广东省--东莞市-2019-2020学年九年级数学人教版(上册)- 期末综合测试。文字版含 答案
广东省东莞市2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．3．已知点（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣2，6）D．（2，6）4．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE 与△ABC的面积之比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：165．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt △A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）A．42°B．48°C．52°D．58°6．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0 7．下列命题错误的是（）A．经过三个点一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等8．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°9．已知一个圆锥的母线长为30cm，侧面积为300πcm，则这个圆锥的底面半径为（）A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm10．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．12．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为．13．如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为．14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C和点E是对应点，若AB＝1，则BD＝．15．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y＝﹣（k＞0）图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．16．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB 上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为．三．解答题（共8小题）18．解方程：（x+3）2＝2x+6．19．甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少？20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长．21．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．（1）求证：PD∥CB；（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．23．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．24．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】分别根据轴对称图形的定义即可判断；【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率＝＝．故选：A．3．已知点（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣2，6）D．（2，6）【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵点（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3×（﹣4）＝﹣12，而3×4＝﹣3×（﹣4）＝2×6＝12，﹣2×6＝﹣12，∴点（﹣2，6）在该反比例函数图象上．故选：C．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故选：C．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt △A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）A．42°B．48°C．52°D．58°【分析】先根据旋转的性质得出∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，∴∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．故选：A．6．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．7．下列命题错误的是（）A．经过三个点一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等【分析】根据切线的性质、三角形的外心、圆的有关性质分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三个点可以作圆，故本选项错误；B、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；D、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选：A．8．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A＝∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：连接OC，∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠COD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵∠A+∠OCA＝∠COD＝50°，∴∠A＝25°．故选：B．9．已知一个圆锥的母线长为30cm，侧面积为300πcm，则这个圆锥的底面半径为（）A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个扇形和扇形面积计算公式，可以求得这个圆锥的底面半径，从而可以解答本题．【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，300π＝，解得，r＝10，故选：B．10．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【解答】解：分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y＝，在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；②当k＞0时，反比例函数y＝，在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确，故选：D．二．填空题（共7小题）11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（﹣2，3）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m＝3，解得：m＝2．故答案为：2．13．如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为．【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积＝S四边形，∴针头扎在阴影区域内的概率为；故答案为：．14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C和点E是对应点，若AB＝1，则BD＝．【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，由勾股定理可求BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，∴BD＝＝故答案为：15．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y＝﹣（k＞0）图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1＜y2．【分析】根据双曲线所在的象限，得出y随x的增大而增大，进而作差判断．【解答】解：∵k＞0，∴﹣k＜0，因此在每个象限内，y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．16．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE＝12﹣x，由题意知DE∥BC且DE＝BC，从而得＝（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE＝12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，则＝（）2，即＝，解得：x＝9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB 上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为4π﹣8 ．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝CD＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝﹣＝4π﹣8，故答案为：4π﹣8．三．解答题（共8小题）18．解方程：（x+3）2＝2x+6．【分析】先变形得到（x+3）2﹣2（x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（x+3）2﹣2（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣2）＝0，x+3＝0或x+3﹣2＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣1．19．甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少？【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球的号码相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这两个小球的号码相同的有2种情况，∴这两个小球的号码相同的概率为：＝．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长．【分析】（1）根据题意∠ACE即为旋转角，只需求出∠ACE的度数即可．（2）根据勾股定理可求出BC，由旋转的性质可知CE＝CA＝8，从而可求出BE的长度．【解答】解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E 在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC+CE＝6+8＝1421．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1﹣x），12月份的房价为14000（1﹣x）2，然后根据12月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．【解答】解：（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是：14000（1﹣x），12月份的成交价是：14000（1﹣x）2∴14000（1﹣x）2＝11340，∴（1﹣x）2＝0.81，∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：11、12两月平均每月降价的百分率是10%；（2）会跌破10000元/m2．如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9185.4＜10000．由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．（1）求证：PD∥CB；（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．【分析】（1）欲证明PD∥BC，只要证明∠P＝∠CBF即可．（2）由△ACE∽△CBE，可得＝，求出EC，再根据垂径定理即可解决问题；【解答】（1）证明：∵FC＝FB，∴∠C＝∠CBF，∵∠P＝∠C，∴∠P＝∠CBF，∴PD∥BC．（2）解：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE，∴＝，∴＝，∴EC2＝144，∵EC＞0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．23．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【分析】（1）把A的坐标代入y＝，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y＝x+b 求出一次函数的解析式；（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（4，1），∴1＝，即k＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝．∵一次函数y＝x+b（k≠0）的图象过点A（4，1），∴1＝4+b，解得b＝﹣3，∴一次函数的解析式为：y＝x﹣3；（2）∵令x＝0，则y＝﹣3，∴D（0，﹣3），即DO＝3．解方程＝x﹣3，得x＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝；（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），∴一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．24．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论；（3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD＝AD即可．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE；（2）∵OD＝OE，∴OD＝DE＝OE，∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO（SAS），∴∠CBO＝∠CDO＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，∴OA＝OB＝DE＝EC，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴△ABO≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAE＝∠DOE＝30°，∴∠1＝∠DAE，∴CD＝AD，∴▱ABCD是菱形．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H 点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．【解答】方法一：解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA＝PB，∴BC＝PC+PB＝PC+PA设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2+4＝10，得：m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB＝PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入l BC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，∴∠GHO＝∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2＝GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y＝3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y＝x+，l AC：y＝3x+3，∴x＝﹣，y＝，∴Q（﹣，）．。
2019-2020学年广东省深圳中学九年级(上)期中数学试卷含解析
