数列限时训练2
高中数学课时训练(含解析)：数列 (2)
【课时训练】第28节 等差数列及其前n 项和一、选择题1．(上饶二模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 33－S 22＝1,则其公差d ＝( )A.12B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由S 33－S 22＝1,得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1,即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1,∴d ＝2.2．(西藏拉萨模拟考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＝8,S 6＝54,则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．92【答案】A【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 3＝a 1＋2d ＝8,S 6＝6a 1＋15d ＝54,解得a 1＝4,d ＝2.故选A.3．(石家庄模拟)已知等差数列{a n },且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48,则数列{a n }的前13项之和为 ( )A ．24B ．39C ．104D ．52【答案】D【解析】因为{a n }是等差数列,所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48.所以a 4＋a 10＝8.其前13项的和为13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×82＝52,故选D.4．(广州综合测试)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,公差d ≠0,若S 11＝132,a 3＋a k ＝24,则正整数k 的值为 ( )A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】A【解析】依题意,得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝132,a 6＝12,于是有a 3＋a k ＝24＝2a 6,因此3＋k ＝2×6＝12,k ＝9,故选A.5．(武汉调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57,且a 1＝5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为 ( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9【答案】C【解析】由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为－57的等差数列,所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7.该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n ＝7或8.故选C.6．(江西抚州质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),若S 3S 5＝25,则a 6a 12＝( )A ．4B ．2 C.14 D ．12【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,则3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25,可得a 1＝d ,故a 6a 12＝a 1＋5d a 1＋11d ＝6d 12d ＝12.故选D.7．(杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1,则 ( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7【答案】D【解析】由条件,得S n n ＜S n ＋1n ＋1,即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1),所以a n ＜a n ＋1.所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1,所以a 8＞0,a 7＜0,即数列{a n }前7项均小于0,第8项大于零．所以S n 的最小值为S 7.故选D.8．(内蒙古呼和浩特普查调研)在等差数列{a n }中,已知a 3＝5,a 7＝－7,则S 10的值为( )A ．50B ．20C ．－70D ．－25【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d .∵a 7－a 3＝4d ＝－12,∴d ＝－3,∴a 10＝a 7＋3d ＝－16,a 1＝a 3－2d ＝11,∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝－25.故选D. 二、填空题9．(肇庆二模)在等差数列{a n }中,a 15＝33,a 25＝66,则a 35＝________. 【答案】99【解析】∵a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33,∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 10．(郑州二次质量预测)已知{a n }为等差数列,公差为1,且a 5是a 3与a 11的等比中项,则a 1＝________.【答案】－1【解析】因为a 5是a 3与a 11的等比中项,所以a 25＝a 3·a 11,即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋10d ),解得a 1＝－1.11．(河北保定调研)设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3,则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．【答案】1941【解析】因为{a n },{b n }为等差数列,所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941,所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.12．(辽宁五校联考)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *),则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.【答案】130【解析】由a n ＝2n －10(n ∈N *),知{a n }是以－8为首项,2为公差的等差数列,又由a n ＝2n －10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0；当n ＞5时,a n ＞0,∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.三、解答题13．(深圳二次调研)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ,证明数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n . 【解】(1)设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a , 由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2, 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0, 解得k ＝10或k ＝－11(舍去), 故a ＝2,k ＝10.(2)由(1),得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1),则b n ＝S n n ＝n ＋1, 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.。
2019年高考数学总复习 20 数列限时训练后考
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……数列训练（2）一、选择题（共6题，每题5分）1、设n S 为等差数列的前n 项和，公差2d =-，若1011S S =，则1a = ( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．242、对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．139,,a a a 成等比数列 B ．236,,a a a 成等比数列 C ．248,,a a a 成等比数列 D ．369,,a a a 成等比数列3、已知数列{}n a 是等差数列，若2462,4,6a a a +++构成等比数列，这数列{}n a 的公差d 等于（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4、等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A. 1B.12-C. 1或12-D.1-或12- 5、已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则231a a a +等于（ ） A ．10B ．8C ．6D ．46、已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*,m N ∈满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3二、填空题（每题5分）7、各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13n n n S a a +=，则2462n a a a a ++++=_______8、在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前 n 项和为n S ，当且仅当8n = 时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________．7、____________ 8、____________三、解答题（每题12分）9、数列{}n a 满足： 12212,3,32(*)n n n a a a a a n N ++===-∈（1）记1n n n d a a +=-，求证：数列{}n d 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.10、在等差数列{}n a 中，102030,50a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令1(10)22n a n b -=，证明：数列{}n b 为等比数列； (3)求数列{}n nb 的前n 项和n T答案：7、2)1(3+n n 8、____)87,1[--________ 9（1）略（2）121-=-n n a10（1）102+=n a n （2）略（3）)1(221-+=+n T n n。
