(0分)[ID ：12343]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为3，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π11．(0分)[ID ：12330]椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A ．312+B ．31-C ．22D ．512- 12．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2513．(0分)[ID ：12390]已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．25D ．21014．(0分)[ID ：12365]如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 15．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．22二、填空题16．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.17．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.18．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.19．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .20．(0分)[ID ：12444]已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.21．(0分)[ID ：12505]小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____ 22．(0分)[ID ：12495]正四棱锥S -ABCD 2S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．23．(0分)[ID ：12437]在正方体1111ABCD A B C D -中，①BD 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD请把所有正确命题的序号填在横线上________．24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12557]如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ；（2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．27．(0分)[ID ：12546]已知圆22:20M x y x a +-+=（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.28．(0分)[ID ：12619]如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -的体积为32，求1A AC ∠的正弦值. 29．(0分)[ID ：12618]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．30．(0分)[ID ：12616]如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．C5．C6．C7．D8．B9．B10．C11．B12．A13．A14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与17．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9018．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的19．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因20．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的21．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得22．【解析】如图过S作SO1⊥平面ABCD由已知=1在Rt△SO1C中∵SC＝∴∴O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D故O1是过SABCD点的球的球心∴球的半径为r＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合23．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=62R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．3．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 5．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥，2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．C解析：C【解析】【分析】【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有 错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确； 若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 7．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．9．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B . 【点睛】 本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 10．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形．所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =，所以：外接球的半径R ==， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】 本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．11．B解析：B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -=所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 12．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.13．A解析：A【解析】22x y +(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A.14．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2 由勾股定理得：BA⊥AD 又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径32DE = 234()32S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.15．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．二、填空题16．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程18．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出kOA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程． 【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 19．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以23AC =. 设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+. 故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==- 故231x t =-此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤， 所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=.（2x <≤x x =-=故x =此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 20．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的 解析：2271416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(2)y < 【解析】【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解.【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即1=，联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<. 故答案为：()2271()2416x y y +-=< 【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题. 21．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：3[2]4+ 【解析】【分析】根据斜率的几何意义，()g x =表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.【详解】 ()32g x x =-为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上， (1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得34k +=或34k =当k =3[0,1]==-，当k =3[0,1]==+ 不合题意，舍去，()g x值域为2].故答案为:37[,2]4+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.22．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π 【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.23．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；解析：①③④【解析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④.【详解】对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =，则四边形11DD B B 为平行四边形，则11D B BD11D B ⊂面11D B C ，BD ⊄面11D B C ，所以BD平面11CB D ，故①正确；对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=︒，故②错误； 对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确；对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形 所以1111,AC AC AC ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11AC ∥平面1ACD 同理1A B 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确；故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得21218AB k x =+-=，圆心到直线AB 262a -222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。
2022-2023学年安徽省安庆市高二下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省安庆市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．2-与8-的等差中项是（）A ．5-B ．4-C ．4D ．5【答案】A【分析】代入等差中项公式即可解决.【详解】2-与8-的等差中项是2852--=-故选：A2．等差数列{}n a 中，21a =，57a =，则公差d 等于（）A ．2B ．12C ．43D ．34【答案】A【分析】直接利用等差数列的公差公式可求得结果.【详解】由已知可得5223a a d -==.故选：A.3．在等比数列{}n a 中，如果1216a a +=，3424a a +=，那么78a a +=（）A ．40B ．36C ．54D ．81【答案】C【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.【详解】由等比数列性质知，12a a +，34a a +，56a a +，78a a +成等比数列，其首项为16，公比为243162=，所以378316542a a ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知函数()22f x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数()22f x x =+，所以该函数在区间[]1,3上的平均变化率为22(3)(1)32(12)4312f f -+-+==-，故选：A5．设函数()f x '是函数()f x 的导函数，若()cos f x x =，则π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】B【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为()cos f x x =，所以()sin f x x '=-，所以ππ1sin 662f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故选：B.6．函数()e xf x =的图象在点()()0,0f 处切线的倾斜角为（）A ．30B ．45C ．150D ．135【答案】B【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】()e x f x '= ，()00e 1f '∴==，即()f x 在()()0,0f 处切线的斜率为1，则其倾斜角为45 .故选：B.7．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（）A ．1929B ．1125C ．1117D ．23【答案】A【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，得出结论．【详解】∵2132n n S n T n +=+，∴195519919551999()22911929()2392292a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯+======++⨯+，8．