2019-2020学年广东省深圳中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本部分共12分，每小题3分，共36分）1．（3分）下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形2．（3分）下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．3．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和34．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若x：y＝1：3，2y＝3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．56．（3分）如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECO的面积是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．C．2D．+19．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）A．（2，）B．（﹣2，﹣）C．（2，）或（﹣2，）D．（2，）或（﹣2，﹣）10．（3分）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处，测得自身影子CD的长为1米，向前继续走3米，测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）米．A．8B．7.2C．6D．4.511．（3分）如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2﹣k1＝（）A．4B．C．D．612．（3分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④当AG＝6，EG＝2时，BE的长为，其中正确的编号组合是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）已知x1，x2是一元二次方程5x（x﹣3）＝1的解，则x1+x2的值为．14．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合）．CD⊥OA于点D，点E在DC的延长线上，EF⊥y轴于点F，若点C为DE中点，则四边形ODEF的周长为．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为．三、解答题（本大题共7个小题）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝15．18．（6分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：请结合图表完成下列各题：（1）①表中a的值为，中位数在第组；②频数分布直方图补充完整；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．组别成绩x分频数（人数）第1组50≤x＜606第2组60≤x＜708第3组70≤x＜8014第4组80≤x＜90a第5组90≤x＜1001019．（8分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．20．（8分）某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a元，则可售出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）求证：AC•CD＝CP•BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．22．（8分）如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．23．（8分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A、B，四边形OAMB的面积为6．（1）求k的值；（2）点P在（1）的反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，在x轴上有一点D（4，0），若在直线y＝x上有动点C，构成△PDC，其面积为3，请写出C点的坐标；（3）若∠EPF＝90°，其两边分别为与x轴正半轴，直线y＝x交于点E、F，问是否存在点E，使PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省深圳中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本部分共12分，每小题3分，共36分）1．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．2．【解答】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，2，，所以三边之比为1：2：．A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3．故选：C．4．【解答】解：因为一共有6个球，红球有2个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到红球的概率为：＝．故选：D．5．【解答】解：∵x：y＝1：3，∴设x＝k，y＝3k，∵2y＝3z，∴z＝2k，∴＝＝﹣5．故选：A．6．【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B．7．【解答】解：如图：过点C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．∴△ABE≌△CDF，（AAS），∴AE＝CF．∴CF＝AE＝AD＝1，∴BE＝AE＝，AB＝2BE＝，∵BD＝2AB＝，∴OE＝，∴S△ECO＝OE•CF＝××1＝，故选：B．8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A＝120°，∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当P′Q⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP′中，∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴P′Q＝CP′＝BC•sin B＝2×＝．故选：B．9．【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为：1：3，∵点B的坐标为：（6，4），∴点B′的坐标是：（2，）或（﹣2，﹣）．故选：D．10．【解答】解：∵MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴＝，即＝①，∵NE∥AB，∴△FNE∽△F AB，∴＝，即＝②，∴＝，解得：BC＝3，∴＝，解得AB＝6，即路灯A的高度AB为6m．故选：C．11．【解答】解：解法一：设A（m，），B（n，）则C（m，），D（n，），由题意：解得k2﹣k1＝4．解法二：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝|k1|＝﹣k1，S△COE＝S△DOF＝k2，∵S△AOC＝S△AOE+S△COE，∴AC•OE＝×2OE＝OE＝（k2﹣k1）…①，∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF，∴BD•OF＝×3（EF﹣OE）＝×3（﹣OE）＝5﹣OE＝（k2﹣k1）…②，由①②两式解得OE＝2，则k2﹣k1＝4．故选：A．12．【解答】解：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG．∴GD＝DF．故①正确；∴DG＝GE＝DF＝EF．∴四边形EFDG为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DF A，∴△DOF∽△ADF．∴＝，即DF2＝FO•AF．∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF•AF．故③正确；如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝＝4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△F AD．∴＝，即＝，∴GH＝，∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正确．故选：D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．【解答】解：原方程可整理得：5x2﹣15x﹣1＝0．∵x1，x2是一元二次方程5x（x﹣3）＝1的解，∴x1+x2＝﹣＝3．故答案为：3．14．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°．∵等边三角形ADE，∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．15．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0）、点B（0，2）代入y＝kx+b中，得：，解得：．∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．设点C的坐标为（m，﹣m+2）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，﹣m+4），∴OD＝EF＝m，CD＝2﹣m，DE＝4﹣m，∵ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA，∴∠O＝∠F＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEF为矩形．∴C矩形ODEF＝2×（OD+DE）＝2×（m+4﹣m）＝8．故答案为：8．16．【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．三、解答题（本大题共7个小题）17．【解答】解：（x﹣3）（x﹣1）＝15，x2﹣4x﹣12＝0，（x﹣6）（x+2）＝0，∴x﹣6＝0或x+2＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2．18．【解答】解：（1）①a＝50﹣（6+8+14+10）＝12，中位数为第25、26个数的平均数，而第25、26个数均落在第3组内，所以中位数落在第3组，故答案为：12，3；②（2）×100%＝44%，答：本次测试的优秀率是44%；（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，则所有的可能性为：（AB﹣CD）、（AC﹣BD）、（AD﹣BC）所以小明和小强分在一起的概率为：．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DF A＝∠F AB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DF A，∴∠DAF＝∠F AB，即AF平分∠DAB．20．【解答】解：设每件商品的售价定为a元，则（a﹣18）（320﹣10a）＝400，整理得a2﹣50a+616＝0，∴a1＝22，a2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴a＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．21．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴AB•CD＝CP•BP．∵AB＝AC，∴AC•CD＝CP•BP；（2）如图，∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝．∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝．22．【解答】解：（1）如图所示：FM即为所求；（2）设速度为x米/秒，根据题意得CG∥AH，∴△COG∽△OAH，∴＝，即：＝＝，又∵CG∥AH，∴△EOG∽△OMH，即：＝，∴解得：x＝答：小明沿AB方向匀速前进的速度为米/秒．23．【解答】解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6，∴k＝6；（2）如图1﹣1中，延长DP交OC于点E，作DH⊥OC于H，作PJ⊥OC于J，∵D（4，0），P（3，2），∴直线PD的解析式为y＝﹣2x+8，由，解得．∴E（，），在Rt△ODH中，∵∠DOH＝45°，OD＝4，∴DH＝2，同法可得PJ＝∵•EC•DH﹣•EC•PJ＝3，∴EC＝2，∴满足条件的点C坐标为（，）或（，）．（3）存在点E，使得PE＝PF．由题意，得点P的坐标为（3，2）．①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3﹣2＝1，GE＝HP＝2﹣1＝1，∴OE＝OG+GE＝3+1＝4，∴E（4，0）；②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3+2＝5，GE＝HP＝5﹣2＝3，∴OE＝OG+GE＝3+3＝6，∴E（6，0），故答案为（4，0）和（6，0）．。
2019-2020学年广东省实验学校九年级数学上册期中考试试卷(含解析)
20.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程 的两个实数根。
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
21.网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016年交易额为500亿元，2018年交易额为720亿元。
∴△OAP≌△OBP′，
∴P′B=PA=3，BO=OA=2，
∴P′(3，-2)，
故答案为：D.
3.解：当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=- ；
当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1.
故答案为：A.
①方程 是倍根方程；②若 是倍根方程，则 ；③若点 在反比例函数 的图像上，则关于 的方程 是倍根方程；④若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 上，则方程 的一个根为 ．
16.图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为________分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为________分米．
25.两条抛物线 与 的顶点相同．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）点 是抛物找 在第四象限内图象上的一动点，过点 作 轴， 为垂足，求 的最大值；
2020年广东省中考模拟试卷·2019-2020学年度第二学期佛山市大沥镇初中教学质量检测九年级数学试题(含答案)