专题02 数列-【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)(原卷版)
专题02数列题型简介数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质考察题型一般为：1错位相减求和2裂项相消求和3（并项）分组求和4数列插项问题5不良结构问题6数列与其他知识点交叉问题；在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视典例在线题型一：数列错位错位相减求和1．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．变式训练1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，并且0n b ＞，11334223,1,19,2a b b S a b a ==+=-=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；(3)若()11N *·n n n c n a a +=∈，求数列{}n c 的前n 项和nM 题型二：裂项相消求和1已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足112n n na T a -=.(1)证明：数列{}n T 为等差数列；(2)设()()111nnn n n b T T +-+=，求数列{}nb 的前n 项和nS.1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+.(1)证明：{}n a 是等差数列.(2)设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m<的正整数n 的个数为3，求m 的取值范围.题型三：（并项）分组求和1.设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．变式训练1．已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;(2)证明（1）中你的猜想;(3)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .题型四：数列插项问题1．记数列{an }的前n 项和为Sn ，对任意正整数n ，有2Sn ＝nan ，且a 2＝3.(1)求数列{an }的通项公式；(2)对所有正整数m ，若ak ＜2m ＜ak ＋1，则在ak 和ak ＋1两项中插入2m ，由此得到一个新数列{bn }，求{bn }的前40项和.变式训练1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N ．(1)求证：12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.题型五不良结构问题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，在①21n n S =-，*n ∈N ；②21n n S b =-，*n ∈N ；③121n n S S +=+，*n ∈N 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若11b =，且______，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.变式训练1．在①89a =，②520S =，③2913a a +=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，___________，___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.题型六数列与其他知识点交叉问题1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，()0,1,,8i p i =⋅⋅⋅表示“甲小朋友的当前累计得分为i 时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则00p =，81p =，11(1,2,,7)i i i i bp cp a i p p -+=++=⋅⋅⋅，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.6β=．（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=⋯为等比数列；（ii ）根据4p 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．变式训练1．已知函数()cos 2f x x =，()sin g x x =.(1)判断函数()2ππ4H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；(2)设函数()()sin h x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<），若函数2πh x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式；(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有147个零点.模拟尝试一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项之积为()()1*22n n n S n -=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中，11b =，___________，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .请从①224b b =；②358b b +=这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.2．已知数列{}n a 的前n 项和为11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-.(1)求23,S S 及{}n a 的通项公式；(2)若()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- 对任意的*2,N n n ≥∈恒成立，求λ的最小值.3．在数列{}n a 中，21716a =，*113,N 44n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)令123n n n b a +=⋅+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1340n S <．4．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足1325162,12,4,a S b b a ====．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．5．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．6．设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且满足()*21N n n T a n =-∈．(1)证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，证明：14n S <．7．设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．4．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.。
第6章《数列》限时练2
中专部2017级数学2019—2020学年上学期数学限时练 制作人：宋志涛 2020年1月勿以恶小而为之勿以善小而不为 精诚所至金石为开中专部2017级数学《等比数列》限时练班级:___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一、选择题（本大题共15小题，共30分）1. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12，则a 5+a 6=()A. 3B. 15C. 48D. 632. 等比数列{a n }中，a 1=18，q =2，则a 4与a 8的等比中项是()A. ±4B. 4C. ±14 D. 143. 在等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=64，则公比q 为()A. 2B. 3C. 4D. 84. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+2a 2=4，a 42=4a 3a 7，则a 5=()A. 18B. 116C. 20D. 405. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=()A. 64B. 81C. 128D. 2436. 在等比数列{a n }中，a 3=4，a 7=12，则a 11=()A. 16B. 18C. 36D. 487. 已知数列{a n }}满足a n+1=12a n ，若a 4=8，则a 1等于()A. 1B. 2C. 64D. 1288. 设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则S4a 4=()A. 2B. 4C. 158D. 1789. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=()A. −4B. −6C. −8D. −1010. 已知数列{a n }为等比数列，且a 3=−4，a 7=−16，则a 5=()A. 8B. −8C. 64D. −6411. 已知等比数列{a n }满足a 3=14，公比q =12，则a 6=()A. 1128B. 164C. 132D. 11612. 已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 4=16，则数列{a n }的公比q 等于()A. 2B. −2C. 12D. −1213. 已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1=2a n ，那么a 4=()A. 24B. 18C. 16D. 1214. 设等比数列{a n }满足a 1+a 2=−1，a 1−a 3=−3，则a 4=()A. 8B. −8C. 4D. −415. 