数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈ ，则12310a a a a 等于（）A ．5513⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10113⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9113⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6613⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题意得到22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到13n n a =，（2n ≥），再验证113a =满足13n n a =，得到13n n a =()*n N ∈，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈ ，22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥）则1113333n n n n a --=-=，则13n n a =，（2n ≥），又113a =满足13n n a =，所以13n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (110)231201323a a a a +------⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：A二、多选题9．下列有关导数的说法，正确的是（）.A ．()0f x '就是曲线()f x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率B ．()0f x '与()0f x '⎡⎤⎣⎦的意义是一样的C ．设()s s t =是位移函数，则()0s t '表示物体在t t =0时刻的瞬时速度D ．设()v v t =是速度函数，则()0v t '表示物体在t t =0时刻的瞬时加速度【答案】ACD【分析】根据导数的定义以及几何意义判断ACD ，根据常数函数的导数为0判断B.【详解】()0f x '表示曲线()f x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率，故A 正确；()0f x '⎡⎤⎣⎦表示对函数值()0f x 求导，因为()0f x 是常函数，所以()00f x '=⎡⎤⎣⎦，与()0f x '的意义不一样，故B 错误；C ，D 易知正确.10．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()21log ln 2x x '=C ．()555log x x x '=D ．()22cos 2cos sin x x x x x x'=-【答案】BD【分析】利用导数的运算法则可判断AD 选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC 选项.【详解】对于A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，()21log ln 2x x '=，B 对；对于C 选项，()55ln 5x x '=，C 错；对于D 选项，()22cos 2cos sin x x x x x x '=-，D 对.故选：BD.11．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．数列{}1n n a a +是等比数列C ．数列{}2lg n a 是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=，对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a +=，{}n a 为等比数列，A 正确；对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确；对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题.12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法正确的是（）A ．0d <B ．120S >C ．数列{}n S 的最大项为11S D ．67a a >【答案】ABD【分析】由675S S S >>判断出70a <，60a >，求出760d a a =-<，即可判断A ；利用等差数列的性质求出()126760S a a =+>，可以判断B ；由60a >，70a <，可判断出6S 最大，可以判断C ；由60a >，70a <，670a a +>，可以判断D.【详解】因为7670S S a -=<，6560S S a -=>，所以760d a a =-<，A 正确；75670S S a a -=+>，所以()()112126712602a a S a a +==+>，B 正确；因为60a >，70a <，所以数列{}n S 的最大项为6S ，C 不正确；因为60a >，70a <，670a a +>，所以670a a >->，即67a a >，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知曲线1ln y x x k=+在点()1,1处的切线与直线20x y +=垂直，则k =.【答案】1【分析】易知点()1,1在曲线1ln y x x k=+上，求出函数的导函数，由两直线垂直斜率之积为1-，得到()12f '=，即可得到方程，解得即可.【详解】易知点()1,1在曲线1ln y x x k=+上，令()1ln f x x x k =+，则()11f x kx'=+，所以()111f k'=+，又该切线与直线20x y +=垂直，所以112k+=，解得1k =.故答案为：114．已知数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】15,1{2,2n n n a n -==≥【详解】当1n =时，111325a S ==+=；当2n ≥时，()11132322n n n n n n a S S ---=-=+-+=；所以15,1{2,2n n n a n -==≥.15．已知函数2()ln (1)f x x x f =+'，则()2f =.【答案】24ln -/42ln -+【分析】将(1)f '视为常数，在1()2(1)f x xf x'=+'中令1x =求出(1)f '的值，从而求出()f x 的解析式，再求()2f 即可.【详解】因为2()ln (1)f x x x f =+'，所以1()2(1)f x xf x'=+'，将1x =代入得(1)12(1)f f ''=+，所以(1)1f '=-，所以2()ln f x x x =-，所以(2)ln 24f =-，故答案为：ln 24-16．已知数列{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则n a =．【答案】12n n -【分析】已知递推关系变形凑配出一个等比数列，利用等比数列的通项公式可求得n a ．【详解】由()112n n n a na ++=，得121n n a a n n +=+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列．所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以12n n n a -=．故答案为：12n n-．四、解答题17．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x'=-(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【分析】由常见函数的导数公式及导数的运算法则可得答案.【详解】（1）()()()5252423423106y x x x xx x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin ee sin sin x x x x x y x x '''-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x xx -18．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）221n n S n n =++-.【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得q ，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法求得n S .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q =.因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=；（2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++ ()212(22)12(2462)122221212n n n n n n n n -+-=+++++++++=+=++-- .【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.19．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．【答案】（1）20x y +-=；（2）210x y --=或690x y --=．【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程；（2）先设出切点坐标为()200,x x ，再利用导数几何意义即可求得过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．【详解】（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．20．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，满足33a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)31142224n n n T --++=【分析】（1）根据题意设{}n a 是公差为()0d d ≠，故2428a a a =⋅，进而()()()23335a d a d a d +=-⋅+，再整理解方程即可得1d =，最后根据通项公式求解即可；（2）由（1）知()211111222n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，进而根据裂项求和求解即可.【详解】（1）解：设{}n a 是公差为()0d d ≠，因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以2428a a a =⋅，因为33a =，所以()()()23335a d a d a d +=-⋅+，所以2(3)(3)(35)d d d +=-⋅+，整理20d d -=，解得1d =或0d =（舍）所以3(3)n a a n d n =+-=，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =（2）解：由（1）知()211111222n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅ 111111111111111111232242352221122n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111111112324352112n n n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪--++⎝⎭ 11113111221242224n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭，所以31142224n n n T --++=21．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析.【详解】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f′(x)＝a ＋2b x ，于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x．(2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x 知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．22．已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，且321b a +=，11a =．(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列(2)·n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析(2)()()12132138n n n n n T +--++=【分析】（1）由1310n n a a +--=得1113()22n n a a ++=+，即可证明数列为等比数列；（2）计算{}n a ，{}n b 的通项公式，用分组求和与错位相减法求和求n c 的前n 项和.【详解】（1）证明：因为1310n n a a +--=，所以131n n a a +=+，所以1113()22n n a a ++=+，又11113120,0,312222n n n a a a a +++=≠∴+≠=+，所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列．（2）由()1知11333222nn n a -+=⨯=，所以312n n a -=，3213b a =-=，设等差数列{}n b 的公差为d ，1d =，所以11n b n n =+-=，所以313222n n n n n n nc a b n -⋅=⋅=⨯=-，211(13233)(123)22n n T n n =⨯+⨯++⨯-++++ 21(1)(13233)24n n n n +=⨯+⨯++⨯- ，令213233nn S n =⨯+⨯++⨯ ，()21313133n n n S n n +∴=⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减，得21113(13)13233333()31322n nn n n n S n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以1(21)334n n n S +-⨯+=，111(21)33(1)(21)32(1)32448n n n n n n n n n T ++-⨯++-⨯-++=⨯-=.。
安徽省安庆市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含解析