2019-2020学年度第二学期大沥镇初中教学质量检测九 年 级 数 学 试 题命题学校：石门实验学校 命题人：农成遐 审核人：李富泉 把关人：大沥镇教育局左世良一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．﹣2020的相反数是（ ） A ．B ．C ．2020D ．﹣20202．港珠澳大桥2018年10月24日上午9时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55000m ，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据55000用科学记数法表示为（ ） A ．5.5×105B ．55×104C ．5.5×104D ．5.5×1063．如图，下列结论正确的是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．C ．|a |＜|b |D ．abc ＞04．如表是我国近六年“两会”会期（单位：天）的统计结果：则我国近六年“两会”会期（天）的众数和中位数分别是（ ） A ．13，11 B ．13，13 C ．13，14 D ．14，13.5 5．在Rt △ABC ，∠C ＝90°，sin B ＝，则sin A 的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．下列运算中，计算正确的是（ ） A ．2a +3a ＝5a 2 B ．（3a 2）3＝27a 6C ．x 6÷x 2＝x 3D ．（a +b ）2＝a 2+b 27.下列命题中，假命题的是（）A ．分别有一个角是110的两个等腰三角形相似B ．若5x =8y （xy ≠0），则58y xC ．如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比D ．有一个角相等的两个菱形相似 8．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为（ ） A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝9．如图，点A 是反比例函数y ＝2x(x ＞0）的图象上任意一点，AB //x 轴，交反比例函数y ＝－3x的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D在x 轴上，则S □ABCD 为( )A. 2B. 3C. 4D. 510．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc ＞0；②2a +b ＝0；③若m ≠1，则a +b ＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2． 其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个． D.5个二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 11．因式分解：x 2﹣9＝ ．12．在平面直角坐标系中点P （﹣2，3）关于x 轴的对称点在第 象限． 13．一个正数a 的平方根分别是2m ﹣1和﹣3m +，则这个正数a 为 ．14．已知反比例函数y ＝（k 是常数，k ≠1）的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是15．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n ＝ ．16．如下左图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD =4cm ，BD =8cm ，DE =5cm ，则线段BF 长为 cm ．17. 如上右图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为 .三．解答题(一)（第18~20题，每题6分，共18分）18．计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣119．先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b ﹣＝0．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．四．解答题(二)（第21~23题，每题8分，共24分）21．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF ＝，求AB的长．22．2020年4月23日是第二十五个“世界读书日”．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并将获奖人数绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．23．在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量.（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？五．解答题(三)（第24~25题，每题10分，共20分）24.如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB 交于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG(1)判断CG 与的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB2=BC·BF；(3)如图2，当∠DCE=2∠F,CE=3,DG=2时，求DE的长．25．如图，直线23y x c=-+与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线243y x bx c=-++经过点A，B．(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m 的值．2019－2020学年度第二学期大沥镇初中教学质量检测九年级数学答案及评分标准一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.C ．2.C.3.B4.B5.B6.B7.C8.A9.D10.B二．填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（x +3）（x ﹣3）．12．第三象限．13．414．k ＜1．15．8．16．10．17.16三．解答题(一)（第18~20题，每题6分，共18分）18．解：原式＝2×﹣1+﹣1+2.............4分＝1+．......................6分19．解：原式＝•.............3分＝， (4)分由a +b ﹣＝0，得到a +b ＝，则原式＝2．..........6分20．解：（1）如图所示：CO 与⊙O 为所求....................4分（2）相切；过O 点作OD ⊥AC 于D 点，∵CO 平分∠ACB ，∴OB ＝OD ，即d ＝r ，∴⊙O 与直线AC 相切.......................6分四．解答题(二)（第21~23题，每题8分，共24分）21．解：（1）∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE ，∵AB ∥CD ，∴∠AFE ＝∠CDE ，................1分在△AEF 和△CED 中，.6分∵，∴△AEF ≌△CED （AAS ），∴AF ＝CD ，........3分又AB ∥CD ，即AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形；........4分（2）∵AB ∥CD ，∴△GBF ∽△GCD ，...............5分∴＝，即＝，解得：CD ＝，...............6分∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF ＝CD ＝，...................7分.∴AB＝AF+BF＝+＝6．...............8分22．解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人）..................2分.补全条形图如下：............3分.（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；...............4分（3）树状图如图所示，∵从四人中随机抽到甲和乙两人共有12种可能性结果，每种结果的可能性相同，恰好是甲和乙的结果有两种，分别是（甲，乙），（乙，甲）..............7分∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．.......................................................8分23．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，..........................1分.将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y＝﹣2x+80．......................................................................3分当x=29.6,y=25.2和x=28,y=26也满足上述关系式∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．................................4分当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．..答：当天该水果的销售量为33千克．...............................5分（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，...............................6分解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．..............................7分答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．...............................8分五．解答题(三)（第24~25题，每题10分，共20分）24．解：(1）CG与⊙O相切，理由如下：..........1分如图1，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∠ACB=∠ACF=90°点G是EF的中点，∴GF=GC=GE∴∠AEO=∠GEC=∠GCE.............................2分∵OF⊥AB ∴∠OAC+∠AEO=90°∴∠OCA+∠GCE=90°∴OC⊥CG∵OC 是⊙O 的半径∴CG 是⊙O 相切...............................3分（2）∵∠AOE=∠FCE=90°,∠AEO=∠FEC ∴∠OAE=∠F 又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△FBO .............................4分∴BC:BO=AB:BF 即OB·AB=BC·BF ..............................5分∵AB=2OB∴2OB 2=BC·BF ..................6分(3)由（1）知GC=GE=GF ∴∠F=∠GCF∴∠EGC=2∠F...........................7分∵∠DCE=2∠F ∴∠EGC=∠DCE ∵∠DEC=∠CEG ∴△ECD∽△EGC ...............................8分∴EC:EG=ED:EC ∵EC=3,DG=2∴3:(DE+2)=DE:3整理，得：DE 2+2DE-9=0....................................................9分010 1.............10DE DE >∴=- 分2(3,0)3y x c x A =-+25.（1）与轴交于∴0=-2+c,解得：c=2∴B(0,2)..............................1分24+,3y x bx c A B =-+ 抛物线经过（3,0）（0,2）两点-12+3010,223b c b c c +=⎧∴∴==⎨=⎩24102 (333)y x x ∴=-++抛物线的解析式为：分()()22123y x =-+由可知直线AB的解析式为，∵M(m,0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，2410333P ∴2（m,-m+2）,N(m,-m +m+2)222410242,3,2(2)4 (433333)PM m AM m PN m m m m m ∴=-+=-=-++--+=-+分24103332M(m,0),（m,-m+2）,N(m,-m +m+2)∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°当∠BNP=90°时，BN⊥MN,N 点的纵坐标为241033∴2-m +m+2=2解得：m=0或m=2.5M(2.5,0).....................................................................5分当∠NBP=90°时，过点N 作NC⊥y 轴于点C,241090, ,33NBC BNC NC m BC m m∠+∠=︒==-+则∵∠NBP=90°,∴∠NBC+∠ABO=90°∴∠ABO=∠BNC ∴Rt△NCB∽Rt△BOA∴NC:OB=BC:OA2410:2():333110811(,0) (68)m m m m m M ∴=-+==∴解得：或分综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△AMP 相似时，点M 的坐标为或；②M ，P ，N 三点为“共谐点”，有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，2241012,3()3332P MN m m m m ++==当为线段的中点时，则有2(-m+2)=-解得：三点重合，舍去或224102)0,3()1333M PN m m m ++===-当为线段的中点时，则有-m+2+(-解得：舍去或2241012),3()3334N PM m m m ++==-当为线段的中点时，则有-m+2=2(-解得：舍去或11“” (1024)M P N m 综上可知当，，三点成为共谐点时的值为或-1或-．分。
专题01 一元二次方程(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题01 一元二次方程【典型例题】1．（2020·青浦区实验中学期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．21x ＋1x－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－1 【答案】A2．（2020·山东泗水初三期中）若()11620m m x mx +++-=是关于x 的一元二次方程，则m =________．【答案】1【专题训练】一、选择题1．（2020·湖南湘潭初三期末）已知关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的一个根是2，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2 【答案】D2．（2020·山东东平期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）A ．22731x y -=+B ．25620x y --= C ．22x x x x -=+ D ．()2320ax b x c +-++=【答案】C3．（2020·安徽安庆期末）若x =2是关于x 的一元二次方程x 2-mx +8=0的一个解．则m 的值是( )A ．6B ．5C ．2D ．-6【答案】A4．（2019·四川雁江初三期末）如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，那么m 的值为：（ ） A ．3± B ．3 C ．-3 D ．都不是【答案】C5．（2020·安徽蚌埠期末）一元二次方程4x 2﹣1=5x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．4，﹣1，5 B ．4，﹣5，﹣1 C ．4，5，﹣1 D ．4，﹣1，﹣5【答案】B6．（2020·四川米易初三期末）已知a 是方程22430x x --=的一个根，则代数式224a a -的值等于（ ）A ．3B ．2C ．0D ．1 【答案】A7．（2020·安徽铜陵初三期末）已知关于 x 的方程20x ax b ++=有一个根是(0)b b ≠，则a b +的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．12 D ．1 【答案】A8．（2020·全国初三课时练习）已知m 是方程23220x x --=的值（ ）A ．2BC D【答案】C9．（2019·贵州印江初三期末）将一元二次方程22(1)1(1)2x x x +-=+-写成一般形式_____．【答案】2330x x ++=10．（2020·湖南雨花期末）已知方程ax 2+bx +c ＝0的一个根是﹣1，则a ﹣b +c ＝_____．【答案】011．（2020·银川市第十五中学初三一模）关于x 的一元二次方程(m －1)x 2+6x +m 2－m =0的一个根x =0，则m 的值是_____．【答案】012．（2020·贵州印江初三期末）若关于x 的方程||(m 2)m 20m x x --+=为一元二次方程，则m =__________．【答案】－213．（2020·全国初三课时练习）下列方程中，①7x 2+6＝3x ；②212x ＝7；③x 2﹣x ＝0；④2x 2﹣5y ＝0；⑤﹣x 2＝0中是一元二次方程的有_____． 【答案】①③⑤．14．（2020·全国初三课时练习）把一元二次方程（x ﹣2）2﹣x ＝7x +6化为一般形式是_____，二次项系数是_____，一次项是_____，常数项是_____．【答案】x 2﹣12x ﹣2＝0 1 ﹣12x ﹣215．（2020·河北初三二模）若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____．【答案】202316．（2020·南宁市新民中学初三期中）若关于x 的一元二次方程22(1)410a x x a --+-=的一根是0，则a ＝___________． 【答案】-117．（2019·全国初二单元测试）把关于x 的方程()()()23x x x -=化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 【答案】解：原方程整理得226918x x x -+=-∴22690x x∴各项与各项的系数分别为：二次项22x ，二次项系数2；一次项-6x ，一次项系数-6；常数项-9.18．（2020·安徽天长龙集九年制学校期中）关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，求m 的值．【答案】解：关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，依题意有，27230m m ⎧-=⎨-≠⎩∴m =-3∴当m =-3时方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程．19．（2018·陕西洛南）如果关于x 的方程（m ﹣3）x |m ﹣1|﹣x +3＝0是一元二次方程，求m 的值．【答案】由题意，得|m ﹣1|＝2且m ﹣3≠0．解得m ＝﹣3．即m 的值是﹣3．20．（2020·全国初三课时练习）已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()221m m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，即m 2-m =2,m 2-2=m .∴()()222221121224m m m m m m m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--+=-+=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．（2020·全国初三课时练习）若m 是一元二次方程||120a x x ---=的一个实数根． （1）求a 的值；（2）不解方程，求代数式()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）由于||120a x x ---=是关于x 的一元二次方程， 所以||12a -=，解得3a =±；（2）由（1）知，该方程为220x x --=， 把x =m 代入，得220m m --=，所以22m m -=，①由220m m --=，得210m m --=， 所以21m m-=，② 把①和②代入()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭， 得()2212(11)4m m m m ⎛⎫-⋅-+=⨯+= ⎪⎝⎭， 即()2214m m m m ⎛⎫-⋅-+= ⎪⎝⎭．。