在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3为()A. 4B. 32 C. 169D. 2二、填空题（本大题共15小题，共30分）16. 已知各项均为正数的等比数列{a n }，满足a 1⋅a 7=34，则a 4= ______ ．17. 数列{a n }满足a n+1=3a n ，且a 2=6，则首项a 1=______，前n 项和S n =______． 18. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=___________． 19. 在等比数列{a n }中，已知a 1=−1，公比q =2，则该数列前6项的和S 6的值为______ ．20. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则S 4=______． 21. 等比数列{a n }的公比为12，若a 1+a 2=3，则S 5=______．22. 如果1，3，x 成等比数列，则实数x =______．23. 已知{a n }是等比数列，它的前n 项和为S n ，且a 3=4，a 4=−8，则S 5=______ 24. 已知数列{a n }是等比数列，且a 1=32，a 6=−1，则公比q = ______ ．25. 已知数列{a n }为等比数列，a 1=1，a 4=8，则{a n }的前5项和S 5=______． 26. 已知等比数列{a n }中，a 3=4，a 6=12，则公比q = ______ ．27. 在数列{a n }中，a n+1=2a n ，若a 5=4，则a 4a 5a 6= ______ ． 28. 等比数列{a n }中，已知a 2=4，a 6=6，则a 10= ______ ．29. 在等比数列{a n }中，已知a 1=1，且ana n−1=2，则数列{a n }的通项公式为______ ．35、在等比数列{a n}中，a2=2，a5=54，求a4.30.已知等比数列{a n}满足a1⋅a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=______ ．三、解答题（共5大题，共40分）31、已知等比数列{a n}中，a1=2，a4=−16，求S10.32、等比数列{a n}中，a5−a1=15，a4−a2=6，求a1与q.33、等比数列{a n}中，a3=18，a5=162，求S5.34、等比数列{a n}中，若a2=10，a3=20，求S5.。
高中数学第二章数列训练卷(二)新人教A版必修5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（二）新人教A 版必修51 / 1512018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（二）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（二）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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数列（二）注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}na中,1510a a+=,47a=，则数列{}n a的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在等比数列{}na中，4a、12a是方程2310x x+=+的两根，则8a 等于（）A．1 B．1-C．1±D．不能确定3．已知数列{}na的通项公式是31,22,nn nan n+⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a等于（ )A．70 B．28 C．20 D．8 4．已知0a b c<<<,且a，b,c为成等比数列的整数，n为大于1的整数，则logan，log b n，log c n成（）A．等差数列B．等比数列C．各项倒数成等差数列D．以上都不对5．在等比数列{}na中，1n na a+<，且2116a a=，495a a+=，则611aa 等于（ )2 / 1523 / 153A ．6B ．23C ．16D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) A ．(],1-∞-B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ）A ．65B ．65- C．25D ．25-8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．11SD ．10S9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-,则x 的值为（ ）A ．13B ．13- C ．12D ．12-10．等差数列{}n a 中,n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =( )A ．15B ．30C ．45D ．6011．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为（精确到个位） （ ）A ．14 mB ．15 m C．16mD ．17 m12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ )A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分，把正4 / 154确答案填在题中横线上）13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-,816a =，则6S 等于________．14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =,则9a =__________．15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n项和,若10a >，160S >,170S <则当n =________时,n S 最大．16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，则101102200()lg x x x +++=________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列,且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ,2a ,6a ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．5 / 15518．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．19．（12分)已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足：34117a a ⋅=,2522a a +=． （1)求数列{}n a 的通项公式n a ；6 / 156（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．7 / 15721．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==,2332a b b +=，2537a b -=； 求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式;(2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米,其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，8 / 1582018-2019学年必修五第二章训练卷数列（二）答 案一、选择题 1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ． 2．【答案】B【解析】由题意得,41230a a +=-<，41210a a ⋅=>， ∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ． 3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ,∴2320=a a ．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =．又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=, ∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ．5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋,∴42a =，93a =，∴45932a a q ==， 又6151123a q a ==．故选B ． 6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==． ∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ． 7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵()3311131a q S q-==-，231aa q =,解得13q =． ∴3333133n n n n a a q--⎛⎫= ⎪⎝⎭==－,∴3log 3n n b a n ==-．∴12b =,107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ．8．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=，所以20210a a +=,又10a >，0d <，故200a >,210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C【解析】1116a S x ==-，221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得12x =．故选C ． 10．【答案】A【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知,116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ． 解法二:由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列， 设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=,∴227D =, ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ．12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项， 由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-， ∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题 13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =, ∴31682q ==--,∴2q =-． 又451a a q =，∴121168a -==-，∴()()666111212181128S a q q⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，①又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．②联立①②两式得11a =-,2d =, 故91818215a a d =-+⨯==+． 15．【答案】8【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >,∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列,从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列，所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅,故101102200l (g )102x x x ++=+．三、解答题17．(10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ,6a ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．【答案】（1）32n a n =-；（2)4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列,∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =, ∵0d ≠,∴3d =，∴11()332n a n n +-⨯=-=．（2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =,∴正整数k 的值为4．18．（12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． (1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+,求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101． 【解析】(1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=． （2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分)已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足:34117a a ⋅=，2522a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）12-． 【解析】（1）{}n a 为等差数列， ∵342522a a a a +=+=， 又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根． 又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =． ∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩,∴43n a n =-．（2)由(1）知,()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=,∴22n n S n c n cn nb ==-++， ∴111b c =+,262b c =+，3153b c=+，∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-（0c =舍去）． 20．（12分）数列{}n a 的前n项和为n S ，且11a =,113n n a S +=,1n ≥,n +∈N ，求:（1）数列{}n a 的通项公式； (2）2462n a a a a ++++的值．【答案】（1)21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －， ∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥． 11111333a S ==，211433a a =≠．∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列，∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩． (2）由（1）知,数列2a ，4a ,6a ,…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，∴24621161393161167919nn n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=,2537a b -=；求:（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =,n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】(1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；(2）233(2)n n S n -=+,*n ∈N ．【解析】(1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >,由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=． 又因为0q >,解得2q =,2d =．所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1)有1)1(22n n c n =－－， 设{}n c 的前n 项和为n S ， 则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++，123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+,两式相减,得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=．所以233(2)nn S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米,其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外,每年新建住房中,中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?【答案】（1）2018年底;（2)2014年底．【解析】(1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =, ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==,令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．故到2018年底,该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2．（2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．由题意知{}n b 为等比数列，1400b =, 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >，即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．。
数列限时训练题(二)
数列限时训练题（二）一、选择题1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( C ) A.n (2n －1) B.(n ＋1)2 C.n 2 D.(n －1)23.(2010·宁波模拟)已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为 ( B) A. 3 B. 2 C. 1 D. 04.(2010·嘉兴模拟)等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为 ( C) A.7 B.8 C.9 D.105.设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠1)的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫a n ，S 2n S n ( A ) A ．在直线qx －my ＋m ＝0上 B ．在直线mx ＋qy －q ＝0上 C ．在直线qx ＋my －q ＝0上 D ．不一定在一条直线上6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在11S a ，22Sa ，…，1515S a 中最大的是 ( B ) A .11S a B .88S a C .99S a D .1515S a7．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 ( C ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 48.已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于 ( A )A. －12n －1B.12n －2C. －12n －2D.12n －1二、填空题9. 设f (x )是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 [12，1).10.已知数列{a n }中，a 1＝1，na n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，则a n ＝ .11.设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 1941 .12.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为 1 .三、解答题13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1. 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1. 14. 等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S =+=+，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 14.