安庆2021－2022学年度第二学期期中考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1.若函数()2sin f x x x=+，则()()0limx f x f x∆→∆-=∆（）A.－1B.0C.1D.3【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数求导法则和导数定义，即可求得结果.【详解】根据导数定义可得()()()()()0000limlim0x x f x f f x f f xx∆→∆→∆-+∆-'==∆∆；又()2sin f x x x =+可得()2cos f x x x '=+，即()01f '=.故选：C2.已知()()511ax x ++的展开式中3x 的系数为15，则a 的值为（）A.34B.13C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】由()()()()5551111ax x x ax x ++=+++，写出()51x +的展开式的通项公式，结合条件3x 的系数为15建立方程，得出答案.【详解】由()()()()5551111ax x x ax x ++=+++()51x +的展开式的通项为15C r r r T x +=，3x 的系数为3255C C a +则由题意可知3255C C 15a +=，101015a ∴+=，12a ∴=，故选:C .3.有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A.1512种B.1346种C.912种D.756种【答案】D 【解析】【分析】先从A 区域涂色，讨论B ，D 区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C ，E ，F 区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.【详解】1、先涂A 区域，则有4种方法，若B ，D 区域涂相同颜色，则有3种方法，C ，E ，F 区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A 区域，则有4种方法，若B ，D 区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E 区域有2种方法，C ，F 分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．故选：D4.若函数3()31f x x x m =---有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A.(3,1)- B.(1,3)- C.(3,1)-- D.(1,3)【答案】A 【解析】【分析】先对函数求导，研究单调性和极值，再根据三次函数()0y f x ==有三个不同的根，使极大值大于零且极小值小于零，计算即得结果.【详解】32()31,()33,f x x x m f x x '=---=-由()0f x '=解得121,1x x =-=．()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()f x 在=1x -处取得极大值()11f m -=-，在1x =处取得极小值(1)3f m =--．要使函数()0y f x ==有三个不同的根，则需极大值(101)f m -=->，极小值(1)30f m =--<，解得31m -<<，所以m 的取值范围是(3,1)-．故选：A.【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()f x '；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.5.某省进行高考综合改革，要求学生从高二开始对课程进行选修，即从化学、生物、政治、地理四门课程中选择两科进行选修，则甲、乙两人所选课程中至多有一科相同的选法的种数是（）A.12B.24C.30D.36【答案】C 【解析】【分析】求出甲、乙两人所选课程中完全不同和所选课程中有一科相同的种数，即可求出.【详解】若甲、乙两人所选课程中完全不同，选法有2242C C 6=种；若甲、乙两人所选课程中有一科相同，选法有111432C C C 24=种，所以甲、乙两人所选课程中至多有一科相同的选法有62430+=种.故选：C.6.已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图所示，则()0xf x '<的解集为（）A.()()012-∞⋃，，B.()12，C.()()012⋃+∞，， D.()01，【答案】C 【解析】【分析】知0x >时，求函数单调递减区间，此时01x <<或2x >；当0x <时，求函数单调递增区间，此时无解，整合以上分类结果即可得出答案.【详解】由题意得，0x ≠，所以不等式()0xf x '<等价为：①当0x >时，()0f x '<，即0x >时，求函数单调递减区间，由图可知，此时01x <<或2x >，②当0x <时，()0f x ¢>，即0x <时，求函数单调递增区间，此时x ∈∅，所以不等式的解集为()()0,12,⋃+∞.故选:C7.若函数()321233f x x x =+-在区间(),5a a +内存在最小值，则实数a 的取值范围是（）A.[)5,0- B.()5,0- C.[)3,0- D.()3,0-【答案】C 【解析】【分析】利用导数求出函数()f x 的极小值为()203f =-，由题意可知()0,5a a ∈+，再由()()0f x f =求得x 的值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意，()()222f x x x x x '=+=+，当<2x -或0x >时，()0f x ¢>；当20x -<<时，()0f x '<.故()f x 在(),2-∞-，()0,∞+上是增函数，在()2,0-上是减函数，所以，函数()f x 的极小值为()203f =-.作其图象如图，令32122333x x +-=-得3230x x +=，解得0x =或3x =-，结合图象可知3050a a -≤<⎧⎨+>⎩，解得，[)3,0a ∈-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数()f x 的极小值点在区间(),5a a +内，通过求得()()30f f -=，数形结合得出实数a 所满足的不等式组，综合性较强.8.某电视台邀请了6位学生的父母共12人中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法的种数是（）A.60B.240C.270D.480【答案】B 【解析】【分析】先在6对父母中选一对，然后在剩余的10人中，选两个不是夫妻的人，从而求得正确答案.【详解】先在6对父母中选一对，方法数有16C 种，然后在剩余的10人中，选两个不是夫妻的人，方法数有1110822C C A 种，所以不同的选择方法的种数是111108622C C 108C 6240A 2⨯⨯=⨯=种.故选：B9.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.10.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为A.0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. C.1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.2e ⎛ ⎝【答案】B 【解析】【分析】构造函数F（x）=()2xf x e ，求出导数，判断F（x）在R 上递增．原不等式等价为F（lnx ）＜F （12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F（x）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R 上递增．不等式f（lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F（12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F（lnx ）＜F （12），由F（x）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x．），故选B．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等11.已知函数3()x f x e -=，1()22xg x ln =+，若()()f m g n =成立，则m n -的最大值为（）A.12ln -B.2ln C.22ln D.21ln -【答案】A 【解析】【分析】不妨设()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【详解】解：不妨设()()f m g n t ==，3122m ne ln t -∴=+=，(0)t >，3m lnt ∴-=，即3m lnt =+，122t n e-=⋅，故1232(0)t m n lnt e t --=+-⋅>，令12()32(0)t h t lnt e t -=+-⋅>，121()2(0)t h t e t t -'=->，1221()20t h t e t-''=--<，故()h t '在(0,)+∞上是减函数，且1(02h '=，当12t >时，()0h t '<，当102t <<时，()0h t '>，即当12t =时，()h t 取得极大值同时也是最大值，此时11()321222h ln ln =+-=-，即m n -的最大值为12ln -，故选：A ．12.已知函数()()434xf x x xe=-⋅，若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，()3123x x x x <<，则24ax -的取值范围是（）A.327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.327,e⎡-⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】求得()()2212xf x x x e '=-，得到函数()f x 单调性进而画出函数()f x 的图象，结合图象a ⎛⎫∈ ⎝，进而得到2x 的取值范围为()-，得到23224x a x e x =-，构造新函数，结合导数求得函数的额单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()()434xf x x xe=-⋅，可得()()()42221212x xf x x x e x x e '=-=-，当x <-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x >()0f x ¢>，()f x 单调递增；又由当x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，且(f -=()00f =，((144f e=-故可大致画出()f x 的图象如下：由图象可知，a的取值范围为⎛⎫⎝，此时对应2x的取值范围为()-，而()2243223222444x x x x e a x e x x -==--，故令()()30xg x x ex =-≤≤，则()()()32233x x g x x x e x x e '=+=+，故当3x -≤<-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当30x -<≤时，()0g x '>，()g x 单调递增；而(0g -=，()3273g e-=-，()00g =，故24a x -的取值范围是327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选：A.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如果12212C 2C 2C 2187nnn n n ++++= ，则22223C C C n +++= ______.【答案】56【解析】【分析】根据二项式展开式、组合数的性质求得正确答案.【详解】依题意，12212212C 2C 2C 2C 2C 2C 2C nnnnn n n n n n n+++++++=+ ()1232187nn =+==，解得7n =，222322237337C C C C C C =++++++ 32232224475567C C C C C C C =+++=+++ 322323667778C C C C C C 87656321⨯⨯=====⨯⨯+++.故答案为：5614.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航行速度为30n mile /h ，当速度为10n mile /h 时，它的燃料费时每小时25元，其余费用（与速度无关）都是每小时400元，如果甲乙两地的总费用最低，它的航速应为______n mile/h.【答案】20【解析】【分析】先求得燃料费与它的航行速度的关系式，然后结合基本不等式求得正确答案.【详解】设航速为n mile/h x ，030x <≤，燃料费为y 元，设3y kx =，依题意，312510,40k k =⨯=，则3140y x =.设甲乙两地的距离为S ，则总费用为2312002004004040S S x x S x x xx ⎛⎫⨯+⨯=⋅++ ⎪⎝⎭30S S ≥⋅，当且仅当2200,2040x x x ==时等号成立.故答案为：2015.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】【分析】方法一：由()()14cos 1cos 2f x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导数法()22()2cos 2cos 22cos 22cos 14cos 2cos 2f x x x x x x x =+=+-=+-'2(cos 1)(2cos 1)x x =+⋅-．令()0f x '>，得1cos 2x >，即()f x 在区间ππ2π,2π()33k k k ⎛⎫- ⎭+⎝∈⎪Z 内单调递增；令()0f x '<，得1cos 2x <，即()f x 在区间π5π2π,2π()33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 内单调递减．则min π33[()]2π32f x f k ⎛⎫-=- ⎪⎝=⎭．故答案为：2-.［方法二］：三元基本不等式的应用因为()2sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x =+=+，所以2223()4sin (1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x =+=-+4(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )3x x x x =-+++444(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )432734324x x x x -++++++⎡⎤⎛⎫≤=⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当且仅当33cos 1cos x x -=+，即1cos 2x =时，取等号．根据()()f x f x -=-可知，()f x是奇函数，于是min (),,[()]222f x f x ⎡∈-=-⎢⎣⎦，此时31sin ,cos 22x x =-=．故答案为：2-.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式2()sin sin 22sin (1cos )4sin cos 2cos 222x x x f x x x x x =+=+=，322622()64sin cos 64sin 1sin 2222x x x x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭422223sin 1sin 1sin 1sin 64272222344x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当223sin1sin 22x x =-，即1sin 22x =±时，2max 27()4f x ⎡⎤=⎣⎦．根据()()f x f x -=-可知，()f x 是奇函数，于是min333333(),,[()]222f x f x ⎡∈-=-⎢⎣⎦．