2019-2020学年九年级(华师大版)数学上册期末综合练习卷(含答案) (1)
九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2.绝对值不
2．绝对值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．(1)|5x－2|≥8?5x－2≥8或5x－2≤－8?x≥2或x≤－6 5，∴原不等式的解集为x x≥2或x≤－65.(2)原不等式价于|x－2|≥2，①|x－2|≤4.②由①得x－2≤－2，或x－2≥2，∴x≤0或x≥4.由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：①当c>0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|<c的解集为?.③当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4；(3)|x2－3x－4|>x＋1. 解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x－3<9.即－6<2x<12.∴－3<x<6.∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}．(2)∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2＝x－122＋74>0，∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2.故原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4?x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1<x<3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．2．已知常数a满足－1＜a＜1，解关于x的不等式：ax＋|x＋1|≤1. 解：若x≥－1，则ax＋x＋1≤1，即(a＋1)x≤0.因为－1＜a＜1，所以x≤0.又x≥－1，所以－1≤x≤0.若x＜－1，则ax－x－1≤1，即(a－1)x≤2.因为－1＜a＜1，所以x≥2a－1.因为－1＜a＜1，所以2a－1－(－1)＝a＋1a－1＜0.所以2a－1≤x＜－1.综上所述，2a－1≤x≤0.故不等式的解集为2a－1，0.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解不等式|x－3|－|x＋1|<1.解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图象分析求解．法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为12，B点到C点的距离与到A点的距离之差为 1.由绝对值的几何意义知，当点P在射线Bx上(不含B点)时不等式成立，故不等式的解集为x x>12.法二：原不等式?①x<－1，－－＋＋或②－1≤x<3，－－－＋或③x≥3，－－＋①的解集为?，②的解集为x 12<x<3，③的解集为{x|x≥3}．综上所述，原不等式的解集为x x>12.法三：将原不等式转化为|x－3|－|x＋1|－1<0，构造函数y＝|x－3|－|x＋1|－1，即y＝3，－2x＋1，－5，x≤－1，－1<x<3，x≥3.作出函数的图象(如下图所示)，它是分段函数，函数与x轴的交点是12，0，由图象可知，当x>12时，有y<0，即|x－3|－|x＋1|－1<0，所以原不等式的解集是x x>12.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：①当x≤－23时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x－(3x＋2)≥8?－5x≥9?x≤－95，∴x≤－95；②当－23<x<12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x＋3x＋2≥8?x＋3≥8?x≥5，∴x∈?；③当x≥12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?5x＋1≥8?5x≥7?x≥75，∴x≥75.∴原不等式的解集为－∞，－95∪75，＋∞.4．设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a＞0，得f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－－＝1a＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)＜5，得3＜a＜5＋212.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)＜5，得1＋52＜a≤3.综上所述，a的取值范围是1＋52，5＋212.含绝对值不等式的恒成立问题已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为?，分别求出m的取值范围．解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围．法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.又(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为．6．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的取值范围．解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥1.(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R；(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)；(3)若不等式解集为?，这样的m不存在，即m∈?.课时跟踪检测(五)1．不等式|x＋1|>3的解集是( )A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4<x<2}C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}解析：选 A |x＋1|>3，则x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.2．满足不等式|x＋1|＋|x＋2|<5的所有实数解的集合是( )A．(－3,2) B．(－1,3) C．(－4,1) D.－32，72解析：选C |x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )A.－12，0∪1，32B.－12，0∪1，32C.－12，0∪1，32D.－12，0∪1，32解析：选 D 由1≤|2x－1|<2，得1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，因此－12<x≤0或1≤x<32.4．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2) D．解析：选 A 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数f(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m＞2或m＜－4，故实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2，即x≥－1，∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x－1|<x＋1?－x－1<2x－1<x＋1?3x>0，x<2?0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为________．解析：因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|.由题意，得|a2－2a|＜3，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x2－2x＋3|<|3x－1|.解：原不等式?(x2－2x＋3)2<(3x－1)2?<0?(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0?x2－5x＋4<0(因为x2＋x＋2恒大于0)?1<x<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}．9．解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．解：若2m－1<0，即m≤12，则|2x－1|<2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m>12，则－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m<x<m.综上所述：当m≤12时，原不等式的解集为?；当m>12时，原不等式的解集为{x|1－m<x<m}．10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈－a2，12都成立．故－a2≥a－2，即a≤43.从而a的取值范围是－1，43.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(湖南高考)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为( )A. 2 B．2C．2 2 D．4解析：选 C 由1a＋2b＝ab，知a＞0，b＞0，所以ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥22，当且仅当1a＝2b，1a＋2b＝ab，即a＝42，b＝242时取“＝”，所以ab的最小值为2 2.2．(重庆高考)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．解析：令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＋＋＝9＋2＋＋≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝72，b＝32.∴t max＝18＝3 2.答案：3 23．(重庆高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________. 解析：由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，当a>－1时，f(x)＝－3x＋2a－－，－x＋2a＋－，3x－2a＋作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案：－6或44.(全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝错误! 故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为x x<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为x x<13或1<x<3或x>5.5．(江苏高考)设a＞0，|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.证明：因为|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×a3＋a3＝a.6．(全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即x－a2＋12－x≥3－a2.又x－a2＋12－x min＝12－a2，所以12－a2≥3－a2，解得a≥2.所以a的取值范围是“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>b且c>d.A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________．由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2，则y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．3设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3.即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc，而3abc＋abc≥23abc·abc＝2 3.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23，当且仅当abc＝3时，等号成立.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；|f(x)|<g(x)?－g(x)<f(x)<g(x)．2．平方法|f(x)|>|g(x)|?2>2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x的不等式：(1)|x＋1|>|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|>2x.(1)法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈?；当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，即x>1，此时1<x≤3；当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式的解集为{x|x>1}．(2)分段讨论：①当x<－52时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，∴原不等式的解集为x x<－52.②当－52≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－35.∴原不等式的解集为x－52≤x<－35.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为x x<－35.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简便的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．设有关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)>a.(1)当a＝1时，解此不等式．(2)当a为何值时，此不等式的解集是R?(1)当a＝1时，lg(|x＋3|＋|x－7|)>1，?|x＋3|＋|x－7|>10，?x≥7，2x－4>10或－3<x<7，10>10或x≤－3，4－2x>10，?x>7或x<－3.∴不等式的解集为{x|x<－3或x>7}．(2)设f(x)＝|x＋3|＋|x－7|，则有f(x)≥|(x＋3)－(x－7)|＝10，当且仅当(x＋3)(x－7)≤0，即－3≤x≤7时，f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)>a的解集为R，只要a<1.。
2019-2020学年人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 达标测试卷(含答案)