解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-+=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n Sb n n==假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列， 则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--= p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝13.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝12－log 3a n，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数n ，都有T n <m 2－m ＋34成立，求实数m 的取值范围．15.解：(1)由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1，解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)． 由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2，解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3，解得a 3＝1p . 由a 3＝13可得1p ＝13，故p ＝3＝a 1.所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1，以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n －a n ＋1，故a n ＋1＝13a n .可见，数列{a n }是首项为3，公比为13的等比数列．故a n ＝3(13)n －1＝32－n .(2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－(2－n )＝1n ，所以b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，T n ＝b 1b 3＋b 2b 4＋b 3b 5＋…＋b n b n ＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<34.故要使T n <m 2－m ＋34恒成立，只需34≤m 2－m ＋34， 解得m ≤0或m ≥1.故所求实数m 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．。
数列限时训练
高三限时训练（1）1.已知数列{a n}是等比数列，若a2=1，a5=18，则a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=( )A. 25532B. 8532C. 2552D. 8532.已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则a7−a9a5−a7的值为()A.3B. 5C. 9D. 253.已知数列{a n}是公差大于0的等差数列，且满足a1+a5=4，a2a4=−5，则数列{a n}的前10项的和等于()A.23B. 95C. 135D. 1384.已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P(a n,a n+1)在直线y=x+1上，则1 S1+1S2+1S3+⋯+1S n=()A. 2nn+1B. 2n(n+1)C. n(n+1)2D. n2(n+1)5.数列{a n}满足a1=12，且对于任意n∈N+都满足a n+1=a n3a n+1，则数列{a n⋅a n+1}的前n项和为()A. 13n+1B. n3n+1C. 13n−2D. n2(3n+2)6.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，12a3，2a2成等差数列，则a20+a19a18+a17=()A.1B. 3C. 6D. 97.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，则数列{log2a n}的前10项和等于()A.1023B. 55C. 45D. 358.已知等比数列{a n}中，有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7=a7，则S13=()A.26B. 52C. 78D. 1049.已知数列满足S n=2n2−n+1，则通项公式a n=______ ．10.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n−4(n∈N∗)，则a n=______；数列{log2a n}的前n项和为______．11.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，n∈N∗．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n+(−1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a10=30，a15=40．(1)求通项a n；(2)若S n=210，求n．高三限时训练（2）13.数列3，6，12，21，x，48…中的x等于()A.29B. 33C. 34D. 2814.已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n−1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列{a n}通项公式a n为()A.3n−1 B. 3n+1−8C. 3n−2D. 3n15.已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>016.等差数列{a n}的前n项和是S n，且a3=1，a5=4，则S13=()A.39B. 91C. 48D. 5117.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B. 12项C. 11项D. 10项18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7a4=2，则S13S7的值为()A.1314B. 2 C. 713D. 26719.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=( )A.18B. 116C. 20D. 4020.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．21.已知等比数列{a n}为递增数列.若a1>0，且2(a4+a6)=5a5，则数列{a n}的公比q=______ ．22.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则a1+a3+a6a2+a4+a10=______．23.设S n为数列{a n}的前n项和，2a n−a n−1=3⋅2n−1(n≥2)，且3a1=2a2．(1)设b n=a n2n−1，证明数列{b n}是等比数列；(2)记T n为数列{na n+S n }的前n项和，求Tn．24.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n=(3n−2)⋅b n，数列{c n}的前n项和T n高三限时训练（3）25. 在等比数列{a n }中，a 3=2，a 6=16，则数列{a n }的公比是( )A. −2B. √2C. 2D. 426. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A. 2B. 4C. 8D. 1627. 已知数列{a n }满足a n+1+(−1)n+1a n =2，则其前100项和为( )A. 250B. 200C. 150D. 10028. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1·a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为( )A. 3B. 2C. 3或−2D. 3或−329. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n =2a n −3n ，则a 2018=( )A. 22018−1B. 32018−6C. (12)2018−72D. (13)2018−10330. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=14，a 3=8，则a 6=()A. 16B. 32C. 64D. 128 31. 已知{a n }是公差为12的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2，a 6，a 14成等比数列，则S 5=( ) A. 352B. 35C. 252D. 2532. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=−1，a n+1=S n S n+1，则S n =______．33. 已知两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别是S n ，T n ，若S nT n=2n+33n−1，则a7b 7=______ ．34. 已知数列{a n }中，a 1=20，a n+1=a n +2n −1，n ∈N ∗，则数列{a n }的通项公式a n =______．35.在等差数列{a n}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d<0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求数列的前n项和S n的最大值及相应的n值．36.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．高三限时训练（4）37.在公差不为零的等差数列{a n}中，2a5−a72+2a9=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2(b5b9)=()A.1B. 2C. 4D. 838.数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+⋯+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于()B. 21C. 42D. 84A.21239.已知等差数列{a n}的前3项和为4，后3项和为7，所有项和为22，则项数n为()A.12B. 13C. 14D. 1540.已知各项都为正的等差数列{a n}中，a2+a3+a4=15，若a1+2，a3+4，a6+16成等比数列，则a10=( )A.19B. 20C. 21D. 2241.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=()A.