故答案为：332-.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩2()sin sin 22sin (1cos )4sin cos 2cos 222x x x f x x x x x =+=+=2221224238tan 8tan8tan22221111tan tan14tan 2333232x x x x x x =≥-≥-=-⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当213tan ,tan 2323x x ==-时等号成立．故答案为：2-.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设tan 2t θ=，则()f x 可化为2222242218()2211112t t t t g t t t t t t-=⨯+⨯⨯=+++++，当0=t 时，()0g t =；当0t ≠时，38()12g t t t t=++，对分母求导后易知，当t 3=-时，()g t有最小值2-．故答案为：［方法六］：配方法)22()2sin 2sin cos 2sin 2sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =+=+++-2222sin cos sin sin 2sin 3322x x x x x x =+++++-223sin )sin 33222x x x ⎛=+++-- ⎝⎭，当且仅当sin 0,sin 0,2x x x +=⎨+=⎪⎩即π2π,3x k k =-∈Z 时，()f x取最小值2-．故答案为：2-.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为()2sin sin 2f x x x =+，所以()()()()+2π2sin +2πsin 2+2π=2sin sin 2f x x x x x f x =++=，即函数()f x 的一个周期为2π，因此[]0,2πx ∈时，()f x 的最小值即为函数的最小值．当[]0,πx ∈时，()()2sin sin 22sin 1cos 0f x x x x x =+=+≥，当[]π,2πx ∈时，因为()22()2cos 2cos 22cos 22cos 14cos 2cos 2f x x x x x x x =+=+-=+-'2(cos 1)(2cos 1)x x =+⋅-，令()0f x '=，解得πx =或5π3x =，由()π0f =，()2π0f =，533π32f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为．故答案为：2-.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．16.已知()10210012102x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则23410239a a a a +++⋅⋅⋅+=________．【答案】1013【解析】【分析】先求出01024a =，再求出各项的系数和12101023a a a ++⋅⋅⋅+=-，设函数()()10210012102f x x a a x a x a x =-=++++ ，对其求导后再求出121021010a a a ++⋅⋅⋅+=-，然后计算可得答案.【详解】令0x =，得10021024a ==,令1x =，得()1001210211a a a a ++++=-= ，则12101023a a a ++⋅⋅⋅+=-①;设()()10210012102f x x a a x a x a x =-=++++ ，则()()991210102210f x x a a x a x '=--=+++ ，令1x =，得()91210210102110a a a ++⋅⋅⋅+=-⨯-=-②．由②-①，得21091013a a +⋅⋅⋅+=．故答案为：1013三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵）17.已知()2nn N x *⎫+∈⎪⎭的展开式中前三项的二项式系数之和为46，（1）求n ；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1）9（2）925376x-【解析】【分析】（1）根据要求列出方程，求出n 的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出r 的取值范围，从而求出6r =，得到系数最大项.【小问1详解】由题意得：()01211462n n n n n C C C n -++=++=，解得：9n =或10-，因为n N *∈，所以10n =-（舍去），从而9n =【小问2详解】二项式的展开式通项为：9192rrrr T C x -+⎛⎫==⎪⎝⎭，则系数为92r r C ⋅，要求其最大值，则只要满足119911992222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩2≥2K1⋅2≥2r1，解得：172033r ≤≤，因为r N ∈，所以6r =，所以系数最大项为693627925376T Cx x -⎛⎫== ⎪⎝⎭18.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为,,,A B C D ）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目A ，同学乙不参加项目D ，求一共有多少种不同录用方式？【答案】（1）144（2）1560（3）252【解析】【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种；（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果；（3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案.【小问1详解】根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，所以共有232234A A A 144⋅⋅=.【小问2详解】先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有1111122654654322322332C C C C C C C C A A A ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅种；再分到4个项目，即可得共有111112246546544322322332C C C C C C C C A 1560A A A ⎛⎫⋅⋅⋅+⨯= ⎪⋅⎝⎭⋅⋅；【小问3详解】先考虑全部，则共有46A 种排列方式，其中甲参加项目A 共有35A 种，同学乙参加项目D 共有35A 种；甲参加项目A 同时乙参加项目D 共有24A 种，根据题意減去不满足题意的情况共有432654A 2A A 252-+=种.19.已知函数()()21e xf x x ax =-+，R a ∈.（1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的极值.【答案】（1）2（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由()10f '=求得a 的值.（2）先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，由此求得函数()f x 的极值.【小问1详解】∵()()21e xf x x ax =-+，则()()221e x f x x a x a ⎡⎤=+-+-⎣⎦'，∵()f x 在1x =处取得极值，故()()142e 0f a '=-=，解得2a =.当2a =时，()()21e xf x x '=-.由()0f x ¢>，可得1x <-或1x >；由()0f x '<，可得11x -<<.故()f x 在(),1-∞-上递增，在()1,1-上递减，在()1,+∞上递增，故1x =是函数()f x 的极大值点，2a =符合题意；【小问2详解】由（1）得()()()()221e 11e xxf x x a x a x x a '⎡⎤=+-+-=++-⎣⎦，令()0f x '=，则=1x -或1x a =-，①0a =时，()()21e 0x f x x =+≥，此时()f x 在R 上单调递增，无极值；②0a >时，11a ->-，当()1,a 1x ∈--时，()0f x '<；当()(),11,x a ∈-∞--+∞U 时，()0f x ¢>，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --；∴()f x 极小值点()1,a f x -极大值点为－1，故()f x 极小值()()()112e ,a f a a f x --=-极大值()()112e f a --=+；③当a<0时，11a -<-，当()1,1x a ∈--时，()0f x '<；当()(),11,x a ∈-∞--+∞U 时，()0f x ¢>，此时，函数()f x 的单调递增区间为(),1a -∞-、()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --.∴()f x 极小值点－1，()f x 极大值点为1a -，故()f x 极小值()12e a -+，()f x 极大值为()12ea a --；综上所述，当0a >时，()f x 极小值()12e a a --，()f x 极大值为()12e a -+；当0a =时，()f x 无极值；当a<0时，()f x 极小值()12e a -+，()f x 极大值为()12ea a --.20.设函数()22ln f x x m x =-，()()231ln 2g x x m x m x =-+-，0m >．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间是)+∞，单调递减区间是(；（2）两函数图象总有一个交点．【解析】【分析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，求得()'f x ，即可求解函数的单调区间；（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x m x m x =-=-++-，转化为求函数()F x 的零点个数，分1m =与1m >进行讨论，利用函数()F x 的性质，即可判断函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()(222x x m x x x xf +=-='．当0x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当时x >，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，综上可知，函数()f x 的单调递增区间是)+∞，单调递减区间是(．（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x m x m x =-=-++-，0x >问题等价于求函数()F x 的零点个数．()()()1x x m F x x--'=-，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，注意到()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点，当1m >时，若01x <<或x >m ，则()0F x '<；若1x m <<，则()0F x '>，所以函数()F x 在()0,1和(),m +∞上单调递减，在()1,m 上单调递增，注意到()1102F m =+>，则()()10F m F >>，故()F x 在[)0,m 内无零点；在(),22m m +内，()()22ln 220F m m m +=-+<，则()()220F m F m +<⋅，所以()F x 有唯一零点，综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．21.设函数()2ln f x a x bx =-．（1）若12b =，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的31,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(21,x e ⎤∈⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(22e ⎤-∞-⎦，.【解析】【分析】（1）求导函数，分0a ≤和>0a 两种情况讨论导函数的符号，从而得原函数的单调性；（2）由题可得出ln m a x x ≤-对所有的的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，从而令()ln h a a x x =-，根据一次函数的单调性可得min ()(1)ln h a h x x ==-，再令()ln g x x x =-，求导，分析其导函数的符号，得出函数()g x 的单调性，从而有min ()m g x ≤，得出答案.【详解】解：（1）若12b =，()21ln 2f x a x x =-()0x >，则2()a a x f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递减，当>0a 时，令()0f x '=，得x =，当0x <<时，()0f x '>，函数()f x 在(0上单调递增，当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减；（2）当0b =时，()ln f x a x =.若不等式()f x m x ≥+对所有的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，则ln a x m x ≥+对所有的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，即ln m a x x ≤-,对所有的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，令()ln h a a x x =-，则()h a 为一次函数，min ()m h a ≤，(21,x e ⎤∈⎦ ，ln 0x ∴>，()h a ∴在3[1,]2a ∈上单调递增，min ()(1)ln h a h x x ∴==-，ln m x x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立，令()ln g x x x =-，则()111x g x x x -'=-=，因为21x e <≤，所以()10xg x x-'=<，所以函数()ln g x x x =-在(21,e ⎤⎦单调递减，所以()()22222ln g x g e e e e -==-≥，2min ()2m g x e ∴≤=-，所以实数m 的取值范围为(22e ⎤-∞-⎦，.【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.22.已知函数()2e xf x ax =-，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y bx =+.（1）求,a b 的值：（2）求()f x 在[]0,1上的最值；（3）证明：当0x >时，()e 1e ln 0xx x x +--≥.【答案】（1）1a =，e 2b =-（2）()max e 1f x =-；()min 1f x =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得,a b .（2）利用多次求导的方法求得()f x 在区间[]0,1上的单调性，由此求得()f x 在[]0,1上的最值.