第二十一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程是关于x的一元二次方程的是()A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋1x＝3C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1)2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为()A．1 B．2 C．－1 D．－23．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是()A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝54．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．以上三种情况都有可能5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．76．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行(或列)，则列方程得() A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40(第7题) 7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x －3＝0的根，则▱ABCD的周长为()A．4＋2 2 B．12＋6 2C．2＋2 2 D．2＋2或12＋6 28．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx＋b的大致图象可能是()9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为()A. 5 B．1 C．5 D.5或110．如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m2，则路的宽为()(第10题) A．3 m B．4 mC．2 m D．5 m二、填空题(每题3分，共30分)11．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数是________．12．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长为________________．13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 019的值为________．14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝________．16．对于任意实数a，b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)＝4，则实数x的值是________．17．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若x2＝a2，则x＝a；②方程2x(x－2)＝x－2的解为x＝12；③已知x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两根，则x1＋x2＝32，x1x2＝－2.其中错误的答案序号是__________．18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．19．若x2－3x＋1＝0，则x2x4＋x2＋1的值为________．20．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24 m．当围成的花圃面积为40 m2时，平行于墙的边BC的长为________m.(第20题) 三、解答题(21、26题每题12分，22、23题每题8分，其余每题10分，共60分) 21．用适当的方法解下列方程：(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.22.已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？请说明理由．23．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.(1)求a的值及方程的另一个根；(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．24．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值．25．为了贯彻党中央、国务院关于倡导开展全民阅读的重要部署，落实《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程的意见》．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2015年图书借阅总量是7 500本，2017年图书借阅总量是10 800本．(1)求该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率；(2)已知2017年该社区居民借阅图书人数有1 350人，预计2018年达到1 440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？26．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．问：(1)P，Q两点出发多长时间后，四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P，Q两点出发多长时间后，点P与点Q之间的距离是10 cm?(第26题)答案一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D7．A 8.B 9.B 10.C 二、11.x 2－12x ＋14＝0；－1212．6或10或1213．－1 点拨：将x ＝1代入方程x 2＋ax ＋b ＝0，得1＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1，∴(a ＋b )2 019＝－1.14．415.214 点拨：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a .由x 21－x 22＝10得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214.16．－6或1 17.①②③ 18.直角19.18 点拨：由已知x 2－3x ＋1＝0得x 2＝3x －1，则x 2x 4＋x 2＋1＝x 2（3x －1）2＋x 2＋1＝x 210x 2－6x ＋2＝3x －110（3x －1）－6x ＋2＝3x －124x －8＝3x －18（3x －1）＝18.20．4三、21.解：(1)原方程可化为(x －4)(x ＋5)＝0，∴x －4＝0或x ＋5＝0， 解得x ＝4或x ＝－5. (2)原方程可化为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32. (3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴Δ＝4－4×1×(－2)＝12＞0， ∴x ＝2±122＝2±232＝1±3. ∴x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3. (4)原方程化为一般形式为y 2－2y ＝0.因式分解，得y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.22．(1)证明：在关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．23．解：(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根．∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形．故三角形的周长为3或9或7.24．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，解得k＞3 4.(2)∵k＞34，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.∵|x1|＋|x2|＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1，解得k1＝0，k2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2.25．解：(1)设该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为x ，根据题意，得7 500(1＋x )2＝10 800， 即(1＋x )2＝1.44，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．因此该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为20%. (2)10 800×(1＋0.2)＝12 960(本)，10 800÷1 350＝8(本)，12 960÷1 440＝9(本)． (9－8)÷8×100%＝12.5%. 故a 的值至少是12.5.26．解：(1)设P ，Q 两点出发x s 后，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2，则由题意得(16－3x ＋2x )×6×12＝33，解得x ＝5.即P ，Q 两点出发5 s 后，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2.(2)设P ，Q 两点出发t s 后，点P 与点Q 之间的距离是10 cm ，过点Q 作QH ⊥AB 于点H .在Rt △PQH 中，有(16－5t)2＋62＝102，解得t 1＝1.6，t 2＝4.8.即P ，Q 两点出发1.6 s 或4.8 s 后，点P 与点Q 之间的距离是10 cm.。
广东省广州中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
广东省广州中学 2019-2020 学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 下列方程中，是关于 的一元二次方程的是( )x B. D. A.C. 1 2 1 + 1)2 = + 1) + − 2 = 0 = 1 + + = 02 2. 已知一元二次方程 − + = 0有实数根，则 的取值范围是( ) a2 B. C. D. A. 13 1 3 1 3 1 3≤ < ≤ − ≥ 3. 对于抛物线 = + 1)+ 3，下列结论正确的是( ) 2 A. B. 抛物线的开口向上≤ 0时， 随 的增大而减小 y x C. D. 顶点坐标为(−1,3)对称轴为直线 = 1 4. 关于 的一元二次方程+ + 6 = 0的解为 = 2， = 3，则二次函数 = + 2 + 6与x 2 1 2 轴的交点坐标为( ) x B. C. D. D.A. 5 , 0)(2,0)、(3,0) (0,6)(5 , 0) (6,0) ( 、 2 2 5. 如图所示，图中不是轴对称图形的是() 垂直于点 ，且 = 8，= 5，则C D D A. B. C. D. 13 2.5 2 是⊙ 的内接三角形， 是直径，点 在⊙ 上 ，且 AB= C 等于( )A. B. C. D. 32° 34° 56° 66°8.如图，点是半径为2的⊙上一点，是⊙的弦，⊥A=60°，则的长是(O DC. D.A. B.2√31√329.如图，将△的度数为()绕点逆时针旋转100°，得到△，若点在线段的延长线上，则B CA11111A. B. C. D.86°70°80°84°10.如图，将一张直角三角形纸片沿平行于直角边的虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是()A. C.B.D.甲>乙，乙>丙甲<乙，乙>丙甲>乙，乙<丙甲<乙，乙<丙二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）−2=0的两个实数根，则+=_____．1111.已知，是方程+a b212.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8，宽为5，地毯中央长方形图案的面积为182，那么花边有多宽？设花边的宽为，则可得方程为________．B的位置，点在上，与AB15.抛物线=++5的对称轴是直线______．216.将抛物线=+−6绕点旋转180所得抛物线______．2O三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）17.解方程：−−5=0．2−1)=2−．四、解答题（本大题共8小题，共92.0分）18.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系=2+，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？A点坐标为(−4,2)；(2)在第二象限内的格点上画一点，使点与线段C C AB个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是CAB______，△(3)画出△的周长是______(结果保留根号)；以点为旋转中心，旋转180°后的△C，连接和，试说出四边形是何特殊四边形，并说明理由．= 60°， 交⊙ 于点 ， ， AE B E且= ， 求： 的度数；度数．21. 某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从 年底的 万个增长到 22016 年底的2.88万个．2018 (1)求该市这两年养老床位数的年平均增长率：(2)该市 年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间(一个养老床位 2018 的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间)共 间，若按规划需要建造的单 100 人间的房间数为 可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？≤ ≤ 15)，双人间的房间数是单人间的 倍，求该养老中心建成后最多 2x222.关于的一元二次方程−−++1=0．2m m(1)若是方程的一个实数根，求的值；(2)若为负数，判断方程根的情况．m23.内接于⊙，是⊙的直径，是弧AB C DA D C的延长线相交于⊙外的一点求证：=．24.已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点、、在同一直线上．B C E(1)写出两个不同类型的结论；(2)连接，为B D P B D 上的动点(点除外)，绕点逆时针旋转60º到DQ，如图2，连接PC，D PD DQ E，①判断与C P Q E的大小关系，并说明理由；②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使++的值最小，并求最小值．25.如图，已知抛物线与轴交于x ，两点，与轴交于点y，抛物线的顶点为，P连接AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得M =？若存在，求出点坐标；若不存在，M请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误；C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程未知数的次数为1次，故不是一元二次方程，故错误．故选A．根据一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数进行分析即可．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.答案：A解析：解：∵一元二次方程2−+=0有实数根，∴△≥0，即2−4×3×≥0，21解得≤．3故选：A．a的取值范围．根据△的意义得到△≥0，即22−4×3×≥0，解不等式即可得本题考查了一元二次方程2++=≠0)的根的判别式△=2−：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．3.答案：C解析：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性.根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．解：二次函数=+1)2+3中，=−1<0，开口向下，对称轴为直线 = −1，顶点坐标为(−1,3)，< −1时，y 随 x 的增大而增大．故选 C ．4.答案：B解析：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，也考查了一元二次方程 2 + 交点的横坐标是二次函数的函数值为 0 时所对应的自变量．+ = 0的根的含义．关键是掌握 令 = 0，得到关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出二次函数图象与 x 轴的交点坐标． x 轴的交点坐标的纵坐标是 0，即 + 6 = 0的两根是该函 解：∵二次函数 = 数与 x 轴交点的横坐标，2 + + 6与 2 + ∴二次函数 =+ + 6与 x 轴的交点坐标是(3,0)、(2,0)．