−4B. −6C. −8D. −1042.设{a n}是首项为a1，公差为−2的等差数列，S n为前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1=( )A.2B. −2C. 1D. −143.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，则a2017=()A.1B. −1C. −2D. 244.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a6+a7+a8=()A.63B. 45C. 39D. 2745.数列{a n}满足a n+1+(−1)n a n=2n−1，则{a n}的前20项和为______．46.已知等比数列{a n}的公比不为−1，设S n为等比数列{a n}的前n项和，S12=7S4，则S8=______．S447.已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，其前n项和为S n．(Ⅰ)求{a n}的通项公式及S n；(n∈N∗)，求数列{b n}的前8项和．(Ⅱ)令b n=1S n−n48.已知等比数列{a n}中，a1=2,a4=16．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a3,a5分别是等差数列{b n}的第8项和第20项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．高三限时训练（5）49.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，则a2⋅a3=()A.2B. −2C. 3D. −350.各项为正数的等比数列{a n}中，若a1⋅a7=36，则a4的值是()A.6B. 8C. 5D. 751.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织()尺布．A.12B. 815C. 1631D. 162952.已知数列{a n}的通项为a n=(−1)n(4n−3)，则数列{a n}的前50项和T50=( )A.98B. 99C. 100D. 10153.已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3⋅a5=2，若f(x)=x(x−a1)(x−a2) (x)a7)，则)A.8√2B. −8√2C. 128D. −12854.在等比数列{a n}中，已知a7⋅a19=8，则a3⋅a23=()A.6B. 7C. 8D. 955.等差数列{a n}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为______ ．56.已知三个数12，x，3成等比数列，则实数x=______ ．57.已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为______．58.若等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=______ ．59.在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S n2=a n(S n−12)．(1)求a n；(2)令b n=S n，求数列{b}的前项和T．60.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．61.已知数列{a n}满足a1=12，a n=a n−12−a n−1(n≥2)．(1)求证：{1a n−1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；(2)若b n=2n−1a n，求{b n}的前n项和S n．62.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2(n+1)n a n，设b n=a nn，n∈N∗．(Ⅰ)证明{b n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{log2b n}的前n项和T n．高三限时训练（6）63.已知{a n}为等差数列，a2+a8=43，则S9等于______ ．64.已知数列{a n}，若a1+2a2+⋯+na n=2n，则数列{a n a n+1}的前n项和为______．65.已知数列n∈N∗，前n项和S n=n2+2n−1(n∈N∗)，则a1=______ ；数列{a n}的通项公式为a n=______ ．66.设等比数列{a n}满足a n>0，且a1+a3=516，a2+a4=58，则log2(a1a2…a n)的最小值为____．67.已知数列{a n}的前n项和S n=2n+n，则a3=______．68.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P(b n,b n+1)在x−y+2=0上，n∈N∗．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=b na n，求数列{c n}的前n项和T n．69.设{a n}为等比数列，S n为其前n项和，已知a n+1=2S n+1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和H n．70.已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．(Ⅰ)求a n及S n；(Ⅱ)设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2−(a4+1)q+S4=0.求{b n}的通项公式及其前n项和T n．71.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n．(2)若数列{n+1a n72.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=6，S5=40.求数列{a n}的通项公式和前n项和．73.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n，(n=1,2，3，…)(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)求证：数列{a n−1}是等比数列；。
2021_2022学年高中数学第2章数列专题强化训练
专题强化训练(二) 数列(建议用时：60分钟)一、选择题1．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0D [∵{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1a n ＋1－a 1a n ＝2a 1d <1＝20，∴a 1d <0，故选D.] 2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．132D [由a 9＝12a 12＋6得，2a 9－a 12＝12， 由等差数列的性质得，2a 9－a 12＝a 6＋a 12－a 12＝12，则a 6＝12，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝132，故选D.] 3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21C [由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.]4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( ) A ．310 B ．13 C ．19 D ．18A [由题意可得，a 1＝2a 1＋14d －3a 1－9d ，∴a 1＝52d ，又S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝20d ＋28d 40d ＋120d＝48d 160d ＝310.故选A.] 5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200B [由题意得a 1＋a 2＋…＋a 100 ＝(12－22)＋(－22＋32)＋(32－42)＋(－42＋52)＋…＋(992－1002)＋(－1002＋1012) ＝－(1＋2)＋(2＋3)－…－(99＋100)＋(100＋101)＝100.]二、填空题6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝ ． 190 [由a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数， 所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.] 7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ ．32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.] 8．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n （n －1）(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ ．2－1n [a n －a n －1＝1n （n －1）(n ≥2)，a 1＝1， ∴a 2－a 1＝12×1＝1－12， a 3－a 2＝13×2＝12－13， a 4－a 3＝14×3＝13－14，…， a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n. 以上各式累加，得a n －a 1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n . ∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n ＝1＝a 1，∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n.] 三、解答题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *)，求a n 的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，得：a 1＝34， 当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3，得：a n －1＝5S n －1－3，两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ，∴a n ＝－14·a n －1，∴数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝34·⎝⎛⎭⎫－14n －1. 10．