（3）先证明0x >时，()()e 21f x x ≥-+，再结合（2）转化为()21e ln e xx x x x +--≥+，从而证得不等式成立.【小问1详解】()e 2x f x ax '=-，∴()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩，解得：1a =，e 2b =-；【小问2详解】由（1）得：()2e xf x x =-，()e 2x f x x '=-，令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-，()h x 是增函数，令()0h x '=解得ln 2x =.∴()h x ，也即()f x '在()0,ln2上()()0,h x h x '<单调递减，在()ln2,+∞上()()0,h x h x '>单调递增，∴()()ln 2ln222ln20h f ==->'，∴()f x 在[]0,1递增，∴()()max 1e 1f x f ==-；()()min 01f x f ==；【小问3详解】∵()01f =，由（2）得()f x 过()1,e 1-，且()y f x =在1x =处的切线方程是()e 21y x =-+，故可猜测0x >且1x ≠时，()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方，下面证明0x >时，()()e 21f x x ≥-+，设()()()e 21g x f x x =---，()0x >，∴()()e 2e 2x g x x =---'，∴令()()()e 2e 2xx x g m x '--==-，()e 2x m x '=-，由（2）得：()g x '在()0,ln2递减，在()ln2,+∞递增，∵()03e 0g '=->，()10g '=，0ln21<<，∴()ln20g '<，∴存在()00,1x ∈，使得()0g x '=，∴()()00,1,x x ∈⋃+∞时，()0g x '>，()0,l x x ∈时，()0g x '<，故()g x 在()00,x 递增，在()0,1x 递减，在()1,+∞递增.又()()010g g ==，∴()0g x ≥当且仅当1x =时取“=”，()()2e e 210x g x x x =----≥故()e e 21x x x x +--≥，0x >，由（2）得：e 1x x ≥+，故()ln 1x x ≥+，∴1ln x x -≥，当且仅当1x =时取“=”，∴()e e 21ln 1x x x x x +--≥≥+，即()21ln 1e e x x x x +--≥+，∴()21e ln e x x x x x +--≥+，即()1ln 10e e x x x x +---≥成立，当且仅当1x =时“=”成立.。
安徽省安庆市高一下学期数学期中检测试卷
安徽省安庆市高一下学期数学期中检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 14 题；共 28 分)1. （2 分） (2018·株洲模拟) 设复数 满足，则（）A. B. C. D.2 2. （2 分） 已知的外接圆半径为 1，圆心为 O，且，则的值为（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2018 高一上·广东期末) 已知梯形（如图所示），其中，，是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，则直角梯形边的长度是（ ）A.第 1 页 共 15 页B.C.D.4. （2 分） 在中，如果有，则的形状是（ ）A . 等腰三角形或直角三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形5. （2 分） (2018·攀枝花模拟) 一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） 已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数， 则 z2=（ ） A . 4-2i B . 4+2i第 2 页 共 15 页C . 2+4i D . 2-4i 7. （2 分） (2016 高二上·南宁期中) 在△ABC 中，如果 sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ ）A.B.C.D.8. （2 分） (2017·沈阳模拟) 平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点 P 满足，其中 λ、μ∈R，且 λ+μ=1，则点 P 的轨迹方程为（ ）A . x﹣y=0 B . x+y=0C . x+2y﹣3=0 D . （x+1）2+（y﹣2）2=5 9. （2 分） 设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A . 若 l∥α，l∥β，则 α∥βB . 若 α∥β，l∥α，则 l∥β C . 若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β D . 若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β10. （2 分） 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 （ ）第 3 页 共 15 页A . 一个圆台、两个圆锥构成 B . 两个圆台、一个圆锥构成 C . 两个圆柱、一个圆锥构成 D . 一个圆柱、两个圆锥构成 11. （2 分） 两灯塔 A，B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a（km），灯塔 A 在 C 北偏东 30°，B 在 C 南偏东 60°， 则 A，B 之间相距（ ） A . a（km）B . a（km）C . a（km） D . 2a（km） 12. （2 分） 已知 i,j 为互相垂直的单位向量，向量 a=i+2j ， b=i+j ， 且 a 与 a+ b 的夹角为锐角，则实 数 的取值范围是（ ）A.B.C.D.13. （2 分） 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中点，则 AD 与平面 ABC 所成角的大小是（ ）A . 30°第 4 页 共 15 页B . 45°C . 60°D . 90°14. （2 分） (2016 高一上·温州期末) 已知向量 =﹣5 ﹣3 ，则四边形 ABCD 是（ ）、 不共线，若= +2 ， =﹣4 ﹣ ，A . 梯形B . 平行四边形C . 矩形D . 菱形二、 多选题 (共 8 题；共 23 分)15. （3 分） (2020 高一下·邹城期中) 在下列向量组中，不能把向量表示出来的是（ ）A.，B.，C.，D.，16. （3 分） (2020 高一下·济南月考) 下列说法正确的有（ ）A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则，若，则都成立D.在中，17. （3 分） (2020 高一下·济南月考) （多选题）如图，设的内角 ， ， 所对的边分别为，，，，且．若点 是外一点，，第 5 页 共 15 页，下列说法中，正确的命题是（ ）A.的内角B.的内角C . 四边形 D . 四边形面积的最大值为 面积无最大值18. （3 分） (2020 高一下·邹城期中) 关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）A.若，则；B . 已知，，若，则；C . 非零向量 和 ，满足，则 与的夹角为 30º；D.19. （2 分） (2020 高一下·滕州月考) 如图，在长方体， 分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）中，，，A.四点共面第 6 页 共 15 页B . 平面平面C . 直线 与所成角的为D.平面20. （3 分） (2020 高一下·邹城期中) 已知集合 于集合 M 的是（ ）A.，其中 i 为虚数单位，则下列元素属B.C.D.21. （3 分） (2020 高一下·邹城期中) 如图，设中，正确的命题是（，且 ）．若点 是的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，外一点，，，下列说法A.的内角B.的内角C . 四边形 D . 四边形面积的最大值为 面积无最大值22. （3 分） (2020 高一下·滕州月考) 若 均为单位向量,且值可能为（ ）第 7 页 共 15 页,则的A. B.1C.D.2三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)23. （10 分） (2018 高一上·海安月考) 如图，在四边形中，．（1） 若△为等边三角形，且， 是 的中点，求；（2） 若，，，求．24. （10 分） 求适合等式：（2x﹣1）+i=y+（y﹣3）i 的 x，y 值，其中 x∈R，y 是纯虚数．25. （10 分） (2017·吉林模拟) 已知函数 f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx．（Ⅰ）将函数 f（2x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x）的图象，若 x∈[ ， ]，求函数 g （x）的值域；（Ⅱ）已知 a，b，c 分别为△ABC 中角 A，B，C 的对边，且满足 f（A）= +1，A∈（0， ），a=2 ， b=2，求△ABC 的面积．26. （10 分） (2017·河南模拟) 如图所示，已知长方体 ABCD 中， 沿 AM 折起，使得 AD⊥BM．为 DC 的中点．将△ADM第 8 页 共 15 页（1） 求证：平面 ADM⊥平面 ABCM；（2） 是否存在满足 数 t；若不存在，请说明理由．的点 E，使得二面角 E﹣AM﹣D 为大小为 ．若存在，求出相应的实27. （10 分） (2018 高二上·南阳月考) 如图所示的空间几何体的正方形，平面，，，中，四边形，.是边长为 2（1） 求证：平面平面；（2） 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.第 9 页 共 15 页一、 单选题 (共 14 题；共 28 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、二、 多选题 (共 8 题；共 23 分)15-1、参考答案第 10 页 共 15 页16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共5题；共50分)23-1、23-2、24-1、25-1、26-1、26-2、27-1、27-2、。
2022-2023学年安徽省安庆市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省安庆市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数32i1iz +=+，则z 的虚部是（）A ．1i 2-B ．5i2-C ．12-D ．52【答案】C【分析】由复数运算法则可得z 代数形式，后可得其虚部.【详解】()()()()32i 1i 32i 5i 51i 1i 1i 1i 222z +-+-====-++-，则z 的虚部是12-.故选：C2．在ABC 中，若2AC AC AB =⋅，则ABC 一定为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【分析】根据向量数量积运算的运算律化简得到0AC BC ⋅=，由此可得结论.【详解】由2AC AC AB =⋅得：()20AC AC AB AC AC AB AC BC -⋅=⋅-=⋅= ，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形.故选：B.3．若某圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则该圆柱的体积是（）A ．4πB ．2πC ．22πD ．2π【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，所以2π=2πr ，2πh =，即=1r ，2πh =，所以该圆柱的体积为222π=π12π2πV r h =⨯⨯=．故选：C ．4．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．43πB ．12πC ．48πD ．323π【答案】A【分析】求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.【详解】球O 的半径为()22232132++=，∴体积()34π343π3V ⋅==．故选：A5．在等腰三角形ABC 中，5,2AB AC BC ===，若P 为边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（）A ．2B ．4C ．8D ．0【答案】C【分析】根据等腰三角形中三线合一及数量积的运算律求解即可.【详解】设AD 是等腰三角形ABC 的高，如图，则512AD =-=，故22()()22228AP AB AC AD DP AD AD DP AD AD ⋅+=+⋅=+⋅== ．故选：C6．已知向量,a b满足(2,1),||3,||4a b a b ==+= ，则a b ⋅= （）A ．8B ．8-C ．4-D ．4【答案】D【分析】根据模长||4a b +=平方可得a b ⋅ .【详解】因为||4a b +=，所以22216a a b b +⋅+= ，又因为(2,1),||3,a b ==所以225,3a b == ，所以4a b ⋅= .故选：D.7．如图在△ABC ，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A ．511B ．14C ．311D ．34【答案】C【分析】根据向量线性运算得到4AC AN =，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m 的值.【详解】因为13AN NC = ，所以4AC AN = ，故281111AP m AB AC m AB AN =+=+ ，因为,,B P N 三点共线，故8111m +=，解得：311m =.故选：C8．在ABC 中，若60A ∠=︒，1b =，3ABC S = ，则sin sin sin a b cA B C++++的值为（）A ．2633B ．2393C ．393D ．1333【答案】B【分析】根据三角形面积公式可得4c =，再由余弦定理计算可得13a =，根据正弦定理可知sin sin sin sin a b c aA B C A++=++，代入计算即可得出结果.【详解】根据三角形面积公式可得113sin 3222ABC S bc A c ==⨯=V ，即4c =；由余弦定理可知22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，可得13a =；由正弦定理可得13239sin sin sin sin 332a b c a A B C A ++===++.故选：B二、多选题9．如图，在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，π3BAD ∠=，2AP PC =，延长DP 交BC 于点M ，则（）A ．2133DP AB AD =- B ．4AB CM= C ．1AB AD ⋅= D ．83DP AC ⋅=【答案】ACD【分析】根据向量的线性运算以及数量积公式即可求解.