2 故选 B ． 5.答案：C解析：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据 轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图 形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解： 有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能 够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项符合题意；D.有两条对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选 C ．6.答案：C解析：本题考查垂径定理有关知识，根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．解：连接 OA ，=∴∵，∴由垂径定理可知：=12=4，由勾股定理可知：52=42+(5−2，∴=2，∴=2，故选C．7.答案：B解析：解：∵是直径，∴∴∴=90°，=90°−==90°−56°=34°，=34°．故选：B．根据圆周角定理得到数．=90°，利用互余计算出=34°，然后根据圆周角定理得到的度本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．8.答案：C解析：由于=60°，根据圆周角定理可求=120°，又⊥，根据垂径定理可知=60°，在△中，利用特殊三角函数值易求O D．本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角三角函数计算，解题的关键是熟记特殊角三角函数．解：∵=60°，=120°，∴∵⊥，∴=90°，=12=60°，在△中，=90°−60°=30°，∴=1=1，2故选：C．9.答案：B解析：本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△1为等腰三角形是解题的关键．由旋转的性质可知=11，=1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得==1=40°，从而可求得=80°．1111解：由旋转的性质可知：=11，=1，=100°．1∵∴∴∴==1，=100°，1=40°．1=40°．11=+=40°+40°=80°．11111故选B．10.答案：D解析：本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质的方法是解决问题的关键.首先=1⋅，可求得GF，过点B作⊥于点H，则，易证得△，△乙2D B，D E，D F的长，继而求得答案．解：如图：= 1 · 过点 作 B ⊥ 于点 ，则 H ，乙 2 ∵ // ，∴△ ∽ △ = ，∴ ∵ ∴ = ，= 7， = 3，= 10 = 10 ， ，7 7 ∴ = − = 3 ，7 ∴ 丙= 1 + · =51 ·，2 98 ∵ ∴ // // ， ⊥ ， ⊥ ，，∴四边形 是矩形，B D F H = ， = = 10，7 ∴△ ∽ △ = ，∴ ∵ ∴ = ，= 2， = 7，= 2 = 2 ， ， + ，7 7 ∴ = 2 = + = 12 ， 7 71 2 = 22 ·甲= S 49 ∴甲<乙，乙<丙．故选 ．D 11. 答案：1解析：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于− ，两根之积等于 是解题的关键．根据根与系数的关系可得出 + = −2、 = −2，将其代入 + = 1 1 中即可求出结论． 解：∵ ， 是方程 2 +− 2 = 0的两个实数根， b ∴ + = −2，= −2， ∴ 1 + 1 = = −2 = 1， −2故答案为：1．12.答案：(8 − − = 18解析：本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关 键．根据等量关系：(8 − 2 ×花边的宽) × (5 − 2 ×花边的宽) = 18列出方程解答即可．解：设花边的宽为根据题意得，(8 −故答案为(8 − ， − = 18． − = 18．13.答案：5解析：解：在 △中， = 30°， = 10， ∴ = 1 = 5．2 根据旋转的性质可知，所以 = 5．故答案为 5．根据 30 度直角三角形的性质求出 = ， 长度，根据旋转的性质可知 = ，从而可求解问题．B C本题主要考查旋转的性质、30 度直角三角形的性质．14.答案：20°解析：解：连结 B D ，如图，∵∴∴ = = = = 50°， − = 70° − 50° = 20°，= 20°． 故答案为20°．先根据圆周角定理得到 等弧所对的圆周角相等求解．= = 50°，则 = − = 20°，然后再根据同弧或 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆 心角的一半．15.答案： = −1解析：解：抛物线 =故答案为 = −1．2 + + 5的对称轴是直线 = − = −1，即 = −1． 根据二次函数 = 2 + + ≠ 0)的对称轴是直线 = − 即可求解．本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数 =2 + + ≠ 0)的对称轴是直线 = − 是解题的关键． 16.答案： = − 1)2 + 8解析：解：∵ = 2 + − 6 = + 1)2 − 8．∴原抛物线的顶点坐标为(−1, −8)，∵抛物线 = − 6绕原点 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(1,8)，∴旋转后的抛物线的解析式为 =− 1) + 8．故答案是： = − 1)2 + 8． + 2 O 2 求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的 抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便． 17.答案：解： − 5 = 0，2 − △= (−4) − 4 ×3 × (−5) = 76，2 = 4±√76， 2×3= 2 √19， = 2−√19； 1 2 3 3− 1) = 2 −， − 1)− 1) = 0， 2) = 0， 2 = 0，−− 1 = 0， = 1， = − ． 2 1 2 3解析：(1)先求出 2 − 的值，再代入公式求出即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18.答案：解：(1)当 = 15时，15 = ，2 解得， = 1， = 3，1 2 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 时，飞行时间是 1 或 3 ；m s s (2)当 = 0时，0 = ，2 解得， = 0， = 4，1 2 ∵ 4 − 0 = 4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 ；s = = − 2)2 20，2 ∴当 = 2时， 取得最大值，此时， = 20，y 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2 时最大，最大高度是 20 ．s m解析：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．(1)根据题目中的函数解析式，令=15即可解答本题；(2)令=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．19.答案：(1)图形如下：(2)(−1,1)；22+210．√√(3)由旋转180°可知，=，=，∴四边形是平行四边形，又∵=，∴四边形是矩形．解析：【解答】解：(1)图形如下：，△的周长是22+210．√√(3)由旋转180°可知，=，=，∴四边形是平行四边形，又∵=，∴四边形是矩形．【分析】根据点的坐标，首先确定坐标系的位置，在第二象限内的格点上画一点，使点与线A C C段组成一个以为底的等腰三角形，则一定在C的中垂线上，通过作图即可确定的位置，AB CAB AB根据勾股定理即可求得三角形的周长，根据对角线的关系即可判定四边形的形状．本题考查了在格点上找等腰三角形的顶点，旋转变换作图，根据旋转中心画图，确定旋转后的点的坐标时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．20.答案：解：(1)连接OB，∵∵==，====，，∴==，∵+，∴，∵=+，∴=60°，∴=20°；(2)∵∴===，=40°，∵=，∴==40°．解析：(1)首先连接OB，由=，可得△与△是等腰三角形，继而可得=，则可求得答案；(2)根据等腰三角形的性质即可得到结论．此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．21.答案：解：(1)设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2(1+2= 2.88，解得=0.2=20%，=−2.2(不合题意，舍去)．12答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．(2)设规划建造单人间的房间数为三人间的房间数为100 − 设该养老中心建成后能提供养老床位 个，≤ ≤ 15)，则建造双人间的房间数为 2 ， m， y 由题意得： = + + 3(100 − = + 300∵ 随 的增大而减小 m∴当 = 12时， 的最大值为 252．y 当 = 15时， 的最小值为 240．y 答：该养老中心建成后最多提供养老床位 252 个，最少提供养老床位 240 个．解析：(1)设该市这两年(从 2013 年度到 2015 年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为 ，根据 x “2015 年的床位数= 2013年的床位数× (1 +增长率)的平方”可列出关于 的一元二次方程，解方程 x 即可得出结论；(2)设规划建造单人间的房间数为 ≤ ≤ 15)，则建造双人间的房间数为 2 ，根据“可提供的 m床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出 关于 的函数关系式，根据一次函 y m 数的性质结合 的取值范围，即可得出结论． t本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系列出关于 的 x 一元二次方程；(2)根据数量关系找出 关于 的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该 y t 题型题目时，根据数量关系列出方程(方程组或函数关系式)是关键．22. 答案：解：(1) ∵ 是方程的一个实数根，∴ − ( − 3) ++ 1 = 0．2 2 ∴ = − 1 ； 3(2) ∵ =− = [−( − 3)] − 4 × 1 × ( + 1) = 2 + 5， 2 2 又∵< 0， ∴> 0， ∴ = + 5 > 0，∴此方程有两个不相等的实数根．解析：本题考查一元二次方程的根的概念，一元二次方程的根的判别式．一元二次方程2++=≠0)的根的判别式△=−：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个2相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．(1)将=代入原方程求出值；m(2)根据方程根的判别式△=−=+5，又因<0，即可得>0，从而得出△=2+5>0，由此即可得出结论．23.答案：证明：连接AC．∵是⊙的直径，∴=90°=．∵四边形内接于⊙，AB C D∴∴+=180°，又．+=180°，=∵是弧的中点，B D∴∠1=∠2，∴∠1+=∠2+=90°，∴∴∴=，=，=．解析：本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质和圆、等腰三角形的判定有关知识．根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到是解题的关键．=连接 AC ，先根据直径所对的角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到，从而根据等角对等边可证 答案：解：(1)答案不唯一，合理即可，，四边形 是菱形；= ，= = ． 24. 、 AB C D A CE D 四边形 是等腰梯形；四边形 是轴对称图形；ABE D ABE D 理由：∵△、△ 和△ 是等边三角形， ∴= = 60°，∴． ∵△∴ 、△ 和△ 是等边三角形， = = = = = ， ∴四边形 、 是菱形，四边形 是等腰梯形； ABE DAB C D A CE D ；理由：是等边三角形， = 60°， 绕点 逆时针旋转60°到 D Q ， = ∵△∴= ， ∵D ∴= ， = 60°，∴= ， ∴△∴ = ． ②如图 1，连接 AP ，由①可知= ， ∵绕点 逆时针旋转60°到 D Q ， D ∴△ 是等边三角形，∴= + ， 要使+ + 的值最小， 的值最小，∴ + 即点 、 、 、 在同一直线上 A P Q E ，构建两点之间，线段最短，= 1， = 3， = 3， 过点 作 A ⊥ 于点 ，可得 M√ 所以 故在 √ 2 ．= 3 + (√3) = 2√3 2 上存在点 ，故 P + + 的值最小，最小值是2 3．√B D A 解析：此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定，等腰梯形的性 质，全等三角形的判定和性质，解(2)①的关键是判断出，解(2)②的关键是判断出 = 点 、 、 、 在同一直线上 A P Q E 时， + + 的值最小，是一道基础题目．(1)直接由等边三角形的性质即可得出即可；(2)①先判断②先判断出△= ， = 60°，进而判断出△ 即可得出结论； 是等边三角形，进而得出 的值最小．= ，再判断出点 、 、 、 在同一直线上 A P Q E 时， + + 25. 答案：解：(1) ∵抛物线与 轴交于， 两点， x ∴设抛物线的解析式为 =+ − 1)， ∵点， ∴ = 3，解得 = −1，∴抛物线的解析式为 = +− 1)，即 = − + 3； − + 3；2 (2) ∵抛物线的解析式为 = 2∴其对称轴=−1，顶点的坐标为(−1,4)P∵点在抛物线的对称轴上，M∴设，∵，，∴设过点、的直线解析式为=A P+≠0)，+=0 +=4=−2 =2∴{，解得{，∴直线的解析式为=+2，AP∴，∴∵=+=1⋅1+1⋅1=1×1×1+1×1×1=1，2222=，∴1×2=2，解得=2，2当点在点上方时，−4=2，解得=6，M P∴此时；当点在点下方时，4−=2，解得=2，M P∴此时，综上所述，(−1,6)，(−1,2)．12解析：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度不大．(1)设抛物线的解析式为=+−1)，再把代入求出的值即可；a(2)根据(1)中抛物线的解析式求出求出抛物线的对称轴方程及顶点坐标，设出点的坐标，利用待MAP E定系数法求出直线的解析式，求出点坐标，故可得出△的面积，进而可得出点的坐标．M∴其对称轴=−1，顶点的坐标为(−1,4)P∵点在抛物线的对称轴上，M∴设，∵，，∴设过点、的直线解析式为=A P+≠0)，+=0 +=4=−2 =2∴{，解得{，∴直线的解析式为=+2，AP∴，∴∵=+=1⋅1+1⋅1=1×1×1+1×1×1=1，2222=，∴1×2=2，解得=2，2当点在点上方时，−4=2，解得=6，M P∴此时；当点在点下方时，4−=2，解得=2，M P∴此时，综上所述，(−1,6)，(−1,2)．12解析：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度不大．(1)设抛物线的解析式为=+−1)，再把代入求出的值即可；a(2)根据(1)中抛物线的解析式求出求出抛物线的对称轴方程及顶点坐标，设出点的坐标，利用待MAP E定系数法求出直线的解析式，求出点坐标，故可得出△的面积，进而可得出点的坐标．M。
宝安区2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷(答案)