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设q (q >0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n .(2)S n ＝2（1－2n ）1－2＋n ×1＋n （n －1）2×2＝2n ＋1＋n 2－2.1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( ) A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1D [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①÷②可得1q＝2， ∴q ＝12，代入①解得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1.]2．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项B [设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·qn （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.]3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝ ．189 [由a n ＋1＝2a n 得{a n }为等比数列，∴a n ＝2n ，∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.]4．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝ ，S 5＝ ．1 121 [由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1. 由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1得S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12， 所以S 5＝121.]5．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 则S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1， ① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n . ② ①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n2n －1.故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.。
人教A版高中数学必修五限时规范训练：第2章 数列 2.1
第二章 2.1【基础练习】1．下列说法中，正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1k D ．数列0,2,4,6,8，…可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 【答案】C【解析】A 错，{1,3,5,7}是集合；B 错，是两个不同的数列，顺序不同；C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1k；D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)．2．已知n ∈N ＋，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数；②a n ＝1＋(－1)n 2；③a n ＝1＋cos n π2；④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式．3．如下图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3【答案】A【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为a n ＝3n －1.4．数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝14，a n ＋a n ＋2＋a n ·a n ＋2＝1(n ∈N *)，则a 5＋a 6等于( )A ．34B ．56C ．712D ．1415【答案】A【解析】把n ＝1代入a n ＋a n ＋2＋a n ·a n ＋2＝1可得a 1＋a 3＋a 1·a 3＝1，即12＋a 3＋12a 3＝1，解得a 3＝13；同理把n ＝2代入可得14＋a 4＋14a 4＝1，解得a 4＝35；同理把n ＝3代入可得13＋a 5＋13a 5＝1，解得a 5＝12；同理把n ＝4代入可得35＋a 6＋35a 6＝1，解得a 6＝14，故a 5＋a 6＝12＋14＝34.故选A ． 5．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，则f (n )是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定【答案】A【解析】∵f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *)，∴f (2)＞f (1)，f (3)＞f (2)，f (4)＞f (3)，…，f (n ＋1)＞f (n )，…，∴f (n )是递增数列．6．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n －1－a n ＝(a n a n －1)n (n ≥2)，则该数列的通项公式a n ＝________.【答案】2n 2＋n ＋2【解析】∵数列{a n }满足a 1＝12，a n －1－a n ＝(a n a n －1)n ，∴1a n －1a n －1＝n .∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＋⎝⎛⎭⎫1a n －1－1a n －2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋1a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋2＝n (n ＋1)2＋1＝n 2＋n ＋22.∴a n ＝2n 2＋n ＋2.7．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)12，34，58，716； (2)1＋122，1－342，1＋562，1－782；(3)7,77,777,7 777； (4)0，2，0， 2.【解析】(1)∵12，34，58，716，观察每一项的分子是连续的奇数，分母是2n ，∴a n ＝2n －12n ，n ∈N *.(2)∵1＋122，1－342，1＋562，1－782，观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式， 分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，∴a n ＝1＋(－1)n ＋1·2n －1(2n )2，n ∈N *.(3)∵7,77,777,7 777，∴该数列可化为79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)．∴a n ＝79(10n －1)，n ∈N *.(4)∵0，2，0，2，∴该数列可化为(1－1)·22，(1＋1)·22，(1－1)·22，(1＋1)·22.∴a n ＝[1＋(－1)n ]·22，n ∈N *.8．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1－a n ＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．【解析】由已知，得a 1＝4，a n ＋1＝a n ＋3， ∴a 2＝a 1＋3＝4＋3＝7， a 3＝a 2＋3＝7＋3＝10， a 4＝a 3＋3＝10＋3＝13， a 5＝a 4＋3＝13＋3＝16， a 6＝a 5＋3＝16＋3＝19.由以上各项猜测数列的通项公式是a n ＝3n ＋1.【能力提升】9．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n－12n －1n 2＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n(n ∈N ＋) D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 【答案】D【解析】观察数列各项，可写成31×3，－52×4，73×5，－94×6.故选D ．10．(2019年河南驻马店期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10.a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n＝2n －10(n ∈N *)．∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.又k ∈N *，∴k ＝8.11．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．0D ．5 【答案】C【解析】由题意得，a n ＝－3n 2＋15n －18，则对称轴方程n ＝－152×(－3)＝52，又n 取整数，所以当n ＝2或3时，a n 取最大值为a 3＝a 2＝－3×22＋15×2－18＝0.故选C ．12．(2019年江苏常州模拟)在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.【答案】28【解析】依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？【解析】(1)对任意n ∈N *，∵a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4－1n 2＋5n ＋4＝－2(n ＋3)[(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4](n 2＋5n ＋4)＜0，∴数列{a n }为递减数列． (2)令a n ＜0，即1n 2＋5n ＋4＜0，∴n 2＋5n ＋4＜0，解得－4＜n ＜－1， 而n ∈N *，故数列{a n }没有负数项．由Ruize收集整理。
数列等差等比数列问题综合40分钟限时练(二)附答案高中数学
2．．（汇编年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
A.-24 B.0 C.12 D.24
3．已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前100项和为（）（ ）
A． B． C． D． （汇编大纲理）
答案A
4．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（ ）
18．数列 中，若 ，则 =
19．数列 的一个通项公式是（）.