【详解】依题意，因为在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，π3BAD ∠=，2AP PC =所以2AD AP DPCM PC PM ===，即M 为BC 的中点，所以()22213333DP DM DC CM AB AD ==+=-，故A 正确；因为,AB CM 不共线，所以4AB CM =错误，故B 错误；π21cos 13AB AD ⋅=⨯⨯= ，故C 正确；()22212118333333DP AC AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅+=+⋅-= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD.10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，下列命题正确．．的是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．若AB AC AB AC +=-，则ABC 是直角三角形D ．若ABC 的三边满足222a b c +>，则ABC 是锐角三角形【答案】AC【分析】A 选项结合,A B 是三角形内角范围，正弦函数的单调性，诱导公式说明；B 选项结合,A B 三角形内角的范围判断；C 选项将等式两端同时平方即可解决；D 选项用余弦定理可判断C 是锐角，无法得到其他信息，从而得到判断.【详解】A 选项，由于,A B 是三角形内角，可能的情形有π02A B >>>，由于sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由π02A B >>>可知sin sin A B >，还可能ππ02A B >>>>且0πA B <+<，即πB A <-，又ππ0,2A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，由诱导公式和sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()sin sin πsin B A A <-=，综上可知sin sin A B >成立，A 选项正确；B 选项，,A B 是三角形内角，故02π,02πA B <<<<，0222πA B <+<，由sin 2sin 2A B =可知，22πA B +=或22A B =，即π2A B +=或A B =，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 选项错误；C 选项，AB AC AB AC +=- 等式两边同时平方可得()()22AB AC AB AC +=- ，整理可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，ABC 是直角三角形，C 选项正确；D 选项，根据余弦定理及222a b c +>，于是222cos 02a b c C ab+-=>，由(0,π)C ∈可知，π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，但无法确定另外两个角是否是锐角，故D 选项错误.故选：AC11．下列说法中不正确的为（）A ．已知()1,2a =r ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若0a b ⋅=，则a b ⊥ D ．非零向量a 和b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为60【答案】AD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用平面向量基底的定义可判断B 选项；由平面向量数量积的定义可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A ， ()1,2a =r ，()1,1b = ，a与a b λ+ 的夹角为锐角，则()1,2a b λλλ+=++ ，∴()()()1,21,2142350a a b λλλλλλ⋅+=⋅++=+++=+>，且a 与a b λ+ 不共线，即()221λλ+≠+，即0λ≠，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量()122,34e e =-= ，即1e 、2e 共线，故1e 、2e不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于选项C ，因为0a b ⋅=，所以a b ⊥ ，故C 正确；对于D ，因为a a b =- ，两边平方得22b a b =⋅，则()2232a ab a a b a ⋅+=+⋅= ，()22223a b a b a a b b a +=+=+⋅+= ，故()2332cos ,23a a a b a a b aa b a a⋅++===+⋅，而0,180a a b ≤+≤ ，故,30a a b +=，故D 项错误．故选：AD.12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，下列说法正确的有（）A ．该圆台轴截面ABCD 面积为233cmB ．该圆台的体积为314πcm 3C ．该圆台的侧面积为26πcm D ．沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm 【答案】ACD【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A ；由台体的体积公式可判断选项B ；由台体的侧面积公式可判断选项C ；将圆台补成圆锥，侧面展开，取AD 的中点为P ，连接CP ，可判断选项D.【详解】对于A ，由2AB AD BC ===，且2CD AB =，可得4CD =，高21242432O O -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆台轴截面ABCD 的面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，故A 正确；对于B ，圆台的体积为()3173π1243πcm 33V =++⨯=，故B 错误；对于C ，圆台的体积为()π1226πS =+⨯=侧，故C 正确；对于D ，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm ，底面半径为2cm ，侧面展开图的圆心角2π2π4θ⋅==．设AD 的中点为P ，连接CP ，可得90,4,213COP OC OP ∠===+= ，则22435CP =+=．所以沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm ，故D正确．故选：ACD ．三、填空题13．如图，A O B ''' 是用斜二测画法得到的△AOB 的直观图，其中23O A O B ''''==，，则AB 的长度为．【答案】210【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB 的长度即可．【详解】把直观图A O B '''V 还原为AOB ,如图所示：根据直观图画法规则知,2,2236OA O A OB O B ''''====⨯=,所以AB 的长度为22436210AB OA OB =+=+=.故答案为：210.14．已知复数12i z a =+，234i z =+，且12z z 为纯虚数，则实数=a 【答案】83/223【分析】利用共轭复数的定义先得到234z i =-，化简12z z ，然后利用纯虚数的定义即可求解【详解】由234i z =+可得234z i =-，∵12i z a =+，∴()()()()()122i 34i 3864i 2i 3864i 34i 34i 34i 252525a a a z a a a z ++-+++-+====+--+，∵12z z 为纯虚数，∴3802564025a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，即83a =.故答案为：8315．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为.【答案】128π【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，所以侧面展开图的弧长为：810π16π5⨯=.设该圆锥的底面圆的半径为r ，所以2π16πr =，解得8r =，所以该圆锥的高221086h =-=，所以该圆锥的体积2211ππ86128π33V r h ==⨯⨯=.故答案为：128π.16．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且3a = ，2b = ，c ta b =- ，其中R t ∈，则c r 的最小值为．【答案】3【分析】计算3a b ⋅=- ，得到()2223333c ta b t ⎛⎫=-=++ ⎪ ⎪⎝⎭，计算最值得到答案.【详解】2π1cos23332a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ ，()2222222323234333c ta bt a ta b b t t t ⎛⎫=-=-⋅+=++=++ ⎪⎪⎝⎭，当3t 3=-时，2c 有最小值为3，故c r 的最小值为3.故答案为：3四、解答题17．设x ，R y ∈，向量(),2a x = ，()4,b y = ，()1,2c =- ，且a c ⊥ ，b c∥．(1)求x ，y 的值；(2)求a b +的值．【答案】(1)4x =，8y =-(2)10【分析】（1）根据向量垂直、平行的坐标表示即可求解；（2）由（1）知(4,2),(4,8)a b ==- ，从而计算(8,6)a b +=-，再根据模长的坐标公式即可求解.【详解】（1）若,//a c b c ⊥，则40x -=，且2410y -⨯-⨯=，得4x =且8y =-.（2）由（1）可知，(4,2),(4,8)a b ==-，则(8,6)a b +=-，则||643610a b +=+=.18．设,a b是不共线的两个向量．(1)若3,,32O O a b a b a b A OB C ==+=--，求证：,,A B C 三点共线；(2)若8a kb + 与2ka b +共线，求实数k 的值．【答案】(1)证明见解析(2)4±.【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.（2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）证明:因为()()322AB a b a b a OB b OA -=-==+-+ ，而()()3342BC a b O O a a C b bB -=-=-=-+- 所以2BC AB =- ，所以AB与BC 共线，且有公共点B ，所以,,A B C 三点共线（2）因为8a kb + 与2ka b +共线所以存在实数λ，使得()822a kb ka b k a b λλλ+=+=+ ，因为a 与b不共线，所以82k k λλ=⎧⎨=⎩，解得2λ=±，24k λ==±.19．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边长分别为a b c 、、，且满足2cos sin sin b A Bc C=.(1)求A ；(2)若43,4a b ==，求ABC S .【答案】(1)π3(2)83【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由正弦定理得出1sin 2B =，再由面积公式求解.【详解】（1）因为2cos sin sin b A Bc C=，由正弦定理可得，2sin cos sin sin sin B A B C C =因为sin sin 0B C ≠，所以1cos 2A =因为A 为三角形的内角，所以π3A =（2）因为43a =，4b =，π3A =，由正弦定理可得：434sin 32B =，所以1sin 2B =因为A 为三角形的内角，所以ππ,62B C ==11sin 4348322ABC S ab C ==⨯⨯= .20．如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱.(1)当43x =时，求圆柱的体积；(2)当x 为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.【答案】(1)16π27(2)当1x =时，圆柱的侧面积取最大值2π【分析】（1）设圆柱的底面半径为r ，根据相似比求出r 与x 的关系，求出r 代入圆柱的体积公式即可；（2）由（1）知2r x =-，代入圆柱的侧面积公式得()22π2S x x =-，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设圆柱的半径为r ，则222r x -=，2,02r x x ∴=-<<，当43x =时，42233r =-=，所以圆柱的体积222416πππ3327V r x ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）由（1）知2,02r x x =-<<，则圆柱的侧面积()()222π2π22π22π(1)1S rx x x x x x ⎡⎤==-=-=--+⎣⎦+，所以当1x =时，圆柱的侧面积S 取最大值2π．21．已知ABC 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为23，且()22232sin b c a ac B +-=，求：(1)求角A 的大小；(2)求BC 边中线AD 长的最小值.【答案】(1)π3(2)6【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；（2）由平面向量可知()12AD AB AC =+ ，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.【详解】（1）()22232sin b c a ac B +-= ，由余弦定理可得23cos 2sin bc A ac B =，即3cos sin b A a B =，由正弦定理可得3sin cos sin sin B A A B =，()0,πB ∈ ，0sinB ∴≠.3cos sin A A ∴=，即tan 3A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由（1）知，π3A =，ABC 的面积为23，所以1πsin 2323bc =，解得8bc =.由平面向量可知()12AD AB AC =+ ，所以()222211()244AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ ()()22221π1132cos 2643444b c bc b c bc bc bc bc ⎛⎫=++=++≥+== ⎪⎝⎭，当且仅当22b c ==时取等号，故BC 边中线AD 的最小值为6.22．已知ABC 的角A B C ､､所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2b A ac -=.(1)求角B 的大小；(2)若1b =，求ABC 的周长l 的取值范围.【答案】(1)2π3B =(2)232,13⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简可得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理结合三角形三边关系可求得a c +的取值范围，即可求得l 的取值范围.【详解】（1）由1cosA 2b a c -=，得1sin cos sin sin 2B A AC -=，即()1sin cos sin sin 2B A A A B -=+，则1sin cos sin sin cos cos sin 2B A A A B A B -=+，1sin 0,cos 2A B >∴=- ，()0,πB ∈ ，2π3B ∴=（2）由2222π2cos 3b ac ac =+-，得2221()()2a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭，故2303a c <+≤，当33a c ==时取等号，又a c b +>，故2313a c <+≤，所以ABC 的周长l 的取值范围为232,13⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦.。