2019-2020学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）方程（x﹣3）（x+4）＝0的解是（）A．x＝3B．x＝﹣4C．x1＝3，x2＝﹣4D．x1＝﹣3，x2＝4【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x﹣3＝0或x+4＝0，所以x1＝3，x2＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．（3分）下面四个几何体中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从正面看所得到的平面图形，分别写出四个选项的主视图即可选出答案．【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；B、立方体的主视图是正方形，故此选项错误；C、四棱锥的主视图是三角形，故此选项正确；D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．3．（3分）已知，则下列结论一定正确的是（）A．x＝2，y＝3B．2x＝3y C．D．【分析】根据比例的性质即两内项之积等于两外项之积分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：∵，∴3x＝2y，∴A、B选项错误；∵，∴y＝x∴＝＝，∴C选项错误；∵，∴＝+1＝+1＝，∴D选项正确；故选：D．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键，较简单．4．（3分）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）对．A．4B．3C．2D．1【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定方法即可判断．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，则△EDC∽△CBF，故图中相似的三角形有3对．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，属于基础题．5．（3分）某人从一袋黄豆中取出20粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（）A．380粒B．400粒C．420粒D．500粒【分析】100粒黄豆中有5粒黄豆染成蓝色，说明在样本中有色的占到20%．而在总体中，蓝色的共有20粒，据此比例可求出黄豆总数．【解答】解：依题意可得估计这袋黄豆：20÷＝400（粒）故选：B．【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．6．（3分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的值可能是（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用反比例函数的性质得出2﹣a＜0，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，∴2﹣a＜0，解得：a＞2．故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出2﹣a的符号是解题关键．7．（3分）天猫某店铺第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，设5、6月份的平均增长率为x，求此平均增长率可列方程为（）A．200（1+x）2＝662B．200+200（1+x）2＝662C．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662D．200+200x+200（1+x）2＝662【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设利润平均每月的增长率为x，根据“第2季度的总销售额为662万元”，可得出方程．【解答】解：设利润平均每月的增长率为x，又知：第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，所以，可列方程为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝662；故选：C．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．8．（3分）如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE ∥BD，DE、CE相交于点E．四边形OCED的周长是20，则BC＝（）A．5B．5C．10D．10【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC＝OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，再利用已知得出菱形的边长，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形；∵四边形OCED的周长是20，∴CO＝DO＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝AB＝5，∴BC＝＝5．故选：B．【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．9．（3分）下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等【分析】根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可．【解答】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；故选：B．【点评】本题考查的是黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质，掌握相关的概念和性质定理是解题的关键．10．（3分）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD ＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米【分析】因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．即＝故CD＝×AB＝×1＝32米；那么该大厦的高度是32米．故选：A．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．11．（3分）如图，直线a∥b∥c，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份，△ABC的面积为32，则图中阴影部分四边形DFIG的面积是（）A．12B．16C．20D．24【分析】先由两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△ADG∽△ABC，△AFI ∽△ABC，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出S△ADG＝S△ABC，S△AFI ＝S△ABC，然后根据图中阴影部分的面积＝S△AFI﹣S△ADG即可求解．【解答】解：∵直线a∥b∥c，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份，∵＝，＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADG∽△ABC，△AFI∽△ABC，∴＝（）2＝，＝（）2＝，∵△ABC的面积为32，∴S△ADG＝S△ABC＝2，S△AFI＝S△ABC＝18∴S阴影＝S△AFI﹣S△ADG＝18﹣2＝16，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S△ADG＝S△ABC＝4，S△AFI＝S△ABC＝18是解题的关键．12．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是BA延长线上的一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM＝BN＝1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（）个①MC⊥ND；②sin∠MFC＝；③（BM+DG）2＝AM2+AG2；④S△HMF＝；A．1B．2C．3D．4【分析】设DN交CM于O，在BC上截取BK，使得BK＝BM，连接MK，作MT⊥CF 于T．①正确．可以证明△CBM≌△DCN，利用全等三角形的性质解决问题即可．②正确．可以证明△AMF≌△KCM（ASA），推出△FMC是等腰直角三角形即可．③正确．解直角三角形求出AG，DG，通过计算证明即可．④正确．求出MT，FH，利用三角形的面积公式计算即可【解答】解：设DN交CM于O，在BC上截取BK，使得BK＝BM，连接MK，作MT⊥CF于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC，∠CBM＝∠CBM＝∠DCN＝90°，∵AM＝BN＝1，∴BM＝CN＝3，∴△CBM≌△DCN（SAS），∴∠MCB＝∠CDN，∵∠MCB+∠DCM＝90°，∴∠DCM+∠CDN＝90°，∴∠COD＝90°，∴CM⊥DN，故①正确，∵MF∥DN，∴MF⊥CM，∴∠FMC＝90°，∴∠AMF+∠CMB＝90°，∵∠CMB+∠MCB＝90°，∴∠AMF＝∠MCK，∵BM＝BK，∠MBK＝90°，∴∠BKM＝45°，∵AF平分∠EAD，∴∠EAF＝∠EAD＝45°，∴∠MAF＝∠CKM＝135°，∵AM＝CK，∴△AMF≌△KCM（ASA），∴MF＝MC＝＝5，∵∠FMC＝90°，∴∠MFC＝45°，∴sin∠MFC＝，故②正确，∵OH∥MF，∴∠OHC＝∠MFC＝45°，∴OH＝OC＝＝，∴CH＝OC＝，∵CF＝CM＝5，∴FH＝FC﹣CH＝，∵MT⊥CF，MF＝MC，∴TF＝TC，∴MT＝FC＝，∴S△FMH＝•FH•MT＝××＝，故④正确，∵△NCO∽△NDC，∴CN2＝NO•ND，∴ON＝，∴DH＝DN﹣ON﹣OH＝5﹣﹣＝，∵DG∥CN，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴AG＝4﹣＝，∴（BM+DG）2＝（3+）2＝AM2+AG2＝1+（）2＝，∴（BM+DG）2＝AM2+AG2，故③正确，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）已知x﹣3y＝2，则代数式3x﹣9y﹣5＝1．【分析】首先把3x﹣9y﹣5化成3（x﹣3y）﹣5，然后把x﹣3y＝2代入，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵x﹣3y＝2，∴3x﹣9y﹣5＝3（x﹣3y）﹣5＝3×2﹣5＝6﹣5＝1故答案为：1．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．（3分）如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB＝50米．则BC的长为（25+25）米．（结果保留根号）【分析】由题意知AD⊥BC于点D，且∠BAD＝30°，∠DAC＝∠ACD＝45°，根据AB ＝50米可求得BD＝AB sin∠BAD＝25（米），AD＝AB cos∠BAD＝25（米），再由AC ＝CD＝25米可得答案．【解答】解：如图所示，由题意知AD⊥BC于点D，且∠BAD＝30°，∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB＝50米，∴BD＝AB sin∠BAD＝50×＝25（米），AD＝AB cos∠BAD＝50×＝25（米），在Rt△ACD中，∵∠DAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝CD＝25（米），则BC＝BD+CD＝25+25（米），故答案为：（25+25）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m 为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M（﹣，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是﹣＜x＜2．【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当﹣＜x＜2时，ax2+bx+c＜kx+m，所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为﹣＜x＜2．故答案为﹣＜x＜2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．16．（3分）如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为，则点N的坐标为（，）．【分析】根据双曲线的图象过点A（1，3），可求出反比例函数的关系式，点A、M、N 三点在一条直线上，且M、N在双曲线上，设出点M、N的坐标，利用双曲线的对称性可求出S△MON＝S△BMN，这样可得到关于两点坐标的关系式，联立可求出答案．【解答】解：连接ON，∵点A（1，3）为双曲线上，∴k＝3，即：y＝；由双曲线的对称性可知：OA＝OB，∴S△MBO＝S△MAO，S△NBO＝S△NAO，∴S△MON＝S△BMN＝，设点M（0，m），N（n，），∴mn＝，即，mn＝，①设直线AM的关系式为y＝kx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，b＝m，k＝3﹣m，∴直线AM的关系式为y＝（3﹣m）x+m，把N（n，）代入得，＝（3﹣m）×n+m，②由①和②解得，n＝，当n＝时，＝，∴N（，），故答案为：（，）．【点评】考查反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，利用点的坐标，表示线段的长，进而表示三角形的面积是常用的方法．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．（5分）计算：﹣（）﹣1+tan45°+|1﹣|【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（）﹣1+tan45°+|1﹣|＝2﹣2+1+﹣1＝【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（5分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝，开方得x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．19．（8分）一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同．（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是；（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色）（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是．【分析】（1）根据各种颜色球的个数，直接求出概率；（2）无放回摸球，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出一红一蓝的情况，进而求出概率．（3）两次放回摸球，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出一红一蓝的情况，进而求出概率．【解答】解：（1）P白球＝＝，故答案为：；（2）用列表法得出所有可能出现的情况如下：共有12种等可能的情况，其中一红一蓝的有4种，∴P配紫＝＝；（3）再加1个白球，有放回摸两次，所有可能的情况如下：共有25种等可能的情况，其中一红一蓝的有4种，∴P配紫＝；故答案为：．【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用次方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件，同时注意“有放回”和“无放回”的区别．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？【分析】（1）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．（2）首先利用三角形中位线定理证明ON＝BE，利用勾股定理求出BE即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．【点评】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）光明农场准备修建一个矩形苗圃园，苗圃一边靠墙，其他三边用长为48米的篱笆围成．已知墙长为a米．设苗圃园垂直于墙的一边长为x米．（1）求当x为多少米时，苗圃园面积为280平方米；（2）若a＝22米，当x取何值时，苗圃园的面积最大，并求最大面积．【分析】（1）根据题意得方程求解即可；（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y＝x（48﹣2x）＝﹣2x2+48x，根据二次函数的性质求解即可．【解答】（1）解：根据题意得：（48﹣2x）x＝280，解得：x＝10或x＝14，∴当x为10米或14米时，苗圃园面积为280平方米；（2）解：设苗圃园的面积为y平方米，则y＝x（48﹣2x）＝﹣2x2+48x＝﹣2（x﹣12）2+288∵二次项系数为负，∴苗圃园的面积y有最大值．∴当x＝12时，即平行于墙的一边长是24米，24＞22，不符题意舍去；∴当x＝13时，y最大＝286平方米；答：当x＝13米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为286平方米．【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．22．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN．（1）当∠DCM＝30°时，求DM的长度；（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM•DE＝BE•CD；（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是3．