抽样定理的理论证明与实际应用分析

信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用
一、抽样和抽样定理
数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。

抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。

“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。

抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。

抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。

抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。

抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。

也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。

通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。

二、时域抽样定理的理论证明
时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。

以下为理论证明过程：
根据傅里叶变换和离散傅里叶变换定义，有
ΩΩ=Ω∞∞-⎰d e j X t x t j a a )(21)(π
(1) ωπωππ
ωd e e X n x n j j ⎰-=)(21)( (2) 将抽样过程的时域关系x （n ）=x a （nT ）带入（1）式，有
ΩΩ=Ω∞∞
-⎰d e j X n x nt j a )(21)(π (3) 比较（2）（3）式，可以得到
ωωπ
πωd e e X d e j X n j j nT j a ⎰⎰-Ω∞
∞-=ΩΩ)()( 将模拟角频率Ω和数字角频率ω的关系ω=ΩT 带入上式，得
ωωωωππωωd e e X d e T j X T n j j n j a ⎰⎰-∞∞-=)()(1 (4)
为了分析X a （jΩ）和X （e j ω）关系，等式左右两端的积分区间需要一致，因此，将等式左端的积分区间分段
ωωωωωππωd e T j X T d e T j X T n j k k k n j a )(1)(1)12()12(∑⎰⎰∞-∞=+-∞
∞-= (5) 令ω→ω+2k π，并交换累加、积分次序有
⎰∑⎰-∞-∞=∞
∞-+=ππωωωπωωωd e T k j X T d e T j X T n j a k n j a )2(1)(1 (6)
对比式（4）、式（6），得到原连续时间信号x a (t)的频谱X a (j ω)与离散时间信号的频谱的关系为
∑∞-∞=+Ω=k a j T k j j X T e X )2(1)(πω
所以离散时间信号的频谱是连续时间信号频谱的周期延拓，周期是抽样角频率Ωs=2π/T ，幅度受Ωs=1/T 加权。

由于T 是常数，所有除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱相同。

因此，只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的重叠，则可以恢复出原信号，时域抽样定理得证。

下图为时域取样的示例
需要注意的是，为了能从抽样信号ƒs （t ）中恢复原信号ƒ(t),需满足两个条件：ƒ（t ）必须是带限信号，其频谱函数在︱ω︱>ωm 各处为零；抽样频率不能过低，必须满足ƒs >2ƒm (即ωs >2ωm ),即抽样间隔不能太长，必须满足T s <1/2ƒm ,否则将会发生混叠。

通常把最低允许抽样频率ƒs =2ƒm 称为奈奎斯特频率，把最大允许抽样间隔T s =1/2ƒm 称为奈奎斯特间隔。

顺便指出，对于频带有限的周期信号ƒ（t ），适当选取抽样周期T s (T s >T).则经过滤波能从混叠的抽样信号频谱F s (jω)中选得原信号的压缩频谱F （jω/a ）（0<a<1），从而得到与原信号波形相同但时域展宽的信号ƒ(at)。

取样示波器就是利用这一原理把不便于显示的高频信号展宽为容易显示的低频信号。

三、频域抽样定理
通过上面的讨论我们可以看出，抽样的本质是将一个连续变量的函数离散化的过程。

因此不仅可以对时域的连续时间信号进行采样，也可以在频域对一个连续的频谱进行采样。

这样根据时域与频域的对称性，就可推出频域抽样定理。

如果信号 ƒ（t ）为时限信号，即它在时间区间（-t m ，t m ）以外为零。

ƒ（t ）的频谱函数为 ƒ（j ω），且为连续谱。

我们对连续谱 ƒ（j ω）进行间隔为ωs 的冲激采样，即用)()(∑∞
-∞=-=
n s s n ωωδωδ 对ƒ(j ω)抽样，得抽样后的频谱函数 )()()()()(s n s n s s n jn F n j F j F ωωδωωωδωω-=
-=∑∑∞
-∞=∞-∞= 四、时域抽样定理与频域抽样定理的关系
时域抽样定理和频域抽样定理是通信系统和信号处理的重要理论。

时域采样后的信号在频域上是周期拓展的，频域采样后的信号在时域上是周期拓展的。

因此，我们可以说这两个采样定理具有对偶性。

在讨论时域采样时，要求信号必须是带限的；讨论频域采样时，要求信号必须是时限的。

一切带限信号都可以看成是任意信号经过理想低通滤波器后所产生的；一切时限信号都可以看成是任意信号与矩形窗相乘而产生的。

因此，带限信号在时域可以表示为任意信号与理想低通滤波器单位冲激响应的卷积积分；时限信号在频域可以表示为任意信号的频谱与矩形窗频谱的卷积积分。

由于理想低通滤波器的单位冲激响应和矩形窗的频谱的定义区间都是无限的，因此我们可以得出以下重要的结论：一切带限信号在时域都是非时限的；一切时限信号在频域上都是非带限的。

这一结论对于利用数字信号处理技术处理连续时间信号具有重要的意义。

五、抽样定理的实际应用
1）随着微型计算机的普及，采样控制更显示出其优越性。

在采样控制理论中主要采用频率域方法，它以Z 变换为数学基础，又称Z 变换法。

通过引入Z 变换,在连续控制系统研究中所采用的许多基本概念（如传递函数、频率回应等）和分析设计法（如稳定性和过渡过程的分析方法、控制系统校正方法等），都可经过适当的修正而推广应用于采样控制系统。

在现代控制理论中，与采样控制系统属于同一范畴的离散系统的分析主要采用时间域方法，
它是建立在状态空间描述的基础上的，又称状态空间法。

采样控制系统按组成原理分为一般采样控制系统和数字控制系统。

2）在很多实际应用过程中，许多工程信号不是频带有限信号，即不满足抽样定理，不能直接抽样。

需要在抽样之前加入抗混叠低通滤波器,去掉f>f s/2的高频成分，然后在进行抽样。

下图给出加抗混叠低通滤波器和不加抗混叠低通滤波器两种情况下，连续信号与抽样信号的频谱图对比。

从中可以发现，加入抗混叠低通滤波器之后，频谱的混叠失真可以大大减小。

(a)加抗混叠低通滤波器(b)不加抗混叠低通滤波器
3）在A／D转换器中．因为输入的模拟信号在时间上是连续的．而输出的数字信号代码是离散量．所以进行转换时必须在系列选定的瞬间对输入的模拟信号抽样．然后将抽样值转换出为输出的数字量。

如下图，表示抽样信号V s表示模拟信号V i必须满足：f s≥2f imax
对输入模拟信号的抽样
f s为抽样频率,f imax为信号V i的最高频率分量的频率。

只有满足上式．可以用一定低通滤波将V s还原为V i,这个低通滤波器的频率特性在低于f imax的范围内,滤波器的电压传输系数应保持水平，而在f s-2f imax以前迅速下降为零。

所以抽样定理为我们规定了A／D转换的频率下限。

六、总结
抽样定理在各个领域中得到了广泛的运用，我们的生活中也经常能接触到，就比如我们听的音乐，就是对模拟信号的采样。

如果采样率不够，是无法听到正常的歌曲的。

同时，我们光电信息专业也将大量地运用到抽样定理，因此，我们应该掌握并能够灵活地运用抽样定
理。