A． B．
C． D．
20．等比数列 中，若 ， ，则 =
评卷人
得分
三、解答题
21．（本题满分16分）
已知程序框图如图所示，将输出的 的值依次记为 ，
其中 .且 ，请回答下列问题：
（Ⅰ）将空格 处填上适当的整数，该整数是多少？
（Ⅱ）写出 与 的关系式；
C.数列｛an｝是以b为公差的等差数列D.数列｛an｝不一定是等差数列
11．等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100
项之和为
A.0 B.100 C.1000 D.10000
12．记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．16B．24C．36D．48(汇编广东理)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．C．
【解析】由已知得 为等比数列， 为等差数列，∴所求和为 ，故选C．
【考点】1.等差数列、等比数列的通项公式；2.等差数列的前 项和公式．
2．A
3．由 可得
4．A
5．B
【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果.
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05限时规范特训A 级 基础达标1．若等差数列的第一、二、三项依次是1x ＋1、56x 、1x ，则数列的公差d 是( )A.112 C.14解析：依题意得2×56x ＝选A.答案：A2．在等差数列{a n }为( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：由已知可得a 4＋a 5＝7＋a 5＝a 3＋a 6＝16，得a 5＝16－7＝9，故公差d ＝a 5－a 4＝9－7＝2，同时解得a 1＝1，由1＋(n －1)×2＝31，解得n ＝16，选D.答案：D3．[2014·安庆模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( )A ．49B ．42C ．35D ．28解析：2a 6＝a 8＋6⇒a 1＋3d ＝6⇒a 4＝6，故S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，故选B.答案：B4．[2014·湖南四市联考]数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4＝( )A.12 C.14解析：设数列{1a n ＋1}＝16，∴1a 4＋1＝12＋1＋2×16，解得答案：A5．[2014·金版原创]在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n ＋1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则S 2014的值为( )A ．2013B ．2014C ．4026D ．4028解析：由a 2n －a n ＋1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a 2n ＝a n ＋1＋a n －1＝2a n ，因为a n ≠0，所以a n ＝2，故S 2014＝2×2014＝4028.选D.答案：D6．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 5＝6，那么下列不等式中不成立的是( )A ．a 10＋a 11>0B ．S 21<0C ．a 11＋a 12<0D ．当n ＝10时，S n 最大解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝10，a 5＝6，得6＝10＋4d ，即d ＝－1，所以a n ＝11－n .a 10＋a 11＝1＋0>0，A 成立；a 11＋a 12＝－1<0，C 成立；S n ＝－12 n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418，故当n ＝10时，S n 最大，D 成立；S 21＝－12×212＋21×212＝0，故B 不成立．答案：B7．[2014·漳州模拟]已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，则数列{A ．n －1 C ．2n －1解析：由已知可得S n －S ＋S n －1>0，故S n －S n －1＝1，1，首项S 1＝1，故S n ＝n ，即S n－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1a n ＝{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8________.＋32d ＝2＋72d ＝52，解得d ＝14，a 1＝138，∴a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝4a 1＋46d ＝18. 答案：189．[2014·天津模考]已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为________．解析：∵a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴a 6>0，a 7<0且a 6＋a 7<0，∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.答案：1110．[2014·衡水月考]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.11．[2014·河北统考]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝∴当n ≤11时，S n ＝20＋182＋4＋…＋(2n －22)＝110＋220.n ≤11，n >11.{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *，均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014的值．解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2(∵d >0)． 则a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝b 3＝9＝3.∴b n ＝b 2q n －2＝3×3n －2＝3(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…两式相减，得c nb n ＝a n ＋1－a ∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)＝3.×32013 ＝3－3＋32014 ＝32014. B 级 知能提升1．已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝ab n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100解析：由题知a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝ab n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab 1＋9，ab 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴ab 1＋13＝85，选C.答案：C2．等差数列{a n }、{b n }的前则使得a nb n为整数的正整数n A ．2D ．5(a 1＋a 2n －1)×(2n －1)2(b 1＋b 2n －1)×(2n －1)2＝S 2n －1T 2n －1＝11，a 4b 4＝5，有2个正整数值，答案：A3．[2014·云南师大附中模拟]已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：2114．[2014·南昌模拟]在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23.(1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．解：(1)∵a n ＋1＋a n ＝2n －44，a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44， ∴a n ＋2－a n ＝2.∴a 2＋a 1＝－42，a 1＝－23，∴a 2＝－19. 同理得a 3＝－21，a 4＝－17，故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列， a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24，n 为奇数n －21，n 为偶数.a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n－1＋a n )＝(2×1－＋...＋[2×(n －1)－44]＝2[1＋3＋ (242)2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋＋[2×(n －1)－44]＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋2·(－44)＝－23＋(n ＋1)(n －1)2－22(n －1)＝n 22－22n －32，故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243. 综上所述，S n 的最小值为－243.。