【分析】（1）先根据菱形的性质求出BC＝3，再利用含30度角的直角三角形的性质求出BM，即可得出结论；（2）先判断出四边形ABNM是平行四边形，得出∠AMB＝∠EBD，进而判断出△ABM∽△EDB，即可得出结论；（3）先判断出AM+AN＝BN+AN，再判断出点N的运动轨迹是线段CP，进而判断出再CP上取一点N使AN+BN最小，最后利用轴对称构造出图形，计算即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2OB，CD＝BC＝AB＝，∵∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，∴OC＝BC＝，∴OB＝OC＝，∴BD＝3，∵∠BCD＝120°，∠DCM＝30°，∴∠BCM＝90°，∴CM＝BC＝1，∴BM＝2CM＝2，∴DM＝BD﹣BM＝1；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵MN∥CD，MN＝CD，∴AB∥MN，AB＝MN，∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，∴∠AMB＝∠EBD，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠EDB，∴△ABM∽△EDB，∴，∴AM•DE＝BE•AB，∵AB＝CD，∴AM•DE＝BE•CD；（3）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，CD∥AB，∵∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，连接CN并延长交AB的延长线于P，∵CD∥MN，CD＝MN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动（点N的运动轨迹是线段CP），∠APC＝∠ABD＝30°，由（2）知，四边形ABNM是平行四边形，∴AM＝BN，∴AM+AN＝AN+BN，而AM+AN最小，即：AN+BN最小，作点B关于CP的对称点B'，当点A，N，B'在同一条线上时，AN+BN最小，即：AM+AN的最小值为AB'，连接BB'，B'P，由对称得，BP＝B'P＝AB＝，∠BPB'＝2∠APC＝60°，∴△BB'P是等边三角形，B'P过点B'作B'Q⊥BP于Q，∴BQ＝B'P＝，∴B'Q＝BQ＝，∴AQ＝AB+BQ＝，在Rt△AQB'中，根据勾股定理得，AB'＝＝3，即：AM+AN的最小值为3，故答案为3．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，判断出点N的运动轨迹是线段CP是解本题的关键．23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣x+6与直线l2相交于点A，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O、点A和点B，已知点A到x轴的距离等于2．（1）求抛物线的解析式；（2）点H为直线l2上方抛物线上一动点，当点H到l2的距离最大时，求点H的坐标；（3）如图2，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形OPMN与△OAC 重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式．【分析】（1）由已知可得点A的纵坐标为2，则可求A（4，2），令y＝0，﹣x+6＝0，求出B（6，0），把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）由已知可求直线l2的解析式为y＝x，设点H的坐标为（m，﹣m2+m），过H 作HG∥y轴交直线l2于G，则G（m，m），所以HG＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+m ＝﹣（m﹣2）+1，当m＝2时，HG有最大值，点H的坐标为（2，2）；（3）当0＜t时，如图2，过A作AE⊥OB于E，OA＝＝2，tan∠AOE ＝，由tan∠NOH＝tan∠AOE＝＝，OP＝ON＝NM＝PM＝t，则NH＝NM＝t，S＝×（t+t）t＝t2；当＜t≤2时，过点P作PF⊥x轴于F，由∠POH ＝∠QON，OP＝t，求出NQ＝t，则P（2t，t），直线MP的解析式为y＝﹣2x+5t，所以G（5t﹣6，﹣5t+12），分别求出GP＝3（2﹣t），AP＝2﹣t，MG＝6﹣3t，证明△GP A∽△GKM则有MK＝t﹣2，S＝﹣×t×t﹣×（t﹣2）×（6﹣3t）＝﹣t2+40t﹣30；当2＜t≤时，可求N （﹣t，2t），则直线MN的解析式为y＝x+t，K（4﹣t，t+2），NQ＝t，Q（0，t），求出MK＝t﹣2，S＝﹣﹣×t×t﹣×（t﹣2+ t﹣2）×t＝﹣t2+10t；当t＞时，S＝S△OAC＝×4×6＝12．【解答】解：（1）∵点A到x轴的距离等于2，∴点A的纵坐标为2，∴2＝﹣x+6，∴x＝4，∴A（4，2），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴B（6，0），把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）设直线l2的解析式为y＝kx，∴2＝4k，∴k＝，∴直线l2的解析式为y＝x，设点H的坐标为（m，﹣m2+m），如图1，过H作HG∥y轴交直线l2于G，过点H作HK⊥l2于K，∴∠HGK＝∠AOC，∵sin∠KGH＝，∴KH＝HG•sin∠KGH，∵sin∠KGH是定值，∴当GH的值最大时，点H到直线l2的距离最大．∴G（m，m），∴HG＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+1，当m＝2时，HG有最大值，此时点H到直线l2的距离最大，∴点H的坐标为（2，2）；（3）当0＜t时，如图2，过A作AE⊥OB于E．∴OA＝＝2，tan∠AOE＝，∵∠NOP＝∠BOC＝90°，∴∠HON＝∠AOE，∴tan∠NOH＝tan∠AOE＝＝，∵OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NH＝HM＝t，S＝×（t+t）t＝t2；当＜t≤2时，过点P作PF⊥x轴于F，∵∠POF＝∠QON，OP＝t，∴OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NQ＝t，可求P（2t，t），直线MP的解析式为y＝﹣2x+5t∴G（5t﹣6，﹣5t+12），∴GP＝3（2﹣t），AP＝2﹣t，∴MG＝6﹣3t，∵∠MGK＝∠AGP，∴△GP A∽△GKM，∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣×t×t﹣×（t﹣2）×（4t﹣6）＝﹣t2+40t ﹣30；当2＜t≤时，可求N（﹣t，2t），则直线MN的解析式为y＝x+t，∴K（4﹣t，t+2），∵NQ＝t，∴Q（0，t），∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣﹣×t×t﹣×（t﹣2+t﹣2）×t＝﹣t2+10t；当t＞时，S＝S△OAC＝×4×6＝12；综上所述，S＝．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合正方形的性质解题是关键．。
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期末综合测试
时间：90分钟总分：120分
班级____________座号________________姓名_______________成绩_______________
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列标志，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这一事件是( )
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. 随机事件
D. 以上选项都不对
3. 如图，P是等边三角形ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与
点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是(
)
A. 70°
B. 80°
C. 60°
D. 50°
4. 一元二次方程x2－16＝0的解是( )
A. x1＝2，x2＝－2
B. x1＝4，x2＝－4
C. x1＝8，x2＝－8
D. x1＝16，x2＝－16
5. 已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
A. 1
B. －1
C.
1
4D. －
1
4
6. 点P(－2,1)关于原点对称的点的坐标为( )
A. (2,1)
B. (1，－2)
C. (2，－1)
D. (－2,1)
7. 抛物线y＝(x－2)2＋3的顶点坐标是( )
A.(2，－3)
B.(－2,3)
C.(2,3)
D.(－2，－3)
8. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝BC，则∠A的度数为( )
A.30°
B.40°
C.45°
D.60°
9. 从英文单词“sunshine”中随机抽取一个字母，抽中字母“n”的概率为( )
A.
1
8B.
2
5C.
1
2D.
1
4
10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2与y＝－ax＋b的图象可能是( )
二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)
11. 方程x(x－1)＝x的解为.
12.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边
减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列
方程为.
13. 小红在一次班会中参与学科知识抢答活动，现有语文题5个、数学题5个、英语
题5个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是
14. 若正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为
15. 函数y＝－x2＋2x－1的图象与x轴的交点坐标为
16.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴
影部分的面积是
三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)
17. 解方程x2－2x＝5.
18. 已知二次函数y＝x2－mx＋n的图象与y轴的交点到原点的距离是2，且函数图象的对称轴为直线x＝1.求该函数的解析式.
19. 如图，在正方形ABCD中，M为DC上一点，连接BM，将△BCM绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCN，连接MN. 如果∠1＝60°，求∠2的度数.
四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)
20. 假期里，小华和小亮到某影城看电影，影城同时在四个放映室(1,2,3,4室)播放四
部不同的电影，他们各自在这四个放映室任选一个，每个放映室被选中的可能性都相同.
(1)小明选择“1室”的概率为；
(2)用画树状图或列表的方法求小华和小亮选择去同一间放映室看电影的概率.
21. 电动自行车已成为广大市民日常出行的首选工具，根据某“捷安特”电动自行车专卖店1至3月份的销售统计，1月份销售150辆，3月份销售216辆. 求该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率.
22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O 的半径.
五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)
23. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE.
(1)求证：∠AEB＝∠ADC；
(2)连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数.
24. 如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，OP＝1，求BC的长.
25. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象分别经过点A(1,0)，B(0,3).
(1)求该函数的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由
.
期末综合测试 ---参考答案
一、填空题
1．D 2.C 3. C 4. B 5.B 6.C 7.C 8．C 9.D 10.B
二、填空题
11 .x 1＝0，x 2＝2 12. (x －2)(x －3)＝20 13. 13
14. 2 15. (1,0) 16. π
4
三、解答题
17．解：方程变形为x 2－2x －5＝0. 解得x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6. 18．解：由对称轴为直线x ＝1，得－－m
2
＝1，解得m ＝2.
二次函数y ＝x 2－mx ＋n 的图象与y 轴的交点到原点的距离是2，则与y 轴的交点坐标是(0,2)或 (0，－2).
当与y 轴的交点是(0,2)时，代入y ＝x 2－2x ＋n ，得n ＝2，则函数的解析式是y ＝x 2－2x ＋2；
当与y 轴的交点坐标是(0，－2)时，代入y ＝x 2－2x ＋n ，得n ＝－2，则函数的解析式是y ＝x 2－2x －2. 19．解：∵将△BCM 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCN ，∴△BCM ≌△DCN. ∴CM ＝CN ，∠1＝∠DNC ＝60°. ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD ＝∠DCN ＝90°. ∴∠MNC ＝∠CMN ＝45°. ∴∠2＝60°－45°＝15°. 20．解：(1) 1
4 (2)记四个放映室分别为A ，B ，C ，D ，画出树状图如图.
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择去同一放映室的有4种， 所以小华和小亮选择去同一间放映室看电影的概率为416＝1
4
.
21．解：设该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为x. 根据题意，得150(1＋x)2＝216.
解得x 1＝－2.2(不合题意，舍去)，x 2＝0.2＝20%. 答：该专卖店电动自行车销售量的月平均增长率为20%.
22 解：如图，连接CO.
设AP ＝x cm ，则PB ＝5x cm ，AO ＝1
2(x ＋5x)＝3x(cm )， PO ＝3x －x ＝2x(cm ).
∵AB ⊥CD ，∴CP ＝1
2
×10＝5(cm).
在△CPO 中，52＋(2x)2＝(3x)2，解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去). ∴AO ＝3 5 cm . 即⊙O 的半径为3 5 cm .
23．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC. ∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，
∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD. ∴∠BAD ＋∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAC. ∴∠EAB ＝∠DAC.
在△EAB 和△DAC 中，
∴△EAB ≌△DAC(SAS ). ∴∠AEB ＝∠ADC.
(2)解：如图，连接DE. ∵∠DAE ＝60°，AE ＝AD ， ∴△EAD 为等边三角形. ∴∠AED ＝60°.
又∵∠AEB ＝∠ADC ＝105°， ∴∠BED ＝105°－60°＝45°. 24．(1)证明：如图，连接OB . ∵OP ⊥OA ， ∴∠AOP ＝90°. ∴∠A ＋∠APO ＝90°. ∵OA ＝OB ， ∴∠A ＝∠OBA . ∵CP ＝CB ，∴∠CPB ＝∠CBP .
而∠CPB ＝∠APO ， ∴∠APO ＝∠CBP . ∴∠OBC ＝∠CBP ＋∠OBA ＝∠APO ＋∠A ＝90°. ∴OB ⊥BC. ∴BC 是⊙O 的切线.
(2)解：设BC ＝x ，则PC ＝x. 在Rt △OBC 中，OB ＝3，OC ＝CP ＋OP ＝x ＋1. ∵OB 2＋BC 2＝OC 2，∴32＋x 2＝(x ＋1)2，解得x ＝4， 即BC 的长为4. 25．解：(1)把A(1,0)，B(0,3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得
解得
∴该函数的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.
(2)存在. 设点P 的坐标为P(x ，y)，由题意，得 S △APO ＝1
2
OA ·||y ＝4.
∵OA ＝1，∴||y ＝8，即y ＝±8.
当y ＝8时， x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝5，x 2＝－1； 当y ＝－8时， x 2－4x ＋3＝－8，该方程无解. ∴存在点P 的坐标是(5,8)或(－1,8).。