安徽省安庆市高一下学期期中数学试卷
安徽省安庆市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高三上·南充期末) cos（﹣585°）的值为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 在 R t △PAB 中，PA＝PB ， 点 C、D 分别在 PA、PB 上，且 CD∥AB ， AB＝3，AC＝ ， 则的值为（ ）A . －7B.7C . －3D.33. （2 分） △ABC 中，若， 则△ABC 的形状为（ ）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等边三角形D . 锐角三角形4. （2 分） (2017 高二下·温州期末) 已知函数 f（x）=asinx﹣bcosx（a，b 为常数，a≠0，x∈R）在 x=处取得最小值，则函数 g（x）=f（﹣x）是（ ）第 1 页 共 10 页A . 偶函数且它的图象关于点 （π，0）对称 B . 奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称C . 奇函数且它的图象关于点（ . ，0）对称D . 偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称5. （2 分） 已知的外接圆半径为 1，圆心为 O，且，则的值为（ ）A.B.C.D. 6. （2 分） 在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则 a∶b∶c 等于（ ） A . 1∶2∶3 B . 3∶2∶1C.D.7. （2 分） (2017·银川模拟) 已知点 P（1，a）在角 α 的终边上， A.2，则实数 a 的值是（ ）B. C . ﹣2D.第 2 页 共 10 页8. （2 分） 已知向量 =（1，0）， =（0，1）， = +λ （λ∈R），向量 如图所示，若 ∥ ，则 λ=（ ）A.B.C.D.9. （2 分） 在中，内角所对的边分别是， 已知，，则（）A.B.C.D.10. （2 分） 若函数 则 m 的最小值是（ ）的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，A.B.C.第 3 页 共 10 页D.11. （2 分） (2017 高一下·温州期末) 在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠BAC= ，=，=（ ），=A.B.C.D. 12. （2 分） 在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，则 cos∠DAC=（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 8 分)13. （5 分） (2018 高一下·北京期中) 某人隔河看到两目标 A 与 B，但都不能到达，该人在此岸选取相距 公里的 C，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，如果 A，B，C，D 共面，求 A 与 B 的距离。
安徽省安庆市2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测(期中)数学试题含答案
安徽省安庆市2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测（期中）数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（）A.12个B.10个C.8个D.7个【答案】B 【解析】【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，当末位数字为0时，此时有23A 6=个符合条件的三位数，当末位数字为5时，此时有224⨯=个符合条件的三位数，因此一共有4610+=个，故选：B2.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（）A.0.4 B.0.16C.0.68D.0.17【答案】C 【解析】【分析】运用概率乘法公式求解即可.【详解】设i A 表示第i 次打击后该构件没有受损，1,2i =，则由已知可得1()0.85P A =，21(|)0.8P A A =，所以由乘法公式可得12121()()(|)0.850.80.68P A A P A P A A ==⨯=，即该构件通过质检的概率是0.68.故选：C.3.已知322()nx x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A .60B.80C.100D.120【答案】B【解析】【分析】根据各项系数和求出n ，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当1x =时，3243n =，解得5n =，则322(n x x +的展开式第1r +项351532155152552C ()()C 2C 2r r r r r r r r r rr T x x x x x----+===，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880=⨯=，故选：B4.函数()e e 4ln 1x xf x x --=+的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.【详解】由题意得4ln 10x +≠，即1ln 4x ≠-，得14e x -≠±，且0x ≠，所以()f x 的定义域为14e ,0x x x -⎧⎫⎪⎪≠±≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且；又()()e e e e 4ln 14ln 1x x x x f x f x x x -----==-=--++，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ；又11111ee ee411e e e e 0e ,01e e 34ln 1ef -----⎛⎫<<==< ⎪-⎝⎭+，所以排除D ．故选：A ．5.若随机变量X 的分布列为X －2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是（）A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)【答案】C 【解析】【分析】根据分布列可得P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，即可确定m 的取值范围.【详解】由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1，2]．故选：C6.1231C +2C +4C 2C n n n n n n -++= （）A.3nB.2·3nC.32n－1D.312n -【答案】D 【解析】【分析】根据条件结合()12n+的展开式即得.【详解】1231C +2C +4C 2C n n n n n n -++=()11223312C +2C +2C 2C 2n n n n n n ++ ()00112233112C +2C +2C +2C 2C 22n n n n n n n =++- ()113112222n n-=+-=.故选：D.7.已知函数()()2*cos Nf n n n n π=∈，且()()1naf n f n =++，则123100a a a a ++++=L （）A.100-B.0C.100D.10200【答案】A 【解析】【分析】对n 分成偶数和计算两种情况进行分类讨论，结合分组求和法求得正确答案.【详解】若n 为偶数，则cos 1n π=，()cos 11n π+=-，所以()()()221121n a f n f n n n n =++=-+=--，所以数列{}n a 的偶数项是首项为25a =-，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则cos 1n π=-，()cos 11n π+=，所以()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以数列{}n a 的奇数项是首项为13a =，公差为4的等差数列.所以()()123100139924100a a a a a a a a a a ++++=+++++++ ()()504950495034505410022⨯⨯=⨯+⨯+⨯-+⨯-=-.故选：A8.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p ，其中N ,01n p *∈<<，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中不正确的是（）A.1a b += B.12p =时，a b =C.102p <<时，a 随着n 的增大而增大 D.112p <<时，a 随着n 的增大而减小【答案】D 【解析】【分析】结合概率基本性质可判断A 项，由二项分布概率通项公式可求得a 、b 即可判断B 项，结合二项式定理展开式可得()1122np a --=，分别研究102p <<与112p <<时()1122np a --=的单调性可判断C 项、D 项.【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，1a b +=，故A 项正确；对于B 选项，由12p =时，离散型随机变量X 服从二项分布1,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()11C 10,1,2,3,,22kn kk nP X k k n -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1351111C C C 2222nnn n n n a -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0241111C C C 2222nnn n n n b -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b =，故B 项正确；对于C 选项、D 选项，()()()1111222n nnp p p p p a ⎡⎤⎡⎤-+-----⎣⎦⎣⎦==，当102p <<时，()1122np a --=为正项且单调递增的数列，故a 随着n 的增大而增大，故C 项正确，当112p <<时，()12np -为正负交替的摆动数列，故D 项不正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.设离散型随机变量X 的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有A.0.1q = B.2EX =， 1.4DX =C.2EX =， 1.8DX = D.5EY =，7.2DY =【答案】ACD 【解析】【分析】先计算q 的值，然后考虑EX 、DX 的值，最后再计算EY 、DY 的值.【详解】因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确；又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C 正确；因为21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确.故选ACD.【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量Y 与随机变量X 满足Y aX b =+，则EY aEX b =+，2DY a DX =.10.现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（）A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【答案】BCD 【解析】【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题.11.设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n ∈N 恒成立，则下列说法正确的是（）A.2112a << B.{}n a 是递增数列C.2020312a << D.2020314a <<【答案】ABD【解析】【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x <<，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在()0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a << ,所以23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+>因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A =“取出的两个球颜色不同”，事件B =“取出一个黄球，一个蓝球”，则()P B A =______.【答案】2047【解析】【分析】求出()P A 、()P AB 的值，利用条件概率公式可求得()P B A 的值.【详解】由题意可得()21254534347C 66P A ⨯+⨯+⨯==，事件AB =“取出一个黄球，一个蓝球”，则()2125410C 33P AB ⨯==，由条件概率公式可得()()()106620334747P AB P B A P A ==⨯=.故答案为：2047.13.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则关于“六艺”课程讲座不同排课顺序的种数为________．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】确定排齐方法，第一步根据“射”和“御”两门课程排在前3节和后3节分类讨论．第二步排“数”，第三步排其它3门．【详解】按相邻两门课排在前3节、中间两节及后3节分类，方法数12321321132232232233120C A A A C A A C C A ++=，故答案为：120．【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，考查计数原理，解题关键是确定事件完成的方法，是分类还是分步.本题是先按特殊元素分类，然后分步．综合应用分步计数原理和分类计数原理．14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数()n σ：*n ∀∈N ，()n σ为n 的所有正因数之和，如(6)123612σ=+++=，则(20)σ=_______；(6)n σ=_______．【答案】①.42②.111(21)(31)2n n ++--【解析】【分析】根据()n σ为n 的所有正因数之和，直接计算(20)σ，分析6n 的正因数的特点，利用等比数列求和求解.【详解】根据新定义可得，(20)1245102042σ=+++++=，因为623n n n =⋅正因数0001020101112101223,23,23,,23,23,23,23,,23,,23,23,23,,23n n n n n n n ，所以1122(21)(31)(6)(1222)(1333).2n n nnnσ++--=++++++++= 故答案为：42；111(21)(31)2n n ++--四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表．（1）若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；（2）求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．【答案】（1）13；（2）4990.【解析】【分析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C ==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C ==，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率；（2）设事件i A 表示抽取到第i 个档案袋，(1,2)i =，设事件B 表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．【小问1详解】（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C ==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C ==，∴从中抽到两名男生报名表的概率151453m P n ===．【小问2详解】设事件i A 表示抽取到第i 个档案袋，(1,2)i =，设事件B 表示抽取的报名表是一名男生一名女生，则11()2P A =，21()2P A =，116412108(|)15C C P B A C ==，115522105(|)9C C P B A C ==，∴抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为：()P B ()()1122815149(|)(|)1529290P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=．16.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：221nn F =+(N)n ∈是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出56416700417F =⨯，该数不是质数.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()2log 11n n S F =--()N n +∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21(1)log n n b n a +=+，设为数列2n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求出n T .【答案】（1）12n n a -=（2）221n T n =-+【解析】【分析】（1）由数列{}n a 的通项公式与其前n 项和的关系求其通项公式即可.（2）运用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为()2log 11n n S F =--，221nn F =+，所以()22log 211121nnn S =+--=-；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，111222nn n n n n a S S ---=-=-=，11a =适合上式，故12n n a -=；【小问2详解】因为12n n a -=，所以12nn a +=，所以212(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n +=+=+=+，故22112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111121222231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111221212223111n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即221n T n =-+.17.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.【答案】（1）600人（2）分布列见解析；() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解X 的分布列与数学期望()E X 即可；（3）根据超几何分布的概率求解Y 的分布列与数学期望即可得结论.【小问1详解】()015000.003750.0010.000206508⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人；【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=，()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=，()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=，()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X0123P 0.0080.0960.3840.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=；【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P Y ====，()3082310C C 5673C 12015P Y ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=，故()()E X E Y =.18.已知函数()()()22ln ln 1f x a x x x x a x =--+++，()g x 为函数()f x 的导函数（1）讨论()g x 的单调性；（2）当1a =时，()()22ln h x x x x f x =+--，若0m >，0n >，且1mn >，证明：()()0h m h n +>.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出()g x 的解析式，再利用导数求出()g x 的单调区间；（2）首先求出()h x 的解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可得到①1m n ≤<或②01m n <≤<两种情况，再分别证明即可.【小问1详解】解：因为()()()22ln ln 1f x a x x x x a x =--+++定义域为()0,∞+，则()()2ln 2a f x a x x x '=-++，即()()2ln 2a g x a x x x=-++，所以()()()()2222221222x a x a x x a a a g x x x x x+--+--'=+-==，当0a ≤时()0g x '>恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0g x '>解得2a x >，令()0g x '<解得02a x <<，所以()g x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，综上可得，当0a ≤时()g x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时()g x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】证明：当1a =时()2ln ln 1f x x x x x x =-+++，所以()()22n l 2n 1l h f x x x x x x x x =-=+--+-，()0,x ∈+∞，所以()ln 21h x x x '-=+-，令()ln 21x x x u -=+-，则()1212x x u xx --+='=，所以当12x >时()0u x '>，当102x <<时()0u x '<，即()u x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()1ln 202u x u ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，即()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，不妨设m n <，因为1mn >，所以有①1m n ≤<或②01m n <≤<两种情况，当①1m n ≤<时，因为()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()10h n h m h >≥=，所以()()0h m h n +>，当②01m n <≤<时，由1mn >，得1m n >，所以()1h m h n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()()()11ln 1h n n n m h n h n n n h n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝>+⎭+，由01m n <≤<，所以10n n -+<，令()1ln x x x xϕ=-+，()1,x ∈+∞，则()()2222222131241111x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫--+⎢ ⎪--+⎝⎭-+-⎢⎥⎣⎦'=--===，所以()0x ϕ'<，即()x ϕ在()1,+∞上单调递减，且当x 趋向于1时()x ϕ趋向于0，则()0x ϕ<，所以1ln 0n n n -+<，则11ln 0n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()0h m h n +>，综上可得当0m >，0n >，且1mn >时，()()0h m h n +>.【点睛】关键点点睛：第一问中，根据()g x '的结构，对a 分类讨论；第二问中，对于②，在证明()()0h m h n +>时，利用()1h m h n ⎛⎫> ⎪⎝⎭将双变量变为单变量，再利用导数证明不等式.19.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X .（1）当6n =时，求()2P X ≤（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望()E Y 和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a ，有()()()21D Y P Y E Y a a -<≥-.根据该不等式可以对事件“()Y E Y a -<”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.【答案】（1）1132（2）1250【解析】【分析】（1）根据二项分布公式计算；（2）运用二项分布公式算出()E X 和()D X ，再根据题意求出()X E X a -<中a 的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【小问1详解】由已知16,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()()2012P X P X P X P X ≤==+=+=652401266611111161511C C C 2222264646432⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()0.5,0.25E X n D X n ==，若0.40.6X n≤≤，则0.40.6n X n ≤≤，即0.10.50.1n X n n -≤-≤，即0.50.1X n n -≤.由切比雪夫不等式()20.250.50.11(0.1)n P X n n n -≤≥-，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则20.2510.98(0.1)n n -≥，解得1250n ≥，所以估计信号发射次数n 的最小值为1250；综上，()11232P X ≤=，估计信号发射次数n 的最小值为1250.。
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安庆师范学院 2012 - 2013学年第 二 学期 《高等数学》课程期中考试卷
120 分钟 一、选择题（每小题3分，共计15分） 1.过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 2．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（） A ．②⇒③⇒① B ．③⇒②⇒① C ．③⇒④⇒① D ．③⇒①⇒④ 3. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ ）
A B C D 4、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+D d y x y x σ)sin cos (33＝（ ） A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23； B.⎰⎰132D yd x σ； C.⎰⎰+1
)sin cos (433D d y x y x σ； D.0 5、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑
++dS
y x e y x )sin(2222＝（ ）。
A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π
二、填空题：（每小题2分，共计20分） 学院专业班级姓名学
1.=+→xy y x y x 2lim
)2,1(),( ． 2. 222y x z +=表示空间曲面 ． 3．⎰⎰=101
0xydy dx ． 4. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分
⎰L ds y = ．
5、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝______。
6、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切点坐标为______________________。
7、交换dx y x f dy y ⎰⎰1
10),(的积分次序为______________。
8、设空间立体Ω所占闭区域为0,0,1≥≥≤++y x z y x ，Ω上任一点的体密度是z y x z y x ++=),,(ρ，则此空间立体的质量为____________。
9、设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅=________和b a ⨯=________．
三、计算题：（共计65分）
1．（9分）设222
1y x z +=
，求全微分dz .
2．（9分）),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y
x z ∂∂∂2。
3．（9分）设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.
4．（9分）计算二重积分σd xy ⎰⎰D
，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭
区域.
5．（9分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω
dv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及
41222≤++≤z y x 所确定。
6.（9分）L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-L ydx x dy xy 22.
7.（11分）计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数.。